Luận văn một số định lý điểm bất động trong không gian metric và ứng dụng

i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Ngọc Trâm ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Trong trình làm luận văn, Thầy người hướng dẫn mặt khoa học mà Thầy cịn ln động viên, khích lệ tác giả khắc phục khó khăn để hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giảng dạy lớp K10 cao học Giải tích, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Tốn giải tích khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân ln động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Trâm iii Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric lồi 10 1.3 Ánh xạ đối hợp 13 1.4 Một số kết điểm bất động 14 Chương Một số định lí điểm bất động ứng dụng 19 2.1 Ánh xạ có tính chất (L) 19 2.2 Một số điểm bất động không gian metric 23 2.3 Một số điểm bất động cho ánh xạ đối hợp 30 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động vấn đề cổ điển toán học với nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học ngành khoa học khác Hiện lý thuyết điểm bất động nhận quan tâm nhiều nhà toán học giới Việc mở rộng định lý điểm bất động cho phép mở rộng phạm ứng dụng chúng Trong báo [J Górnicki, Fixed points of involutions Math Japonica 43 (1996) 151-155], Górnicki chứng minh bổ đề sau: Bổ đề Cho C tập đóng lồi khác rỗng không gian Banach E T : C → C ánh xạ Lipschitz Giả sử tồn số thưch ≤ a < b > cho với x ∈ C, tồn u ∈ C thoả mãn ||Tu − u|| ≤ a.||T x − x|| ||u − x|| ≤ b.||T x − x|| Khi đó, T có điểm bất động C Trong báo, Górnicki sử dụng Bổ đề 1, để nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đối hợp Lipschitz không gian Banach Các kết Beg mở rộng cho ánh xạ không gian metric lồi báo I Beg, Inequalities in metric spaces with applications,Topol Methods Nonlinear Anal.17 (2001) 183-190] Với mong muốn nghiên cứu tồn điểm bất động cho ánh xạ đối hợp thoả mãn điều kiện khác mở rộng số kết có báo trên, chọn đề tài: Một số định lý điểm bất động không gian metric ứng dụng Mục tiêu nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu tồn điểm bất động cho ánh xạ không gian metric mở rộng Bổ đề ứng dụng vào nghiên cứu tồn điểm bất động cho ánh xạ đối hợp không gian metric lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các ánh xạ không gian metric, không gian metric lồi Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn điểm bất độngcủa ánh xạ Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp lặp để nghiên cứu tồn điểm bất động • Phân tích, đánh giá phát triển kết liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu số kiến thức khơng gian metric, khơng gian metric lồi • Tìm hiểu khái niệm điểm bất động, ánh xạ đối hợp, hàm có tính chất (L) • Nghiên cứu điều kiện để ánh xạ có điểm bất động • Nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ đối hợp • Đưa ví dụ minh hoạ Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian metric, không gian metric lồi số kết điểm bất động liên quan tới kết luận văn Chương 2: Trình bày kết luận văn Chương chia thành ba phần Phần thứ đưa khái niệm hàm có tính chất (L) ví dụ Phần hai phát biểu chứng minh định lý điểm bất động tổng quát khơng gian metric hệ quả, ví dụ minh hoạ Phần ba phát biểu chứng minh số định lý điểm bất động cho ánh xạ đối hợp không gian metric lồi Chương Một số kiến thức 1.1 Không gian metric Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian metric Nội dung phần tham khảo tài liệu [11, 14] Định nghĩa không gian metric phát biểu sau Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Ánh xạ d : X × X → R gọi metric X thoả mãn điều kiện: (1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = x = y (2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, cặp (X, d) gọi khơng gian metric Nếu khơng có nhầm lẫn, ta dùng cụm từ "không gian metric X" thay dùng cụm từ "khơng gian metric (X, d)" Sau số ví dụ khơng gian metric Ví dụ 1.1.2 Giả sử M tập khác rỗng tập số thực R Ta đặt d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ M Khi đó, nhờ tính chất quen thuộc giá trị tuyệt đối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) khơng gian metric Ví dụ 1.1.3 Kí hiệu Rk = (x1 , · · · , xk ) : xi ∈ R, i = 1, k tập hợp k số thực Với x = (x1 , · · · xk ), y = (y1 , · · · , yk ) thuộc Rk , ta đặt: v u k u d(x, y) = t ∑ (xi − yi )2 i=1 Khi điều kiện (1) (2) rõ ràng, ta cần kiểm tra điều kiện( 3), tức chứng minh v v v u k u k u k u u u t (xi − zi )2 ≤ t (xi − yi )2 + d(x, y) = t (yi − zi )2 ∑ ∑ ∑ i=1 i=1 i=1 Đặt = xi − yi , bi = yi − zi + bi = xi − zi Ta lại có k k d (x, z) = ∑ (ai − bi ) = ∑ i=1 a2i + i=1 k ∑ b2i + i=1 k ∑ bi i=1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schawrs cho số hạng sau ta v v u u k k k u k u k d (x, z) ≤ ∑ (ai − bi )2 = ∑ a2i + ∑ b2i + 2t ∑ a2i t ∑ bki i=1 i=1 v u u ≤ (t k ∑ i=1 i=1 v u u a2 + t i i=1 i=1 k ∑ bki )2 i=1 Từ đó, ta lấy hai vế trở với kí hiệu cũ, ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Vậy (Rk , d) không gian metric metric gọi metric thông thường Rk Ví dụ 1.1.4 Giả sử X tập tùy ý khác rỗng Ta đặt ( x = y, d(x, y) = x 6= y với x, y ∈ X Ta kiểm tra d metric X Dễ thấy điều kiện (1) 2) Điều kiện (3) có dạng d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) i) Nếu x 6= z d(x, z) = cịn vế sau lớn ii) Nếu x = z d(x, z) = cịn vế sau lớn Vậy điều kiện (3) thỏa mãn nên (X, d) không gian metric Metric d gọi metric rời rạc X Ví dụ 1.1.5 Kí hiệu tập hợp hàm liên tục f : [a, b] → R C[a,b] với hàm f , g thuộc C[a,b] , ta đặt d( f , g) = max | f (x) − g(x)| [a,b] Vì f , g hàm liên tục [a, b] nên hàm | f − g| Do giá trị lớn hàm | f − g| đạt khoảng đóng [a, b] nên d( f , g) xác định Các điều kiện (1) ( 2) hiển nhiên Vì ∀x ∈ [a, b] : | f (x) − h(x)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x) − h(x)| ≤ max | f (x) − g(x)| + max |g(x) − h(x)| [a,b] [a,b] nên max | f (x) − h(x)| ≤ max | f (x) − g(x)| + max |g(x) − h(x)| [a,b] [a,b] [a,b] hay d( f , h) ≤ d( f , g) + d(g, h) với f , g, h ∈ C[a,b] Vậy (C[a,b] , d) không gian metric Ví dụ 1.1.6 Cũng tập hợp C[a,b] ta đặt d1 ( f , g) = Z b | f (x) − g(x)|dx, a (C[a,b] , d1 ) không gian metric Một số tính chất đơn giản suy từ định nghĩa metric Mệnh đề 1.1.7 Cho x1 , x2 , · · · , xn điểm X Khi ta có bất đẳng thức tam giác mở rộng: d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) Mệnh đề 1.1.8 Với x, y, u, v thuộc X ta có bất đẳng thức tứ giác: |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) Định nghĩa 1.1.9 Cho (X, d) không gian metric Dãy {xn } X gọi hội tụ tới x ∈ X với ε > 0, tồn N ∈ N cho d(xn , a) < ε với n ≥ N Ta kí hiệu xn → a lim xn = a n→∞ Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.10 Dãy {xn } không gian metric (X, d) hội tụ tới a ∈ X limn→∞ d(xn , a) = Mệnh đề 1.1.11 Giới hạn dãy tồn Mệnh đề 1.1.12 Dãy {xn } không gian metric (X, d) hội tụ tới a ∈ X dãy {xn } hội tụ tới a Mệnh đề 1.1.13 Nếu xn → x, yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) n → ∞ Một số ví dụ hội tụ không gian metric (a) Hôi tụ Rk Trong Rk với metric thông thường, ta xét dãy {xn } với xn = (xn1 , · · · , xnk ) Theo định nghĩa dãy {xn } hội tụ điểm x0 = (xn1 , · · · , xnk ) d(xn , x0 ) → n → ∞ hay " k ∑ #1 (xni − x0i )2 i=1 → ⇔ (xni − x0i )2 → với i = 1, 2, · · · , k Tức xni → x0i , ∀i = 1, · · · , k Vậy hội tụ dãy Rk hội tụ theo tọa độ (thành phần) dãy Đặc biệt, với k = hội tụ dãy số thực thông thường (b) Hội tụ (C[a,b] , d) Giả sử {xn } dãy (dãy hàm) C[a,b] hội tụ x ∈ C[a,b] Theo định nghĩa, ta có d(xn , x) = max |xn (t) − x(t)| → (khi n → ∞) t∈[a,b] Tức (∀ε > 0)(∃n0 )(∀n ≥ n0 )(∀t ∈ [a, b] : |xn (t) − x(t)| < ε Vậy hội tụ (C[a,b] , d) hội tụ dãy hàm tập [a, b] Cho hai không gian mêtric (X, d1 ) (Y, d2 ) Nếu không sợ nhầm lẫn, ta dùng kí hiệu d để d1 lẫn d2 Giả sử f ánh xạ từ X vào Y x0 điểm X Định nghĩa 1.1.14 Ánh xạ f gọi liên tục x0 ε > cho trước, tồn δ > cho d( f (x), f (x0 )) < ε với x ∈ X mà d(x, x0 ) < δ Ánh xạ f gọi liên tục A ⊂ X f liên tục điểm x ∈ A Một tiêu chuẩn tương đương với định nghĩa thường dùng để khảo sát tính liên tục cách có hiệu sau Định lý 1.1.15 (Tiêu chuẩn qua dãy) Ánh xạ f liên tục x0 ∈ X dãy {xn } ⊂ X, xn → x0 dãy f (xn ) → f (x0 ) Định nghĩa 1.1.16 Cho f ánh xạ từ không gian metric X vào R Khi f gọi nửa liên tục a ∈ X lim inf f (x) ≥ f (a) x→a Ta nói f nửa liên tục A ⊂ X, f nửa liên tục a ∈ A Định nghĩa 1.1.17 Cho a điểm không gian metric (X, d) r > Hình cầu mở tâm a bán kính r tập B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} Hình cầu đóng tâm a bán kính r tập ¯ r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} B(a, Cho A tập X x ∈ X Khi (i) Nếu tồn hình cầu mở tâm x nằm A x gọi điểm A b u − ≤ n n(n + 1) (2.10) (2.11) Ta thấy u n đủ lớn Thật vậy, u = 0, (2.11) trở thành ≤ b/(n + 1) Điều n lớn Do đó, u = 1/m với m ≥ m (có thể) phụ thuộc vào n Khi đó, (2.10)và (2.11) trở thành n(n + 1) ≤ a, m(m + 1) (2.12) b n (2.13) − ≤ m n+1 Vì a < 1, từ (2.12) ta có n < m γ := lim supn→∞ mn < Lấy giới hạn hai vế (2.13) ta |1 − γ | ≤ Điều Vậy điều kiện (a1) và(a2) không thoả mãn Do ta khơng thể áp dụng Bổ đề 1.4.5, Bổ đề 1.4.7 Định lý 1.4.6 cho ví dụ Tuy nhiên, ta áp dụng Hệ 2.2.5 cho ví dụ Thật vậy, ta có   x = d(x, T x) = n/(n + 1) x = 1/n, n = 1, 2, Dễ dàng thấy hàm x → d(x, T x) nửa liên tục có tính chất (L) X Ngồi ra, tồn số a = 1/2, k = ℓ = 1/2 cho với x ∈ X, tồn y = để (2.8) (2.9) thoả mãn Điều hiển nhiên x = Nếu x = 1/n, n = 1, 2, , ta dễ dàng thấy (2.8) thỏa mãn (2.9) tương đương với hay 2  1 , ≤2 n n(n + 1) 4n n+1 điều hiển nhiên với n ≥ Do đó, giả thiết Hệ 2.2.5 thỏa mãn 1≤ 28 Tiếp theo, áp dụng Định lý 2.2.3 để đưa chứng minh ngắn cho kết Moradi Farajzadeh báo tạp chí Tối ưu Tồn cục (Journal of Global Optimization) Định lý 2.2.8 [10, Định lý 2.4] Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ cho với x, y ∈ X, d(T x, Ty) ≤ ad(x, y) + bd(x, T x) + cd(y, Ty) + ed(y, T x) + f d(x, Ty) (2.14) < a < 1, b, c, e, f ≥ 0, b + c > a + b + c + e + f = Nếu e + f > 0, T có điểm bất động Chứng minh Cho x ∈ X đặt z = T x Giống Bước chứng minh [10, Định lý 2.4], tồn số λ ∈ (0, 1) cho d(z, T z) ≤ λ d(x, T x) Ngoài ra, d(x, z) =d(x, T x) ≤d(x, T x) + d(T x, T x) ≤d(x, T x) + ad(x, T x) + bd(x, T x) + cd(T x, T x) + ed(T x, T x) + f d(x, T x) =(1 + a + b)d(x, T x) + cd(T x, z) + f d(x, z) ≤(1 + a + b + c)d(x, T x) + (c + f )d(x, z) Điều suy d(x, z) ≤ 1+a+b+c d(x, T x) 1−c− f Vì hàm x → d(x, T x) có tính chất (L) (xem ví dụ 2.1.6), theo Hệ 2.2.5, T có điểm bất động Tính điểm bất động T rút từ bất đẳng thức (2.14) Định lý chứng minh Hệ 2.2.9 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ Giả sử với x, y ∈ X, d(T x, T y) ≤ ad(x, y) + bd(x, T x) + cd(y, T y) + ed(y, T x) + f d(x, T y), (2.15) 29 với a, b, c, e f xác định Định lý 2.2.8 Khi đó, T có điểm bất động X Chứng minh Theo Định lý 2.2.8, T có điểm bất động x X Ta có, d(x, T x) =d(T x, T (T x)) ≤ad(x, T x) + bd(x, T x) + cd(T x, T x) + ed(T x, T x) + f d(x, T x) =(a + e + f )d(x, T x) điều suy (1 − a − e − f )d(x, T x) ≤ Do đó, d(x, T x) = 0, nghĩa x điểm bất động T Giả sử z điểm bất động khác T Khi đó, T z = T z = z điều suy z = x Hệ chứng minh Tiếp theo, chúng tơi đưa ví dụ, Hệ 2.2.9 áp dụng được, Định lý 2.2.8 khơng áp dụng Ví dụ 2.2.10 Cho X = R với metric thông thường d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X Xét ánh xạ T : R → R xác định sau  −5x Tx = − x 10 x ≥ x < Khi đó, với x ≥ 0, có T x = T (−5x) = −(−5x)/10 = x/2, với x < 0, ta có T x = T (−x/10) = −5(−x/10) = x/2 Do đó, T x = x/2 với x ∈ X Dễ dàng kiểm tra thấy T thỏa mãn (2.15) với a = 1/2 b = c = e = f = 1/8 Áp dụng Hệ 2.2.9, ta kết luận T có điểm bất động Thực tế, điểm bất động T Tuy nhiên, khơng thể áp dụng Định lý 2.2.8 cho ví dụ điều kiện (2.14) Định lý 2.2.8 khơng thỏa mãn Nếu ngược lại, với (x, y) = (0, 1) (x, y) = (1, 0), ta có ≤ a + 6b + 5e + f ≤ a + 6c + e + f Từ hai bất đẳng thức trên, ta có ≤ a + 3(b + c + e + f ) Do a + b + c + e + f = 1, từ bất đẳng thức cuối suy ≤ b + c + e + f điều trái giả thiết