ứng dụng ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính (bài toán minh họa) HaUI

A. MỞ ĐẦU B. NỘI DUNG 4 I. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ minh họa 4 1. Đầu tiên ta nhắc lại ma trận nghịch đảo là gì 4 2. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ 4 II. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và bài toán minh họa 8 1. Nhắc lại kiến thức: 8 2. Ứng dụng và ví dụ của hệ phương trình tuyến tính 9 C. KẾT LUẬN 14

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

ỨNG DỤNG MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Sinh viên thực hiện:

43 Nguyễn Đăng Minh

44 Trịnh Công Nam

45 Lê Trọng Nghị

46 Nguyễn Nguyên Ngọc

47 Nguyễn Viết Phương

48 Tạ Quang Sáng

49 Nguyễn Ngọc Sinh

50 Phạm Văn Sơn

51 Phạm Văn Sơn

52 Thái Trung Sơn

53 Vũ Hồng Sơn

54 Nguyễn Trọng Tâm

55 Đới Sỹ Thắng

56 Hoàng Minh Thắng

Hà Nội, tháng 7 năm 2022

Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm:

Tiêu chí

Sự nhiệt tình tham gia công việc

Đưa ra ý kiến và ý tưởng làm bài

Giao tiếp và phối hợp tốt với thành viên khác cùng giải quyết vấn đề chung

Tổ chức và hướng dẫn cả nhóm

Hoàn thành công việc hiệu quả

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU

B NỘI DUNG 4

I Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ minh họa 4

1 Đầu tiên ta nhắc lại ma trận nghịch đảo là gì 4

2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ 4

II Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và bài toán minh họa 8

1 Nhắc lại kiến thức: 8

2 Ứng dụng và ví dụ của hệ phương trình tuyến tính 9

C KẾT LUẬN 14

A MỞ ĐẦU

Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hang loạt lĩnh vực khác nhau từ Giải tích đến Hình học, từ Cơ học, Vât lý đến Kỹ Thuật Vì thế nó đã trở thành một môn học cơ sở của nghành khoa học cơ bản của tất cả các trường đại học Trong bài báo cáo này, nhóm 4 sẽ viết về ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính gồm các ví dụ kèm theo

B NỘI DUNG

I Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ minh họa

1 Nhắc lại kiến thức

 Cho ma trận A vuông cấp n, ma trận B gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu A.B=I Ký hiệu: A-1

o Điều kiện tồn tại và tính chất

o Ma trận A có ma trận nghịch đảo khi A là ma trận vuông và có định thức khác 0 (det(A)≠0) khi đó ta gọi A là ma trận khả nghịch

 Tính chất:

o (AB)-1 =B-1A-1;

o (A-1)-1 = A;

o (AT)-1 = (A-1)T;

 Cách tìm ma trận nghịch đảo

o Sử dụng phương pháp phần bù đại số

 A-1= det ( A )1 A* (với A* là ma trận phụ hợp của ma trận A)

o Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp:

 Lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm vào bên phải ma trận A

ma trận I đơn vị Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa ( A|I ) về dạng (A '|B). Nếu ma trận A’ bằng ma trận I cấp n thì A khả nghịch và A-1 =

B Điều đó nghĩa là trong quá trình biến đổi nếu có một hàng bằng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch

2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ

* Ứng dụng giải phương trình ma trận

Bài toán 1: giải phương trình ma trận sau

(0 3 11 2 9

0 1 0)X = (1 21 3

0 1)

Giải

Đặt A = (0 3 11 2 9

0 1 0) ; B = (1 21 2

0 1) phương trình trở thành AX = B

Ta có Det(A) = (0.2.0 + 1.1.1 + 3.9.0) – (0.2.1 + 1.3.0 + 1.9.0) = 1 ≠ 0 det(A)≠0 => AⱻA -1 => X = A-1B

A* =(A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33)với A11 = (-1)1+1 |2 91 0| = -9

Tương tự ta có A12 = 0; A13 = 1; A21 = 1; A22 = 0; A23 = 0; A31 = 25; A32 = 1;

A33 = -3

Suy ra X = det ( A )1 A*B = 11(−9 1 250 0 1

1 0 −3)(1 21 3

0 1) = (−8 100 1

1 −1)

Vậy: X= (−08 101

1 −1)

Bài toán 2: Cho 2 ma trận A= [−1 21 3] , B =[1 11 2]

Tìm x sao cho BX = 3A – A2

Giải

Ta có: 3A – A2 = 3[−1 21 3] – [−1 21 3][−1 21 3] = [−3 63 9] - [−2 9−3 1] =[5 00 5]

Đặt A’ = [5 00 5] thì BX = A’

Ta có: detB = 1 => ∃B-1A’ = det B1 B*A’

B* = [B11 B21

B12 B22] với B11 = (-1)1+1detM11 = 2

Tương tự ta có:

B12 = -1; B21 = -1; B22 = 1

Suy ra: X = 11[−12 −11 ][5 00 5] = [−510 −55 ]

Vậy: = [−510 −55 ]

* Ứng dụng giải mật mã, dãy số, câu đố (có ma trận)

Bài toán 1: Cho ma trận A=[1 2 42 1 0

1 0 3]và sự tương ứng giữa các kí tự và số:

Thắng là 1 sinh viên HaUI, rất yêu quý những người chống dịch Thấy mọi người vất

vả, Thắng nghĩ trò chơi mật mã với thông điệp ý nghĩa để mọi người giải trí Dãy số viết thành ma trận B theo nguyên tắc từ trái => phải mỗi chữ số là một vị trí trên dòng của B Sau khi tính C=A.B và chuyển C về dãy số thì được dãy:

13 27 50 8 8 15 1 18 28

Hãy cùng chơi và giải mã xem thông điệp ý nghĩa của Thắng là gì nhé!

GIẢI

Vì A là ma trận vuông 3x3 nên C có 3 cột C=[13 27 508 8 15

1 18 28]

Ta có: detA= −¿13 =>∃ A−1 => B=A−1C=detA1 A¿

C

A¿=[A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33] với A11= (−1)1+1det (M11) =|1 0

0 3| =3

Tương tự ta có: A21= −6; A31= −¿4; A12= −¿6; A22= −¿1; A32= 8; A13= −¿1; A23= 2;

A33= −¿3

Suy ra:

B= −131 A¿

C = −131 [−36 −1−6 −48

−1 2 −3][13 27 508 8 15

1 18 28]=[1 3 46 2 7

0 5 8]

Ma trận B được viết thành dãy số như sau:

1 3 4 6 2 7 0 5 8

W E C A N D O I T

Vậy thông điệp của Thắng là “We can do it”

Bài toán 2: Cho ma trận A=[1 3 10 2 0

2 0 4] và sự tương ứng các kí tự

Sắp tới ngày 20/11, bạn Ngọ là người làm slide cho nhóm 4 muốn gửi lời tri ân tới các thầy cô Cậu có ý tưởng làm tặng thầy Sáu-Sky siu đẹp trai tấm thiệp đặc biệt viết bằng mật mã mà chỉ những ai đẹp trai mới có thể giải được Dãy số viết thành ma trận B theo nguyên tắc từ trái => phải mỗi chữ số là một vị trí trên dòng của B Sau khi tính C=A.B và chuyển C về dãy số thì được dãy:

15 12 19 6 2 8 12 22 18

Hãy cùng giải thử mật mã của bạn Ngọ để tăng độ đẹp trai xinh gái và gửi lời tri ân tới các thầy cô nhé!

GIẢI:

Vì ma trận vuông 3x3 nên C có 3 cột => C=[15 12 196 2 8

12 22 18]

Ta có det(A)=4 =>∃A-1 => A-1 C = det ( A )1 A*C

A*=[A 12 A 23 A 32 A 11 A 21 A 31

A 13 A 23 A 33]

Với A11 = (-1)1+1 detM11 =[2 00 4]=8

Tương tự ta tính được: A21 =-12; A31 =-2

A12 =0; A22 = 2; A32 =0

A13 =-4; A23 =6; A33 =2 Suy ra

B =detA1 A*C =14[ 80 −12 −22 0

−4 6 2 ][15 12 196 2 8

12 22 18] = [6 7 53 1 4

0 2 2]

Ma trận B viết thành dãy số sau:

6 7 5 3 1 4 0 2 2

M U N G 2 0 1 1

Vậy ý nghĩa tấm thiệp: MỪNG 20/11

1 0 8] và một sự tương ứng các kí tự và các số như sau:

Minh muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảm bảo bí mật, Minh dùng bảng tương ứng trên chuyển tin nhắn thành một dãnh số và viết dãy số này thành ma trận B, Theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D = B.A và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy “1 2 1 2 0 3 3 1 4” Là một người bạn tốt của Minh hãy tìm và giải đoạn mật trên

Ta có D = B.A => D = B.A−1 mà A−1 cỡ 3x3 => C có 3 cột mà dãy số có 9 phần tử => mỗi cột D có 3 phần tử => D cỡ 3x3

D =[1 2 12 0 3

3 1 4]; A =[1 2 32 5 3

1 0 8]

=> Det(A) = 40 + 6 – 15 – 32 = -1 ≠ Tồn tại A−1 ta có: A−1= 1

Det (A ) .C

T

Giả sử: C =[C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33] => C T =[C11 C21 C31

C12 C22 C32

C13 C23 C33]

C11 = (−1)1+1 Det (M11) = |5 30 8| = 40

C12 = (−1)1+2

Det (M12) = −|2 31 8| = -13

C13 = (−1)1+3 Det (M13) = |2 51 0| = -5

C21 = (−1)2+1

Det (M21) = −|0 82 3| = -16

C22 = (−1)2+ 2

Det (M22) = |1 31 8| = 5

C23 = (−1)2+3 Det (M23) = −|1 21 0| = 2

C31 = (−1)3+ 1 Det (M31) = |2 35 3| = -9

C32 = (−1)3+ 2

Det (M32) = −|1 32 3| = 3

C33 = (−1)3+ 3

Det (M33) = |1 22 5| = 1

=> C T =[−1340 −16 −95 3

−5 2 1 ] => A−1= 1

−1.C

T

=> A−1 =[40 1613 −5 −39

5 −2 −1]

=> D = B.A−1 = [1 2 32 5 3

1 0 8].[40 1613 −5 −39

5 −2 −1] = [−65 25 15−9 4 2

−87 35 20]

=> D = [−65 25 15−9 4 2

−87 35 20]

=> Ta có D là bảng mật mã:

Bài toán 4: Một hộ dân chăn nuôi có tổng 100 con gia súc và gia cầm bao gồm 3 loại:

bò ngan và vịt Biết rằng tổng số chân của cả 3 loại là 220, tổng số gà gấp 2 lần tổng số vịt Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?

GIẢI

Gọi số lợn là x, số gà là y, số vịt là z

Theo đề bài ta ta có hệ phương trình:

{4 x +2 y +2 z =220 x+ y+z =100

y =2 z (*)

Từ (*) ta có:

A = [1 14 2 12

0 1 −2]; X = [x y

z]; B = [100220

0 ]

=> (*) trở thành: A.X = B (1)

Det(A) = 6 ≠ 0 => tồn tại A−1 ta có: A−1

Det (A ) .C

T

C =[C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33] => C T =[C11 C21 C31

C12 C22 C32

C13 C23 C33]

C11 = (−1)1+1 Det (M11) = |21 −32 | = -6

C12 = (−1)1+2 Det (M12) = −|40 −32| = 8

C13 = (−1)1+3

Det (M13) = |4 20 1| = 4

C21 = (−1)2+1 Det (M21) = −|11 −21| = 3

C22 = (−1)2+ 2

Det (M22) = |10 −21 | = -2

C23 = (−1)2+3

Det (M23) = −|1 10 1| = -1

C31 = (−1)3+ 1 Det (M31) = |1 12 2| = 0

C32 = (−1)3+ 2 Det (M32) = −|1 14 2| = 2

C33 = (−1)3+ 3

Det (M33) = |1 24 2| = -2

=> C T =[−68 −23 02

4 −1 −2] => A−1

=1

6 C

T

=> A−1 =[4 /3 −1 /31 1 /2 1/30

2/3 −1/6 −1/3]

Nhân A−1vào bên trái cả 2 vế của phương trình (1) ta được:

A−1 AX =A−1 B

⟺ X =A−1 B = [4 /3 −1 /31 1 /2 1/30

2/3 −1/6 −1/3].[100220

0 ]=[1060

30]

=> {x=10 y=60

z=30

Kết luận: Vậy số bò là 10 con, số ngan là 60 con, số vịt là 30 con

II Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và bài toán minh họa

1 Nhắc lại kiến thức:

Tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến tính gồm n ẩn như sau:

o Đặt A = (Aij)m.n; X = (X1

…

X n); B = (B1

…

B n) thì khi đó hệ phương trình viết dưới dạng

ma trận AX = B , với:

 Ma trận A là ma trận hệ số của hệ phương trình

 Ma trận A là ma trận hệ số của hệ phương trình

 Ma trận (A|B) là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình

 X gọi là vecto ẩn

Cách giải hệ phương trình tuyến tính :

o Dùng phương pháp Gauss

o Định lý Cronecker – Capelli: xét hệ phương trình tuyến tính AX = B Ta có

 Hệ có nghiệm duy nhất  r(A)=r(´A¿=n (với n là số ẩn của hệ)

 Hệ có vô số nghiệm  r(A)=r(´A¿=k<n

 Hệ vô nghiệm r(A)<r(´A¿

Hệ Cramer

o Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông không suy biến, nghĩa là định thức của A khác 0 Khi đó hệ có nghệm duy nhất: X=A-1B

o Ta có công thức tính từng ẩn như sau: X j=D j

D

Trong đó D=|A|; Dj là định thức có được từ A khi thay cột j bởi vế phải (cột B)

2 Ứng dụng và ví dụ của hệ phương trình tuyến tính

*Ứng dụng trong kĩ thuật: tính toán các mạch điện

 Định luật Kirchhoff 1: Tổng giá trị đại số của dòng điện tại một nút trong một mạch điện là bằng không Tại bất kỳ nút (ngã rẽ) nào trong một mạch điện, thì tổng cường độ dòng điện chạy đến nút phải bằng tổng cường độ dòng điện từ nút chạy đi

 Định luật Kirchhoff 2:Tổng giá trị điện

áp dọc theo một vòng bằng không

Bài toán 1:

Ta chọn các vòng như hình vẽ

Áp dụng định luật Kirchhoff 1 tại (1):

i1 – i2 – i3 = 0;

Áp dụng định luật Kirchhoff 2:

i1.R1 + i2R2 – E1 = 0;

-i2R2 + i3R3 + E2 + E3 = 0;

Thay số vào ta có hệ:

{ i1−i2−i3=0

100i1+200i2−3=0

−200 i2+300 i3+4+3=0

=>{ i1−i2−i3=0

100 i1+200 i2

−200 i2+300 i3=−7

=3

Xét ma trận bổ sung: Ā

(1001 200−1 −10

0 −200 300| 03

−7)−100 d1+d2→ d1

→ (10 300−1 100−1

0 −200 300| 03

−7)2d2+3 d3→ d3

→ (1 −10 300 100−1

0 0 1100| 03

−15)

=> r(A) = r(Ā) → hệ có nghiệm duy nhất:

{ i1−i2−i3=0

300i2+100i3=3

1100 i3=−15

=> giải hệ tam giác này ta được: {i1= 1

1100

i2= 4 275

i3=−3 220

Bài toán 2: Cho:

R1=R6=2Ω ;E1=20V

R2=R3=R4=4Ω ;E2=8V

R5=8Ω ; E3=4V

Tìm i1;i2;i3

và công suất tiêu thụ trên R

5

?

Giải:

Chọn các vòng như hình vẽ:

Áp dụng Kirhoff 2:

Vòng 1: R1i1+ R2(i1- i2)- E1 = 0

Vòng 2: R3i2+ R6(i2-i3) - R2(i1- i2) + E3 = 0t h ay số tađượ c → { 6 i1−4 i2=20

−4 i1+10 i2−2i3

−2 i2+14 i3=−4

=−8

Vòng 3: R4i3+ R5i3+ E3- R6(i2-i3) = 0

Xét ma trận bổ sung:

Ta có:

Tương tự ta có: detA2 =400; detA3 = -112

Suy ra: i1=det ⁡A1

detA =

140

37 ( A ); i2=det A2

detA =

25

37( A ); i3=det A3

detA =

−7

37(A)

(i 3 mang dấu âm do ngược chiều với chiều dương đã chọn)

Công suất tiêu thụ trên R5 là:P R5=(i3)2 R5=(−737)2.8= 392

1369

Vậy: i1=140

37 (A);i2=25

37(A);i3=−7

37(A) (i3 mang dấu âm do ngược chiều với chiều dương đã chọn)

P R5= 392

1369(W )

*Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế:

Tính toán, tìm phương án làm việc tối ưu nhất nhằm giảm sức lao động, tăng hiệu quả kinh tế

Bài toán 1 : Một công ty sản xuất 3 loại sản phẩm được ký hiệu là: S1, S2 và S3 Mỗi

sản phẩm đều phải qua 3 công đoạn cắt, lắp rắp và đóng gói Và thời gian yêu cầu cho mỗi công đoạn được cho trong bảng sau:

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt

là 355, 426 và 639 giờcông Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết công suất?

Giải

Gọi x1; x2; x3 lần lượt là số lượng sản phẩm S1, S2, S3 nhà máy cần sản xuất

ĐK: x1; x2; x3 ∈ N Ta có:

Thời gian cắt sản phẩm: 2x1 + x2 + 4x3 (giờ)

Thời gian lắp ráp sản phẩm: 3x1 + 5x2 + 2x3 (giờ)

Thời gian đóng giói sản phẩm: x1 + 5x2 + 7x3 (giờ)

Để nhà máy hoạt động hết công suất thì:{2 x1+x2+4 x3=355

3 x1+5 x2+2 x3=426

x1+5 x2+7 x3=639 Xét ma trận bổ sung:

Ā=(2 1 43 5 2

1 5 7|355426

639)−3 h1+2 h2→h2

→ (2 10 7 −84

1 5 7|−213355

639 )−h1+2 h3→h3

→ (2 10 7 −84

0 9 10|−213355

923 )

−9 h2+7 h3→h3

→ (2 10 7 −84

0 0 142|−213355

8387)

=> r(A) = r(Ā) → hệ có nghiệm duy nhất:

{2 x1+x2+4 x3=355

7 x2−8 x3=−213

142 x3=8387

giải hệ tam giác này ta được: {x1=41

x2=37

x3=59 Vậy phải sản xuất mỗi loại sản phẩm S1, S2, S3 lần lượt là: 41, 37, 59

Bài toán 2: 1 nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C Mỗi sản phẩm phải qua 3

công đoạn cắt, lắp, đóng với thời gian yêu cầu của mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng:

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong tuần giảm lần lượt là 380, 330, 120 giờ công Hỏi nhà máy cần sản xuất số lượng mỗi sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để hoạt động hết năng suất

Giải

Gọi x1; x2; x3 lần lượt là số lượng sản phẩm A, B, C nhà máy cần sản xuất

ĐK: x1; x2; x3 ∈ N Ta có:

Thời gian cắt sản phẩm: 0,6x1 + 1x2 + 1,5x3 (giờ)

Thời gian lắp sản phẩm: 0,6x1 + 0,9x2 + 1,2x3 (giờ)

Thời gian đóng sản phẩm: 0,2x1 + 0,3x2 + 0,3x3 (giờ)

Để nhà máy hoạt động hết công suất thì:{ 0,6 x1+x2+1,5 x3=380

0,6 x1+0,9 x2+1,2 x3=330

0,2 x1+0,3 x2+0,3 x3=120 Xét ma trận bổ sung:

´A = [0,60,6 0,9 1,21 1,5

0,2 0,3 0,5|380330

120]d2−d1→ d2

→ [0,60 −0,1 −0,31 1,5

0 −0,1 0 |−50380

−20]

d3−d2→ d3

→ [0,6 1 1,5

0 −0,1 −0,3

0 0 0,3 |−50380

30 ]

=> r(A) = r(A¿ = 3 => Hệ có nghiệm duy nhất

{0,6 x1+x2+1,5 x3=380

−0,1 x2−0,3 x3=−50

0,3 x3=30 giải hệ tam giác này ta được: {x1=50

x2=200

x3=100 Vậy số sản phẩm A, B, C cần sản xuất lần lượt là: 50, 200, 100

d 2 - d 1→

d 2

C KẾT LUẬN

Trên đây là bài báo cáo của nhóm 4 về ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính Các bài tập minh họa do nhóm sưu tầm và chỉnh sửa, vì vậy không thể tránh được những sai sót trong việc trình bày mong thầy giáo thông cảm và góp ý, chỉnh sửa để bài báo cáo được hoàn thiện nhất!!