Luận văn tích phân của hàm với giá trị trong không gian banach có thứ tự

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Quỳnh Anh TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Khắc Quỳnh Anh TÍCH PHÂN CỦA HÀM VỚI GIÁ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất thầy cô cán trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt để tơi học tập, từ có kiến thức, kỹ cho thân hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô trực tiếp giảng dạy, người truyền đạt cho kiến thức, đặc biệt kiến thức chuyên ngành Toán giải tích Những kiến thức hành trang lớn q báu để tơi tiếp tục hành trình đời Đặc biệt, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Đình Thanh, thầy trực tiếp hướng dẫn, định hướng, giải đáp thắc mắc, bổ trợ kiến thức, … giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Bích Huy, thầy trực tiếp giảng dạy, hỗ trợ kiến thức chuyên ngành Độ đo Tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến Đây kiến thức tảng, liên quan trực tiếp đến luận văn tơi Gia đình bạn bè nhân tố khơng thể thiếu giúp tơi hồn tất cơng việc Gia đình tạo cho tơi khơng gian học tập thật tốt Bạn bè giúp đỡ, động viên lúc tơi gặp khó khăn Xin cảm ơn người thân yêu! Cuối cùng, xin gởi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất thầy cô, gia đình bạn bè MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CĨ GIÁ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH 1.1 Kiến thức mở đầu 1.1.1 σ − đại số, độ đo dương .8 1.1.2 Định lý Pettis 1.1.3 Nửa chuẩn 1.1.4 Hàm thực chất bị chặn 1.1.5 Bổ đề Fatou 1.1.6 Topo yếu σ ( E, E * ) 10 1.1.7 Nón thứ tự sinh nón .11 1.2 Hàm đo có giá trị vectơ 12 Bổ đề 1.2.1 13 Mệnh đề 1.2.2 15 1.3 Tích phân hàm có giá trị vectơ 16 1.3.1 Tích phân hàm vectơ 16 1.3.2 Nón thứ tự sinh nón .18 Bổ đề 1.3.1 19 Mệnh đề 1.3.2 19 Hệ 1.3.3 21 Mệnh đề 1.3.4 (Định lý hội tụ yếu đơn điệu) 23 1.4 Tích phân Henstock – Lebesgue (HL – tích phân) 25 1.4.1 K − phân hoạch 25 1.4.2 HL – khả tích 26 1.4.3 Tích phân Henstock – Kurzweil .27 1.4.4 Ví dụ hàm HL – khả tích 27 1.4.5 Tính chất 29 Bổ đề 1.4.1 31 Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Saks – Henstock) .32 Mệnh đề 1.4.3 32 Mệnh đề 1.4.4 32 1.5 Tích phân đạo hàm hàm có giá trị vectơ 33 1.5.1 Hàm có biến phân bị chặn hàm liên tục tuyệt đối .33 Bổ đề 1.5.1 35 Định lý 1.5.2 35 Hệ 42 Hệ 42 Hệ 43 Hệ 43 1.5.2 Nguyên hàm .45 Định lý 1.5.3 46 Định lý 1.5.4 46 Hệ .51 CHƯƠNG 2: HL – TÍCH PHÂN CỦA HÀM CĨ GIÁ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ 52 2.1 Các tính chất thứ tự HL – tích phân 52 Bổ đề 2.1.1 52 Bổ đề 2.1.2 56 Mệnh đề 2.1.3 59 Mệnh đề 2.1.4 60 Mệnh đề 2.1.5 61 2.2 Các định lý qua giới hạn 62 Định lý 2.2.1 (Định lý hội tụ bị trội cho hàm HL – khả tích) 62 Định lý 2.2.2 (Định lý hội tụ đơn điệu cho hàm HL – khả tích) 66 2.3 Khơng gian định chuẩn có thứ tự hàm HL – khả tích 67 Bổ đề 2.3.1 68 Định lý 2.3.2 70 KẾT LUẬN .73 TÀI LIỆU THAM KHẢO .74 MỞ ĐẦU “Tích phân hàm có giá trị khơng gian Banach có thứ tự” đề tài thực dựa ý tưởng mở rộng tự nhiên tích phân hàm nhận giá trị  lên tích phân hàm nhận giá trị không gian Banach Việc trang bị thứ tự cho khơng gian Banach góp phần làm xuất thêm nhiều tính chất giống với tính chất hàm nhận giá trị  , làm bật lên hay, tính chặt chẽ lý thuyết xây dựng với hệ thống khái niệm, định lý, mệnh đề, hệ cho thấy rõ ý tưởng Đề tài gồm hai chương Chương đầu trình bày hai loại tích phân xây dựng theo hai cách khác nhau, tính chất loại mối liên hệ hai loại tích phân Tích phân Bochner có cách xây dựng giống với tích phân Lebesgue cho hàm nhận giá trị  , bắt đầu định nghĩa hàm bậc thang, hàm đo tích phân chúng Tích phân Henstock – Lebesgue lại xây dựng giống với tích phân Riemann, thông qua khái niệm phân hoạch, có nét riêng nó, đối tượng hàm nhận giá trị không gian Banach Trong hai loại tích phân này, bắt gặp nhiều kết gợi nhớ tính chất biết tích phân hàm nhận giá trị  Ở chương hai, vào định lý lớn với tên gọi quen thuộc định lý hội tụ bị trội, định lý hội tụ đơn điệu cho hàm nhận giá trị không gian Banach không gian trang bị thứ tự Bên cạnh đó, chương cịn giới thiệu khơng gian định chuẩn có thứ tự hàm HL – khả tích với định nghĩa chuẩn Alexiewicz, nón thứ tự sinh nón Đề tài tiến hành sở chấp nhận số kiến thức, lý thuyết tích phân Bochner tích phân Henstock – Kurweil Do có nhiều bổ đề phát biểu, không chứng minh phần chứng minh sử dụng nhiều kiến thức vừa đề cập, đòi hỏi phải trình bày lại lý thuyết, làm nặng nề luận văn không nhằm vào mục tiêu đề tài Tuy nhiên, bỏ qua bổ đề chúng cần cho chứng minh tính chất luận văn Đề tài chủ yếu dựa tài liệu tham khảo [1] [2], lý thuyết tích phân Bochner tích phân Henstock – Kurweil tham khảo tài liệu tham khảo [3] Bên cạnh đó, thấy việc vận dụng kiến thức Giải tích thực, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, … phương pháp chứng minh lĩnh vực luận văn CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CĨ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Kiến thức mở đầu 1.1.1 σ − đại số, độ đo dương Định nghĩa 1.1.1.1 Cho Ω tập hợp ≠ φ ,  ⊂  (Ω ) gọi σ − đại số Ω i nếu: c Ω ∈  , A ∈  A ∈  ∞ ii An ∈  , n = 1, 2, ⇒ n=1 ∪ An ∈  Khi đó, phần tử  gọi tập đo Định 1.1.1.2 Ta gọinghĩa độ đo dương  µ :  → [0; +∞] thỏa: hàm i µ (φ ) =0 ii ∞ Nếu {An }n =1 ⊂  thỏa An ∩ ≠ Am = φvới n m ∞ µ ∪A  = ∑ µ ( A ) ∞  n=1 n  n=1 n Khi đó, ta gọi (Ω  µ ) không gian độ đo , , 1.1.2 Định lý Pettis 1.1.2.1 Định nghĩa Cho (Ω,  , µ ) không gian độ đo, ( E, ) không gian Banach f :Ω → E ánh xạ a) f gọi µ − đo yếu với ánh xạ tuyến tính liên tục * g : E →  (tức g ∈ E ) g f :Ω→ s  g ( f ( s ))  − đo b) f gọi có hữu hạn giá trị f hàm hằng, khác θ hữu hạn tập  − đo được, rời A với ( i i ) µ ( A ) < +∞ f ( s ) = θ ,∀s ∈ Ω \ ∪ A c) f gọi µ − đo mạnh (hay µ − đo được) tồn itại dãy i hàm có hữu hạn giá trị, hội tụ mạnh theo điểm µ − h.k.n Ω tới f d) f gọi có giá trị khả ly nếu(Ω ) (miền giá trị) tập khả ly f e) f gọi có giá trị khả ly µ − h.k.n tồn tập µ − khơng Z cho f (Ω \ Z ) khả ly 1.1.2.2 Định lý Pettis f µ − đo mạnh f µ − đo yếu có giá trị khả ly µ − h.k.n 1.1.3 Nửa chuẩn Cho E không gian vectơ, ánh xạ p : E →  gọi nửa chuẩn nếu: i ii iii ( )≥ ∀ ∈ p x 0, x E ∀λ ∈  p (λ x ) = λ ⋅ ( ) ∀ ∈ p x , x E, ( + ) ≤ p ( x ) + p ( y ) , ∀x, y ∈ E p x y 1.1.4 Hàm thực chất bị chặn Hàm u : Ω → E gọi thực chất bị chặn ∃ k ∈  u (t ) ≤ k h.k.n Ω : Khi đó, ta định nghĩa essup { u (t ) : t ∈ Ω} = inf { k ∈ : k thỏa điều kiện trên} 1.1.5 Bổ đề Fatou Cho (Ω,  , µ ) khơng gian độ đo Kí hiệu L + { : 0, = f Ω → [ +∞] hàm  − đo được} Bổ đề: Cho { f n } dãy L+ Khi ∫ lim inf fn ≤ lim inf ∫ fn n→∞ n→∞ 10 1.1.6 Topo yếu σ (E, E * ) Cho (E, ) không gian Banach trường  , ≤ p < ∞ , dãy { x } ⊂ E , n n xn  x , x ∈ E Khi {x n p } n p p bị chặn x ≤ lim inf xn n→∞ Chứng minh: Do xn  x nên { xn { }n p } n bị chặn bị chặn, x p pn Bây giờ, ta chứng minh x ≤ lim inf xn Thật vậy: n→∞ • Bất đẳng thức với x = θ • Xét trường hợp x ≠ θ : ∀f ∈ E* \ {θ } , nên xn  x f ( xn ) →f ( x )  , p p  , lim f ( xn ) = f ( x )  f ( xn ) → f ( x )  n→∞ Ta có: f (x n ) ≤ f ⋅ xn , ∀n ∈ * ∀ ∈ E * \ {θ } , f p p p  * , ∀f ∈ E* \ {θ } ⇒ f ( xn ) ≤ f  ⋅ xn , ∀n ∈ p p ⇒ lim inf f ( xn ) ≤ f  ⋅lim inf x n→∞ n→∞ p n , ∀f ∈ E* \ {θ } p ⇒ f (x) p ≤ f  lim inf x , ∀f ∈ E* \ {θ } n→∞ n ⋅ p  f (x)  p ⇒  ≤ lim inf xn , ∀f ∈ E* \ {θ } n→∞  f    p p  f (x)  ⇒ sup   ≤ lim inf xn n→∞  f } f ∈E \{θ   p * ( )≤ f ⋅ x , f E * {θ } ∀ ∈ \ Ta có: f x f (x) ≤ x , ∀f ∈ E* ⇒ f \ {θ } suy ... 70 KẾT LUẬN .73 TÀI LIỆU THAM KHẢO .74 MỞ ĐẦU ? ?Tích phân hàm có giá trị khơng gian Banach có thứ tự? ?? đề tài thực dựa ý tưởng mở rộng tự nhiên tích phân hàm nhận giá trị ... liên hệ hai loại tích phân Tích phân Bochner có cách xây dựng giống với tích phân Lebesgue cho hàm nhận giá trị  , bắt đầu định nghĩa hàm bậc thang, hàm đo tích phân chúng Tích phân Henstock –... kiến thức Giải tích thực, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, … phương pháp chứng minh lĩnh vực luận văn 8 CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM CĨ GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH 1.1 Kiến thức mở đầu 1.1.1