Luận văn tích phân và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— TRẦN THỊ BÍCH TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng THANH HÓA, 2021 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Phản biện 1: PGS TS Vũ Trọng Lưỡng Phản biện 2: TS Phạm Thị Cúc Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào hồi: 07 45 ngày 15 tháng năm 2021 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, mơn Giải tích & PPGD Tốn - trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình học phổ thơng Tốn học mơn học quan trọng có thời lượng nhiều Tốn môn khoa học gắn liền với đời sống thực tiễn, việc lồng ghép tốn từ hoạt động thực tiễn vào trình dạy học tạo điều kiện cho việc học hành gắn liền với thực tế "học đôi với hành" Từ giúp học sinh hình thành phát triển lực tốn học, có kỹ vận dụng kiến thức học vào giải vấn đề đời sống mà gặp hàng ngày Ở trường phổ thơng, "Dạy tốn dạy hoạt động tốn học " Học sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho thân, hoạt động giải tập Toán hoạt động quan trọng mục đích mà học sinh cần hướng tới Tuy nhiên đứng trước vấn đề lạ việc vận dụng kiến thức, kỹ sử dụng để giải câu hỏi lớn mà việc trả lời câu hỏi mấu chốt việc giải vấn đề Thực tiễn cho thấy, dạng tốn trường phổ thơng phong phú, đa dạng Có tốn có thuật giải, phần lớn dạng toán chưa khơng có thuật giải thống chương trình phổ thơng Chun đề tích phân ứng dụng nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn bậc trung học phổ thơng (THPT), thường gặp đề thi THPT quốc gia, tuyển sinh đại học kỳ thi học sinh giỏi cấp Đây chuyên đề hay tương đối khó học sinh THPT Nhằm giúp người đọc có nhìn rõ ràng chuyên đề vận dụng vào giải vấn đề thực tế đời sống Tơi chọn đề tài "Tích phân số ứng dụng" để nghiên cứu với mong muốn góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học chun đề tích phân ứng dụng nói riêng mơn Tốn học trường THPT giai đoạn Mục đích đề tài Trên sở nghiên cứu lý luận thực trạng việc dạy học nguyên hàm tích phân, giúp thầy trị có nhìn rộng hơn, sâu nguyên hàm tích phân bậc học phổ thơng Vận dụng chúng vào tốn cụ thể tổng quát hóa Tổng hợp dạng nguyên hàm, dạng tích phân, từ đưa phương pháp giải phù hợp cho dạng, lấy ví dụ để vận dụng cho dạng cụ thể Ứng dụng tích phân vào việc tính diện tích, tính thể tích vật thể đời sống thực tiễn, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình tốn thực tế liên mơn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu nguyên hàm, tích phân tốn có đời sống thực tiễn mà vận dụng tích phân vào để giải Nhiệm vụ đề tài Tổng hợp phân loại dạng nguyên hàm tích phân Từ tìm tịi, khai thác cách dạy học hiệu từ việc vận dụng dạng tập vào giải toán liên quan mức độ cao học sinh khá, giỏi trường THPT Tìm hiểu nội dung tích phân, từ thiết kế hệ thống tập, cách sử dụng tốn tích phân cho để vận dụng tích phân vào giải tốn thực tiễn, hình thành kỹ cho học sinh THPT gặp dạng tương tự Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp thống kê - Phương pháp phân tích hệ thống hóa nội dung kiến thức cần thiết tài liệu có liên quan đến đề tài sách, tiểu luận khoa học, báo chí, internet nhiều tài liệu khác - Phương pháp vận dụng dạng toán liên quan vào dạy học cụ thể Dự kiến đóng góp đề tài - Về mặt lí luận: Góp phần hệ thống hóa tính chất, tập nguyên hàm, tích phân, qua phát triển kỹ vận dụng tích phân vào giải toán thực tiễn nhằm phát triển tư cho học sinh THPT trình học tốn - Về mặt thực tiễn: Góp phần hệ thống hóa dạng tập ngun hàm tích phân, từ phát triển kỹ giải tốn, khơi gợi hứng thú học tập sáng tạo cho học sinh trường THPT Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo, luận văn trình bày chương: Chương Ngun hàm tích phân Trình bày hệ thống khái niệm, định nghĩa tính chất ngun hàm tích phân Trình bày phương pháp tính nguyên hàm, tích phân, tích phân hàm ẩn Chương Ứng dụng tích phân Trình bày ứng dụng tích phân tính diện tích, tính thể tích, chứng minh bất đăng thức, ứng dụng tích phân giải phương trình, tính giới hạn tốn ứng dụng thực tế liên mơn CHƯƠNG NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.1 Nguyên hàm 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 1.1.2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa bảng nguyên hàm  Z  x x 3x + + e + − dx Bài tốn 1.1.1 Tính ngun hàm I = x Z Bài tốn 1.1.2 Tìm ngun hàm I = (sin x + cos x)dx 1.1.2.2 Phương pháp vi phân thích hợp Sử dụng biến đổi f ′ (x)dx = d(f (x)) Bài tốn 1.1.3 Tìm ngun hàm Z 2x + a) I1 = dx; x2 + 7x + Z b) I2 = 2x(x2 + 1)8 dx; Bài tốn 1.1.4 Tìm ngun hàm Z a) I6 = cos 5xdx; b) I7 = Z sin x cos xdx; c) I3 = Z 2xex d) I4 = Z (3x2 + 1)2x c) I8 = Z dx ; sin x d) I9 = Z dx cos4 x +3 dx; +x dx Bài toán 1.1.5 Tìm hàm số f (x) thỏa mãn f ′ (x) = x + sin x f (0) = 1.1.2.3 Phương pháp đổi biến số Đặt biến phụ x = ϕ(t), ϕ(t) hàm khả vi, đơn điệu biến t Khi Z Z f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ′ (t)dt Z Bài toán 1.1.6 Tìm nguyên hàm I = x(x + 1)5 dx Z dx Bài tốn 1.1.7 Tìm ngun hàm I = (1 + x2 )x Bài tốn 1.1.8 Tìm ngun hàm I = Z √ x + x2 dx Bài tốn 1.1.9 Tìm ngun hàm I = Z sin 2x p dx + sin x Z Bài tốn 1.1.10 Tìm ngun hàm I = sin2 2x cos3 2xdx Z dx Bài tốn 1.1.11 ([1]) Tìm ngun hàm I = x ln5 x Z e3x dx Bài tốn 1.1.12 ([1]) Tìm ngun hàm I = e2x + 1.1.2.4 Phương pháp nguyên hàm phần Nhận xét 1.1.13 Giả sử u = u(x); v = v(x) có đạo hàm liên tục miền bị chặn D Ta có Z Z Z d(uv) = udv + vdu ⇔ d(uv) = udv + vdu Z Z ⇔ uv = udv + vdu Z Z ⇒ udv = uv − vdu Chú ý 1.1.14 • Để sử dụng phương pháp ngun hàm phần thơng thường hàm số dấu nguyên hàm thường tích hai loại hàm số khác nhau, Khi đó, ta đưa nguyên hàm phức tạp nguyên hàm đơn giản • Cần Z chọn u, dv cho Z du đơn giản dễ dàng tính v đồng thời nguyên hàm vdu đơn giản udv • Một số dạng cách chọn u, dv Nguyên hàm u dv p(x) sin(ax + b)dx p(x) sin(ax + b)dx p(x) cos(ax + b)dx Z p(x)max+b dx p(x) cos(ax + b)dx p(x) max+b dx p(x) ln(ax + b)dx ln(ax + b) p(x)dx xk sin(loga x)dx sin(loga x) xk dx max+b sin(αx + β)dx max+b sin(αx + β)dx max+b cos(αx + β)dx max+b cos(αx + β)dx Z Z Z Z Z Z Bài tốn 1.1.15 Tính I = Bài tốn Bài tốn Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán 1.1.3 1.1.3.1 Z x sin 2xdx Z x dx 1.1.16 ([1]) Tính I = 2x cos Z 1.1.17 Tính I = (x + 3)e−2x dx Z 1.1.18 Tính I = x ln(x + 2)dx Z 1.1.19 ([1]) Tính I = ex ln(ex + 1)dx Z ln(sin x) 1.1.20 Tính I = dx 2x cos Z 1.1.21 ([1]) Tính I = sin x ln(cos x)dx Z x arctan e dx 1.1.22 ([1]) Tính I = x e (1 + ex ) Nguyên hàm số hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ Trong phần này, ta xét phân thức P (x) với deg P (x) < deg Q(x), với phân Q(x) thức có dạng A Bx + C Bx + C A ; ; ; x − a (x − a)k x2 + px + q (x2 + px + q)k (1.1) (ở ∆ = p2 − 4q < 0; k ∈ N) P (x) Khi phân tích thành tổng phân thức Q(x) (1.1) Hơn nữa, ta sử dụng nguyên hàm sau Z dx a) = ln |x − a| + C x−a Z dx x b) = arctan + C x2 + a2 |a| a   Z B Bp x+m Bx + C dx = ln |x + px + q| + C − arctan c) x + px + q 2 n n Z 2x2 − 5x − Bài tốn 1.1.23 Tìm I = dx x3 + x2 − 2x Z 3x2 + 3x + Bài tốn 1.1.24 Tìm I = dx x3 − 3x + 4x2 + x − dx 3x3 − 5x2 + 7x − Z xdx Bài tốn 1.1.26 ([4]) Tìm I = x4 − 2x2 − Z x4 dx Bài tốn 1.1.27 ([4]) Tìm I = dx (x2 − 1)3 Bài tốn 1.1.25 ([1]) Tìm I = 1.1.3.2 Z Nguyên hàm hàm số vô tỷ Một số hàm vô tỷ thường gặp sau: Z a) I = xm (a + bxn )p dx, với m, n, p ∈ Q Khi • Nếu p ∈ Z ta gọi k mẫu số chung nhỏ phân số tối giản biểu thị m, n đặt x = tk m+1 ∈ Z gọi s mẫu số chung p đặt a + bxn = ts • Nếu n a + bx m+1 + p ∈ Z gọi s mẫu số p đặt = ts • Nếu n xn Z m r b) I = R(x, x n , x s )dx R(u, v, w) hàm phân tích hữu tỉ biến số u, v, w, m, n, r, s số nguyên dương Giả sử k bội chung nhỏ số n, s Khi r1 m m1 r = , = n k s k Đặt x = tk ta có Z Z Z m r k m r k−1 i I = R(x, x n , x s )dx = R(t , t , t )kt dt = R1 (t)dt R1 (t) hàm phân thức hữu tỷ theo t   Z  ax + b  rs  ax + b  mn c) I = R x; dx m; n; r; s số nguyên , , cx + d cx + d dương, a, b, c, d số Gọi k bội số chung nhỏ bội số {n, s} ax + b đặt tk = sau số phép biến đổi sơ cấp ta thu cx + d   Z Z  ax + b  rs  ax + b  mn dx = R1 (t)dt , , I = R x; cx + d cx + d R1 (t) hàm phân thức hữu tỉ t d) Nguyên hàm hàm vơ tỷ phương pháp lượng giác hóa Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài hàm Đổi biến số Điều kiện biến số ZDạng nguyên p π π f (x, a2 − x2 )dx x = a sin t t ∈ [− , ] 2 Z p 3π a π f (x, x2 − a2 )dx x= t ∈ [0; ) ∪ [π; ] cos t 2 Z √ π f (x, a2 + x2 )dx x = a tan t t ∈ [0; ) r Z a+x π )dx f (x, x = a cos 2t t ∈ (0; ) a−x Z q π t ∈ [0; ] f (x, (x − a)(b − x))dx x = a + (b − a) sin2 t √ Z √ x− 8x √ dx toán 1.1.28 ([1]) Tìm nguyên hàm I = x( x + 1) Z dx p tốn 1.1.29 Tính ngun hàm (x − 1)(x + 1)2 Z dx √ tốn 1.1.30 ([4]) Tính ngun hàm I = x2 − 5x + Z p (1 − x2 )3 dx tốn 1.1.31 ([2]) Tìm ngun hàm I = x Z p tốn 1.1.32 ([2]) Tìm ngun hàm I = (3 − x ) − x2 dx Z √ x − a2 dx toán 1.1.33 ([2]) Tìm nguyên hàm I = x Z dx √ tốn 1.1.34 ([1]) Tìm ngun hàm I = x a2 + x 1.1.3.3 Nguyên hàm hàm lượng giác Z Z n Dạng A1 = sin xdx, A2 = cosn xdx • Nếu n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc • Nếu n = sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi • Nếu n lẻ (n ⩾ 3) ta thực biến đổi Z Z Z n 2p A1 = (sin x) dx = (sin x) sin xdx = − (1 − cos2 x)p d(cos x) Z Z Z m 2p A2 = (cos x) dx = (cos x) cos xdx = (1 − sin2 x)p d(sin x) Dạng B = Z sinm x cosn xdx(n, m ∈ N ) Trường hợp 1: n, m số nguyên • Nếu m chẵn, n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng • Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) biến đổi Z Z m 2p+1 B = (sin x) (cos x) dx = (sin x)m (cos x)2p cos xdx Z = (sin x)m (1 − sin2 x)p d(sin x) • Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn biến đổi Z Z 2p+1 n B = (sin x) (cos x) dx = (1 − cos2 x)p (cos x)n sin xdx Z = (1 − cos2 x)p (cos x)n d(cos x) • Nếu m lẻ, n lẻ sử dụng biến đổi cho số lẻ bé Trường hợp 2: m, n số hữu tỉ biến đổi đặt u = sin x ta Z Z n−1 m n B = (sin x) (cos x) dx = um (1 − u2 ) du Dạng C1 = Z tann xdx; C2 = Z cotn xdx (n ∈ N) Ta biến đổi sử dụng công thức nguyên hàm sau: Z Z Z dx = d(tan x) = tan x + C • (1 + tan x)dx = cos2 x Z Z Z dx • (1 + cot x)dx = = − d(cot x) = − cot x + C sin2 x Z Z Z sin x d(cos x) • tan xdx = dx = − = − ln | cos x| + C cos x cos x Z Z Z d(sin x) cos x dx = = ln | sin x| + C • cot xdx = sin x sin x Z Z tanm x cotm x Dạng D1 = dx, D2 = dx (m, n ∈ N) cosn x sinn x • Nếu n chẵn (n = 2k) biến đổi  k−1 Z Z dx tanm x m dx = tan x D1 = 2k cos x cos x cos2 x Z = tanm x(1 + tan2 x)k−1 d(tan x) b f (x)dx = f (x) = f (b) − f (a) ′ f (x)dx = a Zb a f (t)dt = Zb f (u)du a 10   Bài toán 1.2.6 Cho hàm số f (x) xác định R \ thỏa mãn f ′ (x) = , f (0) = 2x − Tính giá trị biểu thức f (−1) + f (3) Bài toán 1.2.7 Cho f (x) xác định liên tục trên R thỏa mãn f (x)f ′ (x) = 12x + 13, f (0) = Phương trình f (x) = có nghiệm? Z9 h Z0 Z9 2f (x) + g(x)dx = 16 Tính I = f (x)dx = 37 Bài toán 1.2.8 Giả sử i 3g(x) dx Bài toán 1.2.9 ([6]) Cho hàm số f (x) liên tục [0; 10] thỏa mãn Z10 f (x)dx = Z6 f (x)dx = Tính P = Z2 f (x)dx + f (x)dx Z10 Bài toán 1.2.10 ([7]) Cho y = f (x), y = g(x)là hàm số có đạo hàm liên tục Z2 Z2 Z2 [0; 2] thỏa mãn g(x)f ′ (x)dx = 2, g ′ (x)f (x)dx = Tính I = [f (x)g(x)]′ dx 0 Bài toán 1.2.11 Cho hàm số f (x) ̸= thỏa mãn điều kiện f ′ (x) = (2x + 3)f (x) f (0) = − Tính tổng A = f (1) + f (2) + · · · + f (2017) + f (2018) Bài toán 1.2.12 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R \ {0} thỏa mãn x2 f (x) + (2x − 1)f (x) = xf ′ (x) − 1, ∀x ∈ R \ {0} f (1) = −2 Tính I = Z2 f (x)dx 1.2.7.2 Tích phân hàm ẩn áp dụng đổi biến Chú ý 1.2.13 • Khi gặp tích phân dạng t = u(x) Rb f (u(x))u′ (x)dx ta dùng phương pháp đổi biến a • Khi đề yêu cầu tính tích phân hàm f (x) biết g(f (x), f (a − x)) = h(x) (với h(x) hàm cho trước) ta đổi biến t = a − x 11 Bài toán 1.2.14 Cho Z2 f (x2 + 1)xdx = Tính Z5 f (x)dx Bài toán 1.2.15 ([6]) Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn Z7 f (x)dx = Tính I = Z2 h i f (1 + 3x) + dx π Bài toán 1.2.16 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn Tính K = cos xf (sin x)dx = π Z Z2 sin xf (cos x)dx Bài toán 1.2.17 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn Z16 π R f (sin x) cos xdx = Tính I = Z4 √ f ( x) √ dx = x f (x)dx Bài toán 1.2.18 ([7]) Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2x + 1)dx = 12 π Z Z1 f (sin2 x) sin 2xdx = Tính Z3 f (x)dx 0 Bài tốn 1.2.19 Cho hàm số f (x) liên tục [0; 1] thỏa mãn điều kiện p 4xf (x2 ) + 3f (x − 1) = − x2 , ∀x ∈ [0, 1] Tính I = Z1 f (x)dx x3 = Bài toán 1.2.20 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) − 8x f (x ) + √ x2 + Z1 Tính I = f (x)dx Chú ý 1.2.21 Nếu cho hàm số y = f (x) thỏa mãn g[f (x)] = x g(t) hàm đơn Rb điệu (luôn đồng biến nghịch biến) R Yêu cầu tính tích phân I = f (x)dx a 12 Khi ta đặt y = f (x) ⇒ x = g(y) ⇒ dx = g ′ (y)dy Đổi cận • x = a ⇒ g(y) = a ⇔ y = α • x = b ⇒ g(y) = b ⇔ y = β Suy I = Zb f (x)dx = a Zβ yg(y)dy α Bài toán 1.2.22 Cho hàm số y = f (x) liên tục R thỏa mãn f (x) + f (x) = Z2 x, ∀x ∈ R Tính f (x)dx Bài toán 1.2.23 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn 2f (x) − 3f (x) + 6f (x) = x, ∀x ∈ R Tính Z5 f (x)dx 1.2.7.3 Tích phân hàm ẩn phương pháp phần Khi đề cho Rb f (x)dx yêu cầu tính Rb g(x)f ′ (x)dx (với g(x) biểu thức cho a a trước) ngược lại ta biến đổi Rb g(x)f ′ (x)dx cách dùng phương pháp a phần, đặt u = g(x) dv = f (x)dx ′ Bài toán 1.2.24 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′ (x) liên tục [0; 2], f (2) = 3, Z2 Z2 f (x)dx = Tính xf ′ (x)dx 0 Bài toán 1.2.25 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) = f (1) = Giả sử Z1 x h ′ i e f (x) + f (x) dx = ae + b Tính Q = a2020 + b2021 πi Bài tốn 1.2.26 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục 0; thỏa mãn π π π Z4 Z4 h Z4 i π  f (x) = 3; dx = sin x tan xf (x) dx = Tính sin xf ′ (x)dx f cos x h 0 13 Bài tốn 1.2.27 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai f ′′ (x) liên tục đoạn [0; 1] R1 ′′ ′ thỏa mãn f (1) = f (0) = 1, f (0) = −2021 Tính I = f (x)(1 − x)dx 1.2.7.4 Tích phân hàm ẩn phối hợp phương pháp đổi biến phương pháp phần Dạng 1: Khi đề cho biểu thức cho trước) Zb f (x)dx yêu cầu tính a • Bước 1: Ta biến đổi Zd g(x)f ′ (u(x))dx (với g(x) c Zd g(x)f ′ (u(x))dx cách dùng phương pháp phần c Cụ thể, ta đặt u = g(x) dv = f ′ (u(x))dx để biến đổi Zd g(x)f ′ (u(x))dx theo c Zd f (u(x))dx c • Bước 2: Sau dùng phương pháp đổi biến t = u(x) để biến đổi Zd f (u(x))dx c theo Zb f (t)dt a Zb f (u(x))dx yêu cầu tính Zb f (u(x))dx cách dùng phương pháp đổi biến t = u(x) Dạng 2: Khi đề cho biểu thức cho trước) • Bước 1: Ta biến đổi a Zd g(x)f ′ (u(x))dx (với g(x) c a để biến đổi Zb a f (u(x))dx theo Zd f (t)dt c • Bước 2: Sau dùng phương pháp tích phân phần Cụ thể, ta đặt u = Zd Zd g(x), dv = f ′ (x)dx để biến đổi g(x)f ′ (x)dx theo f (x)dx c c 14 Bài toán 1.2.28 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa mãn f (2) = 16 Z2 f (x)dx = Tính I = Z4 xf ′ x dx Bài toán 1.2.29 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn Z0 Z2 f (−2) = 1, f (2x − 4)dx = Tính xf ′ (x)dx −2 Bài tốn 1.2.30 Cho y = f (x) hàm số chẵn, liên tục R Biết rằng, đồ thị hàm   Z0 Z2 số y = f (x) qua điểm M − ; f (t)dt = Tính sin 2x.f ′ (sin x)dx 15 − π6 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2.1 2.1.1 Các tốn diện tích Diện tích hình phẳng Trước hết, ta nhắc lại số kết sau: a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) liên tục [a; b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b xác định công thức S = Zb |f (x)|dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) liên tục [a; b] hai đường thẳng x = a, x = b xác định công thức S = Zb |f (x) − g(x)|dx a c) Nếu [a; b] hàm số f (x) không đổi dấu b Z Zb |f (x)|dx =