Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA QUẢN LÍ KINH DOANH──────── * ───────BÁO CÁO NHÓM 1HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BS6009018ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯ

lOMoARcPSD|39108650 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA QUẢN LÍ KINH DOANH ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM 1 HỌC PHẦN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BS6009018 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Mỹ Duyên Nguyễn Hoàng Anh Đỗ Ngọc Ánh Cao Thùy Dung Nguyễn Tuấn Hiển Cù Thị Hòa Tên lớp : 2022DHQTKDLK01 Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Văn Tuấn Hà Nam, ngày 22 tháng 04 năm 2023 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA QUẢN LÍ KINH DOANH BÁO CÁO ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Thực hiện: Nhóm 1 2 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 BẢNG ĐÁNH GIÁ TỪNG THÀNH VIÊN TRONG NHÓM 1 Bảng đáng giá tiêu chí làm việc nhóm Tiêu chí Sự nhiệt Đưa ra ý Giao tiếp Tổ chức Hoàn Tổng điểm tình trong kiến và ý và phối và hướng thành được đánh Tên công việc tưởng làm hợp với dẫn cả công việc giá cho Thành bài các thành nhóm hiệu quả từng thành Viên viên khác viên để cùng giải quyết vấn đề Nguyễn Thị Mỹ Duyên Nguyễn Hoàng Anh Đỗ Ngọc Ánh Cao Thùy Dung Nguyễn Tuấn Hiển Cù Thị Hòa 3 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 2 Tổng điểm đánh giá các thành viên và quy đổi ra hệ số cá nhân  Bảng tổng điểm đánh giá các thành viên STT Tên thành viên TĐ = Tổng Điểm trung Hệ số cá điểm được đánh bình nhân (dựa giá bởi tất cả = TĐ/(5*số vào bảng qui các thành viên thành viên) đổi) trong nhóm 1 Nguyễn Thị Mỹ Duyên 2 Nguyễn Hoàng Anh 3 Đỗ Ngọc Ánh 4 Cao Thùy Dung 5 Nguyễn Tuấn Hiển 6 Cù Thị Hòa  Bảng quy đổi ra hệ số cá nhân Điểm trung [9;10] [8;9] [7;8] [6-7) [5-6) bình Hệ số cá 1.2 1 0.8 0.6 0.4 nhân 4 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 6 PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 7 1 Các khái niệm về ma trận .7 2 Ma trận nghịch đảo .8 3 Hệ phương trình tuyến tính 9 PHẦN II ỨNG DỤNG 12 1 Một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo 12 2 Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến 17 KẾT LUẬN 26 LỜI CẢM ƠN 27 5 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 LỜI MỞ ĐẦU Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lí thuyết toán học dù cao cấp trừu tượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống Lý thuyết Đại số tuyến tính nói chung và lý thuyết ma trận nói riêng đều là một nhánh cơ bản của toán học Ma trận là một bảng được điền với một bộ số cụ thể theo một thứ tự cụ thể với những phép tính toán học được trang bị trên tập hợp các ma trận Thông thường ta hay gặp một số bài toán về định thức, tìm ma trận nghịch đảo nhưng trong thực tế với những phương pháp giải truyền thống thì không phải lúc nào cũng giải quyết các bài toán một cách thuận lợi, suôn sẻ, nhất là những bài tập tập lớn, cồng kềnh, phức tạp, khó phát hiện quy luật Chính vì vậy, một hướng giải quyết mới dựa trên cơ sở lí thuyết về ma trận nghịch đảo và phương trình tuyến tính vận dụng vào thực tế nhằm tối ưu hóa khả năng tính toán và ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau như đồ họa máy tính, vật lí và kĩ thuật, hóa học Đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế - tài chính, nó được sử dụng để tối ưu hóa doanh mục đầu tư, quản lí rủi ro và tính toán một số thành phần trong nền kinh tế Tính linh hoạt và tầm quan trọng của đại số tuyến tính làm cho nó trở thành công cụ có giá trị trong việc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực và thúc đẩy các ngành công nghiệp khác nhau Dựa trên cơ sở lí thuyết về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính mà chúng em đã được học tập và tìm hiểu, bài báo cáo này của nhóm chúng em sẽ trình bày một số ứng dụng thú vị của ma trận thông qua các ví dụ thực tế sau đây: 1 Ứng dụng của ma của ma trận nghịch đảo trong mã hóa thông tin và các ứng dụng vào thực tiễn như: nghiên cứu, sản xuất, kinh tế 2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế 6 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1 Các khái niệm về ma trận  Ma trận cấp : là một bảng số gồm số xếp thành m dòng và n cột gọi là ma trận cấp và được kí hiệu như sau: A = , hoặc A = là phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A  Ma trận vuông: là ma trận có số dòng bằng số cột bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông A = Các phần tử a11,a12, ,ann được gọi là các phần tử chéo Đường chéo chứa các phần tử chéo được gọi là đường chéo chính  Ma trận không: ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 Kí hiệu: hoặc đơn giản là  Ma trận bằng nhau: là hai ma trận cùng cấp A = và B = được gọi là ma trận bằng nhau và kí hiệu là A = B, nếu và chỉ nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau: aij = bij, i = j =  Ma trận đường chéo: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0  Ma trận đơn đơn vị: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, đồng thời tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1, kí hiệu là:  Ma trận tam giác: là ma trận vuông mà tất cả các phần tử nằm về phía dưới (hoặc trên) của đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (hoặc ma trận tam giác dưới)  Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A = Nếu đổi dòng thành cột (hoặc cột thành dòng) thì ma trận mới được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu: At 2 Ma trận nghịch đảo 2.1 Các khái niệm 2.1.1 Ma trận nghịch đảo 7 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại một ma trận vuông B cùng cấp với A sao cho AB  BA  I thì: Ma trận nghịch đảo của ma trận A được ký hiệu là: A-1 Như vậy A-1A = AA-1 = I Nhận xét: Khi A là ma trận khả đảo thì (A-1)-1=A 2.1.2 Ma trận không suy biến Định nghĩa 2: Ma trận vuông A được gọi là ma trận không suy biến nếu det( A) ≠ 0 2.1.3 Ma trận phụ hợp Định nghĩa 3: Xét một ma trận vuông cấp n bất kỳ A = Ứng với ma trận A ta lập ma trận: A* = Trong đó Aij = (-1)i+j det(Mij) là phần bù đại số ca phần tử aij Ma trận A* là ma trận phụ hợp của ma trận A 2.2 Tính chất  Tính chất 1: Nếu ma trận A là ma trận khả đảo thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất  Tính chất 2: Nếu ma trận A không suy biến thì det (A-1) =  Tính chất 3: Nếu A và B là các ma trận vuông cùng cấp, không suy biến thì: (AB)-1 = B-1A-1 2.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 2.3.1 Sử dụng ma trận phụ hợp để tìm ma trận nghịch đảo Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là: Det (A) ≠ 0 Khi đó ta có công thức: A-1 = A* 2.3.2 Phương pháp Gauss – Jordan Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (là ma trận vuông cấp n, det () ≠ 0), ta thực hiện tuần tự các bước sau:  Bước 1: Đặt bên cạnh ma trận một ma trận đơn vị cùng cấp với 8 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650  Bước 2: Tác động các phép biến đổi sơ cấp như nhau đồng thời lên các dòng của và đến khi trở thành thì khi đó trở thành 3 Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình dạng: (1) Trong đó x1,x2, ,xn là các ẩn số, aij và bi, (, ) lần lượt là các hệ số của ẩn và hệ số tự do Ứng với hệ phương trình (1) ta lập các ma trận: A=; B=; X = A gọi là ma trận hệ số B gọi là ma trận hệ số tự do X gọi là ma trận ẩn Khi đó, hệ (1) có thể viết dưới dạng phương trình ma trận AX = B Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1), ta cũng đặt : = là ma trận hệ số mở rộng (hay ma trận hệ số đầy đủ) của hệ phương trình (1) 3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm Định lý 1: ( Kronecker – Capelli) Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số của nó, tức là: Hệ quả:  Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm  Nếu thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất  Nếu thì hệ phương trình có vô số nghiệm 9 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 3.3 Một số dạng hệ phương trình tuyến tính đặc biệt 3.3.1 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính có dạng: (2) Nhận xét:  Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất một nghiệm: nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường  Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau đây:  Khi thì hệ phương trình (2) có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường  Khi thì hệ phương trình (2) vô số nghiệm 3.3.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác Hệ phương trình tuyến tính tam giác có dạng: (3) Dễ dàng giải hệ (3) này bằng cách xác định xn, xn-1, , x1 theo thứ tự phương trình từ dưới cùng trở lên Như vậy, hệ tam giác luôn có một nghiệm duy nhất 3.3.3 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang Hệ phương trình tuyến tính có dạng: ( Hệ hình thang được giải bằng cách giữ lại các ẩn ở vế trái và chuyển các ẩn sang vế phải ta sẽ được một hệ tam giác đối với các ẩn Như vậy, hệ hình thang có vô số nghiệm Giải hệ hình thanh là tìm nghiệm tổng quát của nó 3.4 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 3.4.1 Phương pháp GAUSS Giải hệ phương trình AX = B theo các bước như sau: Bước 1 Bước 2 10 Bước 3 Viếết ma trận mở Downloaded bTyhAựNcHhLEiệ(bnacchávcan14@gmail.com) Viếết lại hệ lOMoARcPSD|39108650 giải ngược hệ sơ cấếp đưa A vếề dạng ma trận tam giác (hoặc ma trận bậc thang) 3.4.2 Phương pháp giải hệ Cramer  Hệ AX = B gọi là hệ Cramer nếu ma trận hệ số của nó là ma trận không suy biến hay det (A) Định lí: Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất, được tính theo công thức Trong đó det (A) là định thức của ma trận hệ số, det (Aj) là định thức nhận được từ định thức của ma trận A nhưng đã thay cột thứ j bằng cột số hạng tự do B (các cột khác giữ nguyên)  Giải hệ Cramer bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: AX = B (*) Trong đó: A=; B=; X = Theo giả thiết ma trận A không suy biến, do đó tồn tại ma trận nghịch đảo A-1 Từ (*) ta có : A-1(AX) = A-1B  X = A-1B Ngược lại, nếu thay X = A-1B vào (*) thì ta được đẳng thức đúng : AX = A(A-1B) = (AA-1)B = IB = B Vậy hệ Cramer có nghiệm duy nhất, được xác định nhờ công thức : X = A-1B PHẦN II ỨNG DỤNG 1 Một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo 1.1 Ứng dụng 1: Ma trận nghịch đảo được dùng để bảo mật, mã hóa thông tin, tin nhắn Bài toán 1: Cho ma trận A = và một sự tương ứng giữa các kí tự các số như sau : -87 -65 -9 2 4 15 20 26 35 A H T N O C I O U Một bạn tra muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảm bảo bí mật, anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyển tin nhắn thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B Theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là 1 vị trí 11 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 trên các dòng của B Sau khi tính D = B.A và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy “1 2 1 2 0 3 3 1 4” Hãy giải mã thông tin trên Giải Ta có: D = B.A  B = D.A-1 mà A-1 là ma trận cỡ 3x3  D có 3 cột, mà dãy số có 9 phần tử  Mỗi cột có 3 phần tử  D là ma trận cỡ 3x3 D = A = Det(A) = -1 ≠ 0, Do đó tồn tại A-1 Ta có: A-1 = Ct = - Ct Có : C11 = 40 C21 = -16 C31 = -9 C12 = -13 C22 = 5 C32 = 3 C13 = -5 C23 = 2 C33 = 1 Khi đó C =  Ct = Có: B = D.A-1 = - D.Ct B= -  B= Như vậy, Ta có bảng mật mã như sau: -9 4 2 -65 26 15 -87 35 20 T O N H O C A U I Bài toán 2: Cho ma trận A = và bảng ký tự : 1 2 3 4 5 6 8 S A U B O N M Một người muốn gửi dòng mật khẩu cho bạn của mình Để đảm bảo bí mật, anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyển dòng mật khẩu này thành các dãy số ma trận B 12 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải, mỗi chữ số là 1 vị trí trên các dòng B, Khi C = B.A và chuyển C về dãy số thì được dãy: 6 2 -7 16 2 -12 15 2 -13 Hãy tìm dòng mật khẩu trên? Giải Có C = B.A mà A có 3 cột  C có 3 cột Dãy số của B có 9 phần tử  C kích cỡ 3×3  C = Có C = A.B  B = C.A-1 Det(A) = 1 ≠ 0, do đó tồn tại A-1 Ta có: A-1 = Dt Có : D11 = 1 D21 = -1 D31 = 1 D12 = 1 D22 = -3 D32 = 2 D13 = 1 D23 = -2 D33 = 1 Khi đó  Dt =  A-1 = 1.Dt = = Có: B =C A-1 B= B = 1 2 3 6 2 8 4 5 6 S A U N A M B O N Vậy ta có bảng mật khẩu là : 1.2 Ứng dụng 2 : Ma trận nghịch đảo được ứng dụng vào thực tiễn như : nghiên cứu, sản xuất , kinh tế Bài toán 1: Một nhóm cùng nhau đi du lịch Địa điểm ở 2 nơi khác nhau với khoảng cách khá xa Khi xuất phát đến địa điểm thứ nhất, họ đi bằng tàu hỏa, chi phí là 1tr/trẻ em , 2tr/thanh thiếu niên và 3tr/người lớn và tổng chi phí là 57tr; khi đi 13 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 tới địa điểm 2 họ đi bằng ô tô chi phí là 4 triệu đồng/ trẻ em; 1tr đồng/thanh thiếu niên và 2tr đồng/ người lớn với tổng chi phí là 63tr đồng Khi đi về họ đi bằng máy bay với chi phí 2tr đồng/trẻ em; 5tr đồng/thanh thiếu niên; 8tr đồng/người lớn với chi phí 141tr đồng Sử dụng ma trận nghịch đảo, hãy tìm số lượng trẻ em, số lượng thanh thiếu niên và số lượng người lướn trong nhóm đó Giải Gọi x là số trẻ em trong nhóm y là số thanh thiếu niên trong nhóm z là số người lớn trong nhóm Theo giả thuyết đề bài ta có phương trình như sau: = (1) Gọi A=; X=; B= Khi đó phương trình (1) trở thành: A.X=B => X= A-1 B Det(A) = -4 ≠ 0 do đó tồn tại A-1 A-1 = A* với A* = A11 = (-1) 1+1 det(M11) = -2 Tương tự: A12 = -28; A13 = 18 A21 = -1; A22 = 2; A23 = -1 A31 = 1; A32 = 10; A33 = -7  A-1 = = Có: X= A-1.B = = Suy ra Vậy trong nhóm có 9 trẻ em; 15 thanh thiếu niên; 6 người lớn Bài toán 2: Một cửa hàng bán 3 loại trái cây: Cam, Táo, Xoài Biết rằng số hàng bán được trong 3 tháng đầu năm là như sau: Loại trái cây Tháng 1 Tháng 2 Tháng 3 Táo 320 280 250 Xoài 300 270 320 14 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 Cam 260 285 375 Đơn vị: kg Biết doanh thu của 3 tháng mà cửa hàng thu được là: Tháng 1:19.300 nghìn đồng Tháng 2: 20.850 nghìn đồng Tháng 3: 22.275 nghìn đồng Hỏi số tiền ban đầu của 1 kg mỗi loại là? Giải Gọi a,b,c lần lượt là giá của 1kg Táo , Xoài , Cam Theo đề bài ta có hệ có phương trình : .= (1) Đặt A =; X =; B= Khi đó phương trình (1) trở thành: A.X = B => X = A-1 B Det (A) = -1163000 ≠ 0 do đó tồn tại A-1 A-1 = A* với A*= Ta có : A11 = Det(M11) = 10050, A21 = -Det(M12) = -29300 A31 = Det(M13) = 15300 Tương tự: A12 = -33750, A22 = 55000, A32 = -18400 A13 = 22100, A23 = -27400, A33 = 2400 Ta được A*=  A-1 = Có: X = A-1.B Tính toán ra ta được: X = Suy ra (a,b,c) = (15000; 25000; 30000) Vậy số tiền ban đầu của 1 kg Táo là 15 nghìn đồng, Xoài là 25 nghìn đồng, Cam là 30 nghìn đồng 2 Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến 2.1 Thiết lập bài toán quản trị trong hoạt động sản xuất kinh doanh 2.1.1 Biến kinh tế 15 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 Chúng ta định nghĩa hàm số Trong đó: D là miền xác định của hàm số, x là biến số hay biến độc lập, y = f(x) là giá trị của hàm f tại biến x Khi cho x một giá trị cụ thể, ta tính được y cũng là một trị số cụ thể Miền D xác định vùng chúng ta khảo sát hàm số đó Trong kinh tế, các chủ doanh nghiệp, các nhà quản trị quan tâm đến các yếu tố như: nguyên vật liệu, nhân công, giá mua, giá bán, số lượng bán, chi phí, tiền lãi… Các yếu tố này được gọi chung là các biến kinh tế, chúng được chia làm hai loại: - Biến nội: biến kinh tế doanh nghiệp có thể kiểm soát được - Biến ngoại: biến kinh tế doanh nghiệp không thể kiểm soát được Người ta thường kí hiệu các biến kinh tế như sau: (Quantity): sản lượng (Quantity Supplied): Lượng cung Quantity Demanded): Lượng cầu (Price): Giá cả 2.1.2 Đường cung và đường cầu Toán học cho ta kết quả về đường thẳng như sau: - Nếu đường thẳng có phương trình y= ax+b, a>0 là hàm tăng, có đường biểu diễn đi lên từ trái qua phải - Ngược lại nếu đường thẳng có phương trình y =-ax+b, a>0 thì hàm y giảm, có đường biểu diễn đi xuống từ trái qua phải Trong khi đó, các nhà kinh tế quan sát thị trường, họ nhận thấy rằng: “Người tiêu dùng sẽ mua lượng hàng hóa nhiều hơn khi giá giảm xuống, và mua ít hàng hóa khi giá tăng lên” trong điều kiện các yếu tố khác không đổi Tương tự, các nhà kinh tế ghi nhận được rằng “Nhà cung ứng sẽ cung cấp lượng hoàng hóa, dịch vụ nhiều hơn khi giá tăng lên, và cung ứng hàng hóa dịch vụ ít đi khi giá giảm xuống” với các điều kiện khác không đổi Giả định rằng, quan hệ hàm giữa lượng cung, cầu với giá là một đường thẳng thì: - Hàm cung có dạng: 16 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 - Hàm cầu có dạng: Trong đó là là lượng cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán; là lượng cầu, tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua; là các hằng số dương, là giá hàng hóa Các nhà kinh tế định nghĩa: “Thị trường cân bằng là tại đó lượng cung = lượng cầu”, mục tiêu của nhà quản trị là: Tìm giá bán hàng hóa và sản lượng ở mức thị trường cân bằng Sau đây chúng ta có một số ứng dụng cơ bản của việc giải hệ phương trình tuyến tính vào bài toán quản trị sản xuất kinh doanh 2.2 Ứng dụng trong kinh tế 2.2.1 Mô hình cân bằng thị trường a Thị trường một loại hàng hóa Chi một hàng hóa, có các thông tin sau: - Hàm cung: - Hàm cầu: Trong đó a0,a1,b0,b1 là các hằng số dương, p là giá mặt hàng Mô hình cân bằng thị trường có dạng: Giải hệ phương trình ta được: - Giá cân bằng - Lượng cân bằng Ví dụ: Một hàng hóa lưu thông trên thị trường có các thông tin như sau: Khi đó, thị trường cân bằng khi: Vậy giá cân bằng và lượng cân bằng b Thị trường có nhiều loại hàng hóa 17 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 Giả sử có n hàng hóa đang lưu thông trên thị trường và giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của hàng hóa khác Để xét mô hình cân bằng thị trường của n hàng hóa này ta kí hiệu lần lượt là: Qsi, Qdi, Pi Giả thiết các yếu tố khác không đổi, hàm cung và hàm cầu của hàng hóa thứ i là: (i = 1,2,…,n) (i = 1,2,…,n) Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng như sau: Từ hệ phương trình này ta suy ra hệ phương trình xác định giá cân bằng Đặt cik = aik – bik với mọi i = 1,2,…,n và k = 0,1,2,…,n ta được hệ phương trình: Giải hệ phương trình này ta xác định được giá cân bằng của tất cả n hàng hóa, sau đó thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng Ví dụ 1: (Thị trường có 3 loại hàng hóa) Giả sử thị trường có 3 hàng hóa hàm cung và hàm cầu như sau: - Hàng hóa 1: QS1= 4p1 - p2 - p3 - 5 và Qd1 = -2p1 + p2 + p3 + 9 - Hàng hóa 2: QS2= -p1 + 4p2 - p3 - 2 và Qd2 = p1 - 2p2 + p3 + 11 - Hàng hóa 3: QS3= -p1 - p2 + 4p3 - 2 và Qd1 = p1 + p2 - 2p3 + 14 Hãy xác dịnh giá cân bằng và lượng cân bằng mỗi mặt hàng ? Giải Thị trường cân bằng khi cung và cầu bằng nhau, Khi đó ta có hệ phường trình: Để giải hệ phương trình này ta đặt A= P= B= Ta có Det A = = 128 D1 = = 912 D2 = = 812 D3 = = 944 Ta tìm được giá cân bằng: 18 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 Và sản lượng cân bằng: Vậy giá cân bằng là: Sản lượng cân bằng là: Ví dụ 2: (Thị trường có 4 loại hàng hóa) Một siêu thị có bán bốn loại gạo: gạo Thái, gạo Điện Biên, gạo bắc hương và gạo Hải Hậu với giá lần lượt là p1, p2, p3, p4 Nhân viên siêu thị xác định được hàm cung và hàm cầu như sau: Gạo Thái: QS1= 40 + p1 - p2 + 5p3 - p4 Qd1= -43 + 2p1 + p2 + 4p3 + 2p4 Gạo Điện Biên: QS2= -10 + 3p1 + p2 - 3p3 + p4 Qd2= 47 + p1 + p2 - 2p3 – p4 Gạo Bắc Hương: QS3= 80 - p1 + p2 - 2p3 – 3p4 Qd3= 116 - 2p1 + p2 - 4p3 – 2p4 Gạo Hải Hậu: QS4= -40 + 5p1 - 2p2 + p3 + 2p4 Qd4= 23 + 2p1 + 3p2 + 3p3 + p4 Để lên kế hoạch nhập hàng, người nhân viên đó phải xác định giá và lượng cân bằng của các loại gạo nói trên Bạn hãy giúp nhân viên đó? Giải Thị trường cân bằng khi cung bằng cầu Khi đó, ta có hệ : Biến đổi ma trận hệ số mở rộng, ta được: = Hệ đã cho Thay vào hàm cung ta tính được lượng cân bằng: 19 Downloaded by ANH LE (bachvan14@gmail.com) lOMoARcPSD|39108650 Vậy người nhân viên đó phải nhập nhập hàng với giá và lượng cân bằng như sau  Gạo Thái: lượng cân bằng là 109 với mức giá cân bằng là 21  Gạo Điện Biên: lượng cân bằng là 37 với mức giá cân bằng là 18  Gạo Bắc Hương: lượng cân bằng là 3 với mức giá là 16  Gạo Hải Hậu: lượng cân bằng là 73 với mức giá cân bằng là 14 2.2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô Ta xét mô hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng (không có quan hệ kinh tế với nước ngoài) Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (Income) và E là tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Ependiture) của nền kinh tế, trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình Y=E Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau: C: tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình; G: chi tiêu của chính phủ (Government); I: chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất (Investment) Khi đó phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là: Y = C+G+I Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định: I=I0 và chính sách tài khóa của chính phủ là cố định G=G0, còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dưới dạng hàm bậc nhất (gọi là hàm tiêu dùng): C=aY+b (0