TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN ĐSTT BS6001 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG ĐỜI SỐNG THỰC TẾ Sinh vi[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG ĐỜI SỐNG THỰC TẾ Sinh viên thực hiện: Thân Thị Như Quỳnh 2022601159 Lê Hùng Quân 2022600872 Lê Thị Thanh Tâm 2022603109 Giáp Thị Thắm 2022602125 Nguyễn Quang Thắng 2022601918 Doãn Minh Thành 2022601468 Nguyễn Duy Thành 2022601944 Nguyễn Tuấn Thịnh 2022603415 Lê Thị Thu 2022606612 10 Phạm Thị Phương Thúy 2022606635 Tên lớp: 2022DHKTHH01 _ nhóm Giáo viên hướng dẫn: Lê Anh Thắng Hà Nội, ngày tháng năm MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Khoa học chứng minh: học đôi với hành khiến người ta nhớ lâu có kĩ xử lí vấn đề cách hiệu Người học mong muốn học học áp dụng vào sống, có kĩ cần thiết gặp trường hợp khơng phải lí thuyết sáo rỗng mà khơng biết sau có sử dụng đến hay không Trong thời đại khoa học công nghệ phát triển mạnh mẽ nay, việc sử dụng, vận dụng kiến thức học lại cần thiết Khi tiếp cận với toán thực tế khiến ta cảm thấy gần gũi, có mong muốn tìm tịi để áp dụng kiến thức vào sống, không để thân học với tâm “ học mơn để làm gì?” Chủ đề mà nhóm em lựa chọn lần để làm chủ đề báo cáo là: “ ứng dụng ma trận nghịch đảo hệ phương trình tuyến tính” A ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Trong bảo mật, mã hóa thơng tin Bài tốn 1: [ ] Cho ma trận A = 1 tương ứng kí tự số sau: 1 10 H N C D A O G M T E Một giáo viên muốn gửi dòng mật cho sinh viên Để đảm bảo bí mật, giáo viên chuyển bảng tương ứng chuyển dịng mật thành dãy số hồn thành dãy số theo ma trận B theo nguyên tắc từ trái sang phải, chữ số vị trí dịng B Sau tính C = BA, chuyển C dãy số được: 11 13 12 10 12 12 Hãy giải mã ma trận B để tìm bí mật? Giải Ta có: C = B.A B = C A− mà A− cỡ 3x3 suy C cỡ 3x3 [ 11 Nên: C = 13 12 10 12 12 ] Det (A) = -3 ≠ → A− = A∗ det ( A ) [ A 11 A = A 12 A 13 ∗ A21 A22 A23 A 31 A 32 A 33 ] Ta có: Aij = −1(i+ j ) det (mij) |10 01| = 1 = -1 |1 1| = -1 A11 = A12 Tương tự ta được: A13 = -1, A21 = -2, A22 = -1, A23 = 2, A31 = -1, A32 = 1, A33 = -2 [ − −1 Suy ra: A = −1 − 1 −1 −2 ∗ ] Vậy: A −1 1 ∗ = det ( A ) A = −3 [ [ − −1 −1 − 1 −1 −2 ] ] [ ] [ ][ ] [ ] 11 12 12 Ta được: B = C A− = 13 12 10 − −1 −1 − 1 −1 −2 −3 11 − −1 = 13 12 10 −1 − 1 12 12 −1 −2 = [ ] −3 −9 − 15 − −9 − 18 − 21 −15 − − 21 Suy ra: B = 7 Thứ tự dãy số theo quy tắc là: 7 C A N C O G A N G Bài toán 2: [ ] Cho ma trận A = tương ứng ký tự số sau: -87 -65 -9 15 20 26 25 A H T N O C ! O U Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảm bảo bí mật, dùng bảng tương ứng chuyển tin nhắn thành dãy số viết dãy số thành ma trận B Theo nguyên tắc: từ trái sang phải chữ số vị trí dịng B Sau tính C=B.A chuyển dãy số tìm dãy “1 2 3 4” Hãy giải mã thơng tin Giải Ta có: C = B.A => B = C.A-1 mà A-1 cỡ 3x3 => C có cột, mà dãy số có phần tử => cột C có phần tử => C cỡ 3x3 [ ] [ ] C= ; A= => Det(A) = -1 ≠ => Tồn A-1; Ta có: A-1 = [ A 11 A* = A 12 A 13 A21 A22 A23 A 31 A 32 A 33 ] |50 38| = 40 Det( M ) = − | = −13 8| Det( M ) = |1 0| = −5 Det( M ) = −|0 8| = −16 Det( M ) = |1 8| = Det( M ) = −| = 0| Det( M ) = | = −9 3| Det( M ) = −|2 3| = Det( M ) = |2 5| = A11= (−1)1+1 Det( M 11) = A12= (−1)1+2 A13 = (−1)1+3 A21= (−1)2+1 A22= (−1)2+2 A23 = (−1)2+3 A31= (−1)3+1 A32= (−1)3+2 A33 = (−1)3+3 [ 40 => A* = −13 −5 12 13 21 22 23 31 32 33 − 16 −9 ] A* Det ( A) [ ][ 40 − 16 −9 − 40 16 1 * -1 = 13 −5 −3 Mà A = A => A = −13 −1 −1 −5 − −1 -1 [ ][ ][ − 40 16 −9 B = C.A = 13 −5 −3 = −65 25 15 − −1 −87 35 20 -1 ] ] => Ta có bảng mật mã: -9 -65 25 15 -87 35 20 T O N H O C A U ! Bài toán 3: ( ) Cho ma trận A= tương ứng ký tự số sau: -87 -65 -9 15 20 26 35 A N T Ắ H G E G M Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn đến cho người Để đảm bảo bí mật, dùng tương ứng truyền tin nhắn thành dãy số viết dãy số thành ma trận B Theo nguyên tắc: Lần lượt từ trái sang phải chữa số vị trí dịng B Sau tính D=BA chuyển D dãy số tìm dãy 2 3 Hãy giải mã thông tin Giải D=B.A B = D.A-1 mà A-1 cỡ 3×3 D có cột, mà dãy số có phần tử suy cột D có phần tử D cỡ 3×3 [ ] D= ; ( A= ) Det(A) = 40 + -15-32 = -1 ≠ |50 38| = 40 A11= (−1)1+1.Det( M 11)= Tương tự A12= -13; A13 = -5 A21= -16; A22 = 5; A23 = A31= -9; A33 = [ A32= 3; ] [ ][ [ ] [ 40 − 16 −9 − 40 16 -1 -1 A = A* = −13 A* A = 13 −5 −3 −1 −5 − −1 − 40 16 B=D A = 13 −5 −3 − −1 -1 ] ] −9 B = −65 26 15 −87 35 20 -9 -65 26 15 -87 35 20 T H Ắ N G G A M E Bài toán 4: Với bảng quy định số ta mã hóa thành chuỗi.Nhân ma trận kĩ thuật đơn giản sử dụng để mã hóa giải mã thơng điệp với mức độ khó 05=space 11=D 17=I 23=Ơ 29=T 00=Dấu sắc 06=A 12=Đ 18=K 24=Ơ 30=U 01=Dấu huyền 07=Ă 13=E 19=L 25=P 31=Ư 02=Dấu hỏi 08=Â 14=Ê 20=M 26=Q 32=V 03=Dấu ngã 09=B 15=G 21=N 27=R 33=X 04=Dấu nặng 10=C 16=H 22=0 28=S 34=Y 35=Khơng có mã Ta có dịng mật K H O A “space” HO ”Dấu nặng”C Dựa bảng ta tìm mã chuỗi là: 18 16 22 06 05 16 22 04 10 Giải: [ 18 16 22 ¿>¿ Ta lập ma trận M cỡ 3x3 là: M= 06 05 16 22 04 10 ] Khi người ta sử dụng ma trận bí mật để tính tốn giá trị mã [ −2 Giả sử ta sử dụng ma trận E để mã hóa: E= −1 1 −1 −4 ] Ta tính ma trận D công thức D=M.E [ 24 −42 − D= 17 −23 −37 28 −50 16 ] Để khôi phục lại mật mã ban đầu ta sử dụng ma trận nghịch đảo: M=D E− 1; [ −1 − 10 − Det(E)=1; E = −1 − − −1 −1 −1 [ ][ ] 24 −42 − −1 − 10 − M= D E = 17 −23 −37 = −1 − − 28 −50 16 −1 −1 −1 ] => Ta tìm mã chuỗi ban đầu là: 18 16 22 06 05 16 22 04 10 =>Ta tìm dịng mật ban đầu là: K H O A “space” HO ”Dấu nặng”C ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU, SẢN XUẤT, KINH TẾ Bài toán 1: nhà nông chăn nuôi tổng 100 gia súc bao gồm loại : lợn, gà, vịt Biết tổng số chân loại 220, tổng số gà gấp lần tổng số vịt Hỏi loại có con? Giải: Gọi số lợn x, số gà y, số vịt z Theo đề ta có hệ phương trình: { x+ y + z =100 x +2 y +2 z=220 (*) y =2 z Từ (*) ta có: [ ] [] [ ] 1 x 100 A= 2 ; X= y ; B= 220 −1 z => (*) trở thành: A.X=B (1) Det(A) = ≠ 0=> tồn A− Ta có: [ a11 a21 a31 A = a12 a22 a32 a13 a23 a33 ∗ ] 1+1 𝑎 = (−1) 11 |2 | Det(𝑀 )= −2 = -6 11 1+2 𝑎 = (−1) 12 𝑎 Det(𝑀 12 |−40 −22|= − 1+3 =(−1) Det(𝑀13)= = | | 13 Tương tự ta tính : 𝑎 = ;𝑎 = 21 31 𝑎 = -2; 𝑎 = 22 32 𝑎 = -1; 𝑎 = -2 23 33 [ −6 −2 A = −1 −2 ∗ )= ] −1 Ta có: A = ∗ A det ( A ) [ −6 −2 A = −1 − −1 ] 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100 [ ] −1 A− 1= 3 −1 −1 Nhân A− 1vào bên trái hai vế phương trình (1) ta được: => A− A X= A −1 B [ ] −1 X= A B = −1 { x=10 3 −1 [ ][ ] 100 10 220 = 60 30 −1 => y=60 z=30 Kết luận: số lợn 10; số gà 60; số vịt 30 Bài tốn 2: Lớp điện có top 10 bạn điểm kiểm tra cao bao gồm điểm 8, 9, 10 Biết tổng số điểm 10 bạn 87 tổng số bạn có điểm 10 tổng số bạn có điểm Hỏi có bạn điểm 8, bạn điểm 9, bạn điểm 10 ? Giải: Gọi số bạn 10 điểm a Gọi số bạn điểm b Gọi số bạn điểm c Theo đề ta có hệ phương trình { 10 a+9 b+ c=87 (*) a+b+ c=10 a+b=c Từ (*) ta có: [ ] [] [ ] 10 a 87 A= 1 ; X= b ; B= 10 1 −1 c (*) trở thành: A.X=B [ Det(A)= -2 ≠ => tồn A− Ta có: a11 a21 a31 A = a12 a22 a32 a13 a23 a33 ∗ ] 1+1 𝑎 = (−1) 11 |1 | Det(𝑀 )= −1 = -2 11 1+2 𝑎 = (−1) 12 𝑎 Det(𝑀 12 )= |11 −11 |= − 1+3 1 =(−1) Det(𝑀13)= 1 = | | 13 A Tương tự ta tính được: 𝑎 = 17 ; 𝑎 =1 21 31 𝑎 = -18 ; 𝑎 = -2 22 32 𝑎 = -1 ; 𝑎 = 23 33 [ −2 17 A = − 18 − −1 ∗ Ta có: ] −1 A = ∗ A det (A ) −1 A = [ −2 17 1 − 18 − −2 −1 [ − 8,5 − 0,5 A =¿ −1 0,5 − 0,5 −1 ] ] Nhân A− 1vào bên trái hai vế phương trình (1) ta được: −1 −1 ¿> A A X =A B [ ][ ] [ ] −8,5 −0,5 87 −1 X =A B= = − 10 0,5 −0,5 { a=2 ¿> b=3 c=5 Kết luận: có bạn 10 điểm, bạn điểm, bạn điểm Bài toán 3: Một nhóm người du lịch Địa điểm hai nới khác với khoảng cách xa Khi xuất phát đến địa điểm thứ nhất, họ tàu hỏa, chi phí 1trđ/ trẻ em; 2trđ/ niên 3trđ/ người lớn tổng chi phí 57trđ Khi tới địa điểm thứ họ tơ với chi phí 4trđ/ trẻ em; 1trđ/ niên 2trđ/ người lớn với tổng chi phí 63trđ Khi họ máy bay với chi phí 2trđ/ trẻ em; 5trđ/ niên 8trđ/ người lớn với chi phí 141trđ Sử dụng ma trận nghịch đảo tìm số lượng trẻ em, số lượng niên người lớn nhóm Giải Gọi : x số trẻ em nhóm y số niên nhóm z số người lớn nhóm [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x 57 x 57 ; y 63 y Theo đề cho ta pt sau: (1) = Gọi A= ; X= B= 63 z 141 z 141 Phương trình (1) trở thành: A.X=B X=A-1.B Det(A)= 8+8+60-10-64-10=−4≠ 0nên tồn A-1 [ A 11 A*= A 12 A 13 A = A* DET ( A ) -1 A21 A22 A23 A 31 A 32 A 33 |15 28|= −2 A = (-1) Det(M )=−|2 8|= −28 A =(-1) Det(M )=|2 5|= 18 ] A11= (-1)1+1.Det(M11)= 1+2 12 12 1+3 13 13 Tương tự:A21 = −1; A23 = −1 ; A31 = A22 = 2; A32 = 10 ; A33 = −7 [ [ ] [ ] [ ] [ ] ] −2 −1 1 −28 10 = A = −4 18 −1 − −9 -1 X= A B = -1 −9 −1 4 −1 −1 10 −1 X=9 57 10 ∙ 63 = 15 Y =15 Z=6 141 Vậy nhóm có trẻ em, 15 niên, người lớn B ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TÌNH TUYẾN TÍNH Giải tốn thực tế kinh tế Bài toán 1: Một nhà máy sản xuất loại sản phẩm A, B, C Mỗi sản phẩm phải qua cơng đoạn cắt, lắp ráp đóng gói với thời gian u cầu cho cơng đoạn liệt kê bảng sau: Sản phẩm A Sản phẩm B Sản phẩm C Cắt 0.6h 1h 1.5h Lắp ráp 0.6h 0.9h 1.2h Đóng gói 0.2h 0.3h 0.5h Các phận cắt, lắp ráp đóng gói có số công nhiều tuần 380, 330 120 công Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng loại sản phẩm theo tuần để nhà máy hoạt động hết công suất? Giải: Gọi x , x , x số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần sản xuất (cái); điều kiện: x , x , x ∈ N Thời gian cắt để sản xuất sản phẩm là: 0.6 x 1+ x2 +1.5 x (giờ) Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm là: 0.6 x 1+ 0.9 x2 +1.2 x3 (giờ) Thời gian đóng gói để sản xuất sản phẩm là: 0.2 x 1+0.3 x +0.5 x3 (giờ) Để nhà máy hoạt động hết suất cần điều kiện: { 0.6 x1 + x +1.5 x 3=380 0.6 x1 +0.9 x +1.2 x 3=330 0.2 x +0.3 x 2+ 0.5 x 3=120 Ta có: ( | ) ( | ) 0.61 1.5 380 A = 0.6 0.9 1.2 330 d −d → d d −d → d 0.2 0.3 0.5 120 0.61 1.5 380 A = 0.1 0.3 50 d −d →d 0.1 20 ( | ) 0.61 1.5 380 A = 0.1 0.3 50 0 0.3 30 r(A) = r(A/B) = số ẩn = hệ phương trình có nghiệm { { 0.6 x1 + x +1.5 x3 =380 0.1 x2 +0.3 x 3=50 0.3 x 3=30 x1 =50 x =200 x3 =100 Vậy số lượng sản phẩm A,B,C nhà máy cần sản xuất là: 50; 200; 100 (cái Mơ hình cân thị trường – trường hợp nhiều mặt hàng Bài toán 1: Cho hàm cung, hàm cầu ba mặt hàng sau: Q D =70− P1 − P2 −6 P3 ; QS =P1 − Q D =76− P1 − P − P3 ;Q S =P2 −3 Q D =70 −2 P1 − P − P3 ; QS =3 P3 −6 1 2 3 a Hãy xác định giá cân ba mặt hàng b Các mặt hàng thay lẫn hay phụ thuộc ? Giải: a Tại điểm cân thị trường ta có: { QD =QS =Q1 QD =QS =Q2 QD =QS =Q3 { 1 2 3 70 − P1 −2 P −6 P3 =P1 − Ta có hệ phương trình: 76 −3 P1 − P2 − P3 =P −3 70− P1 −3 P2 − P3 =3 P − { P1+ P 2+3 P3=37 P1 +2 P2 +4 P3 =79 P 1+3 P2 +5 P3=76 (*) Ta giải hệ phương trình (*) phương pháp Cramer: Ta có: | | | | 1 D = =6 37 1 37 D2 = 79 =42 76 | | | | 37 D1 = 79 =90 76 D3 = 79 =30 { 76 D1 =15 D D Nghiệm hệ (*) là: P 2= =7 D D3 P3 = =5 D P 1= Vậy giá cân ba mặt hàng P1=15 , P2=7 , P3=5 b Từ hàm cầu Q D1, ta thấy: giá P2 , P3 tăng làm Q D1 giảm Do đó, mặt hàng phụ thuộc Bài tốn 2: Thị trường có loại hàng hóa Hàm cung hàm cầu ba loại hàng hóa là: Qs 1=18 p1 − p2 − p3 − 45 , Q D 1=−6 p1 +2 p 2+ 130 Qs 2=− p1+ 13 p − p3 −10 , QD 2=2 p −7 p2 + p3 +220 Qs =− p1 − p 2+ 10+130 ,Q D 3=3 p2 −5 p3 +215 Tìm giá điểm cân thị trường? Giải: Từ giả thiết đề cho ta có: { 18 p1 − p2 − p − 45=−6 p1 +2 p 2+130 Xét hệ − p1 +13 p − p3 −10=2 p −7 p2 + p3 +220 − p − p 2+10+130=3 p2 − p3 +215 { 24 p1 −3 p2 − p 3=175 −3 p1+ 20 p −2 p3=230 − p1 − p2 −15 p3=230 [ ] | 24 −3 − D= −3 20 − = 6835≠ −1 −4 − 15 | [ 24 175 −1 D 2= −3 230 −2 = 10250 −1 230 15 p1 = | | ] 175 − −1 D1= 230 20 −2 = 68350 230 − 15 24 −3 175 D 3= −3 20 230 = 13670 −1 −4 230 D1 D D =10 , p1= =15 , p 1= =20 D D D Vậy giá điểm cân (10,15,20) Mơ hình Input – Leontief Bài tốn 1: Trong mơ hình Input – Output mở biết ma trận đầu vào ( 0,3 0,1 0,1 A= 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 0,2 ) a) Hãy cho biết ý nghĩa kinh tế hệ số b) Tìm mức sản lượng ngành, ngành mở yêu cầu ngành phải cung cấp cho lượng sản phẩm trị giá tương ứng (70, 100, 30) Giải: a) Ý nghĩa a 23=0,3 Cần lượng hàng hóa ngành thứ (nguyên liệu thứ 2) trị giá 0,3 (đơn vị tiền), để sản xuất lượng hàng hóa ngành thứ trị giá (đơn vị tiền) b) I ma trận đơn vị cấp 3, A ma trận đầu vào, D nhu cầu cuối cùng, X | | 0 I = vecto dạng cột 0 Ta có: ( ln − A ) X =D ( )( ) ( ) 0,7 − 0,1 − 0,1 x1 70 = − 0,1 0,8 − 0,3 x 100 − 0,2 − 0,3 0,8 x3 30 { 0,7 x −0,1 x2 −0,1 x 3=70 −0,1 x1 +0,8 x − 0,3 x3 =100 0,1 x −0,3 x 2+ 0,8 x 3=30 { x1 =150 x2 =200 x3 =150