Một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi Gaus Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ma trận vuông cấp n detA≠0Bằng phép biến đổi Gaus ta thưc hiện như sau: Trang 8 1.4.. Giải phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ───────── * ──────────

BÁO CÁO NHÓM 3 HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

Một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo

Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hương

Lê Sỹ Huy Trương Quang Huy Phạm Khắc Khánh Chu Bá Lam

Nguyễn Đăng Mạnh Nguỵ Đình Minh Hoàng Đăng Nam Nguyễn Phương Nam Tên lớp: 2022DHHTCN01

Mục Lục

Bảng đánh giá nhóm………2

Bảng điểm từng thành viên……… 3

Lời nói đầu……… 4

Phần 1: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO……….……… …

1.1 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………

1.2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ MA TRẬN VUÔNG CÓ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………

1.3 CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………

1.3.1 Tìm ma trận nghịch đảo dựa vào ma trận phụ hợp………

1.3.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi GAUSS………

1.4 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO………

1.4.1 Giải phương trình ma trận………

1.4.2 Ứng dụng ma trận nghịch đảo và bài toán thực tế………

Phần 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH………

2.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH………

2.2 HÌNH THỨC TỔNG QUÁT………

2.3 ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT ……

2.4 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT………

2.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI………

2.6 ĐỊNH LUẬT KIRCHHOFF………

2.6.1 Định luật Kirchhoff về cường độ dòng điện………

2.6.2 Định luật Kirchhoff về điện thế………

2.7 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH…

2.7.1 Ứng dụng trong kinh tế sản xuất………

2.7.2 Ứng dụng trong cân bằng phương trình hoá học………

1

BẢNG ĐÁNH GIÁ NHÓM 3

Tiêu chí

Tên

Thành

viên

Sự nhiệ

t tình

Đưa ra ý kiến và ý tưởng

Phối hợp cùng giải quyết vấn đề

Tổ chức

và hướng dẫn cả nhóm

Hoàn thành công việc hiệu quả

Tổng điểm được đánh giá bởi (A) cho từng thành viên

Nguyễn Thị

Hương

(A)

Lê Sĩ Huy

Trương Quang

Huy

Phạm Khắc

Khánh

Chu Bá Lam

Nguyễn Đăng

Mạnh

Nguỵ Đình

Minh

Hoàng Đăng

Nam

Nguyễn Phương

Nam

TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CÁC THÀNH VIÊN

Tên thành viên TĐ= Tổng điểm được

đánh giá bởi các thành viên trong nhóm

Điểm trung bình ( TĐ/số thành viên )

Hệ số cá nhân (dựa vào bảng quy đổi) Nguyễn Thị Hương

Lê Sỹ Huy

Trương Quang Huy

Phạm Khắc Khánh

Chu Bá Lam

Nguyễn Đăng Mạnh

Nguỵ Đình Minh

Hoàng Đăng Nam

Nguyễn Phương

Nam

*Bảng quy đổi hệ số cá nhân:

Điểm trung bình [9;10) [8;9) [7;8) [6;7) [5;6)

Hệ số cá nhân

3

Lời nói đầu

Đại số tuyến tính là một môn học quan trọng mà hầu hết các tân sinh viên của Trường Đại học Công Nghiệp Hà Nội được tiếp xúc trong năm học đầu tiên tại Cơ

sở 3 Đại số tuyến tính là trung tâm của hầu hết các lĩnh vức Toán học và được ứng dụng rất nhiều trong hầu hết các ngành khoa học, lĩnh vực kĩ thuật và được ứng dụng rất nhiều xung quanh cuộc sống của chúng ta Trong chương 1 của môn đại số tuyến tính chúng ta sẽ được tiếp xúc với ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính và các ứng dụng thực tiễn của chúng Trong bài báo cáo này, nhóm 03 lớp Kĩ thuật hệ thống công nghiệp 01 sẽ trình bày những ứng dụng phổ biến nhất của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính

Phần 1 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1.1 ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B cùng cấp

với A sao cho:

AB=BA=I Thì A dược gọi là ma trận khả đảo và B được coi là ma trận nghịch đảo của ma trận

A, ký hiệu là B =

Vậy:

1.2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ MA TRẬN VUÔNG

CÓ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

det(A)≠0.

định thức của A≠0.

1.3 CÁCH TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1.3.1 Tìm ma trận nghịch đảo dựa vào ma trận phụ hợp

Gọi là phần bù đại số của phần tử

Ma trận được lập như sau gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A:

Ví dụ 1 Tìm ma trận phù hợp của ma trận

A=

Ta có:

-5

Tương tự ta có:

Vậy

Định lý 3 Nếu ma trận A vuông có detA khác 0 thì A có ma trận nghịch đảo là

được tính theo công thức:

Ví dụ 2: tìm ma trận nghịch dảo

5

Ta có: det(A)=

Ma trận nghịch đảo của ma trận A là:

Ví dụ 3 B= 8+4+(-30)-12-10+8=-32

trận B có ma trận khả đảo

Ta có : B*= 1

B11=(-1)1+1 =-2 B12=(-1)1+2 =11 B13=(-1)1+3 =-8

B21=(-1)2+1 =6 B22=(-1)2+2 =-1 B22=(-1)2+3 =-8

B31=(-1)3+1 =-14 B32=(-1)3+2 =-3 B33=(-1)3+3 =8

B*=

B-1=

1.3.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi Gaus

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ma trận vuông cấp n ( detA≠0)

Bằng phép biến đổi Gaus ta thưc hiện như sau:

Bước 1 Đặt bên cạnh về phía bên phải của ma trận A một ma trận đơn vị I cùng

cấp với A

Bước 2 Tác đôgnj các phép biến đổi sơ cấp như nhau đồng thời lên các dòng của

A và I đến khi A trở thành I thì khi đó I trở thành

Ví dụ 4 Cho ma trận sau: Tìm

Giải

DetA= 8+4+(-30)-12-10+8=-32

Ta có :

1.4 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1.4.1 Giải phương trình ma trận

Cho hai ma trận A và B, tìm ma trận X thoả mãn phương trình:

AX=B (1) Nếu ma trận A không suy biến (det(A) ≠0), thì sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo

Từ đó ta có:

Tương tự nếu giải phương trình ma trận:

XA=B (2)

1.4.2 Ứng dụng ma trận nghịch đảo và bài toán thực tế

Ví dụ 5: Lớp điện 7 có top 10 bạn điểm kiểm tra cao nhất bao gồm các điểm 8 ,9 ,

10 biết rằng tổng số điểm của 10 bạn là 87 và tổng số bạn có điểm 9 và 10 bằng tổng số bạn có điểm 8 Hỏi có bao nhiêu bạn được điểm 8, bao nhiêu bạn được điểm 9, bao nhiêu bạn được điểm 10?

Giải:

Gọi số bạn được điểm 10 là a

Gọi số bạn được điểm 9 là b

Gọi số bạn được điểm 8 là c

Theo đề bài ta có HPT : (*)

Từ (*) ta có :

A= ; X= ; B=

(*) trở thành : A.X=B (1)

Det(A)=-20 tồn tại A-1

Ta có : A*=

a11=(-1)1+1.Det(M11)==-2

a12=(-1)1+2.Det(M12)==-2

7

a13=(-1)1+3.Det(M13)==0

Tương tự ta tính được :

a21 =17 , a31=1

a22=-18 , a32=-2

a23=-1 , a33=1

A*=

Ta có : A-1=.A*

A-1= A-1=

Nhân A-1 vào bên trái của hai vế phương trình (1) ta được :

A-1.A=A-1.B X=A-1.B=

Kết luận có 2 bạn 10 điểm, 3 bạn 9 điểm, 5 bạn 8 điểm

Phần 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1 Hệ phương trình tuyến tính

Một hệ phương trình tuyến tính ba ẩn có thể được xem là tập hợp các mặt phẳng giao nhau Giao điểm là nghiệm của hệ

Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số Ví dụ:

là hệ gồm ba phương trình với ba biến số x, y, z Một nghiệm của hệ là một hệ thống tuyến tính thỏa mãn các phương trình đã cho Một nghiệm của hệ trên là x=1

y=-2

z=-2

nó làm cho ba phương trình ban đầu thỏa mãn

Ví dụ cơ bản

Một dạng phương trình tuyến tính đơn giản nhất là hệ gồm hai phương trình với hai ẩn:

Một phương pháp giải cho hệ trên là phương pháp thế Trước hết, biến đổi phương trình đầu tiên để được phương trình tính ẩn x theo y:

9

Sau đó thế hệ thức này vào phương trình dưới:

Ta được một phương trình bật nhất theo y Giải ra, ta được y=1, và tính lại x được x=3/2

2.2 Hình thức tổng quát

Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:

Ax=b

Với A là ma trận chứa các hệ số ai, j (ai, j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j

của A); x là vector chứa các biến xj; b là vector chứa các hằng số bi Tức là:

Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

Hệ không có nghiệm (vô nghiệm)

Hệ có duy nhất một nghiệm

Hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học, sản xuất, kinh tế,

2.3 Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quát

Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải Ā.

Hệ phương Ax=b là hệ có n ẩn:

Nếu r(A) < r(Ā) thì hệ vô nghiệm

Nếu r(A) = r(Ā) hệ có nghiệm và

+Nếu r(A) = r(Ā) = n hệ có nghiệm duy nhất

+Nếu r(A) = r(Ā) < n hệ có vô số nghiệm (n-r) tham số

(không xảy ra trường hợx r(A) > r(Ā)

Hệ phương Ax=0 là hệ có n ẩn:

Hệ có nghiệm duy nhất(nghiệm tầm thường): r(A)=n

Hệ có vô số nghiệm(nghiệm không tầm thường): r(A)<n

Đối với ma trận vuông: detA= 0 => vô số nghiệm

Ví dụ 1: giải hệ phương trình:

X1 + X2 + 3X3 - X4 = 7

2X1 + 5X2 –X3 + 2X4 = 22

3X1+ 8X2 + X3 - X4 = 24

11

Giải

Ở đây m = 3, n = 4

A=

d2+d3−>d3

Ta có r(A) = r(Ā) = 3 < n =4

Vậy hệ có vô số nghiệm.

Giải ma trận cuối cùng ta có:

X1 + 3X2 + X3 – X4 = 7

-X2 + 3X3 + 4X4 = 8

X3 – 2X4 = -5 Đặt X4 = C ta được:

X1 + 3X2 + X3 = 7 + C X1 = -9 +5C

X2 –3X3 = 8 – 4C => X2 = 7-2C

X3 = -5 +2C X3 = -5 + 2C

X4 = C

Với mỗi giá trị của C ta có một nghiệm

Ví Dụ 2: Giải hệ sau :

X + 2Z = 6

-3X + 4Y +6Z = 30

-X – 2Y + 3Z = 8

Giải

Ta có :

A=

b=

Ta tính được det(A) = 44 ≠ 0; det(A1) = –40; det(A2) = 72; det(A3) = 152 Ta

có nghiệm của hệ đã cho là:

X1 = = X2 = = X3 = =

2.4 Các trường hợp đặc biệt

Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác

Nếu b=0 (mọi bi bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất Tập tất cả các nghiệm

của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vector con của ,

nó được gọi là hạt nhân của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A) Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm duy nhất là

nghiệm không

2.5.Các phương pháp giải

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

 Phương pháp Cramers (số ẩn = số phương trình, định thức ≠0)

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính theo công thức:

Trong đó:

A là ma trận hệ số

là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi hệ số cột tự do

 Phương pháp Gauss-Jordan

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B

Bước 1: Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên hàng

Ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho

Bước 2: Giải hệ phương trình mới với quy tắc: Các ẩn mà các hệ số là các phần tử khác 0 đầu tiên trên các hàng của ma trận bậc thang được gọi là các ẩn ràng buộc Các ẩn còn lại là các ẩn tự do

 Một số phương pháp khác:

Phương pháp loại bỏ Gauss

Phương pháp nghịch đảo,

2.6 Định luật Kirchhoff

13

2.6.1 Định luật Kirchhoff về cường độ dòng điện

Dòng điện vào nút bằng dòng điện từ nút ra i2 + i3 = i1 + i4 Với quy ước: Dòng điện rời khỏi nút có giá trị âm và dòng điện hướng vào nút có giá trị dương (hay ngược lại)

Định luật này còn được gọi là định luật Kirchhoff 1 (K1) hay định luật bảo

toàn điện tích tại một nút, gọn lại là định luật nút

Nguyên lý về bảo toàn điện tích bao hàm ý:

Tại bất kỳ nút (ngã rẽ) nào trong một mạch điện, thì tổng cường độ dòng điện chạy đến nút phải bằng tổng cường độ dòng điện từ nút chạy đi, hay:

Tổng giá trị đại số của dòng điện tại một nút trong một mạch điện là bằng không

Công thức:

với n là tổng số các nhánh với dòng điện chạy vào nút hay từ nút ra.

Công thức theo dòng phức:

2.6.2 Định luật Kirchhoff về điện thế

Cũng như định luật K1, định luật K2 phát biểu:

Tổng giá trị điện áp dọc theo một vòng bằng 0

Công thức:

với n là tổng số các điện áp được đo

Công thức theo điệp áp phức:

Ví Dụ

Ví dụ mạch gồm 3 điện trở và 2 nguồn như hình:

Theo định luật 1, ta có:

Định luật 2 áp dụng cho vòng s1:

Định luật 2 áp dụng cho vòng s2:

Đến đây ta có hệ phương trình tuyến tính cho 3 ẩn số :

Giả sử:

15

kết quả: i3 mang dấu âm vì hướng của i3 ngược với hướng giả định trong hình

2.7 Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

2.7.1 Ứng dụng trong sản xuất

VD1: một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A,B và C mỗi sản phẩm phải qua ba công

đoạn cắt lắp ráp và đóng gói với thời gian yêu cầu của mỗi công đoạn được liệt ở bản sau đây:

Các bộ phận cắt lắp ráp đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là 380,

330 và 120 giờ công Hỏi trong nhà máy cần số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để hoạt động hết năng suất?

Bài làm:

Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần sản xuất (cái) đk: x1, x2,

x3 € N

Thời gian cắt để sản xuất sản phẩm là: 0.6x1+ x2+ 1.5x3 (giờ)

Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm là: 0.6x1+ 0.9x2+ 1.2x3 (giờ)

Thời gian đóng gói để sản xuất sản phẩm là: 0.2x1+ 0.3x2+ 0.5x3 (giờ)

Để nhà máy hoạt động hết năng suất cần điều kiện là:

0.6x1+ x2+ 1.5x3 = 380

0.6x1+ 0.9x2+ 1.2x3 = 33

0.2x1+ 0.3x2+ 0.5x3 = 120

Ta có:

A=

d3-d2−>d3

0.3x3 = 3 100

Vậy số lượng sản phẩm A, B, C lần lượt là 50, 200, 100 (cái)

2.7.2 Ứng dụng trong cân bằng phương tình hoá học

CH4+O2 -> CO2+H2O

Giải:

Để cân bằng phản ứng, ta cần tìm các số nguyên dương x, y, z, t sao cho

xCH4+yO2 -> zCO2+tH2O

Đối với mỗi nguyên tố, số nguyên tử ở vế phải và vế trái phải bằng nhau, ta có: + Carbon: x=z

+ Hydrogen: 4x=2t

+ Oxygen: 2y=2z+t

Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

+ x-z=0

+ 4x-2t=0

+ 2y-2z-t=0

Giải hệ, ta có nghiệm tổng quát:

x=t/2, y=t, z=t/2, t là số thực tùy ý

Số nguyên dương t nhỏ nhất để x, y, z, t là nguyên dương là t=2

Do đó cân bằng được phương trình phản ứng:

CH4+2O2 -> CO2+2H2O

VD2 : Cân bằng phương trình hóa học sau:

a Al + b H2SO4 → c Al2(SO4)3 + d H2

Giải:

 Với nguyên tố Al: a = 2c

 Với nguyên tố S: b = 3c

 Với nguyên tố H: 2b = 2d

 Với nguyên tố O: 4b = 12c

Ta có hệ phương trình:

 a + 0b - 2c + 0d = 0

 0a + b - 3c + 0d = 0

17

 0a + 2b + 0c - 2d = 0

 0a + 4b - 12c + 0d = 0

Ta sẽ đưa hệ trên vào ma trận tuyến tính và biến đổi nó về ma trận đường chéo:

Lúc này ta có hệ:

d = BCNN(3, 1, 3) = 3, a = 2, b = 3, c = 1

Do đó, phương trình phản ứng được cân bằng như sau:

2Al + 3H2SO4 → Al2(SO4)3 + 3H2

Kết luận

Thông qua bài báo cáo trên nhóm 03 lớp Kĩ thuật hệ thống công nghiệp đã trình bày được các ứng dụng tiêu biểu và phổ biến nhất của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính Ma trận nghịch đảo được ứng dụng trực tiếp để giải hệ phương trình tuyến tính và trong các bái toán thực tế như trong việc bảo mật truyền thông tin, tính toán được 1 số bài toán liên quan đến thống kê, Hệ phương trình

báo cáo trên nhóm 03 đã trình bày những ứng dụng tiêu biểu nhất của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính trong môn Đại số tuyến tính

19