Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA QUẢN LÍ KINH DOANH──────── * ───────BÁO CÁO NHÓM 1HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BS6009018ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA QUẢN LÍ KINH DOANH

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM 1 HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BS6009018

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN

TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Mỹ Duyên

Nguyễn Hoàng Anh

Đỗ Ngọc Ánh Cao Thùy Dung Nguyễn Tuấn Hiển

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA QUẢN LÍ KINH DOANH

BẢNG ĐÁNH GIÁ TỪNG THÀNH VIÊN TRONG NHÓM

1 Bảng đáng giá tiêu chí làm việc nhóm

Đưa ra ýkiến và ýtưởng làmbài

Giao tiếp

và phốihợp vớicác thànhviên khác

để cùnggiải quyếtvấn đề

Tổ chức

và hướngdẫn cảnhóm

Hoànthànhcông việchiệu quả

Tổng điểmđược đánhgiá chotừng thànhviên

2 Tổng điểm đánh giá các thành viên và quy đổi ra hệ số cá nhân

 Bảng tổng điểm đánh giá các thành viên

STT Tên thành viên

TĐ = Tổngđiểm được đánhgiá bởi tất cảcác thành viêntrong nhóm

Điểm trungbình

= TĐ/(5*sốthành viên)

Hệ số cánhân (dựavào bảng quiđổi)

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 6

PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 7

1 Các khái niệm về ma trận 7

2 Ma trận nghịch đảo 8

3 Hệ phương trình tuyến tính 9

PHẦN II ỨNG DỤNG 12

1 Một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo 12

2 Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến 17

KẾT LUẬN 26

LỜI CẢM ƠN 27

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lí thuyết toán học dù cao cấp trừutượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống Lýthuyết Đại số tuyến tính nói chung và lý thuyết ma trận nói riêng đều là một nhánh

cơ bản của toán học Ma trận là một bảng được điền với một bộ số cụ thể theo mộtthứ tự cụ thể với những phép tính toán học được trang bị trên tập hợp các ma trận.Thông thường ta hay gặp một số bài toán về định thức, tìm ma trận nghịch đảo nhưng trong thực tế với những phương pháp giải truyền thống thì không phải lúcnào cũng giải quyết các bài toán một cách thuận lợi, suôn sẻ, nhất là những bài tậptập lớn, cồng kềnh, phức tạp, khó phát hiện quy luật Chính vì vậy, một hướng giảiquyết mới dựa trên cơ sở lí thuyết về ma trận nghịch đảo và phương trình tuyến tínhvận dụng vào thực tế nhằm tối ưu hóa khả năng tính toán và ứng dụng trong rấtnhiều lĩnh vực khác nhau như đồ họa máy tính, vật lí và kĩ thuật, hóa học Đặc biệttrong lĩnh vực kinh tế - tài chính, nó được sử dụng để tối ưu hóa doanh mục đầu tư,quản lí rủi ro và tính toán một số thành phần trong nền kinh tế Tính linh hoạt vàtầm quan trọng của đại số tuyến tính làm cho nó trở thành công cụ có giá trị trongviệc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực và thúc đẩy các ngành công nghiệpkhác nhau

Dựa trên cơ sở lí thuyết về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính màchúng em đã được học tập và tìm hiểu, bài báo cáo này của nhóm chúng em sẽ trìnhbày một số ứng dụng thú vị của ma trận thông qua các ví dụ thực tế sau đây:

1 Ứng dụng của ma của ma trận nghịch đảo trong mã hóa thông tin và các ứngdụng vào thực tiễn như: nghiên cứu, sản xuất, kinh tế

2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế

6

Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com)

 Ma trận vuông: là ma trận có số dòng bằng số cột bằng n được gọi là ma trận

vuông cấp n Trong ma trận vuông

A = Các phần tử a11,a12, ,ann được gọi là các phần tử chéo Đường chéo chứa cácphần tử chéo được gọi là đường chéo chính

 Ma trận không: ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 Kí hiệu: hoặc đơn giản

là

 Ma trận bằng nhau: là hai ma trận cùng cấp A = và B = được gọi là ma trận

bằng nhau và kí hiệu là A = B, nếu và chỉ nếu các phần tử tương ứng củachúng bằng nhau: aij = bij, i = j =

 Ma trận đường chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài

đường chéo chính bằng 0

 Ma trận đơn đơn vị: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường

chéo chính bằng 0, đồng thời tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chínhbằng 1, kí hiệu là:

 Ma trận tam giác: là ma trận vuông mà tất cả các phần tử nằm về phía dưới

(hoặc trên) của đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên(hoặc ma trận tam giác dưới)

 Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A = Nếu đổi dòng thành cột (hoặc cột thành

dòng) thì ma trận mới được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu:

At

2 Ma trận nghịch đảo

2.1 Các khái niệm

2.1.1 Ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại một ma trận vuông B

cùng cấp với A sao cho AB  BA  I thì:

Ma trận nghịch đảo của ma trận A được ký hiệu là: A-1 Như vậy A-1A = AA-1 = I

Nhận xét: Khi A là ma trận khả đảo thì (A-1)-1=A

2.1.2 Ma trận không suy biến

Định nghĩa 2: Ma trận vuông A được gọi là ma trận không suy biến nếu det( A) ≠ 0 2.1.3 Ma trận phụ hợp

 Tính chất 2: Nếu ma trận A không suy biến thì det (A-1) =

 Tính chất 3: Nếu A và B là các ma trận vuông cùng cấp, không suy biến thì:

2.3.2 Phương pháp Gauss – Jordan

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (là ma trận vuông cấp n, det () ≠ 0), ta thựchiện tuần tự các bước sau:

 Bước 1: Đặt bên cạnh ma trận một ma trận đơn vị cùng cấp với

8

Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com)

 Bước 2: Tác động các phép biến đổi sơ cấp như nhau đồng thời lên các dòngcủa và đến khi trở thành thì khi đó trở thành

3 Hệ phương trình tuyến tính

3.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình dạng:

(1)Trong đó x1,x2, ,xn là các ẩn số, aij và bi, (, ) lần lượt là các hệ số của ẩn và hệ số tựdo

Khi đó, hệ (1) có thể viết dưới dạng phương trình ma trận AX = B

Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1), ta cũng đặt :

=

là ma trận hệ số mở rộng (hay ma trận hệ số đầy đủ) của hệ phương trình (1)

3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm

Định lý 1: ( Kronecker – Capelli) Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình

tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số mở rộng bằng hạng của ma trận hệ

số của nó, tức là:

Hệ quả:

 Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm

 Nếu thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

 Nếu thì hệ phương trình có vô số nghiệm

3.3 Một số dạng hệ phương trình tuyến tính đặc biệt

3.3.1 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính có dạng: (2)

Nhận xét:

 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm:

nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường

 Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, chỉ xảy ra một trong haitrường hợp sau đây:

 Khi thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường

 Khi thì hệ phương trình (2) vô số nghiệm

3.3.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác

Hệ phương trình tuyến tính tam giác có dạng:

(3)

Dễ dàng giải hệ (3) này bằng cách xác định xn, xn-1, , x1 theo thứ tự phương trình từ

dưới cùng trở lên Như vậy, hệ tam giác luôn có một nghiệm duy nhất.

3.3.3 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang

Hệ phương trình tuyến tính có dạng:

(

Hệ hình thang được giải bằng cách giữ lại các ẩn ở vế trái và chuyển các ẩn sang

vế phải ta sẽ được một hệ tam giác đối với các ẩn

Như vậy, hệ hình thang có vô số nghiệm Giải hệ hình thanh là tìm nghiệm tổng

3.4.2 Phương pháp giải hệ Cramer

 Hệ AX = B gọi là hệ Cramer nếu ma trận hệ số của nó là ma trận không suybiến hay det (A)

Định lí: Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất, được tính theo công thức

Trong đó det (A) là định thức của ma trận hệ số, det (Aj) là định thức nhận được từ

định thức của ma trận A nhưng đã thay cột thứ j bằng cột số hạng tự do B (các cột

1.1 Ứng dụng 1: Ma trận nghịch đảo được dùng để bảo mật, mã hóa

thông tin, tin nhắn

Bài toán 1: Cho ma trận A = và một sự tương ứng giữa các kí tự các số như sau :

Một bạn tra muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảm bảo bí mật, anh tadùng bảng tương ứng trên chuyển tin nhắn thành một dãy số và viết dãy số nàythành ma trận B Theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là 1 vị trí

s cấếp đ a A vếề ơ ư

d ng ma tr n ạ ậ tam giác (ho c ặ

ma tr n b c ậ ậ thang)

gi i ng ả ượ ệ c h

trên các dòng của B Sau khi tính D = B.A và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy

“1 2 1 2 0 3 3 1 4” Hãy giải mã thông tin trên

theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải, mỗi chữ số là 1 vị trí trên các dòng B, Khi

C = B.A và chuyển C về dãy số thì được dãy:

1.2 Ứng dụng 2 : Ma trận nghịch đảo được ứng dụng vào thực tiễn như :

nghiên cứu, sản xuất , kinh tế

Bài toán 1: Một nhóm cùng nhau đi du lịch Địa điểm ở 2 nơi khác nhau với

khoảng cách khá xa Khi xuất phát đến địa điểm thứ nhất, họ đi bằng tàu hỏa, chiphí là 1tr/trẻ em , 2tr/thanh thiếu niên và 3tr/người lớn và tổng chi phí là 57tr; khi đi

tới địa điểm 2 họ đi bằng ô tô chi phí là 4 triệu đồng/ trẻ em; 1tr đồng/thanh thiếuniên và 2tr đồng/ người lớn với tổng chi phí là 63tr đồng Khi đi về họ đi bằng máybay với chi phí 2tr đồng/trẻ em; 5tr đồng/thanh thiếu niên; 8tr đồng/người lớn vớichi phí 141tr đồng Sử dụng ma trận nghịch đảo, hãy tìm số lượng trẻ em, số lượngthanh thiếu niên và số lượng người lướn trong nhóm đó

A21 = -1; A22 = 2; A23 = -1

A31 = 1; A32 = 10; A33 = -7

 A-1 = =

Có: X= A-1.B = =

Suy ra

Vậy trong nhóm có 9 trẻ em; 15 thanh thiếu niên; 6 người lớn

Bài toán 2: Một cửa hàng bán 3 loại trái cây: Cam, Táo, Xoài Biết rằng số hàng

bán được trong 3 tháng đầu năm là như sau:

Gọi a,b,c lần lượt là giá của 1kg Táo , Xoài , Cam

Theo đề bài ta có hệ có phương trình :

.= (1)Đặt A =; X =; B=

Khi đó phương trình (1) trở thành: A.X = B => X = A-1 B

Det (A) = -1163000 ≠ 0 do đó tồn tại A-1

A-1 = A* với A*=

Ta có : A11 = Det(M11) = 10050,

A21 = -Det(M12) = -29300

A31 = Det(M13) = 15300Tương tự: A12 = -33750, A22 = 55000, A32 = -18400

2 Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến

2.1 Thiết lập bài toán quản trị trong hoạt động sản xuất kinh doanh

2.1.1 Biến kinh tế.

- Biến nội: biến kinh tế doanh nghiệp có thể kiểm soát được.

- Biến ngoại: biến kinh tế doanh nghiệp không thể kiểm soát được.

Người ta thường kí hiệu các biến kinh tế như sau:

(Quantity): sản lượng (Quantity Supplied): Lượng cung

Quantity Demanded): Lượng cầu (Price): Giá cả

2.1.2 Đường cung và đường cầu

Toán học cho ta kết quả về đường thẳng như sau:

- Nếu đường thẳng có phương trình y= ax+b, a>0 là hàm tăng, có đường biểudiễn đi lên từ trái qua phải

- Ngược lại nếu đường thẳng có phương trình y =-ax+b, a>0 thì hàm y giảm,

có đường biểu diễn đi xuống từ trái qua phải

Trong khi đó, các nhà kinh tế quan sát thị trường, họ nhận thấy rằng: “Người tiêu

dùng sẽ mua lượng hàng hóa nhiều hơn khi giá giảm xuống, và mua ít hàng hóa khi giá tăng lên” trong điều kiện các yếu tố khác không đổi.

Tương tự, các nhà kinh tế ghi nhận được rằng “Nhà cung ứng sẽ cung cấp lượng

hoàng hóa, dịch vụ nhiều hơn khi giá tăng lên, và cung ứng hàng hóa dịch vụ ít

đi khi giá giảm xuống” với các điều kiện khác không đổi.

Giả định rằng, quan hệ hàm giữa lượng cung, cầu với giá là một đường thẳng thì:

- Hàm cung có dạng:

16

Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com)

- Hàm cầu có dạng:

Trong đó là là lượng cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán; làlượng cầu, tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua; là các hằng sốdương, là giá hàng hóa

Các nhà kinh tế định nghĩa: “Thị trường cân bằng là tại đó lượng cung = lượng

cầu”, mục tiêu của nhà quản trị là: Tìm giá bán hàng hóa và sản lượng ở mức thị

trường cân bằng

Sau đây chúng ta có một số ứng dụng cơ bản của việc giải hệ phương trình tuyếntính vào bài toán quản trị sản xuất kinh doanh

2.2 Ứng dụng trong kinh tế

2.2.1 Mô hình cân bằng thị trường

a Thị trường một loại hàng hóa

Chi một hàng hóa, có các thông tin sau:

- Hàm cung:

- Hàm cầu:

Trong đó a0,a1,b0,b1 là các hằng số dương, p là giá mặt hàng

Mô hình cân bằng thị trường có dạng:

Giải hệ phương trình ta được:

- Giá cân bằng

- Lượng cân bằng

Ví dụ: Một hàng hóa lưu thông trên thị trường có các thông tin như sau:

Khi đó, thị trường cân bằng khi:

Vậy giá cân bằng và lượng cân bằng

b Thị trường có nhiều loại hàng hóa

Giả sử có n hàng hóa đang lưu thông trên thị trường và giá của hàng hóa này có thểảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của hàng hóa khác Để xét mô hình cânbằng thị trường của n hàng hóa này ta kí hiệu lần lượt là: Qsi, Qdi, Pi.

Giả thiết các yếu tố khác không đổi, hàm cung và hàm cầu của hàng hóa thứ i là:

(i = 1,2,…,n)

(i = 1,2,…,n)

Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng như sau:

Từ hệ phương trình này ta suy ra hệ phương trình xác định giá cân bằng

Đặt cik = aik – bik với mọi i = 1,2,…,n và k = 0,1,2,…,n ta được hệ phương trình:

Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau

đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng

Ví dụ 1: (Thị trường có 3 loại hàng hóa)

Giả sử thị trường có 3 hàng hóa hàm cung và hàm cầu như sau:

Thị trường cân bằng khi cung và cầu bằng nhau, Khi đó ta có hệ phường trình:

Để giải hệ phương trình này ta đặt

Và sản lượng cân bằng:

Vậy giá cân bằng là:

Sản lượng cân bằng là:

Ví dụ 2: (Thị trường có 4 loại hàng hóa)

Một siêu thị có bán bốn loại gạo: gạo Thái, gạo Điện Biên, gạo bắc hương và gạoHải Hậu với giá lần lượt là p1, p2, p3, p4 Nhân viên siêu thị xác định được hàmcung và hàm cầu như sau:

Thị trường cân bằng khi cung bằng cầu Khi đó, ta có hệ :

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng, ta được:

Vậy người nhân viên đó phải nhập nhập hàng với giá và lượng cân bằng như sau

 Gạo Thái: lượng cân bằng là 109 với mức giá cân bằng là 21

 Gạo Điện Biên: lượng cân bằng là 37 với mức giá cân bằng là 18

 Gạo Bắc Hương: lượng cân bằng là 3 với mức giá là 16

 Gạo Hải Hậu: lượng cân bằng là 73 với mức giá cân bằng là 14

2.2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Ta xét mô hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng (không có quan hệ kinh tếvới nước ngoài)

Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income) và E là tổng chi tiêu kế hoạch (PlannedEpenditure) của nền kinh tế, trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phươngtrình

Y=E

Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế gồm cácthành phần sau:

C: tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình;

G: chi tiêu của chính phủ (Government);

I: chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất (Investment)

Khi đó phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:

Y = C+G+I

Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I=I0 và chính sách tài khóa của chínhphủ là cố định G=G0, còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhậpdưới dạng hàm bậc nhất (gọi là hàm tiêu dùng):

C=aY+b (0<a<1, b>0)

Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có thêm 1 đơn vị thu nhập,được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên, còn b là mức tiêu dùng tối thiểu, tức làmức tiêu dùng khi không có thu nhập

Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này quy về hệ phương trình tuyếntính:

20

Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com)

Giải hệ phương trình này ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùngcân bằng của nền kinh tế:

Trên đây là mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô dạng đơn giản Độ phức tạp của môhình sẽ tăng lên nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất nhậpkhẩu… Nếu tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi như sau:

Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng là:

Ví dụ 1: Nếu C=150+ 0,75Y; I0= 400; G0= 300 (tính bằng triệu USD) thì ta tínhđược mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng là:

Nếu nhà nước thu thuế thu nhập ở mức 20% thì t = 0,2

Khi đó mức cân bằng như sau:

Ví dụ 2: Nếu C = 200 + 0.5Yd , Io = 350, Go = 350 ( tính bằng triệu USD) thì ra

tính được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng và mức tiêu dùng cânbằng là:

= = 1800; = = 1100

Nếu nhà nước thu thuế thu nhập ở mức 20% thì t = 0.2

Khi đó mức cân bằng như sau:

= = 1500; = = 800