Một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu fisher trong các không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ———————o0o——————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO KIỂU FISHER TRONG CÁC KHÔNG GIAN MÊTRIC Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên Thanh Hóa, 4/2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ———————o0o——————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO KIỂU FISHER TRONG CÁC KHƠNG GIAN MÊTRIC Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên Đại diện nhóm SV thực hiện: Hồng Kim Anh Nam, nữ: Nữ Dân tộc: Kinh Lớp, khoa: K22 ĐHSP Toán CLC, Khoa KHTN Ngành học: ĐHSP Toán Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Hữu Học Thanh Hóa, 4/2022 Năm thứ: 3/4 Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài STT Họ tên Lớp Hồng Kim Anh Lớp K22 ĐHSP Tốn CLC Lê Thị Thu Lớp K22 ĐHSP Toán CLC i Nội dung tham gia Chủ nhiệm đề tài Thành viên đề tài Mục lục Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài i Thông tin kết nghiên cứu iii Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ tính liên tục 1.1.3 Không gian đầy đủ không gian compact 1.2 Một số không gian kiểu mêtric 1.3 Nguyên lí ánh xạ co Banach 10 Một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Fisher khơng gian mêtric 2.1 16 Các định lí điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Fisher không gian mêtric 16 2.2 Các ví dụ 29 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 ii Thông tin kết nghiên cứu Thông tin chung - Tên đề tài: Một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Fisher không gian mêtric - Thời gian thực hiện: 06 tháng (từ 11/2021 đến 04/2022) - Cấp quản lý: Cấp trường - Cơ quan quản lí đề tài: Trường Đại học Hồng Đức - Đơn vị chủ trì đề tài: Khoa KHTN - Nhóm sinh viên thực hiện: (1) Hồng Kim Anh - Lớp: K22 ĐHSP Toán CLC (2) Lê Thị Thu - Lớp: K22 ĐHSP Toán CLC Mục tiêu: Đề tài đạt mục tiêu đề Tính sáng tạo: Có Kết nghiên cứu: Đề tài đạt kết đề Sản phẩm đề tài: Báo cáo tổng kết, báo đăng tạp chí Trường Đại học Hồng Đức Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả ứng dụng: Chuyển giao toàn iii Mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu lý chọn đề tài Từ năm 1922, sau Banach phát biểu nguyên lý ánh xạ co luận văn mình, trở thành kết quan trọng với nhiều ứng dụng Gần kỷ kể từ đến nay, nhiều nhà tốn học mở rộng kết theo nhiều hướng khác như: thay đổi điều kiện co, thay đổi không gian, Vào năm 1976, Fisher xây dựng chứng minh số kết với điều kiện co khác Các điều kiện co mở rộng cho không gian kiểu mêtric khác Lý thuyết điểm bất động công cụ quan trọng giải tích phi tuyến, có ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học ngành khoa học khác Mặc dù vấn đề cổ điển toán học nhưng, nay, lý thuyết điểm bất động nhận quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Việc nghiên cứu, mở rộng định lý điểm bất động cho phép mở rộng phạm vi ứng dụng chúng Trong báo Fisher, B (1978) “A fixed point theorem for compact metric spaces” Publ Inst.Math 25:193–194 Fisher đưa định lý sau Định lý Nếu T ánh xạ liên tục không gian mêtric compact X thỏa mãn bất đẳng thức [d(T x, T y)]2 < d(x, T x).d(y, T y) + c.d(x, T y).d(y, T x) với ∀x, y ∈ X; x ̸= y ⩽ c, T có điểm bất động Hơn nữa, ⩽ c ⩽ điểm bất động T Chúng nhận thấy rằng, kết Fisher cịn có nhiều vấn đề quan tâm, nghiên cứu Do đó, định chọn điều kiện co Fisher đưa định lý làm nội dung nghiên cứu cho đề tài Trong đề tài này, nghiên cứu điều kiện co Fisher đưa trên, gọi điều kiện co kiểu Fisher để phân biệt với điều kiện co biết trước Cụ thể, đề tài nghiên cứu mình, chúng tơi muốn giải câu hỏi sau: - Khi không gian compact điều kiện liên tục ánh xạ có cần thiết không? Mối quan hệ điều kiện co kiểu Fisher tính liên tục ánh xạ điểm bất động nào? - Khi thay không gian compact khơng gian kiểu mêtric khác kết có thay đổi khơng? Để đảm bảo ánh xạ có điểm bất động, chí tính điểm bất động điều kiện ánh xạ gì? Tính liên tục ánh xạ thay điều kiện yếu hay khơng? Các vấn đề nêu trên, cho ta nhìn đầy đủ ánh xạ thỏa mãn điều kiện co kiểu Fisher So sánh kết thu với điều kiện co kiểu Fisher với kết thu từ điều kiện co biết trước đó, từ tổng hợp, đánh giá có khả đưa điều kiện co mở rộng tổng quát hơn, tức mở rộng phạm vi ứng dụng Mục tiêu nghiên cứu Xây dựng chứng minh số kết điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Fisher không gian kiểu mêtric Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Một số không gian kiểu mêtric - Một số định lí điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Fisher Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điểm bất động Tổng hợp, phân tích kết có để đưa chứng minh kết Ý nghĩa đề tài Đề tài đưa chứng minh số kết điểm bất động cho lớp ánh xạ co thoả mãn điều kiện co kiểu Fisher số không gian kiểu mêtric Đề tài dùng để tham khảo cho người quan tâm đến lĩnh vực điểm bất động Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm có hai chương Chương Kiến thức Trong chương này, tham khảo tài liệu [1], [2] chúng tơi trình bày tóm tắt số khái niệm tính chất thường gặp lý thuyết điểm bất động có liên quan đến nội dung chương sau Chương Một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu Fisher không gian mêtric Trong chương này, đưa chứng minh số kết điểm bất động cho ánh xạ thoả mãn điều kiện co kiểu Fisher số không gian kiểu mêtric Một số ví dụ chúng tơi đưa để hỗ trợ cho kết Chương Một số kiến thức 1.1 Không gian mêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm kết giải tích hàm, liên quan đến khơng gian mêtric trích từ tài liệu [1], [2] 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho tập X ̸= ∅ Một ánh xạ d từ X × X → R gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X : i d(x, y) ⩾ 0, d(x, y) = ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất) ii d(x, y) = d(y, x) (tiên đề đối xứng) iii d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y) (tiên đề tam giác) Nếu d mêtric X cặp (X, d) gọi không gian mêtric Trong đề tài này, không gây nhầm lẫn, trường hợp, sử dụng cụm từ "không gian mêtric X " để thay cho cụm từ "khơng gian mêtric (X, d)" Ví dụ 1.1 Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định #1/2 " m X (xi − yi )2 d(x, y) = i=1 x = (x1 , x2 , , xm ) , y = (y1 , y2 , , ym ) mêtric Rm , gọi mêtric thông thường Rm Ví dụ 1.2 Tập hợp số thực R tập hợp số phức C không gian mêtric, với mêtric d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R( C) Ví dụ 1.3 Ký hiệu C[a,b] tập hợp hàm số thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] C[a,b] không gian mêtric với mêtric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, a ⩽ t⩽ b x, y ∈ C[a,b] Ví dụ 1.4 Giả sử X tập khác rỗng, xét ánh xạ d : X × X → R xác định sau d(x, y) =  0 1 x = y x ̸= y Khi đó, d mêtric X gọi mêtric rời rạc Ví dụ 1.5 Cho (X, d) không gian mêtric Khi đó, ánh xạ ρ : X2 × X2 → R xác định ρ [(x1 , x2 ), (y1 , y2 )] = d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ) mêtric X 1.1.2 Sự hội tụ tính liên tục Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy {xn } phần tử không gian mêtric (X, d) hội tụ đến phần tử x0 không gian X với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , = + < < ε i j i j n0 Khi với ε > 0, tồn số n0 > ln có Vậy dãy {xn } dãy Cauchy Tuy nhiên lim xu = e ∈ / Q chứng tỏ n→∞ Q dãy {xn } không hội tụ Và Q không gian mêtric đầy đủ Ví dụ 1.8 Khơng gian C[a,b] với mêtric hội tụ d đầy đủ
Giả sử {xn } dãy Cauchy C[a,b] , d Với t ∈ [a, b], ta có |xn (t) − xm (t)| ⩽ d (xn , xm ) Từ giả thiết lim d (xn , xm ) = n,m→∞ ta có lim |xn (t) − xm (t)| = n,m→∞ Vậy với t ∈ [a, b] {xn (t)} dãy Cauchy R, dãy hội tụ Lập hàm x xác định x(t) = lim xn (t), t ∈ [a, b] Ta cần chứng minh x ∈ C[a,b] lim d (xn , x) = Cho ε > tùy ý Do {xn } dãy Cauchy, ta tìm n0 thỏa ∀n, m ⩾ n0 ⇒ d (xn , xm ) < ε Như ta có |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀n ⩾ n0 , ∀m ⩾ n0 , ∀t ∈ [a, b] Cố định n, t cho m → ∞ bất đẳng thức ta có |xn (t) − x(t)| ≤ ε, ∀n ⩾ n0 , ∀t ∈ [a, b] Như vậy, ta chứng minh ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ⩾ n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| ⩽ ε a ⩽ t⩽ b Từ suy ra: • Dãy hàm liên tục {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t), hàm x(t) liên tục [a, b] • lim d (xn , x) = n→∞ Đây điều ta cần chứng minh Định nghĩa 1.6 Tập hợp A không gian mêtric X gọi tập hợp compact dãy {xn } phần tử A có dãy {xnk } hội tụ đến phần tử A Không gian mêtric X gọi compact tập hợp compact 1.2 Một số không gian kiểu mêtric Trong mục này, nhắc lại số khái niệm liên quan đến không gian kiểu mêtric mà đề tài sử dụng Để đơn giản, từ lúc trở đi, viết T x thay cho T (x) Định nghĩa 1.7 ([7]) Không gian mêtric (X, d) gọi compact chặn (boundedly compact) dãy bị chặn X có dãy hội tụ Từ định nghĩa, ta thấy không gian mêtric compact không gian compact chặn, không gian compact chặn không thiết không gian compact Ví dụ, Rn khơng gian compact chặn không gian compact Định nghĩa 1.8 ([8]) Cho X không gian mêtric ánh xạ T : X → X Quỹ đạo T x ∈ X tập  Ox (T ) = x, T x, T x, T x, Bây giờ, định nghĩa khái niệm tập hợp compact theo quỹ đạo T , tính chất yếu nhiều so với tính compact Định nghĩa 1.9 ([4]) Cho không gian mêtric X ánh xạ T : X → X Khi đó, X gọi compact theo quỹ đạo T (T -orbitally compact) với dãy Ox (T ) có dãy hội tụ với x ∈ X Ví dụ 1.9 ([4]) Cho X = [0, ∞) không gian mêtric với mêtric thông thường R Ta xác định hai ánh xạ T1 T2 X sau T1 x = x , n − ≤ x < n n+1 T2 x = 2x với x ∈ X n ∈ N Khi đó, dễ thấy, X compact theo quỹ đạo T1 không compact theo quỹ đạo T2 Hơn nữa, dễ dàng thấy không gian compact compact theo quỹ đạo T , với ánh xạ T , điều ngược lại khơng Ngồi ra, ý tính compact chặn compact theo quỹ đạo T hồn tồn độc lập Ngay tính compact theo quỹ đạo T khơng đảm bảo tính đầy đủ khơng gian Các ví dụ chứng minh cho khẳng định Ví dụ 1.10 ([4]) Cho X = [0, 1) với mêtric thông thường Định nghĩa ánh xạ T : X → X sau Tx = x Khi đó, dễ dàng thấy X compact theo quỹ đạo T X không đầy đủ Ví dụ 1.11 ([4]) Cho X = [0, ∞) với mêtric thông thường Định nghĩa ánh xạ T : X → X sau T x = 2x đó, dễ dàng kiểm tra X compact chặn không compact theo quỹ đạo T Định nghĩa 1.10 ([5]) Cho không gian mêtric X ánh xạ T : X → X T gọi liên tục quỹ đạo (orbitally continuous) điểm z ∈ X với dãy {xn } ⊆ Ox (T ) mà xn → z n → ∞ kéo theo T xn → T z n → ∞ 1.3 Nguyên lí ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.11 ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ T : X → X 10 Một điểm x ∈ X gọi điểm bất động T x = T x T gọi ánh xạ co tồn số dương α < cho d(T x, T y) ≤ αd(x, y) với x, y ∈ X (1.1) Nếu (1.1) thay bất đẳng thức nghiêm ngặt thỏa mãn với α = 1, x ̸= y T gọi ánh xạ co chặt (strict contractive) Định nghĩa 1.12 ([9]) Cho ánh xạ T : X → X với X không gian mêtric Cho x0 ∈ X Ta xây dựng liên tiếp phần tử dãy x0 sau: x1 = T x0 , x2 = T x1 , x3 = T x2 , , xn+1 = T xn , Cách xây dựng dãy từ phần tử gọi phép lặp Và dãy {xn } thu từ phép lặp gọi dãy lặp Picard với điểm ban đầu x0 Ta có, x = T x0 x = T x1 = T T x0 = T x0 tổng quát, (1.2) xn = T n x0 Như vậy, T ánh xạ co không gian mêtric X , ta có 


d (T n x, T n y) = d T T n−1 x , T T n−1 y ≤ αd T n−1 x, T n−1 y
≤ α2 d T n−2 x, T n−2 y ≤ ≤ αn d (x, y) , < α < nên < αn < 1, tức T n ánh xạ co X với số co αn 11 Kết sau biết đến với tên gọi định lí điểm bất động Banach hay nguyên lí ánh xạ co Banach (BCP), Banach đưa vào năm 1922 Định lý 1.1 (Banach - [9]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ co, tức là, T thỏa mãn (1.1) Khi tồn điểm bất động T X Chứng minh Lấy tùy ý x0 ∈ X Từ x0 ta xây dựng dãy lặp (1.2), tức là, xn = T n x0 = T xn−1 với n ∈ N Ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Thật vậy, ta có d (x1 , x2 ) = d (T x0 , T x1 ) ≤ αd (x0 , x1 ) = αd (x0 , T x0 ) , d (x2 , x3 ) = d (T x1 , T x2 ) ≤ αd (x1 , x2 ) ≤ α2 d (x0 , T x0 ) , d (x3 , x4 ) = d (T x2 , T x3 ) ≤ αd (x2 , x3 ) ≤ α3 d (x0 , T x0 ) Tổng quát, quy nạp, ta chứng minh được, với số nguyên dương n, d (xn , xn+1 ) ≤ αn d (x0 , T x0 ) Từ với số nguyên dương tùy ý p, ta có d (xn , xn+p ) ≤ d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xn+2 ) + · · · + d (xn+p−1 , xn+p ) ≤ αn d(x0 , T x0 ) + αn+1 d(x0 , T x0 ) + · · · + αn+p−1 d (x0 , T x0 )
= αn + αn+1 + · · · + αn+p−1 d (x0 , T x0 ) αn − αn+p d (x0 , T x0 ) 1−α αn ≤ d (x0 , T x0 ) 1−α ≤ (1.3) (1.4) Do α < 1, nên từ (1.4), ta có, d (xn , xn+p ) → n → ∞ Do {xn } dãy Cauchy Từ giả thiết X không gian mêtric đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ Giả sử lim xn = x∗ ∈ X n→∞ 12 (1.5)