Luận văn đại số boole và một số ứng dụng

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Trịnh Thị Hiếu i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Khoa khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn TS PHẠM THỊ CÚC, Trường Đại học Hồng Đức Cơ hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo giúp tơi hồn thành luận văn Qua tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc lịng u q tới Cơ Tơi xin cảm ơn tới tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phịng Sau đại học Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để tơi hồn thiện luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, quan nơi công tác động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến góp ý nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng năm 2020 Tác giả Trịnh Thị Hiếu ii Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các phép toán tập hợp 1.1.2 Nguyên lý đếm 1.2 Đại số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Đại số con, đại số thương, đồng cấu đại số .7 Chương ĐẠI SỐ BOOLE 2.1 Định nghĩa 2.2 Một số ví dụ đại số Boole 10 2.3 Các tính chất đại số Boole 11 Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ BOOLE 14 3.1 Logic mệnh đề 14 3.2 Sơ đồ chuyển mạch 18 3.2.1 Ứng dụng đại số Boole vào sơ đồ chuyển mạch 18 3.2.2 Mạch nối tiếp 18 3.2.3 Mạch song song 19 3.2.4 Hai sơ đồ (mạch điện) tương đương 20 3.3 Ước số 20 3.3.1 Nhắc lại quan hệ chia hết 20 3.3.2 Kết xây dựng đại số Boole dựa quan hệ chia hết 21 3.4 Tập dàn 23 3.4.1 Quan hệ thứ tự 23 iii 3.4.2 Dàn 26 3.5 Dạng chuẩn tắc rút gọn sơ đồ 27 3.6 Định lý biểu diễn 36 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 39 Tài liệu tham khảo 40 iv MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đại số Boole (hay đại số Boolean) ví dụ điển hình kiểu cấu trúc đại số ký hiệu thường đại diện cho đối tượng số Đại số mô theo đại số tập tập hợp với phép tốn hai ngơi phép hợp phép giao, cịn phép tốn ngơi phép lấy phần bù Đại số Boole có nhiều ứng dụng, đặc biệt ứng dụng quan trọng sơ đồ chuyển mạch mà ký hiệu đại diện cho công tắc mạch điện đặc biệt Nguồn gốc đại số Boole bắt nguồn từ năm 1947, nhà toán học người Anh George Boole (1815 – 1864) xuất báo có tên “Giải tích tốn học logic”, đã cách mà ký hiệu đại số áp dụng cho logic Các thao tác mệnh đề logic nhờ đại số Boole ngày gọi phép toán mệnh đề Trong đại số trừu tượng, đại số Boole cấu trúc đại số có tính chất phép toán tập hợp phép toán logic Cụ thể, phép toán tập hợp quan tâm phép giao, phép hợp, phép bù; phép toán logic AND (và), OR (hoặc), NOT (phủ định) Bởi đại lượng có hai trạng thái nên đại số Boole khác đại số thường dễ tính tốn Ở đại số Boole khơng có phân số, số thập phân, số ảo, số phức, số, mà thực chủ yếu ba phép tính tốn Ngồi ra, tính chất đại số Boole giúp đơn giản hóa biểu thức logic Việc cần thiết để thiết kế thực đơn giản kinh tế Vì vậy, tơi lựa chọn đề tài “Đại số Boole số ứng dụng” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu đại số Boole số ứng dụng đại số Boole Nhiệm vụ đề tài Tìm hiểu tổng quan Đại số Boole ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu đại số Boole Phạm vi nghiên cứu: Đại số Boole số ứng dụng đại số Boole Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo cho giảng viên, học viên cao học bạn sinh viên việc tìm hiểu đại số Boole ứng dụng Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương sau: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại khái niệm tập hợp đại số Đây kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày chương sau Chương ĐẠI SỐ BOOLE Chương trình bày định nghĩa đại số Boole, số ví dụ đại số Boole, tính chất đại số Boole Chương ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ BOOLE Chương trình bày logic mệnh đề, sơ đồ chuyển mạch, ước số, tập dàn, dạng chuẩn tắc rút gọn sơ đồ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức tập hợp đại số Nội dung chương trình bày dựa theo tài liệu [1], [2] 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các phép toán tập hợp 1.1.1.1 Phép hợp Hợp hai tập hợp A B, ký hiệu A ∪ B, tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A thuộc B: A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} 1.1.1.2 Phép giao Giao hai tập hợp A B, kí hiệu A ∩ B, tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A B: A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Nếu hai tập hợp A B khơng có phần tử chung, nghĩa A ∩ B = ∅, ta gọi A B hai tập hợp rời 1.1.1.3 Phép lấy phần bù Cho A tập tập E Phần bù A E, ký hiệu CE A tập hợp phần tử E mà không phần tử A Chú ý 1.1.1 Với hai tập hợp A, B bất kỳ, người ta xét hiệu hai tập hợp A B Hiệu hai tập hợp A B, ký hiệu A \ B tập hợp gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B: A \ B = {x | x ∈ A x 6∈ B} 1.1.2 Nguyên lý đếm 1.1.2.1 Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A có m cách thực phương án B Khi cơng việc thực m + n cách Quy tắc cộng cho cơng việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak Có n1 cách thực phương án A1 , có n2 cách thực phương án A2 , nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc thực n1 + n2 + · · · + nk cách Chú ý 1.1.2 Quy tắc cộng phát biểu dạng sau: Nếu A B hai tập hợp hữu hạn không giao số phần tử A ∪ B số phần tử A cộng với số phần tử B, tức là: |A ∪ B| = |A| + |B| 1.1.2.2 Quy tắc nhân Giả sử công việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo n · m cách Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn phát biểu sau: Giả sử công việc bao gồm k cơng đoạn A1 , A2 , , Ak Công đoạn A1 thực theo n1 cách, cơng đoạn A2 thực theo n2 cách, , cơng đoạn Ak thực theo nk cách Khi cơng việc thực theo n1 · n2 · · · nk cách Nguyên lý nhân theo tập hợp: Nguyên lý nhân thường phát biểu ngôn ngữ tập hợp sau Nếu A1 , A2 , , Ak tập hữu hạn, số phần tử tích Descartes tập tích số phần tử tập thành phần Ta biết việc chọn phần tử tích Descartes A1 × A2 × · · · × Ak tiến hành cách chọn phần tử A1 , phần tử A2 , , phần tử Ak Theo quy tắc nhân ta có: |A1 × A2 × · · · × Ak | = |A1 | · |A2 | · · · |Ak | Nguyên lý bù trừ: Khi hai cơng việc làm đồng thời, ta khơng thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực nhiệm vụ gồm hai việc Để tính số cách thực nhiệm vụ ta cộng số cách làm hai việc trừ số cách làm đồng thời hai việc Ta phát biểu nguyên lý đếm ngôn ngữ tập hợp: Cho A1 , A2 hai tập hữu hạn, đó: |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 | Nguyên lý bù trừ: Từ với ba tập hợp hữu hạn A1 , A2 , A3 , ta có: |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A2 ∩ A3 | − |A3 ∩ A1 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | , Nguyên lý Dirichlet *Nguyên lý Dirichlet mở đầu: Mệnh đề 1.1.1 Nếu có k + (hoặc nhiều hơn) đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp có hai đồ vật Chứng minh Giả sử khơng có hộp k hộp chứa nhiều đồ vật Khi tổng số vật chứa hộp nhiều k Điều trái giả thiết có k + vật Nguyên lý thường gọi nguyên lý Dirichlet, mang tên nhà toán học người Đức kỷ 19 Ông thường xuyên sử dụng nguyên lý cơng việc *Ngun lý Dirichlet tổng quát: Mệnh đề 1.1.2 Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa [N/k] đồ vật (ở đây, [x] giá trị hàm trần số thực x, số nguyên nhỏ có giá trị lớn x) Khái niệm đối ngẫu với [x] − giá trị hàm sàn hay hàm phần nguyên x− số nguyên lớn có giá trị nhỏ x Chứng minh Giả sử hộp chứa [N/k] vật Khi tổng số đồ vật ([N/k] − 1) < k · N/k = N Điều mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật cần xếp 1.2 Đại số 1.2.1 Định nghĩa Giả sử K vành có đơn vị, giao hốn Một đại số K K – đại số K – mơđun X trang bị phép tốn nhân; tích hai phần tử x, y ∈ X ký hiệu xy cho điều kiện sau thỏa mãn: A1 Phép nhân X phân phối phép cộng X: x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx, với x, y, z ∈ X A2 Phép nhân X phép nhân vô hướng phần tử vành K thỏa mãn điều kiện: (α x)y = α (xy), α ∈ K; x, y ∈ X Phép nhân K-môđun X thỏa mãn điều kiện A1 A2 gọi phép nhân song tuyến tính Các điều kiện A1 A2 tương đương với điều kiện: (α s + β y)z = α (xz) + β (yz), x(α y + β z) = α (xy) + β (xz), với α , β ∈ K x, y, z ∈ X Nếu X K-môđun tự X gọi đại số tự Bằng cách ấn định điều kiện: giao hoán, kết hợp, có đơn vị cho phép nhân, ta kiểu đại số: giao hốn, kết hợp, có đơn vị 1.2.2 Ví dụ Ví dụ 1.2.1 Mỗi vành K giao hốn có đơn vị K-đại số Mỗi iđêan I K K- đại số Phần tử d gọi cận lớn phần tử a b tập thứ tự d ≤ a, d ≤ b x phần tử khác cho x ≤ a, x ≤ b x ≤ d Ta ký hiệu cận lớn a b a ∧ b Tương tự, ta định nghĩa cận nhỏ ký hiệu ∨ Từ tính phản xứng quan hệ thứ tự phận suy cặp phần tử a b có nhiều cận lớn có nhiều cận nhỏ 3.4.2 Dàn Một dàn tập thứ tự phận cặp hai phần tử có cận lớn cận nhỏ Vì vậy, Dn dàn với số nguyên n ∈ P Do từ Ví dụ 3.3.2 suy D18 dàn khơng phải đại số Boole (xem Hình 3.10) 18 Hình 3.10 Dàn khơng phải Đại số Boole Ta đưa định nghĩa khác đại số Boole dựa vào dàn: Một đại số Boole dàn có cận phổ dụng (nghĩa là, có phần tử cho ≤ a a ≤ với phần tử a) đồng thời phân phối bù (nghĩa là, luật phân phối ∧ ∨ phần bù tồn tại) Ta thử lại định nghĩa tương đương với định nghĩa ban đầu Trong Hình 3.11, phần tử c d có cận nhỏ b khơng có cận lớn Chú ý Ví dụ 3.3.2 chứng tỏ với n ∈ P tập Dn dàn mà luật phân phối đại số Boole trừ n số phi phương 26 a b c d e Hình 3.11 Tập dàn 3.5 Dạng chuẩn tắc rút gọn sơ đồ Nếu ta có sơ đồ mạch phức tạp biểu diễn đai số Boole, chẳng hạn (A ∧ (B ∨C′ )′ ) ∨ ((B ∧C′ ) ∨ A′ ), liệu ta xây dựng dạng đơn giản mà thực hàm hay khơng? Nói cách khác, ta muốn rút gọn biểu thức Boole để dạng đơn giản Trong thực tế, ta thường mong muốn rút gọn thành sơ đồ có giá trị rẻ dạng phải tùy thuộc vào trình độ kỹ thuật thời điểm Tuy nhiên, có số phương pháp để xác định xem liệu hai biểu thức Boole có tương đương với khơng Ta rút gọn biểu thức để dạng chuẩn tắc biết, biểu thức giống dạng chuẩn tắc chúng Ta xem xét dạng gọi dạng chuẩn tuyển Trong đại số Boole tập tập hợp, tập biểu diễn dạng hợp tập gồm phần tử phép hợp không kể đến thứ tự số hạng Ta thu kết tương ứng đại số Boole hữu hạn tùy ý Trong đại số Boole hữu hạn, phần tử đóng vai trị tập phần tử gọi nguyên tử Ở đây, nguyên tử đại số Boole (K, ∧, ∨,′ ) phần tử khác không B cho: B ∧Y = B B ∧Y = với Y ∈ K Vậy B nguyên tử từ Y ≤ B kéo theo Y = Y = B Từ suy nguyên tử phần tử phía phần tử khơng sơ đồ tập Trong trường hợp đại số ước số ngun phi – phương ngun tử số nguyên tố, định nghĩa b số nguyên tố là: y|b kéo theo y = y = b 27 Bây ta đưa mơ tả xác đại số sơ đồ chuyển mạch Các nguyên tử đại số dạng chuẩn tuyển biểu thức trở nên rõ ràng nhờ cách mơ tả Một sơ đồ chuyển mạch n−biến xem hộp đen chứa n công tắc độc lập A1 , A2 , , An Hình 3.12, cơng tắc bật tắt Tác động sơ đồ thu cách thử tất 2n tổ hợp khác n công tắc ý hộp cho phép dòng điện chạy qua Bằng cách này, sơ đồ xác định hàm n biến A1 , A2 , , An : f : {0, 1}n → {0, 1}, mà ta gọi hàm chuyển mạch sơ đồ Hai sơ đồ cho ta hàm chuyển mạch chúng tương đương A C B′ A′ Hình 3.12 Sơ đồ (A ∨ B′ ) ∧ (C ∨ A′ ) Ví dụ 3.5.1 Sơ đồ Hình 3.13 tương ứng với biểu thức (A ∨ B′ ) ∧ (C ∨ A′ ) cho ta hàm chuyển mạch f : {0, 1}3 → {0, 1}, cho Bảng 3.7 A1 A2 An Hình 3.13 Sơ đồ chuyển mạch n-biến Ký hiệu tập tất hàm chuyển mạch n-biến từ {0, 1}n vào {0, 1} Fn Mỗi 2n phần tử miền xác định hàm biến thành hai phần tử đối miền Vì vậy, số hàm chuyển mạch n-biến n khác số sơ đồ khác có n công tắc 22 Cho f , g hai hàm chuyển mạch hai sơ đồ n biến A1 , , An Khi sơ đồ mắc nối tiếp song song chúng cho hàm chuyển mạch theo thứ tự f ∧ g f ∨ g đó: ( f ∧ g)(A1 , , An ) = f (A1 , , An ) ∧ g(A1 , , An ) 28 Bảng 3.7 Hàm chuyển mạch f = (A ∨ B′ ) ∧ (C ∨ A′ ) A B C 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ( f ∨ g)(A1 , , An ) = f (A1 , , An ) ∨ g(A1 , , An ) Hàm chuyển mạch sơ đồ đối lập với sơ đồ xác định f f ′ , f ′ (A1 , , An ) = f (A1 , , An )′ Định lý 3.5.1 Tập hàm mạch n-biến tạo thành đại số Boole (Fn , ∧, ∨,′ ) n gồm 22 phần tử Chứng minh Có thể thử lại (Fn , ∧, ∨,′ ) thỏa mãn tất tiên đề đại số Boole Phần tử khơng hàm mà ảnh ln 0, cịn phần tử đơn vị hàm mà ảnh ln Đại số Boole hàm chuyển mạch hai biến số bao gồm 16 phần tử mà biểu thị Bảng 3.8 Ví dụ: f6 (A, B) = A = B A 6= B Hàm hàm loại trừ OR cộng Modulo Nó hàm hiệu đối xứng, hiệu đối xứng A B đại số Boole xác định bởi: A △ B = (A ∧ B′ ) ∨ (A′ ∧ B) Như ví dụ phép toán đại số Boole F2 , ta tính tốn hội tuyển f10 f7 phần bù f10 Bảng 3.9 Ta thấy ′ f10 ∧ f7 = f2 , f10 ∨ f7 = f15 , f10 = f5 29 Các kết tương ứng với hệ thức B′ ∧ (A ∨ B) = A ∧ B′ , B′ ∨ (A ∨ B) = 1, (B′ )′ = B Trong đại số Boole Fn , f ≤ g f ′ ∧ g = f , điều nảy xảy g(A1 , , An ) = với f (A1 , , An ) = Vì nguyên tử Fn hàm mà ảnh chứa phần tử khác khơng Fn gồm 2n nguyên tử biểu thức biểu thị nguyên tử có dạng: Aα1 ∧ A2α2 ∧ · · · Aαn n , Aαi i = Ai A′i Ta có 16 phần tử F2 mơ Hình 3.14 nguyên tử f1 , f2 , f4 f8 định nghĩa Bảng 3.8 Bảng 3.8 Các hàm chuyển mạch 2-biến A 0 1 Biểu thức theo biến A B B 1 Biểu diễn hàm f0 0 0 f1 0 A∧B f2 0 A ∧ B′ A 6⇒ B f3 0 1 A f4 0 A′ ∧ B A 6⇐ B f5 1 B f6 1 A △ B loại trừ OR(A, B) f7 1 A∨B f8 0 A′ ∧ B′ NOR(A, B) f9 0 A △ B A ⇔ B f10 1 B′ f11 1 A ∨ B′ A ⇐ B f12 1 0 A′ f13 1 A′ ∨ B A ⇒ B f14 1 A′ ∨ B′ NAND(A, B) f15 1 1 30 Bảng 3.9 Một số phép toán F2 A B f10 f7 f10 ∧ f7 f10 ∨ f7 ′ f10 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Để phần tử đại số Boole hữu hạn viết dạng hợp nguyên tử, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.5.1 Nếu A, B1 , , Br nguyên tử đại số Boole, A ≤ (B1 ∨ · · · ∨ Br ) A = Bi với i, ≤ i ≤ r Chứng minh Nếu A ≤ (B1 ∨ · · · ∨ Br ) A ∧ (B1 ∨ · · · ∨ Br ) = A, (A ∧ B1 ) ∨ · · · ∨ (A ∧ Br ) = A Vì Bi nguyên tử nên A ∧ Bi = Bi Không phải tất phần tử A ∧ Bi 0, điều suy A = Do tồn i với ≤ i ≤ r để A ∧ B j = B j Nhưng A nguyên tử, A = A ∧ B j = B j Chiều ngược lại hiển nhiên Bổ đề 3.5.2 Nếu Z phần tử khác khơng đại số Boole hữu hạn tồn nguyên tử B với B ≤ Z f15 f3 f13 f11 f7 f9 f5 f1 f14 f10 f6 f2 f4 f12 f8 f0 Hình 3.14 Sơ đồ tập đại số Boole hàm chuyển mạch 2-biến Chứng minh Nếu Z nguyên tử, lấy B = Z Nếu khơng từ định nghĩa ngun tử suy tồn phần tử khác không Z1 khác Z với Z1 ≤ Z 31 Nếu Z1 khơng phải ngun tử, ta tiếp tục theo cách để thu chuỗi phần tử khác không riêng biệt · · · ≤ Z3 ≤ Z2 ≤ Z1 ≤ Z Vì đại số Boole hữu hạn nên chuỗi phải kết thúc nguyên tử B Bổ đề 3.5.3 Nếu B1 , , Bn tất nguyên tử đại số Boole hữu hạn Y = Y ∧ Bi = với ≤ i ≤ n Chứng minh Giả sử Y ∧ Bi = với i Nếu Y khác khơng, từ Bổ đề 3.5.2 suy có nguyên tử B j với B j ≤ Y Do B j = Y ∧ B j = 0, điều mâu thuẫn, Y = Chiều ngược lại hiển nhiên Định lý 3.5.2 (Dạng chuẩn tuyển) Mỗi phần tử X đại số Boole hữu hạn viết dạng hợp nguyên tử X = Bα ∨ Bβ ∨ · · · ∨ Bω Hơn nữa, biểu thức sai khác thứ tự nguyên tử Chứng minh Giả sử Bα ∨ Bβ ∨ · · · ∨ Bω tất nguyên tử nhỏ X theo thứ tự phận Từ Mệnh đề 3.4.3 iii) suy hợp Y = Bα ∨ Bβ ∨ · · · ∨ Bω ≤ X Chúng ta X ∧Y ′ = 0, mà theo Mệnh đề 3.4.3 iv) tương đương với X ≤ Y Ta có ′ X ∧Y ′ = X ∧ Bα′ ∧ · · · ∧ Bω Nếu B nguyên tử hợp Y ta đặt B = Bα , suy X ∧Y ′ ∧ B = 0, B′α ∧ Bα = Nếu B nguyên tử mà không thuộc hợp Y , X ∧Y ′ ∧ B = X ∧ B = Vì , theo Bổ đề 3.5.2 X ∧Y ′ = 0, điều tương đương với X ≤ Y Tính phản đối xứng quan hệ thứ tự phận suy X = Y Để nhất, giả sử X viết hợp hai tập hợp nguyên tử X = Bα ∨ · · · ∨ Bω = Ba ∨ · · · ∨ Bz Bây Bα ≤ X, theo Bổ đề 3.5.1, Bα nguyên tử vế phải Ba Bz Lặp lại lập luận này, ta thấy hai tập hợp nguyên tử không kể thứ tự chúng Trong đại số Boole hàm mạch n-biến, nguyên tử thể biểu thức có dạng Aα1 ∧A2α2 ∧· · ·∧Aαn n , αi′ Aiαi = A 32 αi = 1, Aαi i = A′ αi = Biểu thức Aα1 ∧ Aα2 ∧ · · · ∧ Aαn n bị chứa dạng chuẩn tuyển hàm f f (α1 , α2 , , αn ) = Do có nguyên tử dạng chuẩn tuyển lần phần tử xuất ảnh hàm chuyển mạch Ví dụ 3.5.2 Tìm dạng chuẩn tuyển biểu thức (B ∨ (A ∧C)) ∧ ((A ∨C) ∧ B)′ , kiểm tra kết cách sử dụng tiên đề để rút gọn biểu thức dạng Lời giải Từ giá trị hàm chuyển mạch Bảng 3.10 ta thấy dạng chuẩn tuyển (A′ ∧ B ∧C′ ) ∨ (A ∧ B′ ∧C) Bảng 3.10 Hàm chuyển mạch (B ∨ (A ∧C)) ∧ ((A ∨C) ∧ B)′ A B C 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 Từ tiên đề ta có (B ∨ (A ∧C)) ∧ ((A ∨C) ∧ B)′ =(B ∨ (A ∧C)) ∧ ((A′ ∧C′ ) ∨ B′ ) =((B ∨ (A ∧C)) ∧ (A′ ∧C′ )) ∨ ((B ∨ (A ∧C)) ∧ B′ ) =(B ∧ A′ ∧C′ ) ∨ (A ∧C ∧ A′ ∧C′ ) ∨ (B ∧ B′ ) ∨ (A ∧C ∧ B′ ) =(A′ ∧ B ∧C′ ) ∨ ∨ ∨ (A ∧ B′ ∧C) =(A′ ∧ B ∧C′ ) ∨ (A ∧ B′ ∧C) Ví dụ 3.5.3 Xác định xem biểu thức biểu thức sau: (A ∨ B) ∧ B′ , (A ∨ B) ∧ (A ∧ B)′ (A ∧ B)′ ∧ (A ∧ B′ ) tương đương 33 Bảng 3.11 Hàm chuyển mạch A B (A ∨ B) ∧ B′ (A ∨ B) ∧ (A ∧ B)′ (A ∧ B)′ ∧ (A ∧ B)′ 0 0 0 1 1 1 1 0 Lời giải Từ Bảng 3.11 ta thấy (A ∨ B) ∧ B′ = (A ∧ B)′ ∧ (A ∧ B′ ) biểu thức A ∧ B′ Các nguyên tử đại số Boole F2 biểu thị biểu thức A′ ∧ B′ , A′ ∧ B, A ∧ B′ A ∧ B Các nguyên tử chia biểu đồ Venn Hình 3.15 thành bốn miền phân biệt Dạng chuẩn tuyển biểu thức Boole liên quan đến biến A B tính cách tơ đậm miền biểu đồ Venn tương ứng với biểu thức sau lấy hợp nguyên tử miền tơ đậm Hình 3.16 minh họa tám miền biểu đồ Venn cho ba biến B A A ∧ B′ A′ ∧ B A∧B A′ ∧ B′ Hình 3.15 Sơ đồ Venn cho F2 B A A ∧ B′ ∧C′ A ∧ B ∧C′ A′ ∧ B ∧C′ A ∧ B ∧C A ∧ B′ ∧C A′ ∧ B ∧C A′ ∧ B′ ∧C A′ ∧ B′ ∧C′ Hình 3.16 Sơ đồ Venn cho F2 34 C Ví dụ 3.5.4 Tìm dạng chuẩn tuyển đơn giản hóa sơ đồ Hình 3.17 Lời giải Sơ đồ biểu diễn biểu thức đại số Boole f = A ∨ ((B′ ∨C) ∧ (A ∨ B ∨C)) Hàm Boole f : {0, 1}3 → {0, 1} mà biểu thức xác định cho Bảng 3.12 Bảng 3.12 Hàm chuyển mạch A B C f 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Từ suy dạng chuẩn tuyển là: (A′ ∧B′ ∧C)∨(A′ ∧B∧C)∨(A∧B′ ∧C′ )∨(A∧B′ ∧C)∨(A∧B∧C′ )∨(A∧B∧C) Dạng chắn không đơn giản dạng ban đầu Tuy nhiên, cách nhìn vào biểu đồ Venn Hình 3.18 ta thấy biểu thức tương đương với A ∨C Do sơ đồ tương đương đơn giản cho Hình 3.18 A A B′ B C C Hình 3.17 Sơ đồ mạch nối tiếp - song song 35 B A A C C Hình 3.18 Sơ đồ Venn sơ đồ đơn giản hóa 3.6 Định lý biểu diễn Đại số Boole tổng quát hóa khái niệm đại số tập hợp Tuy nhiên, ta đại số Boole hữu hạn chất giống với đại số tập tập hữu hạn Để thấy rõ điều này, ta đưa khái niệm đồng cấu đẳng cấu đại số Boole Một đồng cấu hai đại số Boole hàm tập phần tử chúng bảo toàn hai phép tốn hai ngơi phép tốn ngơi Một cách xác hơn, (K, ∧, ∨,′ ) (L, ∩, ∪, −) hai đại số Boole hàm f : K → L gọi đồng cấu đại số Boole điều kiện sau với A, B ∈ K: i) f (A ∧ B) = f (A) ∩ f (B), ii) f (A ∨ B) = f (A) ∪ f (B), iii) f (A′ ) = f (A) Một đẳng cấu đại số Boole đồng cấu đại số Boole song ánh Các đại số Boole đẳng cấu với có tính chất Chẳng hạn, sơ đồ tập chúng nhau, không kể cách ký hiệu phần tử Hơn nữa, nguyên tử đại số tương ứng với nguyên tử đại số đẳng cấu với Nếu ta tìm đẳng cấu đại số Boole K đại số tập nguyên tử K phải tương ứng với phần tử riêng lẻ đại số tập hợp Điều gợi ý cho ta cố gắng để xác định đẳng 36 cấu từ K vào đại số tập tập A nguyên tử K Định lý sau K hữu hạn ta xây dựng đẳng cấu Định lý 3.6.1 (Định lý biểu diễn đại số Boole hữu hạn) Giả sử A tập hợp nguyên tử đại số Boole hữu hạn (K, ∧, ∨,′ ) Khi tồn đẳng cấu đại số Boole (K, ∧, ∨,′ ) đại số tập (P(A), ∩, ∪, − ) Chứng minh Ta có tương ứng tự nhiên nguyên tử K nguyên tử P(A) Ta sử dụng dạng chuẩn tuyển (Định lý 3.5.2) để mở rộng tương ứng lên tất phần tử K Do dạng chuẩn tuyển nên phần tử K viết dạng hợp nguyên tử K, chẳng hạn Bα ∨ · · · ∨ Bω Ta xác định hàm f : K → P(A) bởi: f (Bα ∨ · · · ∨ Bω ) = {Bα } ∪ · · · ∪ {Bω } Sự dạng chuẩn tuyển suy phần tử K có ảnh P(A) f song ánh Ta phải f đồng cấu đại số Boole Nếu X Y hai phần tử K, nguyên tử dạng chuẩn tuyển X ∨Y X ∧Y nguyên tử chung dạng X Y nguyên tử chung dạng X Y Vì thế, f (X ∨Y ) = f (X) ∪ f (Y ), f (X ∧Y ) = f (X) ∩ f (Y ) Một nguyên tử B thuộc dạng chuẩn tuyển X ′ B ≤ X ′ , mà theo Mệnh đề 3.4.3iv), điều xảy B ∧ X = Vì thế, nguyên tử thuộc X ′ tất nguyên tử mà không thuộc X f (X ′ ) = f (X) Điều chứng tỏ f đẳng cấu đại số Boole Hệ 3.6.1 Nếu (K, ∧, ∨,′ ) đại số Boole hữu hạn, K có 2n phần tử, n số nguyên tử K Xem Định lý biểu diễn 3.6.1 áp dụng cho đại số Boole D110 bao gồm ước 110 Các nguyên tử đại số ước số nguyên tố 2, 11 Định lý biểu diễn 3.6.1 xác định đại số Boole đẳng cấu với đại số tập {2, 5, 11} Phép đẳng cấu f biến số thành tập bao gồm ước ngun tố số Ví dụ: f (11) = {11} f (10) = {2, 5} Ví dụ 3.6.1 Các ước 12 có tạo thành đại số Boole với phép toán gcd lcm không? 37 Lời giải Tập ước 12 {1, 2, 3, 4, 6, 12} Vì số phần tử lũy thừa nên khơng tạo thành đại số Boole Ví dụ 3.6.2 Các ước 24 có tạo thành đại số Boole với phép tốn gcd lcm khơng? Lời giải Ta có = 23 ước 24, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 24 Tuy nhiên, sơ đồ tập Hình 3.19 nguyên tử Do đó, theo hệ khơng thể đại số Boole khơng phải tập có 22 = phần tử 24 12 Hình 3.19 Sơ đồ tập ước 24 Chú ý đại số Boole vô hạn không thiết đẳng cấu đại số tất tập tập hợp, đẳng cấu với đại số tập tập hợp Kết biết đến với tên gọi Định lý biểu diễn Stone, song ta khơng trình bày 38 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết mà tác giả đạt trình nghiên cứu đại số Boole số ứng dụng là: Trình bày cách có hệ thống chi tiết kiến thức đại số Boole, bao gồm: khái niệm, ví dụ minh họa, tính chất, phép toán, đại số Boole Giới thiệu số ứng dụng thực tiễn đại số Boole, đưa bảng chân trị để xác định tính sai đối tượng thực tế, ứng dụng đại số Boole để phân tích số sơ đồ chuyển mạch, hay mô tả đại số Boole qua ước số, đưa điều kiện để đảm bảo tập đại số Boole, hay đưa định nghĩa khác đại số Boole dựa vào dàn, 39 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, Việt Nam [3] Nguyễn Anh Tuấn (2007), Giáo trình Logic toán lịch sử toán học, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm, Việt Nam [B] Tài liệu tiếng Anh [4] A John Wiley Sons (2004), Inc Modern Algebra With Applications, University of Calgary 40