Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co banach trong không gian mêtric

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN——————————————–HOÀNG KIM ANHMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦANGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACHTRONG KHÔNG GIAN MÊTRICKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Trang 2 TRƯỜNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– HOÀNG KIM ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THANH HÓA, NĂM 2023 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————————– HOÀNG KIM ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành đào tạo: Đại học Sư phạm Toán học Mã ngành: 7140209 Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Hữu Học THANH HÓA, NĂM 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố Người cam đoan Hoàng Kim Anh i LỜI CẢM ƠN Khoá luận được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của thầy Th.S Nguyễn Hữu Học Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã tận tình hướng dẫn và truyền dạy cho em những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong suốt quá trình nghiên cứu thời gian vừa qua Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Nhà trường, Khoa và các thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy trong quá trình em học tập và rèn luyện tại trường Đại học Hồng Đức Trong quá trình nghiên cứu, do trình độ có hạn nên em không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 4 năm 2023 Hoàng Kim Anh ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Chữ viết tắt và ký hiệu iv Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian mêtric 3 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 3 1.1.2 Sự hội tụ và tính liên tục 4 1.1.3 Không gian đầy đủ và không gian compact 5 1.2 Nguyên lí ánh xạ co Banach 7 Chương 2 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co Banach trong giải toán 14 2.1 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co Banach chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 14 2.2 Ứng dụng nguyên lí ánh xạ co Banach chứng minh sự tồn tại giới hạn của dãy số 18 2.3 Bài toán xấp xỉ nghiệm và sai số phương trình φ(x) = 0 35 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iii CHỮ VIẾT TẮT, KÝ HIỆU R: Tập hợp các số thực C: Tập hợp các số phức Z: Tập hợp các số nguyên N: Tập hợp các số tự nhiên N∗: Tập hợp các số tự nhiên khác 0 iv MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết của đề tài Không gian mêtric và sự tồn tại các điểm bất động đối với ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu cơ bản của toán Giải tích Điểm bất động là khái niệm xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, là một nhánh của Toán học Tiền thân là nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach Trong đó, nguyên lý ánh xạ co của Banach được đánh giá là định lý điểm bất động đơn giản và được sử dụng rộng rãi nhất Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và các không gian khác nhau, và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Một khía cạnh nhỏ của ứng dụng nguyên lý ánh xạ co của Banach vào giải một số dạng toán ở chương trình đại học như: Giải phương trình đại số và siêu việt, bài toán xấp xỉ nghiệm, chứng minh sự hội tụ của dãy, trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung rất phức tạp Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng và đòi hỏi phải có sự trợ giúp của nhiều kiến thức liên quan Từ những thực tế đó, tôi lựa chọn “Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian mêtric” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình 2 Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co Banach để giải quyết một số bài toán đại số và giải tích 3 Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán có thể sử dụng nguyên lí ánh xạ co Banach: - Chứng minh tồn tại nghiệm - Chứng minh sự tồn tại giới hạn của dãy truy hồi - Bài toán xấp xỉ nghiệm 4 Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu việc vận dụng nguyên lí ánh xạ co Banach để giải một số các bài toán của đại số, giải tích và giải tích số 5 Phương pháp nghiên cứu 1 Đọc tài liệu, seminar nhóm dưới sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa học Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của toán sơ cấp để giải quyết các bài toán 6 Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận gồm hai chương • Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về cơ bản về không gian mêtric, nguyên lí ánh xạ co Banach và một số nhận xét có thể xem là hệ quả của nó Một số ví dụ cũng được đưa ra để minh hoạ cho các vấn đề được nêu • Chương 2 Một số ứng dụng của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric Chương này là nội dung chính của khóa luận Trong chương này, chúng tôi vận dụng nguyên lí ánh xạ co Banach để giải quyết các bài toán về sự tồn tại nghiệm của phương trình, bài toán chứng minh sự tồn tại giới hạn của dãy số truy hồi và bài toán xấp xỉ nghiệm Ở chương 2, bên cạnh các bài toán được trích dẫn từ kỷ yếu "Kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc" của các năm và một số bài gặp trong quá trình học Giải tích 1 và Giải tích 2, tôi sử dụng các bài tập được chia sẻ trên các diễn đàn toán học, các hội nhóm toán, vì nhiều lý do không thể tìm được tác giả chính thức 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X̸ = ∅ Một ánh xạ d từ X × X → R được gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i d(x, y) ⩾ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất) ii d(x, y) = d(y, x) (tiên đề đối xứng) iii d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y) (tiên đề tam giác) Nếu d là mêtric trong X thì cặp (X, d) gọi là một không gian mêtric Ví dụ 1.1.2 Tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C là những không gian mêtric, với mêtric d(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R ( hoặc C), gọi là mêtric thông thường Ví dụ 1.1.3 Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định bởi m 1/2 d(x, y) = (xi − yi)2 , i=1 với x = (x1, x2, , xm) , y = (y1, y2, , ym) ∈ Rm là một mêtric trên Rm Chứng minh Thật vậy, ta thấy các tiên đề i, ii rõ ràng, chỉ cần kiểm tra tiên đề iii, tức là chứng minh m 1/2 m 1/2 m 1/2 (xi − zi)2 ⩽ (xi − yi)2 + (yi − zi)2 i=1 i=1 i=1 3 Đặt ai = xi − yi, bi = yi − zi khi đó ai + bi = xi − zi Ta có : m m m m d2(x, z) = (ai + bi)2 = ai2 + bi2 + 2 (aibi) i=1 i=1 i=1 i=1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho số hạng sau cùng ta được: m m m m d2(x, z) = ai2 + bi2 +2 ai2 1/2 bi2 1/2 i=1 i=1 i=1 i=1 m m bi2 1/2)2 ⩽( ai2 1/2 + i=1 i=1 Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với các kí hiệu cũ, ta có: d(x, z) ⩽ d(x, y) + d(y, z) Vậy (Rm, d) là một không gian mêtric và gọi là mêtric thông thường của Rm Ví dụ 1.1.4 Ký hiệu C[a,b] là tập hợp các hàm số thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] C[a,b] là một không gian mêtric với mêtric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a⩽t⩽b 1.1.2 Sự hội tụ và tính liên tục Định nghĩa 1.1.5 Ta nói dãy (xn) những phần tử của không gian mêtric (X, d) hội tụ đến phần tử x0 trong không gian X nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, với ∀n ⩾ n0 thì d(xn, x0) < ε Khi đó, ta viết: lim xn = x0, hoặc xn → x0 khi n → ∞ n→∞ x0 gọi là giới hạn của dãy (xn) Ta chú ý rằng, các mêtric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội tụ khác nhau Mệnh đề 1.1.6 4