Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong lĩnh vực kinh tế...7II -Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính...101.. Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trogn sản xuất...102.. Ứ
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
──────── * ───────
HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001
Một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo
và hệ phương trình tuyến tính.
Sinh viên thực hiện: Lê Đức Thịnh
Nguyễn Mậu Hiệp Đào Thế Diễn Phạm Thành Đạt Trần Hùng Dũng Nguyễn Văn Định
Hà Quốc Cường Vương Đình Đức Trần Danh Quang Nguyễn Phú Khang Phạm Quang Chiến
Giáo viên hướng dẫn: Phùng Thị Anh Vũ
Hà Nam, tháng năm 2022
Trang 2Tiêu chí
Tên
thành viên
Sự nhiệt tình tham gia công việc
Đưa ra
ý kiến
và ý tưởng làm bài
Giao tiếp
và phối hợp tốt với thành viên khác cùng giải quyết vấn đề chung
Tổ chức và
hướng dẫn cả nhóm
Hoàn thành công việc hiệu quả
Tổng điểm được đánh giá bởi A cho từng thành viên (TĐA)
Lê Đức Thịnh
Nguyễn Phú Khang
Nguyễn Mậu Hiệp
Đào Thế Diễn
Phạm Quang Chiến
Phạm Thành Đạt
Trần Hùng Dũng
Nguyễn Văn Định
Hà Quốc Cường
Vương Đình Đức
Trần Danh Quang
Trang 3Mục lục
A-Phần mở đầu 4
Giới thiệu: 4
1 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 4
2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 4
B-Phần nội dung báo cáo: 5
I -Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 5
1 Ma trận nghịch đảo được sử dụng trong truyền thông tin mật 5
2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong lĩnh vực kinh tế 7
II -Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 10
1 Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trogn sản xuất 10
2 Ứng dụng trong cân bằng các phương trình hóa học 12
C-Phần kết luận 13
* Trong bài học, các thành viên trong nhóm 2 đã hiểu về: 13
Trang 4A-Phần mở đầu
Giới thiệu:
tính nói riêng đang được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống hàng ngày Việc giải bài toán ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế Bài báo cáo sẽ trình bày một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo và của hệ phương trình tuyến tính trong các lĩnh vực trong cuộc sống
* Bài báo cáo gồm hai phần:
1 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo.
- Ma trận nghịch đảo sử dụng trong truyền thông tin mật
- Ma trận nghịch đảo sử dụng trong lĩnh vực kinh tế
2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính.
- Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng trong cân bằng phản ứng hóa học
- Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng trong sản xuất
Trang 5B-Phần nội dung báo cáo:
I -Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Hệ phương trình tuyến tính là gì ?
Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số
1 Ma trận nghịch đảo được sử dụng trong truyền thông tin mật.
Bài
toán 1
Cho ma trận A = và một tương ứng giữa các kí tự và các số như sau :
Bạn X muốn xin mật khẩu Wifi nhà bạn Y Do mới học được ứng dụng của ma trận nghịch đảo Nên bạn Y muốn bạn X phải giải được gợi ý trên để tìm được mật khẩu Y để mật khẩu theo nguyên tắc lân lượt từ trái qua phải, mỗi số mỗi số là một
vị trí trên các dòng của B sau khi tính C = B.A và chuyển về C thì được dãy số 30
11 14 22 17 40 17 22 29 Để giúp bạn X tìm được mật khẩu Wifi bạn hãy giải mã thông tin trên
Lời giải
C có cỡ 3x3
C =
Det(A) =1 0
Ta tìm được : A-1 =
B = C.A-1 =
Bài Toán 2
Trang 6Cho ma trận A =và một sự tương ứng giữa các kí tự và các số như sau:
Một mật vụ muốn gửi một dòng mật khẩu cho đồng nghiệp Để đảm bảo bí mật anh ta bảng tương ứng trên để chuyển dòng mật khẩu này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái qua phải, mỗi số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính C =B.A và chuyển C về dãy số thì ta được dãy số sau: 1 21 7 18 40 34 37
23 31 Hãy giải mã dòng thông tin trên
Lời giải
Ta cos : C = B.A => B=C mà ma trận có cỡ 3x3, ma trận C có 9 số, vậy suy ra
ma trận C có cỡ 3x3
Ta có ma trận C: C =
Ta có A =
Det(A) = -52
A* =
+) A11 = +) A21 = +) A31 = +) A12 = +) A22 = +) A32 =-+) A13 = +)A23 = - +) A33 =
A-1 =
B = C.A-1 => B =
Vậy dãy mật khẩu cần tìm là :
2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong lĩnh vực kinh tế
Trang 7toán 1:
Một công ty sản xuất 3 loại sản phẩm được kí hiệu là S1, S2 và S3 Mỗi sản phẩm đều phải qua 3 công đoạn cắt, lắp ráp và đóng gói Và thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được cho trong bảng sau :
Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi ngày lần lượt là
210, 400 và 520 giờ công
Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi ngày để nhà máy hoạt động hết công xuất ?
Lời giải
B=
Ta có hệ phương trình : A.S = B
= 26 ≠ 0 tồn tại A-1 ; S = A-1.B
A11=(-1)1+1.Det(M11) == 20
A12=(-1)1+2.Det(M12) = - = -16
A13=(-1)1+3.Det(M13) = = 2
Trang 8Tương tự ta tính được : A21=-4; A22=11; A23=-3; A31=-2; A32=-1; A33=5.
Ta có : S=A-1.B=
Bài toán 2
Gia đình Putin Đại đế đã tới Việt Nam và ông chuẩn bị cùng gia đình đi du lịch tại Việt Nam Do sức ảnh hưởng của Đại đế nên ngài được rất nhiều nhà báo cũng như các giang cư mận săn đón
Và chúng tôi đã có một số thông tin sau :
Ngài Putin và gia đình chọn đi bằng oto với chi phí là 1 triệu đồng / 1 trẻ và 2 triệu đồng/1 người lớn thì tổng chi phí là 39 triệu Khi ra về vì đi phát sinh thêm nên khác nên chị phí bị đẩy giá lên tới 4 triệu đồng / 1 trẻ và 7 triệu đồng / 1 người lớn lúc này tổng chi phí là 141 triệu đồng Các bạn có thể giúp chúng tôi điều tra xem có bao nhiêu thành viên nhà Đại đế đi du lịch ? Trong đó có bao nhiêu người lớn và bao nhiêu trẻ em để chúng tôi có thông tin đăng bài
Lời giải
Gọi A là số trẻ nhỏ
Gọi B là số người lớn
Theo dữ kiện trên ta có phương trình sau:
Trong đó 39 và 41 là tổng số tiền của chuyến đi
1; 2 là số tiền của 1 trẻ em
Trang 9nên từ phương trình trên ta được :
Vậy trong gia đình đại đế có 9 trẻ nhỏ và 15 người lớn
II -Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính có rất nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực trong đời sống, khoa học, kĩ thuật Dưới đây là một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính
1 Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong sản xuất.
VD1: Giả sử một công ty có bốn loại nguyên liệu làm thép ( kí hiệu là S1, S2, S3, S4) với thành phần tỉ lệ các chất (tính bằng % khối lượng) như sau:
Al Si C Fe
S1 5 3 4 88
S2 7 6 5 82
S3 2 1 3 94
S4 1 2 1 96
Công ty đó cần phối trộn bốn loại nguyên liệu như thế nào để tạo thành một hỗn hợp với
tỉ lệ các chất (tính bằng % khối lượng) là:
Al - 4.43% ; Si - 3.22% ; C - 3.89% ; Fe - 88.46%
Để giải quyết bài toán, ta cần xác định tỉ lệ phối trộn mỗi loại nguyên liệu
Gọi x1, x2, x3, x4 lần lượt là tỉ lệ của S1, S2, S3, S4 theo khối lượng
Ta có hệ phương trình:
Để tìm tỉ lệ phối trộn, ta cần giải hệ phương trình trên để tìm x1 đến x4
VD2: Giả sử trên thị trường có 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau:
Trang 10Hàng hóa 1: Qs1 = 4p1 - p2 - p3 - 5 và Qd1 = -2p1 + p2 + p3 + 8.
Hàng hóa 2: Qs2 = -p1 + 4p2 - p3 - 2 và Qd2 = p1 - 2p2 + p3 + 10
Hàng hóa 3: Qs3 = -p1 - p2 + 4p3 -1 và Qd3 = p1 + p2 - 2p3 +14
Tìm giá và lượng tại điểm cân bằng thị trường?
Giải:
Thị trường cân bằng khi cung và cầu bằng nhau.Khi đó ta có hệ phương trình:
Để giải hệ phương trình này ta đặt:
A= X= B=
Ta có: det (A)=128 ≠ 0
det(A1)=848
det(A2)=832
det(A3)=880
Từ đó ta tìm được giá trị cân bằng:
Và sản lượng cân bằng là:
Vậy giá tại thời điểm cân bằng là: (6,6;6,5;6,9) tại thời điểm thị trường cân bằng là: (8,2;10,5;13,5)
2 Ứng dụng trong cân bằng các phương trình hóa học
Một trong những ứng dụng đơn giản là dùng để cân bằng các phản ứng hóa học
Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong cân bằng phản ứng hóa học
Giả sử ta cần cân bằng phản ứng hóa học
CH4+O2 → CO2+H2O
Để cân bằng phản ứng, ta cần tìm các số nguyên dương x, y, z, t sao cho
Trang 11xCH4+yO2 → zCO2+tH2O.
Đối với mỗi nguyên tố, số nguyên tử ở vế phải và vế trái phải bằng nhau, ta có:
Carbon: x=z
Hydrogen: 4x=2t
Oxygen: 2y=2z+t
Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Giải hệ, ta có nghiệm tổng quát:
x=, y=t, z=, t là số thực tùy ý
Số nguyên dương t nhỏ nhất để x, y, z, t là nguyên dương là t=2
Do đó cân bằng được phương trình phản ứng:
CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O
Các phương trình hóa học phức tạp hơn cũng được cân bằng bởi cách giải các hệ phương trình tuyến tính tương tự
C-Phần kết luận
* Trong bài học, các thành viên trong nhóm 2 đã hiểu về:
- Hệ phương trình tuyến tính là gì?
- Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
- Các bước và phương pháp giải hệ phương trình: phương pháp Gauss, ma trâ ̣n nghịch đảo và phương pháp cramer
Trang 12- Giúp ôn tâ ̣p các cách tính ma trâ ̣n nghịch đảo cách tính định thức.
- Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính để giải quyết các vấn đề trong kinh tế, sản xuất, kĩ thuật, hoá học, …
Các tài liệu tham khảo khi thực hiện bài báo cáo nhóm là:
• Tài liệu Đại số tuyến tính Khối nghành kĩ thuật ( Theo chương trình CDIO)