Trang 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trang 3 Tôi xin cam đoan đề án Hàm Polygamma, hàm Zeta và một sốứng dụng là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân, được thực hiệndưới sự hướng dẫn k
Lý thuyết chuỗi
Chuỗi số
Định nghĩa 1.1 Cho trước một dãy số {u n } Kí hiệu hình thức u 1 +u 2 + u 3 +ã ã ã+u n +ã ã ã ∞
X n=1 u n (1.1) được gọi là một chuỗi số (đôi khi ta gọi tắt là chuỗi) Ta định nghĩa dãy số {S n } cho bởi
S1 = u1, S 2 = u1 +u2, , S n = u1 +u2 +ã ã ã+un, và gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1) Đại lượng S n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
3 Định nghĩa 1.2 Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ và có tổng là S nếu dãy tổng riêng {S n } hội tụ đến S Khi đó ta viết
Ngược lại, nếu dãy tổng riêng {S n } phân kỳ, ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ. Định lí 1.3 (Điều kiện cần cho một chuỗi tụ) Nếu chuỗi
X n=1 u n hội tụ thì lim n→∞un = 0 Ngược lại nói chung không đúng. Định lí 1.4 (Các phép toán) Cho hai chuỗi
X n=1 v n và số thực c ̸= 0 Khi đó i) Nếu hai chuỗi
X n=1 v n hội tụ thì các chuỗi
(cu n ) cũng hội tụ và hơn nữa
Chuỗi hàm
Như cách thức định nghĩa chuỗi số, chuỗi hàm cũng được định nghĩa thông qua dãy hàm Tức là, f n : D →R là một dãy hàm thì ký hiệu hình thức f 1 +f 2 +f 3 +ã ã ã+f n +ã ã ã ∞
X n=1 f n được gọi là một chuỗi hàm Như vậy đối với chuỗi hàm ta cũng có các khái niệm hội tụ điểm và hội đều theo định nghĩa sau. Định nghĩa 1.5 Ta nói chuỗi hàm
X n=1 f n , trong đó f n : D →R, D ⊂ R, hội tụ điểm hay hội tụ đơn giản đến hàm f : D → R nếu dãy hàm tổng riêng S n n
X k=1 f k hội tụ điểm đến hàm f Khi đó ta ký hiệu
X n=1 f n = f (đơn giản trên D) Ta cũng nói chuỗi hàm
X n=1 f n hội tụ đều đến hàm f trên D nếu dãy hàm tổng riêng {S n } hội tụ đều đến hàm f trên D Khi đó ta kí hiệu
X n=1 f n = f(đều trên D). Định lí 1.6 (Tổng của chuỗi hàm liên tục, hội tụ đều) Nếu chuỗi hàm
X n=1 f n hội tụ đều trên miền D ⊂ R đến hàm f và nếu mỗi hàm f n , n= 1,2, liên tục trên D thì hàm f liên tục trên D. Định lí 1.7 (Tổng của chuỗi hàm liên tục, hội tụ đều) Nếu chuỗi hàm
X n=1 f n hội tụ đều trên miền [a, b] đến hàm f và nếu mỗi hàm f n , n 1,2, , liên tục trên [a, b] thì
Z b a f n (x)dx. Định lí 1.8 Cho chuỗi hàm
X n=1 f n hội tụ điểm đến hàm f trên [a, b] Nếu f n , n= 1,2, , có đạo hàm liên tục trên [a, b] và chuỗi hàm
X n=1 f n ′ hội tụ đều trên [a, b] thì f ′ (x) ∞
X n=1 f n ′ (x), với mọi x ∈ [a, b]. Định nghĩa 1.9 Cho {a n } ∞ n=0 là một dãy các số thực vàc ∈ R Một chuỗi dạng ∞
5 được gọi là một chuỗi lũy thừa tâm c Các số thực a n ,n = 0, 1, , được gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa. Định lí 1.10 (Đạo hàm chuỗi lũy thừa) Giả sử f(x) ∞
X n=0 a n (x−c) n trong đó chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ là R > 0 Khi đó f có đạo hàm mọi cấp trên miền {x : |x−c| < R}, và với m ∈ N cố định, f (m) (x) ∞
Hơn nữa, hệ số a n được xác định bởi a n = f (n) (c) n!
Hệ quả 1.11 (Tính liên tục và khả tích của chuỗi lũy thừa) Giả sử f(x) ∞
X n=0 a n (x−c) n , trong đó chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R > 0 Khi đó f liên tục trên miền {x : |x−c| < R} Hơn nữa, với mọi x thỏa |x−c| < R,
Ví dụ 1 Khai triển một số hàm cơ bản thành chuỗi lũy thừa với tâm 0:
Tích phân suy rộng
Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.12 Cho hàm số xác định trên [a,+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b], với b > a Ta gọi giới hạn
Z b a f(x)dx là tích phân suy rộng loại 1 của f(x) trên [a,+∞) và kí hiệu là
Nếu I hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
Z +∞ a f(x)dx hội tụ, còn trong trường hợp ngược lại thì ta nói tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng trên các khoảng (−∞, b] và (−∞,+∞) cũng được định nghĩa tương tự. Định nghĩa 1.13 Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a, b), trong đó x→blim − f(x) =∞ (điểm b gọi là điểm bất thường của f(x)) Giả sử f(x) khả tích trên mọi đoạn [a, b−ε], với ε > 0 bé tùy ý Ta gọi giới hạn ε→0lim +
7 là tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a, b] và ký hiệu là
Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng
Z b a f(x)dx hội tụ, còn trong trường hợp ngược lại thì ta nói tích phân suy rộng
Z b a f(x)dx phân kỳ. Định nghĩa 1.14 Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a, b]\ {c}, c ∈
(a, b), trong đó lim x→cf(x) = ∞ Nếu cả hai tích phân suy rộng
Z b c f(x)dx đều tồn tại và tổng
Z b c f(x)dx có nghĩa thì tổng này được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f trên [a, b] và được kí hiệu là
Một số tính chất
Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau áp dụng cho tích phân suy rộng loại 1 và tương tự áp dụng cho tích phân suy rộng loại 2.
Tính chất 1.15 Nếu các tích phân suy rộng
Z +∞ a g(x)dx hội tụ thì tích phân suy rộng
Tính chất 1.16 Nếu tích phân
Z +∞ a f(x)dx hội tụ và k là một hằng số thực thì tích phân
Tính chất 1.17 Nếu trong mọi đoạn [a, b] ta áp dụng công thức Newton-
Z b a f(x)dx = F(x)| b a = F(b)−F(a) và tồn tại lim b→+∞F(b) = F(+∞) thì
Tính chất 1.18 (Công thức tích phân từng phần)
Nếu u(x), v(x) là những hàm khả vi liên tục trên [a,+∞) và giới hạn x→+∞lim u(x)v(x) tồn tại hữu hạn thì
Z +∞ a vdu, trong đó uv| +∞ a = lim x→+∞ [u(x)v(x)]−u(a)v(a).
Tích phân phụ thuộc tham số
Tích phân xác định phụ thuộc tham số
Định nghĩa 1.19 Cho D = [a, b]×[c, d] ⊂ R 2 Giả sử α, β là các hàm số xác định trên [c, d] và thỏa mãn α(t), β(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [c, d]. Giả sử hàm số f(ã, t) khả tớch trờn đoạn [a, b] Khi đú
I(t) Z β(t) α(t) f(x, t)dx, t ∈ [c, d] (1.2) xác định một hàm số theo biến t và biểu thức ở vế phải của (1.2) được gọi là tích phân phụ thuộc tham số. Định lí 1.20 Giả sử
1 Hàm f liên tục trên hình chữ nhật D = [a, b]×[c, d] ⊂ R 2 ;
2 Các hàm số α, β liên tục trên [c, d] và thỏa mãn α(t), β(t)∈ [a, b] với mọi t∈ [c, d].
Khi đó hàm I(t) Z β(t) α(t) f(x, t)dx liên tục trên [c, d]. Định lí 1.21 Giả sử
1 Hàm f liên tục trên hình chữ nhật D = [a, b]×[c, d] ⊂ R 2 ;
2 Hàm số f(x, t) có đạo hàm riêng ∂f
3 Các hàm số α, β liên tục [c, d] và thỏa mãn α(t), β(t)∈ [a, b] với mọi t∈ [c, d].
Khi đó hàm I(t)Z β(t) α(t) f(x, t)dx khả vi và liên tục trên [c, d] và đạo hàm của nó được tính theo công thức
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số
Định nghĩa 1.22 Cho hàm số f xác định trên [a;∞)×[c;d] ⊂ R 2 Giả sử tích phân suy rộng
Z ∞ a f(x, t)dx tồn tại ∀t∈ [c, d] Khi đó hàm số
I(t) Z ∞ a f(x, t)dx, t ∈ [c, d] (1.3) được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. Định nghĩa 1.23 Tích phân suy rộng (1.3) được gọi là hội tụ trên [c, d] nếu nó hội tụ tại ∀t ∈ [c, d], nghĩa là
Số A 0 nói chung phụ thuộc tham ε và t Trong trường hợp số A 0 chỉ phụ thuộc vào ε chung cho ∀t ∈ [c, d] thì ta có sự hội tụ đều. Định nghĩa 1.24 Tích phân suy rộng (1.3) được gọi là hội tụ đều trên [c, d] nếu với mọi ε > 0, tồn tại A 0 = A 0 (ε) > a sao cho
Z ∞ a f(x, t)dx hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó hàm I(t) Z ∞ a f(x, t)dx liên tục trên [c, d]. Định lí 1.26 Giả sử
1 Hàm số f liên tục và có đạo hàm riêng ∂f
∂tdx hội tụ đều trên [c, d]. Khi đó hàm I(t) Z ∞ a f(x, t)dx khả vi liên tục trên [c, d] và
Hàm Gamma
Để thuận tiện cho việc tìm hiểu một số tính chất của hàm Gamma, trước hết ta có bổ đề sau.
1 + z k e − z k chỉnh hình trên C và G(z) = 0 tại z −1,−2,
Tiếp theo ta định nghĩa hàm Gamma Định nghĩa 1.28 Hàm Gamma được kí hiệu là Γ, hàm được xác định bởi Γ(z) Z ∞ 0 e −t t z−1 dt, Rez > 0.
Từ định nghĩa trên, ta suy ra một số tính chất của hàm hàm Gamma như sau Định lí 1.29.
Với mọi số phức C thỏa mãn Rez > 0, ta có Γ(z + 1) = zΓ(z). Đặc biệt Γ(1) Z ∞ 0 e −t dt = 1.
Từ đó dễ dàng có công thức Γ(n+ 1) = n! với mọi n ∈ N ∗ Định lí 1.30 Ta có
1 + z k e − k z , z ∈ C (1.4) trong đó γ là hằng số Euler, tức γ là giới hạn của dãy γ n = 1 + 1
Từ định lý trên ta suy ra Γ(z) không có không điểm. Định lí 1.31 Với mọi z ∈ C thỏa mãn Rez > 0 ta có i) Γ(z)Γ(1−z) = π sinπz (1.5) ii) Γ(z).Γ(z + 1
2 2z−1 (1.6) Định lí 1.32 Với mọi p > 0, q > 0, ta có i) β(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+ q), (1.7) trong đó β(p, q)là hàm Beta được xác định theo công thức β(p, q) Z 1 0 x p−1 (1−x) q−1 dx, p>0, q>0 (1.8) ii) Γ(p).Γ(q) Γ(p+q) = 2
Số Bernoulli
Định nghĩa 1.33 Số Bernoulli B k (k = 1,2,3 .) là những hệ số thỏa mãn khai triển chuỗi sau x e x −1 ∞
Nhận xét 1.34. i) Khai triển của các số Bernoulli x e x −1 = B 0
3! x 3 +ã ã ã ii) Một vài số Bernoulli đầu tiên
Trong chương này tôi sẽ trình bày định nghĩa, một số tính chất của hàm Polygamma, ứng dụng của hàm Polygamma để tính tích phân và tính tổng Tài liệu tham khảo chính từ các nguồn [3], [4], [5], [6].
Hàm Polygamma
Định nghĩa
Định nghĩa 2.1 Cho n là số tự nhiên Hàm Polygamma cấp n, kí hiệu là ψ (n) , được định nghĩa bởi đạo hàm cấp n+ 1 của hàm ln Γ(s), nghĩa là ψ (n) (s) = d n+1 ds n+1 ln Γ(s), s > 0. Đặc biệt, khi n= 0, hàm Polygamma cấp 0, thường được kí hiệu là ψ và được gọi là hàm Digamma Như vậy, ψ(s) = d dsln Γ(s), s > 0, và ψ (n) chính là đạo hàm cấp n của hàm Digamma.
Đồ thị
Hình 2.1: Đồ thị hàm Polygamma với s > 0.
Một số tính chất
Định lí 2.2 Hàm Digamma ψ thỏa mãn các đẳng thức sau:
1 +xdx, với mọi s > 0 (2.4) Chứng minh.
Nhắc lại rằng hàm Gamma luôn thỏa mãn Γ(1 +s) = sΓ(s), với mọi s > 0.
15 Lấy logarit tự nhiên hai vế của đẳng thức trên ta được ln(Γ(1 +s)) = ln(s) + ln(Γ(s)), với mọi s > 0. Đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo s ta được đẳng thức (2.1).
2 Xét biểu diễn Weierstrass của hàm Gamma Γ(s) = e −γs s
Lấy logarit tự nhiên hai vế ta được ln(Γ(s)) = −γs−ln(s) +
X n=1 s n −ln 1 + s n Đạo hàm hai vế theo s ta được ψ(s) =−γ − 1 s +
Trong (2.5) thay s bằng s+ 1 ta suy ra đẳng thức (2.2).
Lấy logarit tự nhiên 2 vế ta được ln Γ(2s) = (2s−1) ln 2 + ln Γ(s) + ln Γ s+ 1 2
Lấy đạo hàm 2 vế ta được d dsln Γ(2s) = d ds
1 +xdx. Định lí 2.3 Hàm Polygamma cấp k thỏa mãn các đẳng thức sau
2.(Công thức phản xạ) ψ (n) (1−s) + (−1) n+1 ψ (n) (s) =−π d n ds n cot(πs), (2.9) với 1−s > 0 và s > 0.
Từ định nghĩa hàm Polygamma ta suy ra ψ (k) (s) = d k ds k (ψ(s)) = d k ds k
2 Ta đã biết theo (1.5) thì Γ(s)Γ(1−s) = π sin(πs). Lấy logarit tự nhiên hai vế đẳng thức trên ta được ln Γ(s) + ln Γ(1−s) = ln(π)−ln(sinπs).
Hay ψ(s)−ψ(1−s) = −πcot(πs). Đạo hàm 2 vế của (2.1.3) ψ (1) (s) + (−1) 2 ψ (1) (1−s) = −π d dscot(πs). Dùng quy nạp ta suy ra ψ (n) (s) + (−1) n+1 ψ (n) (1−s) =−π d n ds n cot(πs).
Tiếp theo chúng ta sẽ nêu và không chứng minh một số công thức hay gặp về hàm Polygamma.
Tính chất 2.4 Hàm Polygamma thỏa các đẳng thức sau:
7 Hàm Polygamma tuân theo quan hệ lặp:
Một số giá trị đặc biệt
Một số giá trị đặc biệt của hàm Digamma
Trong đẳng thức (2.2), khi cho s các giá trị cụ thể ta có các kết quả sau:
Từ công thức (2.12) ta tính được một số giá trị đặc biệt sau
3) ta áp dụng công thức (2.13) với p = 1; q = 3 ta có kết quả như sau ψ
Tương tự như trên để tính ψ(1
4) ta áp dụng công thức (2.13) với p= 1; q = 4 ta có kết quả ψ
Một số giá trị đặc biệt của hàm Polygamma
• Tính ψ (1) (1) Áp dụng công thức (2.14) ψ (1) (1 +s) ∞
1 (n+s) 2 khi s = 0 ta có kết quả ψ (1) (1) ∞
1 n 2 Ta sẽ tiến hành tính
1 n 2 Áp dụng Bổ đề 1.27 ta được sin(πx) πx
1 2 2 2 3 2 +ã ã ã x 6 +ã ã ã (2.18) Mặt khác theo công thức khai triển của hàm sinx tại 0 ta có sinx = x− x 3
Từ đó ta có sin(πx) πx =1− (πx) 2
Từ (2.18) và (2.19) đồng nhất hệ số của x 2 ta suy ra
1 2 Áp dụng công thức (2.14) thì ψ (1) (1 +s) ∞
1 (2n−1) 2 Đặt n−1 = p hay n = p+ 1 ta suy ra ψ (1) (1
1 (2p+ 1) 2 Áp dụng kết quả (2.20) thì
Ứng dụng
Tính tích phân
Trước hết ta chứng minh công thức tổng quát cho một số bài toán tính tích phân Đặc biệt, các bài toán này khi cho m, n những giá trị cụ thể ta dẫn đến các bài toán tính tích phân thường gặp ở chương trình phổ thông.
1−x dx. Áp dụng công thức (2.3) ψ(s+ 1) = −γ+
Ta biến đổi như sau
Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên ta có
Ta xét một vài giá trị cụ thể như với n = 1, n = 2 ta có
1 +x 2 dx. Đây là các bài toán tính tích phân thường xuyên gặp trong chương trình lớp 12, ta có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau Khi tìm hiểu về hàm Polygamma ta có thêm cách giải hoàn toàn mới đó là
Biến đổi vế trái như sau
1−x 2n dx. Đặt u = x 2n suy ra du = 2nx 2n−1 dx.
1ưu du. Áp dụng Bài toán 2.1 ta được
Khi cho n, mnhững giá trị cụ thể, ta quy về các bài toán phổ thông thường gặp và có thể áp dụng hàm Polygamma để giải một cách nhanh chóng. Một số ví dụ cụ thể như
□ Bài toán 2.4 Tính In Z 1 0 ln(1 +x n )dx.
Dùng phương pháp tích phân từng phần với u = ln(1 +x n ), dv = dx Khi đó du = n.x n−1
Mà theo Bài toán 2.2 thì
Khi thay n = 1, n = 2 ta có bài toán tính tích phân
I2 Z 1 0 ln(1 +x 2 )dx. Đây là các bài toán thường gặp trong chương trình phổ thông Học sinh có thể áp dụng phương pháp giải hoàn toàn mới như sau
Thật vậy I 1 Z 1 0 ln(1 +x)dx = ln 2−1 + 1
Suy ra I 1 = ln 2−1 + [−γ −(−γ −2 ln 2)] = 2 ln 2−1.
Áp dụng công thức ( 2.10) ta được
2. Tổng quát, ta có bài toán tính tích phân
27 Đặt x = at, ta có I (a,n) Z 1 0 ln(a n +a n t n ).adt, a > 0, a̸= 1, n > 0. Suy ra
Với n = 1 ta có bài toán chương trình phổ thông thường gặp
0 x nk −x nk+1 lnxdx. Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được
" x nk+1 nk+ 1 − x nk+2 nk+ 2 lnx
Z 1 0 x nk nk+ 1 − x nk+1 nk+ 2 dx
# Áp dụng công thức (2.8) ta được
Ta sẽ tính một vài giá trị cụ thể của n như sau
Khi cho n= 1 ta được tích phân
Khi cho n = 2 ta có tích phân
Z 1 0 lnx x+ 1dx tích phân này có nhiều cách khác nhau và ta có thể áp dụng công thức trên
Ta có I ′ (a) Z 1 0 x a lnx (x 2 + 1) lnxdx Z 1 0 x a x 2 + 1dx.
Thực hiện phép đổi biến u = x 2 , du = 2xdx ta được
2 Áp dụng công thức 2.4 ta có I ′ (a) = 1
Thực hiện phương pháp đổi biến t = −lnx, dt = −1 xdx, x = e −t Suy ra I ∞
1−e −u u 4 du. Áp dụng công thức (2.17) ta được
Áp dụng công thức (2.9) với đạo hàm cấp 4 ta được kết quả
0 sin 2x−1 u.cos 2y−1 uln(sinu)du = Γ(x).Γ(y)
0 sin 2x−1 u.cos 2y−1 udu. Suy ra
0 sin 2x−1 u.cos 2y−1 uln(sinu)du
Mặt khác theo công thức (1.9) thì Γ(x).Γ(y) Γ(x+y) = 2
0 sin 2x−1 u.cos 2y−1 uln(sinu)du = Γ(x).Γ(y)
Tính tổng
Ta tìm hiểu thêm một ứng dụng của hàm Polygamma là tính tổng chuỗi Để tính các tổng này, ta dùng các phép biến đổi tách chúng thành các tổng chuỗi, sau đó dùng các tính chất, các giá trị đặc biệt của hàm Polygamma để tìm ra kết quả.
Mà theo Bài toán 2.11 thì
Ta có thể biểu diễn
Ta có thể viết lại
1 +x 3 dx. Áp dụng Bài toán 2.3 với m = 1 và n = 3 ta được
Ta có thể viết lại
Lấy đạo hàm 2 vế ta được
Bài toán tương tự
√ sinx.cosxdx. Bài toán 2.22 Tính
(1−x) lnx dx. Bài toán 2.25 Tính
Hàm Zeta Riemann là một trong những hàm quan trọng và có sức cuốn hút rất lớn đối với giới Toán học Trong chương này tôi nghiên cứu về định nghĩa, một số tính chất và ứng dụng nó vào tính tích phân và tổng chuỗi.Tài liệu tham khảo chính từ [3], [4], [5], [7], [8].
Hàm Rimeman Zeta
Định nghĩa
Định nghĩa 3.1 Hàm Riemann Zeta hoặc hàm Euler - Riemann Zeta, ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp ζ, là một hàm số được định nghĩa bởi chuỗi số ζ(s) ∞
Chú ý rằng chuỗi (3.1) hội tụ tuyệt đối với s > 1 và phân kỳ với s ≤ 1.
Đồ thị
Hình 3.1: Đồ thị hàm số Zeta với s > 1.
Một số định lí và tính chất
Về mặt lịch sử hàm Zeta nảy sinh từ nhu cầu về một công cụ giải tích, có khả năng giải quyết các vấn đề liên quan đến số nguyên tố Từ nhu cầu đó nhà toán học Euler đã tìm ra biểu diễn khác của hàm Zeta thông qua các số nguyên tố như sau: Định lí 3.2 (Tích Euler) Hàm Riemann zeta có thể được biểu diễn ζ(s) = Y p∈P
1−p −s , s > 1, trong đó P là tập hợp các số nguyên tố.
Nhân 2 vế đẳng thức trên cho 1
Tiếp tục nhân hai vế đẳng trên với 1
Tiếp tục lập luận như vậy ta có ζ(s)
(−1) n+1 n s hội tụ khi s > 1 và chuỗi này được gọi là chuỗi Dirichlet.
(−1) n−1 n s , s > 1. Định lí 3.4 Hàm Riemann Zeta có thể được biểu diễn qua dạng tích phân như sau ζ(s) = 1 Γ(s)
Thực hiện phép đổi biến t = x(1 +k), dt = dx(1 +k) ta suy ra
Z ∞ 0 x s−1 e x −1dx. Định lí 3.5 Nếu n = 1,2, và B j là số Bernoulli thứ j thì ζ(2n) = (−1) n+1 B 2n (2π) 2n
Ta có πscot(πs) = πscos(πs) sin(πs) = πse iπs +e −iπs
2i e iπs −e −iπs Nên πscot(πs) =πsie iπs +e −iπs e iπs −e −iπs = πsie 2iπs + 1 e 2iπs −1 = πsie 2iπs −1 + 2 e 2iπs −1
Một số giá trị đặc biệt
Ta sẽ tính một số giá trị đặc biệt như giá trị của ζ(2), ζ(4), ζ(6).
Ứng dụng
Tính tích phân
Trước hết ta giải một số bài toán tích phân suy rộng mà có thể áp dụng Định lí 3.4 để giải một cách ngắn gọn.
Giải. Áp dụng Định lí 3.4 ta có
Tương tự áp dụng Định lí 3.4 ta được
□ Bài toán 3.3 Tính I Z 1 0 ln 3 (1−x) x dx.
Bằng phương pháp đổi biến x= 1−e u , ta có
Sử dụng kết quả Bài toán 3.2 thì
□ Tiếp theo ta xét một số bài toán tích phân suy rộng sử dụng định nghĩa hàm Gamma, kết hợp các các công thức tổng chuỗi và hàm Zeta để tính.
Bài toán 3.4 Tính các tích phân sau a.
Giải. a Đặt x = e − a+1 u suy ra dx = −1 a+ 1e a+1 −u du.
Z 1 0 x j lnxdx. Áp dụng câu a với a = j (j = 0,1,2, ) và b = 1 ta được
Tương tự áp dụng câu a với a = j và b = 1 ta có kết quả
Z 1 0 x j−1 lnx.dx. Áp dụng câu a với a = j−1 (j=1,2,3, .) và b = 1 ta được
0 ln(1−x).ln 2 (1 +x) x dx Đặt α = ln(1−x), β = ln(1 +x).
Bằng phương pháp đổi biến y = x 2 , dy = 2xdx trong tích phân thứ nhất ta có
Z 1 0 ln 3 (1−x) x dx. Đổi biến x = 1−x ta được
Z 1 0 x j ln 3 xdx. Áp dụng câu a với a = j (j = 1,2,3, ) và b = 3 ta được
Ta lại tính L Z 1 0 ln 3 ( 1−x 1+x ) x dx. Đặt y = 1−x
Z 1 0 y 2j ln 3 ydy. Áp dụng câu a với a = 2j (j =1,2,3, .) và b = 3 ta được
Sử dụng kết quả Bài toán 3.4 ta tính các tích phân sau
0 cosx.ln( cos 1 x ) sinx dx. Đặt u = cosx khi đó sinx = p1ưu 2 suy ra dx = ưdu
0 u 2k+1 lnudu. Áp dụng Bài toán 3.4a với a = 2k+ 1 (k = 0,1,2,3 .), b = 1 ta được
Bài toán 3.6 Tính I Z 1 0 ln(1 +x) x dx.
Ta có thể viết lại I Z 1 0 ln(1 +x) x dx Z 1 0 ln(1 + x).1 xdx.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta có kết quả
1 +xdx. Áp dụng Bài toán 3.4b ta được
Bài toán 3.7 Tính IZ ∞ 0 lne x −1 e x + 1dx.
0 lne x −1 e x + 1dx Z ∞ 0 lne −x (e x −1) e −x (e x + 1)dx Z ∞ 0 ln1−e −x
Dùng phương pháp đổi biến với u = 1−e x , du= e −x dx ta được
1ưudu. Áp dụng Bài toán 3.4c với ta có I 1 = −ζ(2) = −π 2
0 ln(sinx) ln(cosx) tanx dx.
0 ln(sinx) ln(cosx) cosx sinx dx Đặt sinx = u , cosxdx = du Với 0 < x < π
Mà ln(1ưu 2 ) = ưX k≥1 u 2k k Nên
Z 1 0 u 2k−1 lnudu. Áp dụng Bài toán 3.4a với a = 2k−1(k = 1,2,3 ), b = 1 ta được
Dùng phương pháp từng phần, ta được
Tiếp tục dùng phương pháp từng phần, ta được
2 sin x 2 , x ∈ (0,2π). Lấy tích phân hai vế đẳng thức trên từ π đến x với x ∈ (0,2π) ta được
X k=1 cos 2kx k , x ∈ (0, π). Suy ra xln(sinx) =−xln 2−X k≥1 xcos 2kx k
Dùng phương pháp từng phần, ta được
Tính tổng
Để giải các bài toán tính tổng chuỗi có ứng dụng hàm Zeta Ta có thể dùng các phép biến đổi, các tính chất của tổng chuỗi và sử dụng các giá trị đặc biệt của hàm Zeta tính tổng các chuỗi sau.
Ta dễ dàng chứng minh được
= 4−π 2 + 6 = 10−π 2 Hoàn toàn tương tự ta có thể tính
1 m 2 n 2 (m+n) 2 Đổi thứ tự tính tổng ở tổng đầu tiên ta được
1 m 2 n 2 (m+n) 2 Đổi chỉ số k = m−n ta có
Ta có thể biến đổi các tổng chuỗi để đưa về dạng có chứa tích phân và ứng dụng hàm Gamma để tính như các bài toán sau đây.
1−x dx. Đặt t = lnx suy ra dx= −e −t dt
Z ∞ 0 t k e −rt dt. Đặt u = rt suy ra du = rdt suy ra
Bài toán tương tự
Bài toán 3.19 Tính các tích phân sau
Kết luận và Kiến nghị Đề án nghiên cứu về hàm Polygamma, hàm Zeta và một số ứng dụng đã giải quyết một số vấn đề về lý thuyết cũng như ứng dụng của hàm Polygamma và hàm Zeta Đề tài đã đóng góp những kết quả chính sau đây:
• Hệ thống hóa các kiến thức đã biết về lý thuyết chuỗi, tích phân suy rộng, hàm Gamma Các kiến thức này là cần thiết cho đề án.
•Đi sâu tìm hiểu về định nghĩa, tính chất và đồ thị của hàm Polygamma cho trường hợp số thực dương, hàm Zeta trong trường hợp số thực s > 1 và ứng dụng của chúng vào tính tích phân và tổng chuỗi.
• Nêu ra được ứng dụng của hàm Polygamma cho một số bài toán tính tích phân, tính tổng chuỗi dưới dạng tổng quát Đặc biệt, đã đưa ra công thức áp dụng cho một số bài toán tính tích phân thường gặp ở chương trình phổ thông Tuy nhiên, đề tài chỉ dừng lại là trình bày, hệ thống một số bài toán tính tích phân và tính tổng có thể ứng dụng hàm Polygamma và hàm Zeta để giải.
Chúng tôi đã cố gắng hoàn thành đề án một cách tốt nhất có thể, đi sâu phân tích, chứng minh nhằm giúp người đọc có cái nhìn tổng quát về vấn đề đang nghiên cứu Tuy nhiên, thời gian có hạn, nên đề án chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự nhận xét và góp ý chân thành từ quý thầy cô cũng như độc giả để đề án hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!
Tác giả Nguyễn Thị Hoa