ứng dụng ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính (bài toán minh họa) HaUI

A. MỞ ĐẦU B. NỘI DUNG 4 I. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ minh họa 4 1. Đầu tiên ta nhắc lại ma trận nghịch đảo là gì 4 2. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ 4 II. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và bài toán minh họa 8 1. Nhắc lại kiến thức: 8 2. Ứng dụng và ví dụ của hệ phương trình tuyến tính 9 C. KẾT LUẬN 14

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 ỨNG DỤNG MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Sinh viên thực hiện: 43 Nguyễn Đăng Minh 44 Trịnh Công Nam 45 Lê Trọng Nghị 46 Nguyễn Nguyên Ngọc 47 Nguyễn Viết Phương 48 Tạ Quang Sáng 49 Nguyễn Ngọc Sinh 50 Phạm Văn Sơn 51 Phạm Văn Sơn 52 Thái Trung Sơn 53 Vũ Hồng Sơn 54 Nguyễn Trọng Tâm 55 Đới Sỹ Thắng 56 Hoàng Minh Thắng Hà Nội, tháng năm 2022 Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm: Tiêu chí Sự nhiệt tình tham gia cơng việc Đưa ý kiến ý tưởng làm Giao tiếp phối hợp tốt với thành viên khác giải vấn đề chung Tổ chức hướng dẫn nhóm Hồn thành cơng việc hiệu MỤC LỤC A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG I Ứng dụng ma trận nghịch đảo ví dụ minh họa Đầu tiên ta nhắc lại ma trận nghịch đảo .4 Ứng dụng ma trận nghịch đảo ví dụ II Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính tốn minh họa Nhắc lại kiến thức: .8 Ứng dụng ví dụ hệ phương trình tuyến tính C KẾT LUẬN 14 A MỞ ĐẦU Ngày nay, Đại số tuyến tính ứng dụng vào hang loạt lĩnh vực khác từ Giải tích đến Hình học, từ Cơ học, Vât lý đến Kỹ Thuật Vì trở thành môn học sở nghành khoa học tất trường đại học Trong báo cáo này, nhóm viết ứng dụng ma trận nghịch đảo ứng dụng hệ phương trình tuyến tính gồm ví dụ kèm theo B NỘI DUNG I Ứng dụng ma trận nghịch đảo ví dụ minh họa Nhắc lại kiến thức  Cho ma trận A vuông cấp n, ma trận B gọi ma trận nghịch đảo A A.B=I Ký hiệu: A-1 o Điều kiện tồn tính chất o Ma trận A có ma trận nghịch đảo A ma trận vng có định thức khác (det(A)≠0) ta gọi A ma trận khả nghịch  Tính chất: o (AB)-1 =B-1A-1; o (A-1)-1 = A; o (AT)-1 = (A-1)T;  Cách tìm ma trận nghịch đảo o Sử dụng phương pháp phần bù đại số  A-1= det ( A ) A* (với A* ma trận phụ hợp ma trận A) o Sử dụng phép biến đổi sơ cấp:  Lập ma trận n hàng, 2n cột cách ghép thêm vào bên phải ma trận A ma trận I đơn vị Dùng phép biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa ( A|I ) dạng ( A'|B) Nếu ma trận A’ ma trận I cấp n A khả nghịch A-1 = B Điều nghĩa q trình biến đổi có hàng khơng kết luận A không khả nghịch Ứng dụng ma trận nghịch đảo ví dụ * Ứng dụng giải phương trình ma trận Bài tốn 1: giải phương trình ma trận sau ( ) ( ) 12 X= 010 01 Giải ( ) ( ) 12 Đặt A = ; B = phương trình trở thành AX = B 010 01 Ta có Det(A) = (0.2.0 + 1.1.1 + 3.9.0) – (0.2.1 + 1.3.0 + 1.9.0) = ≠ det(A)≠0 => ⱻAA-1 => X = A-1B ( ) | | A11 A21 A31 = -9 A* = A12 A22 A32 với A11 = (-1)1+1 A13 A 23 A 33 Tương tự ta có A12 = 0; A13 = 1; A21 = 1; A22 = 0; A23 = 0; A31 = 25; A32 = 1; A33 = -3 ( )( ) ( ) Suy X = A*B = 0 1 = −9 25 −8 10 det ( A ) 1 −3 1 −1 ( ) −8 10 Vậy: X= −1 [ ] [ ] Bài toán 2: Cho ma trận A= −1 , B = 1 Tìm x cho BX = 3A – A2 Giải [ Ta có: 3A – A2 = 1−1 23] – [−11 23][−11 23] = [−33 69] - [−3 −2 19] =[05 50] [ ] Đặt A’ = 0 BX = A’ Ta có: detB = =>∃B-1A’ = det B B*A’ [ ] B* = B11 B21 B12 B22 với B11 = (-1)1+1detM11 = Tương tự ta có: B12 = -1; B21 = -1; B22 = Suy ra: X = 11[−1 −1][0 5 0] = [−5 10 −5] Vậy: = [−5 10 −5] * Ứng dụng giải mật mã, dãy số, câu đố (có ma trận) [ ]1 Bài toán 1: Cho ma trận A= tương ứng kí tự số: 103 O W N E C I A D T Thắng sinh viên HaUI, yêu quý người chống dịch Thấy người vất vả, Thắng nghĩ trị chơi mật mã với thơng điệp ý nghĩa để người giải trí Dãy số viết thành ma trận B theo nguyên tắc từ trái => phải chữ số vị trí dịng B Sau tính C=A.B chuyển C dãy số dãy: 13 27 50 8 15 18 28 Hãy chơi giải mã xem thông điệp ý nghĩa Thắng nhé! GIẢI [ ] 13 27 50 Vì A ma trận vng 3x3 nên C có cột C= 8 15 18 28 Ta có: detA= −¿13 =>∃ A−1 => B= A−1C= detA A¿C [ ] | | A11 A21 A31 A¿= A12 A22 A32 với A11= (−1)1+1det (M 11) = 0 =3 A13 A23 A 33 Tương tự ta có: A21= −6; A31= −¿4; A12= −¿6; A22= −¿1; A32= 8; A13= −¿1; A23= 2; A33= −¿3 Suy ra: [ ][ ] [ ] B= A¿C = −6 −4 13 27 50 −6 −1 8 15 = −13 −13 −1 −3 18 28 Ma trận B viết thành dãy số sau: 7058 WE C ANDOI T Vậy thông điệp Thắng “We can it” [ ]1 Bài toán 2: Cho ma trận A= tương ứng kí tự 204 01234567 G N MU Sắp tới ngày 20/11, bạn Ngọ người làm slide cho nhóm muốn gửi lời tri ân tới thầy Cậu có ý tưởng làm tặng thầy Sáu-Sky siu đẹp trai thiệp đặc biệt viết mật mã mà đẹp trai giải Dãy số viết thành ma trận B theo nguyên tắc từ trái => phải chữ số vị trí dịng B Sau tính C=A.B chuyển C dãy số dãy: 15 12 19 12 22 18 Hãy giải thử mật mã bạn Ngọ để tăng độ đẹp trai xinh gái gửi lời tri ân tới thầy cô nhé! GIẢI: [ ] 15 12 19 Vì ma trận vng 3x3 nên C có cột => C= 12 22 18 Ta có det(A)=4 =>∃A-1 => A-1 C = det ( A )A*C [ ] A11 A21 A 31 A*= A 12 A 23 A 32 A 13 A 23 A 33 [ ] Với A11 = (-1)1+1 detM11 = 0 =8 Tương tự ta tính được: A21 =-12; A31 =-2 A12 =0; A22 = 2; A32 =0 A13 =-4; A23 =6; A33 =2 Suy [ ][ ] [ ] B = A*C =1 −12 −2 15 12 19 = detA −4 12 22 18 2 Ma trận B viết thành dãy số sau: 75 40 2 M U N G 20 1 Vậy ý nghĩa thiệp: MỪNG 20/11 [ ]1 Bài toán 3: Cho ma trận A= tương ứng kí tự số sau: 108 -87 -65 -9 15 20 26 25 A H T N O C ! O U Minh muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảm bảo bí mật, Minh dùng bảng tương ứng chuyển tin nhắn thành dãnh số viết dãy số thành ma trận B, Theo nguyên tắc: từ trái sang phải chữ số vị trí dịng B Sau tính D = B.A chuyển D dãy số tìm dãy “1 2 3 4” Là người bạn tốt Minh tìm giải đoạn mật GIẢI: Ta có D = B.A => D = B A−1 mà A−1 cỡ 3x3 => C có cột mà dãy số có phần tử => cột D có phần tử => D cỡ 3x3 [ ]1 [ ]1 D= ; A= 314 108 => Det(A) = 40 + – 15 – 32 = -1 ≠ Tồn A−1 ta có: A−1= Det ( A ) CT [ ] [ ] C11 C12 C13 C11 C 21 C 31 Giả sử: C = C21 C22 C23 => C T = C12 C22 C32 C31 C 32 C33 C13 C 23 C33 | | C11 = (−1)1+1 Det (M 11) = = 40 | | C12 = (−1)1+2 Det ( M 12) = − = -13 | | C13 = (−1)1+3 Det (M 13) = = -5 | | C21 = (−1)2+1 Det (M 21) = − = -16 | | C22 = (−1)2+2 Det (M 22) = = | | C23 = (−1)2+3 Det (M 23) = − = | | C31 = (−1)3+1 Det (M 31) = = -9 | | C32 = (−1)3+2 Det ( M 32) = − 3 = | | C33 = (−1)3+3 Det (M 33) = 2 = [ ] => CT = −13 => A 40 −16 −9 −1= CT −5 −1 [ ] 40 16 => A−1 = 13 −5 −3 −2 −1 [ ] [ ] [ ] 40 16 −9 => D = B A−1 = 13 −5 −3 = −65 25 15 −2 −1 −87 35 20 [ ] −9 => D = −65 25 15 −87 35 20 => Ta có D bảng mật mã: -9 65 25 -15 -87 35 20 T O N H O C A U ! Bài tốn 4: Một hộ dân chăn ni có tổng 100 gia súc gia cầm bao gồm loại: bò ngan vịt Biết tổng số chân loại 220, tổng số gà gấp lần tổng số vịt Hỏi loại có con? GIẢI Gọi số lợn x, số gà y, số vịt z Theo đề ta ta có hệ phương trình: { x+ y+z=100 x +2 y +2 z =220 (*) y=2 z Từ (*) ta có: [ ] 1 [ x ]; [ ]100 A= 2 ; X = y B = 220 −2 z => (*) trở thành: A.X = B (1) Det(A) = ≠ => tồn A−1 ta có: A−1= Det ( A ) CT [ ] [ ] C11 C12 C13 C11 C 21 C 31 C = C21 C 22 C23 => C T = C12 C 22 C 32 C31 C 32 C33 C13 C 23 C33 | | C11 = (−1)1+1 Det (M 11) = 2 −3 = -6 | | C12 = (−1)1+2 Det ( M 12) = − −3 = | | C13 = (−1)1+3 Det (M 13) = = | | C21 = (−1)2+1 Det (M 21) = − 1 −2 = | | C22 = (−1)2+2 Det (M 22) = 1 −2 = -2 | | C23 = (−1)2+3 Det (M 23) = − 1 = -1 | | C31 = (−1)3+1 Det (M 31) = 1 2 = | | C32 = (−1)3+2 Det ( M 32) = − 1 = | | C33 = (−1)3+3 Det (M 33) = = -2 [ ] −6 02 => A−1= CT => CT = −2 −1 −2 [ ] 11 /2 −1 /3 1/3 => A−1 = / 3−1/ 6−1/ 2/3 Nhân A−1vào bên trái vế phương trình (1) ta được: A−1 AX = A−1 B 10 [ ] [ ] [ ] 11 /2 −1 /3 ⟺ X =A−1 B = /3−1/ 2/3 100 10 1/3 220 = 60 −1/3 30 {x=10 => y=60 z=30 Kết luận: Vậy số bò 10 con, số ngan 60 con, số vịt 30 II Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính tốn minh họa Nhắc lại kiến thức:  Tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến tính gồm n ẩn sau: ( ) ( ) X1B1 o Đặt A = (Aij)m.n; X = … ; B = … hệ phương trình viết dạng Xn Bn ma trận AX = B , với:  Ma trận A ma trận hệ số hệ phương trình  Ma trận A ma trận hệ số hệ phương trình  Ma trận (A|B) ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình  X gọi vecto ẩn  Cách giải hệ phương trình tuyến tính : o Dùng phương pháp Gauss o Định lý Cronecker – Capelli: xét hệ phương trình tuyến tính AX = B Ta có  Hệ có nghiệm  r(A)=r( A´ ¿=n (với n số ẩn hệ)  Hệ có vơ số nghiệm  r(A)=r( A´ ¿=k r(A) = r(Ā) → hệ có nghiệm nhất: { i1−i2−i3=0 { => giải hệ tam giác ta được:i1= 1100 300i2 +100i3=3 i2= 4275 1100 i3=−15 i3= −3 220 Bài toán 2: Cho: R1=R6=2Ω ;E1=20V R2=R3=R4=4Ω ;E2=8V R5=8Ω ; E3=4V Tìm i1; i2; i3 cơng suất tiêu thụ R5 ? Giải: Chọn vịng hình vẽ: 14 Áp dụng Kirhoff 2: Vòng 1: R1i1+ R2(i1- i2)- E1 = { i1−4 i2=20 Vòng 2: R3i2+ R6(i2-i3) - R2(i1- i2) + E3 = 0t h ay s ố tađượ c −4 i1+10 i2−2i3=−8 → −2 i2 +14 i3=− Vòng 3: R4i3+ R5i3+ E3- R6(i2-i3) = Xét ma trận bổ sung: Ta có: Tương tự ta có: detA2 =400; detA3 = -112 Suy ra: i1= det ⁡A1 detA = 140 37 ( A ); i2= det A2 detA = 2537 ( A ); i3= det A3 detA =−7 37 ( A) (i3 mang dấu âm ngược chiều với chiều dương chọn) ( ) −7 392 Công suất tiêu thụ R5 là:PR5=(i3) R5= 37 8= 1369 Vậy: i1= 140 37 ( A) ;i2= 2537 ( A) ;i3=−7 37 ( A) (i3 mang dấu âm ngược chiều với chiều dương chọn) PR5= 392 1369 (W ) *Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính kinh tế: Tính tốn, tìm phương án làm việc tối ưu nhằm giảm sức lao động, tăng hiệu kinh tế 15 Bài tốn 1: Một cơng ty sản xuất loại sản phẩm ký hiệu là: S1, S2 S3 Mỗi sản phẩm phải qua cơng đoạn cắt, lắp rắp đóng gói Và thời gian yêu cầu cho công đoạn cho bảng sau: Công đoạn Cắt Lắp ráp Đóng gói Sản phẩm Sản phẩm2 Sản phẩm Các phận cắt, lắp ráp đóng gói có số cơng nhiều tuần 355, 426 639 giờcông Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng loại sản phẩm theo tuần để nhà máy hoạt động hết công suất? Giải Gọi x1; x2; x3 số lượng sản phẩm S1, S2, S3 nhà máy cần sản xuất ĐK: x1; x2; x3 ∈N Ta có: Thời gian cắt sản phẩm: 2x1 + x2 + 4x3 (giờ) Thời gian lắp ráp sản phẩm: 3x1 + 5x2 + 2x3 (giờ) Thời gian đóng giói sản phẩm: x1 + 5x2 + 7x3 (giờ) { x1+ x2+4 x3=355 Để nhà máy hoạt động hết cơng suất thì: x1+5 x2+2 x3=426 x1+5 x2+ x3=639 Xét ma trận bổ sung: ( | ) ( | ) ( | ) 355 355 355 Ā= 426 −3 h1+2 h2 →h2 −8 −213 −h1+2 h3 →h3 −8 −213 → → 639 639 10 923 ( | ) 355 −9 h2 +7 h3 →h3 −8 −213 → 0 142 8387 => r(A) = r(Ā) → hệ có nghiệm nhất: {2 x1+x2 +4 x3=355 {x1=41 x2−8 x3=−213 142 x3=8387 giải hệ tam giác ta được: x2=37 x3=59 Vậy phải sản xuất loại sản phẩm S1, S2, S3 là: 41, 37, 59 16 Bài toán 2: nhà máy sản xuất loại sản phẩm A, B, C Mỗi sản phẩm phải qua công đoạn cắt, lắp, đóng với thời gian yêu cầu công đoạn liệt kê bảng: A B C Cắt 0,6h 1h 1,5h Lắp 0,6h 0,9h 1,2h Đóng gói 0,2h 0,3h 0,3h Các phận cắt, lắp ráp đóng gói có số cơng nhiều tuần giảm 380, 330, 120 công Hỏi nhà máy cần sản xuất số lượng sản phẩm theo tuần để hoạt động hết suất Giải Gọi x1; x2; x3 số lượng sản phẩm A, B, C nhà máy cần sản xuất ĐK: x1; x2; x3 ∈N Ta có: Thời gian cắt sản phẩm: 0,6x1 + 1x2 + 1,5x3 (giờ) Thời gian lắp sản phẩm: 0,6x1 + 0,9x2 + 1,2x3 (giờ) Thời gian đóng sản phẩm: 0,2x1 + 0,3x2 + 0,3x3 (giờ) { 0,6 x1+x2+1,5 x3=380 Để nhà máy hoạt động hết cơng suất thì: 0,6 x1+0,9 x2+1,2 x3=330 0,2 x1+0,3 x2+ 0,3 x3=120 Xét ma trận bổ sung: [ | ] [ | ] 0,6 1,5 380 0,6 1,5 380 A´ = 0,6 0,9 1,2 330 d2−d1→ d2 −0,1 −0,3 −50 →d2 - d1→0 −0,1 −20 0,2 0,3 0,5 120 d2 [ | ] 0,6 d3−d2→ d3 −0,1 1,5 380 −0,3 −50 → 0,3 30 => r(A) = r( A ¿ = => Hệ có nghiệm { { 0,6 x1+x2+1,5 x3=380 x1 =50 −0,1 x2−0,3 x3=−50 giải hệ tam giác ta được: x2=200 0,3 x3=30 x3 =100 Vậy số sản phẩm A, B, C cần sản xuất là: 50, 200, 100 17 C KẾT LUẬN Trên báo cáo nhóm ứng dụng ma trận nghịch đảo hệ phương trình tuyến tính Các tập minh họa nhóm sưu tầm chỉnh sửa, khơng thể tránh sai sót việc trình bày mong thầy giáo thơng cảm góp ý, chỉnh sửa để báo cáo hoàn thiện nhất!! 18 19