Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong lĩnh vực kinh tế...7II -Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính...101.. Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trogn sản xuất...102.. Ứ
lOMoARcPSD|39222806 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 Một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính Sinh viên thực hiện: Lê Đức Thịnh Tên lớp: Nguyễn Mậu Hiệp Đào Thế Diễn Phạm Thành Đạt Trần Hùng Dũng Nguyễn Văn Định Hà Quốc Cường Vương Đình Đức Trần Danh Quang Nguyễn Phú Khang Phạm Quang Chiến 2021DHCOKH03 Giáo viên hướng dẫn: Phùng Thị Anh Vũ Hà Nam, tháng năm 2022 1 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Tiêu chí Sự Đưa ra Giao tiếp Tổ chức Hoàn Tổng nhiệt ý kiến và phối và thành điểm Tên tình và ý hợp tốt với hướng công việc được thành viên tham tưởng thành viên dẫn cả hiệu quả đánh giá gia làm bài khác cùng nhóm bởi A công giải quyết cho từng việc vấn đề thành chung viên (TĐA) Lê Đức Thịnh Nguyễn Phú Khang Nguyễn Mậu Hiệp Đào Thế Diễn Phạm Quang Chiến Phạm Thành Đạt Trần Hùng Dũng Nguyễn Văn Định Hà Quốc Cường Vương Đình Đức Trần Danh Quang 2 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Mục lục A-Phần mở đầu 4 Giới thiệu: 4 1 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 4 2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 4 B-Phần nội dung báo cáo: 5 I -Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 5 1 Ma trận nghịch đảo được sử dụng trong truyền thông tin mật .5 2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong lĩnh vực kinh tế 7 II -Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 10 1 Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trogn sản xuất 10 2 Ứng dụng trong cân bằng các phương trình hóa học 12 C-Phần kết luận .13 * Trong bài học, các thành viên trong nhóm 2 đã hiểu về: .13 3 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 A-Phần mở đầu Giới thiệu: Vai trò của ma trận nói chung và của ma trận nghịch đảo, hệ phương trình tuyến tính nói riêng đang được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống hàng ngày Việc giải bài toán ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế Bài báo cáo sẽ trình bày một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo và của hệ phương trình tuyến tính trong các lĩnh vực trong cuộc sống * Bài báo cáo gồm hai phần: 1 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo - Ma trận nghịch đảo sử dụng trong truyền thông tin mật - Ma trận nghịch đảo sử dụng trong lĩnh vực kinh tế 2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính - Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng trong cân bằng phản ứng hóa học - Hệ phương trình tuyến tính được sử dụng trong sản xuất 4 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 B-Phần nội dung báo cáo: I -Ứng dụng của ma trận nghịch đảo Hệ phương trình tuyến tính là gì ? Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với cùng những biến số 1 Ma trận nghịch đảo được sử dụng trong truyền thông tin mật Bài toán 1 Cho ma trận A = và một tương ứng giữa các kí tự và các số như sau : -16 -19 9 -5 5 0 12 18 65 N A D S E M O H Bạn X muốn xin mật khẩu Wifi nhà bạn Y Do mới học được ứng dụng của ma trận nghịch đảo Nên bạn Y muốn bạn X phải giải được gợi ý trên để tìm được mật khẩu Y để mật khẩu theo nguyên tắc lân lượt từ trái qua phải, mỗi số mỗi số là một vị trí trên các dòng của B sau khi tính C = B.A và chuyển về C thì được dãy số 30 11 14 22 17 40 17 22 29 Để giúp bạn X tìm được mật khẩu Wifi bạn hãy giải mã thông tin trên Lời giải Ta có C = B.A => B = C.A-1 mà ma trận cỡ 3x3, ma trận C có 9 số suy ra ma trận C có cỡ 3x3 C = Det(A) =1 0 Ta tìm được : A-1 = B = C.A-1 = Dãy số ma trận B: 65 -19 -16 9 -5 18 0 5 12 Dãy kí tự là: H A N D S O M E Bài Toán 2 5 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Cho ma trận A = và một sự tương ứng giữa các kí tự và các số như sau: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 H N K 3 Ó M 2 - C T Một mật vụ muốn gửi một dòng mật khẩu cho đồng nghiệp Để đảm bảo bí mật anh ta bảng tương ứng trên để chuyển dòng mật khẩu này thành ma trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái qua phải, mỗi số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính C =B.A và chuyển C về dãy số thì ta được dãy số sau: 1 21 7 18 40 34 37 23 31 Hãy giải mã dòng thông tin trên Lời giải Ta cos : C = B.A => B=C mà ma trận có cỡ 3x3, ma trận C có 9 số, vậy suy ra ma trận C có cỡ 3x3 Ta có ma trận C: C = Ta có A = Det(A) = -52 A* = +) A11 = +) A21 = +) A31 = +) A12 = +) A22 = +) A32 =- +) A13 = +)A23 = - +) A33 = A-1 = B = C.A-1 => B = Vậy dãy mật khẩu cần tìm là : 1 0 4 5 6 7 8 2 3 N H Ó M 2 - C K 3 2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong lĩnh vực kinh tế 6 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Bài toán 1: Một công ty sản xuất 3 loại sản phẩm được kí hiệu là S1, S2 và S3 Mỗi sản phẩm đều phải qua 3 công đoạn cắt, lắp ráp và đóng gói Và thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được cho trong bảng sau : Công đoạn Sản phẩm S1 Sản phẩm S2 Sản phẩm S3 Cắt 2h 1h 1h Lắp ráp 3h 4h 2h Đóng gói 1h 2h 6h Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi ngày lần lượt là 210, 400 và 520 giờ công Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi ngày để nhà máy hoạt động hết công xuất ? Lời giải Gọi ma trận A là thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn A = Gọi ma trận S là số lượng mỗi loại sản phẩm: S= Gọi ma trận B là thời gian các công đoạn có số giờ làm nhiều nhất trong 1 ngày : B= Ta có hệ phương trình : A.S = B = 26 ≠ 0 tồn tại A-1 ; S = A-1.B A-1= mà A* = A11=(-1)1+1.Det(M11) == 20 A12=(-1)1+2.Det(M12) = - = -16 A13=(-1)1+3.Det(M13) = = 2 7 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Tương tự ta tính được : A21=-4; A22=11; A23=-3; A31=-2; A32=-1; A33=5 A-1 = Ta có : S=A-1.B= Vậy nhà máy phải sản xuất sản phẩm S1 là 60 sản phẩm , sản phẩm S2 là 20 sản phẩm và sản phẩm S3 là 70 sản phẩm mỗi ngày thì nhà máy hoạt động hết công suất Bài toán 2 Gia đình Putin Đại đế đã tới Việt Nam và ông chuẩn bị cùng gia đình đi du lịch tại Việt Nam Do sức ảnh hưởng của Đại đế nên ngài được rất nhiều nhà báo cũng như các giang cư mận săn đón Và chúng tôi đã có một số thông tin sau : Ngài Putin và gia đình chọn đi bằng oto với chi phí là 1 triệu đồng / 1 trẻ và 2 triệu đồng/1 người lớn thì tổng chi phí là 39 triệu Khi ra về vì đi phát sinh thêm nên khác nên chị phí bị đẩy giá lên tới 4 triệu đồng / 1 trẻ và 7 triệu đồng / 1 người lớn lúc này tổng chi phí là 141 triệu đồng Các bạn có thể giúp chúng tôi điều tra xem có bao nhiêu thành viên nhà Đại đế đi du lịch ? Trong đó có bao nhiêu người lớn và bao nhiêu trẻ em để chúng tôi có thông tin đăng bài Lời giải Gọi A là số trẻ nhỏ Gọi B là số người lớn Theo dữ kiện trên ta có phương trình sau: Trong đó 39 và 41 là tổng số tiền của chuyến đi 1; 2 là số tiền của 1 trẻ em 4; 7 là số tiền của 1 người lớn 8 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 nên từ phương trình trên ta được : Vậy trong gia đình đại đế có 9 trẻ nhỏ và 15 người lớn II -Một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có rất nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực trong đời sống, khoa học, kĩ thuật Dưới đây là một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 1 Bài toán ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong sản xuất VD1: Giả sử một công ty có bốn loại nguyên liệu làm thép ( kí hiệu là S1, S2, S3, S4) với thành phần tỉ lệ các chất (tính bằng % khối lượng) như sau: Al Si C Fe S1 5 3 4 88 S2 7 6 5 82 S3 2 1 3 94 S4 1 2 1 96 Công ty đó cần phối trộn bốn loại nguyên liệu như thế nào để tạo thành một hỗn hợp với tỉ lệ các chất (tính bằng % khối lượng) là: Al - 4.43% ; Si - 3.22% ; C - 3.89% ; Fe - 88.46% Để giải quyết bài toán, ta cần xác định tỉ lệ phối trộn mỗi loại nguyên liệu Gọi x1, x2, x3, x4 lần lượt là tỉ lệ của S1, S2, S3, S4 theo khối lượng Ta có hệ phương trình: Để tìm tỉ lệ phối trộn, ta cần giải hệ phương trình trên để tìm x1 đến x4 VD2: Giả sử trên thị trường có 2 mặt hàng: hàng hóa 1 và hàng hóa 2, với hàm cung và hàm cầu như sau: 9 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Hàng hóa 1: Qs1 = 4p1 - p2 - p3 - 5 và Qd1 = -2p1 + p2 + p3 + 8 Hàng hóa 2: Qs2 = -p1 + 4p2 - p3 - 2 và Qd2 = p1 - 2p2 + p3 + 10 Hàng hóa 3: Qs3 = -p1 - p2 + 4p3 -1 và Qd3 = p1 + p2 - 2p3 +14 Tìm giá và lượng tại điểm cân bằng thị trường? Giải: Thị trường cân bằng khi cung và cầu bằng nhau.Khi đó ta có hệ phương trình: Để giải hệ phương trình này ta đặt: A= X= B= Ta có: det (A)=128 ≠ 0 det(A1)=848 det(A2)=832 det(A3)=880 Từ đó ta tìm được giá trị cân bằng: Và sản lượng cân bằng là: Vậy giá tại thời điểm cân bằng là: (6,6;6,5;6,9) tại thời điểm thị trường cân bằng là: (8,2;10,5;13,5) 2 Ứng dụng trong cân bằng các phương trình hóa học Một trong những ứng dụng đơn giản là dùng để cân bằng các phản ứng hóa học Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong cân bằng phản ứng hóa học Giả sử ta cần cân bằng phản ứng hóa học CH4+O2 → CO2+H2O Để cân bằng phản ứng, ta cần tìm các số nguyên dương x, y, z, t sao cho 10 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 xCH4+yO2 → zCO2+tH2O Đối với mỗi nguyên tố, số nguyên tử ở vế phải và vế trái phải bằng nhau, ta có: Carbon: x=z Hydrogen: 4x=2t Oxygen: 2y=2z+t Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giải hệ, ta có nghiệm tổng quát: x=, y=t, z=, t là số thực tùy ý Số nguyên dương t nhỏ nhất để x, y, z, t là nguyên dương là t=2 Do đó cân bằng được phương trình phản ứng: CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O Các phương trình hóa học phức tạp hơn cũng được cân bằng bởi cách giải các hệ phương trình tuyến tính tương tự C-Phần kết luận * Trong bài học, các thành viên trong nhóm 2 đã hiểu về: - Hệ phương trình tuyến tính là gì? - Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính - Các bước và phương pháp giải hệ phương trình: phương pháp Gauss, ma trận nghịch đảo và phương pháp cramer 11 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 - Giúp ôn tập các cách tính ma trận nghịch đảo cách tính định thức - Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính để giải quyết các vấn đề trong kinh tế, sản xuất, kĩ thuật, hoá học, … Các tài liệu tham khảo khi thực hiện bài báo cáo nhóm là: • https://lms.dhcnhn.vn • Tài liệu Đại số tuyến tính Khối nghành kĩ thuật ( Theo chương trình CDIO) 12 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com)