ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG THỰC TIẾN HaUI

Phần 1 Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí) 3 Phần 2 Mở đầu 4 Phần 3 Nội dung báo cáo 5 3.1 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 1 (5 ứng dụng) 5 Câu 1 (biến đổi nhiệt) 5 Câu 2 (biến đổi nhiệt) 6 Câu 3 (lò xo) 7 Câu 4 (phân rã của chất) 8 Câu 5 (phân rã của chất) 9 3.2 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 (4 ứng dụng) 10 Câu 1 (mạch điện) 10 Câu 2 (mạch điện) 12 Câu 3 (lò xo) 13 Câu 4 (lò xo) 14 Phần 4 Kết luận 15 Phần 5 Tài liệu tham khảo 15

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: TKT BS6004 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG THỰC TIỄN

Sinh viên thực hiện :

Giáo viên hướng dẫn : Đặng Việt Trung

Hà Nội, 10 tháng 10 năm 2022

Mục lục

Phần 1 Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí) 3

Phần 2 Mở đầu 4

Phần 3 Nội dung báo cáo 5

3.1 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 1 (5 ứng dụng) 5

Câu 1 (biến đổi nhiệt) 5

Câu 2 (biến đổi nhiệt) 6

Câu 3 (lò xo) 7

Câu 4 (phân rã của chất) 8

Câu 5 (phân rã của chất) 9

3.2 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 (4 ứng dụng) 10

Câu 1 (mạch điện) 10

Câu 2 (mạch điện) 12

Câu 3 (lò xo) 13

Câu 4 (lò xo) 14

Phần 4 Kết luận 15

Phần 5 Tài liệu tham khảo 15

Phần 1 Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí)

- Tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân

- Bảng qui đổi ra hệ số cá nhân

Phần 2 Mở đầu

Lý do chọn đề tài

Lịch sử lý thuyết phương trình vi phân khởi nguồn từ nửa cuối thế kỉ XVII trong các công trình của Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz hay nhà

Bernoulli, Jakob và Johann Các phương trình vi phân xuất hiện như một hệ quả tự nhiên khi các nhà toán học áp dụng các ý tưởng mới trong giải tích vào một số bài toán trong cơ học Trải qua lịch sử hơn 300 năm, lý thuyết phương trình vi phân đã trở thành một công cụ đặc biệt trong việc mô tả và phân tích nhiều bài toán thực tiễn không chỉ trong khoa học kỹ thuật mà trong nhiều lĩnh vực khác nhau như trong y học, sinh thái học, kinh tế, môi trường v.v Tầm quan trọng của chúng là động lực thúc đẩy các nhà khoa học và toán học phát triển các phương pháp trong nghiên cứu các tính chất nghiệm, từ các phương pháp tìm nghiệm chính xác qua các hàm sơ cấp đến các phương pháp hiện đại của giải tích và xấp xỉ số Hơn nữa, lý thuyết này cũng đóng một vai trò trung tâm trong sự phát triển của toán học bởi những câu hỏi

và vấn đề về phương trình vi phân là khởi nguồn của nhiều lĩnh vực toán học như topo, đại số, hình học và giải tích hiện đại Sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết phương trình vi phân và những ứng dụng của chúng trong nhiều ngành khoa học đã

và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các chuyên gia và người học trong các lĩnh vực đa ngành Điều này đã đặt lý thuyết phương trình vi phân ở vị trí đặc biệt trong toán học và khoa học ứng dụng Ngày nay, lý thuyết này được dạy ở nhiều cấp độ khác nhau trong hầu hết các trường đại học và viện nghiên cứu trên thế giới

Phần 3 Nội dung báo cáo

3.1Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 1 (5 ứng dụng)

Câu 1 (biến đổi nhiệt): Một thanh thép được nung nóng đến nhiệt độ 400 ℃ , được đặt trong môi trường với nhiệt độ không đổi là 25℃ (và nhiệt độ thanh thép tỏa ra không làm thay đổi nhiệt độ của môi trường ) Biết rằng tốc độ nguội dần hoặc nóng lên của vật tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ vật và nhiệt độ môi trường xung quanh và sau 30 phút nhiệt độ của thanh thép là 200℃

a) Viết phương trình vi phân mô phỏng và tìm nghiệm của phương trình này b) Hỏi sau bao lâu nhiệt độ của thanh thép là 100 ℃

Giải a)

 Ký hiệu T(t) là nhiệt độ của thanh thép tại thời điểm t.

 Tốc độ biến thiên của thanh thép là dT dt ,tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ

T của thanh thép và nhiệt độ của môi trường xung quanh T e

 Tốc độ này là một đại lượng âm vì T giảm theo thời gian

Ta có phương trình vi phân sau:

dT dt =−k(T−25),(k>0) với k là hệ số tỷ lệ (1)

Với điều kiện ban đầu :

T(0)=400 , T(30)=200 (sau 30 phút nhiệt độ thanh thép là 200 ℃ )

Giải phương trình vi phân (1) ;

dT

dt =−k(T−25) ⇒ T−25 dT =−kdt

Tích phân của 2 vế của phương trình ta được

ln|T−25|=−kt+C1,C1=const (*)

Do nhiệt độ của thanh thép luôn lớn hơn hoặc bằng nhiệt độ của môi trường nên T-25>0

(*) => T-25=e −kt+C1=e C1e −kt

=>T=C e −kt +25,C=e C1=const (2)

Với T(0)=400 thay vào (2) ta được , C=375

=> T=375 e −kt+25. (3)

Với T(30)=200 thay vào (3) ta được :

200=375e −k 30 +25k= 130ln 375127≈ 0,025.

Vậy quy luật nguội của thanh thép là

T =375e −0,025 t+25.

b) Tìm thời gian thanh thép có T=100, ta có phương trình

100=375 e −0,025t+25≤¿e 0,025 t= 375

75 <¿>t ≈ 64

Vậy sau 64 phút nhiệt độ thanh thép sẽ là 100℃

Câu 2 (biến đổi nhiệt): Một thanh kim loại được nung nóng tới nhiệt độ 500° C ,

được đặt trong một môi trường đủ rộng với nhiệt độ không đổi là 40° C(nhiệt độ thanh kim loại tỏa ra không làm thay đổi nhiệt độ môi trường) Biết rằng tốc độ nguội dần hoặc nóng lên của thanh kim loại tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ của thanh kim loại và nhiệt độ môi trường xung quanh và sau 30 phút nhiệt độ thanh kim loại là 400° C

a, Viết phương trình vi phân mô phỏng và tìm nghiệm của phương trình này

b, Sau bao lâu thì nhiệt độ của thanh kim loại là 250° C ?

Giải

a, Gọi T (t ) là nhiệt độ của thanh kim loại tại thời điểm t

Tốc độ biến thiên nhiệt độ thanh kim loại là dT dt tỷ lệ với hiệu số của nhiệt độ T của thanh kim loại và nhiệt độ môi trường xung quanh T e.

Tốc độ này là một đại lượng âm vì T giảm theo thời gian

Ta có phương trình vi phân mô phỏng như sau:

dT

dt =−¿k(T−40¿ với k>0, k là hệ số tỷ lệ (1) Với các điều kiện ban đầu:

T(0)= 500; T(30)= 400

Giải phương trình (1):

dt = −¿k(T-40)

=>T −40 dT = −k d t

=> ∫T−40 dT = ∫−k d t

=>ln ¿T−40∨¿¿ = -kt + C1 vớiC1 = const (*)

Do nhiệt độ của thanh kim loại luôn ≥ nhiệt độ của môi trường nên:

|T −40∨¿ = T – 40 (*) => T– 40 = e −kt+C1 = e C1e −kt

=> T = Ce −kt+ ¿ 40 với C = e C1 = const (2)

Với T(0) = 500 thay vào (2) ta được:

500 = Ce −k 0+¿ 40 Nên C = 460 => T = 460e −kt +¿ 40 (3)

Với T(30) = 400 thay vào (3) ta được:

400 = 460e −k 30 +¿ 40 Nên k = 301 ln 460

Vậy quy luật nguội dần của thanh kim loại là:

T = 460e −0,008171t +¿ 40

b, Khoảng thời gian t để T = 250° C là:

250 = 460e −0,008171t+¿40 Nên t = 0,0081711 ln 460210 ≈95,96 (phút)

Câu 3 (lò xo): Biết rằng tốc độ giảm biên độ của lò xo tỉ lệ thuận với biên độ dao động của lò xo Hãy tìm quy luật giảm biên độ của lò xo biết thời gian cần thiết để biên độ giảm một nửa là 5 giây và tìm thời gian cần để biên độ dao động của lò xo còn lại 10% ?

Giải

Ký hiệu A(t) là biên độ tại thời điểm t (A0 là biên độ tại thời điểm ban đầu) khi đó tốc độ giảm biên độ là dA dt Tốc độ này là một đại lượng âm vì A giảm dần theo thời gian

Theo điều kiện ban đầu ta có:

dA

dt =-kA (k,A>0) k là hệ số tỷ lệ

Suy ra: dA A =-kdt

Suy ra: ln|A|=ln|C|-kt

Suy ra: A=C× e −kt

Tại t=0 suy ra A0 =C× e −k× 0 suy ra C=A0

Tại t=5 giây suy raA0

2 =A0× e −k× 5 suy ra k=0,1386 Thời gian dao động cần tìm để biên độ dao động còn lại 10% là:

1

10× A0=A0× e −0,1386 ×t

Suy ra t=16,6 (giây)

Vậy thời gian cần để biên độ giảm xuống còn 10% là: 16,6 giây

Câu 4 (phân rã của chất): Biết rằng tốc độ phân rã của radium tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó Hãy tìm quy luật phân rã nếu biết khối lượng ban đầu của nó

và thời gian T cần thiết để phân rã hết 50% khối lượng ban đầu Hỏi sau 150 năm sẽ phân rã hết bao nhiêu phần trăm khối lượng radium ban đầu nếu biết T= 1800 năm

Giải

Ký hiệu R(t) là khối lượng radium tại thời điểm t

Tốc độ phân rã là dR dt , tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó

Tốc độ này là một đại lượng âm vì R giảm theo thời gian

Theo điều kiện ban đầu ta có phương trình vi phân :

dR

dt = -kR ( R > 0, k > 0 ) trong đó k là hệ số tỷ lệ (1)

R(0) = R0

R(T) = R0

2

Giải phương trình vi phân (1)

dR

Tích phân 2 vế của phương trình ta được :

 lnR = -kt + ln|C|

 R = Ce-kt ( ln|C| = C1 )

Vì R(0)=R0 , R(T)=R0

2

 C=R0 , K=ln 2T

Quy luật phân rã của radium là: R=R0e−ln 2T t

Với T = 1800 , t = 150 ta có:

R(150) = R0e−0.058

R0 = e−0.058 = 0.944 = 94.4%

Vậy qua 150 năm sẽ phân rã hết 5.6% lượng radium ban đầu

Câu 5 (phân rã của chất): Một mẫu phóng xạ có khối lượng ban đầu là R0=1 mg Sau 15,8 ngày khối lượng của mẫu giảm 94,25% Tìm chu kỳ bán rã của chất phóng

xạ, biết rằng tốc độ phân rã của một chất phóng xạ tỉ lệ thuận với khối lượng hiện

có của nó

Giải

Ký hiệu R(t) là khối lượng radium tại thời điểm t

Tốc độ phân rã là dR dt , tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó

Tốc độ này là một đại lượng âm vì R giảm theo thời gian

Theo điều kiện ban đầu ta có phương trình vi phân :

dR

dt = -kR ( R > 0, k > 0 ) trong đó k là hệ số tỷ lệ (1)

R(0) = R0 = 1

R(15,8) = 1 – 0,9425 = 0,0575

Giải phương trình vi phân (1)

Tích phân 2 vế của phương trình ta được :

 lnR = -kt + ln|C|

Với R(0) = 1 thay vào (2) ta được C = 1

Với R = 0,0575 thay vào (3) ta được:

e-15,8k = 0,0575  k=0.1807

Vậy quy luật phân rã của chất phóng xạ là:

R(t) = e-0,1807t

Gọi T là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ, ta có:

R(T) = R0

2 = 12

 e-0,1807T = 12 => T = 3,83 ngày

3.2Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 (4 ứng dụng)

Câu 1 (mạch điện) : Xét mạch điện nối tiếp như hình vẽ gồm các phần tử sau R=5Ω,L=1H,C=0,25F,v s =10 sin 4 t.Tìm v c(t)? Biết mạch có điều kiện ban đầu

v c(0)=0,v ' c(0)=0

Giải

Áp dụng định luật kirchoff 2(K2), ta được:

v R +v L +v C =v s(1)

Ri+L i ' +v c =v s

c ;i ' =C ' v ''

c

 (1)  v” c + R L v ' c+LC v c =LC v s

Thay số ta được:

v ' '

c +5v '

c +4v '

c =40sin 4t(2) Xét phương trình đặc trưng:

k2+5k+4=0

Phương trình đặc trưng có nghiệm: k1=-1,k2=-4

Nghiệm của phương trình thuần nhất là

v h =c1e −t +c2e −4 t

Xét VP = 40sin4t(a=0,n=1)

Ta thấy a=0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng

Nên nghiệm riêng của (2) có dạng:

v p = Acos4t +Bsin 4t

 v '

p =−4 Asin 4t+4 Acos 4t

 v ' '

p =−16 Acos4 t−16Bsin 4t

Thay v p ,v ' p ,v ' ' p vào (2)

 (2)  (−12 A +20B)cos 4t +(−20 A−12 B)sin 4t=40sin 4t

−12 A +20B=0

−20 A−12B=40

17 cos 4t− 1517sin 4 t

Nghiệm tổng quát:

v c(t)=v p +v h =e −t c1+e −4 t c2− 2517cos 4t− 1517sin 4 t

Với điều kiện ban đầu

v c(0)=0,v '

c(0)=0

 c1+c2− 2517=0

−c1−4c2−4 1517=0

c1=3,14 ,c2=−1,67

 v c =3,14.e −t −1,67 e −4t− 2517cos 4 t− 1517sin 4 t

Câu 2 (mạch điện):

Hãy tìm phương trình vi phân ứng với dòng điện i2 trong mạch

Giải

Áp dụng định luật Kirchhoff 2

Ta có: 2i1+ⅆ i1

t

ⅆ −

ⅆ i2

t

ⅆ =v s

−ⅆ i1

t

ⅆ +3i2 +2ⅆiⅆt1=0

Sử dụng toán tử s=d ∕ tⅆ

(2+s)i1−si2=v s

−si1+(3+2s)i2=0

Sử dụng định luật Cramer để tìm i2 ta được:

(2+s) (3+2s)−s2 = s v s

s2+7 s+6

(s2+7 s+6)i2=s v s

Vậy pt vi phân cho i2 là:

ⅆ 2i2

ⅆt2 +7 ⅆi2

t

ⅆ +6i2 =ⅆ v s

t

ⅆ

Xét phương trình đặc trưng:

k2+7 k+6=0

Phương trình đặc trưng có nghiệm là: k= -1,k= -6

Vậy nghiệm của phương trình thuần nhất là:

v h =C1 ⅇ−t +C2 ⅇ−6t

Câu 3 (lò xo) : Một lò xo khối lượng 3Kg có độ dài tự nhiên 0,3(m) Người ta cần một lực 30(N) kéo giãn nó ra một độ dài 0,8(m) Nếu lò xo được kéo giãn tới độ dài 0,8(m) và sau đó được thả ra với vận tốc ban đầu là 0, hãy tìm vị trí của vật thể tại thời điểm t bất kỳ

L0

L 0

F

Theo định luật Hooke, nếu lò xo được kéo dãn thêm x đơn vị so với chiều dài tự nhiên của nó, thì nó tạo nên một lực tỷ lệ thuận với x Lực cần thiết để kéo giãn lò

xo là:

F=kx

30=0,5k

 k=60 Nếu bỏ qua mọi lực cản , theo ĐL II Newton: F=ma  -kx=mx” 3x”+60x=0 3x”+60x=0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Ta có phương trình đặc trưng là :

3λ2 +60 =0

 λ1=2√5i

Nghiệm tổng quát của phương trình là

x(t) = C1cos(2√5¿t )+C 2sin(2√5¿t)¿¿

x’(t)¿−2√5C 1sin(2√5¿t)+2√5C 2cos(2√5¿t )¿¿

m

m

Thời điểm bắt đầu thả vật t=0 => x(0) =0,5 =>C1=0,5

Vận tốc ban đầu là 0

=> v(0)=0  x’(0) =0  C2 =0

=> x(t)=12cos(2√5¿t )¿ pt xác định vị trí của vật thể tại thời điểm t

Câu 4 (lò xo): Một lò xo có độ cứng K , một đầu lò xo gắn cố định một đầu gắn với vật nặng khối lượng 4 kg chiều dài tự nhiên của lò 0,4 m người ta cần một lực 60(N) kéo giãn nó ra một độ dài 1 m nếu lò xo được kéo giãn tới độ dài 1m và sau

đó được thả ra với vận tốc ban đầu là 0 Hãy tìm tọa độ của vật thể tại thời điểm

t= 12s?

Giải Theo định luật hooke nếu lò xo được kéo dãn thêm x đơn vị so với chiều dài tự nhiên của nó, thì nó tạo nên một lực tỷ lệ thuận với x Lực cần thiết để giãn lò xo là: F=Kx

Suy ra: 60=0,6K

Suy ra: K=100 (N/m)

Nếu bỏ qua mọi lực cản theo định luật II Newton:

F=ma

Suy ra: -kx=ma

Suy ra: 4x¿+100x=0 (1)

Ta có phương trình (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Ta có phương trình đặc trưng : b2+60b=0

Suy ra: b1=2i√15 ; b2=−2i√15

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

x=e0 ¿+C2sin 2t√15) (2)

Tại t=0, x=0,6 thay vào phương trình (2) ta được: C1=0,6

Tại t=0, v=0 thay vào x ' ta được: 0=-2√15×0,6×sin2t√15 +2C2√15×cos2 t√15 Suy ra C2=0

Suy ra phương trình giao động của vật là: x=0,6cos(2t√15)

Suy tọa độ của vật tại thời điểm t=1/2 s là: x=-0,4465

Phần 4 Kết luận

Từ những ví dụ đã nêu ở trên ta đã thấy được tính ứng dụng của bộ môn Toán Kỹ Thuật trong thực tế Là một công cụ rất hữu dụng để chúng ta nghiên cứu, kiểm tra và đánh giá một số hiện tượng sự vật quanh ta Chúng ta cũng đã thấy được môn học Toán Kỹ Thuật không phải là một bộ môn với những con số khô khan không có tính ứng dụng, không có giúp ích gì cho cuộc sống chúng ta Chỉ khi ta tìm tòi để hiểu thêm về nó thì khi đó thứ mà nó mang lại cho chúng ta rất hữu dụng Các công việc mà chúng ta vẫn đang làm từ trước đến giờ nếu ta ứng dụng toán kĩ thuật vào đó được thì hiệu quả đem lại sẽ rất lớn và hơn thế nữa là khi ta chuyển từ cách làm việc theo kiểu mới thì nó sẽ đem lại cho chúng ta một tinh thần vui vẻ, có thêm động lực để sáng tạo và khiến công việc đó bớt nhàm chán Chính vì tất cả những lí lẽ đó mà chúng ta nên học hỏi, tìm tòi, biết cách vận dụng các kiến thức một cách khôn ngoan để có thể giúp cho cuộc sống của chúng ta phát triển theo một chiều hướng tích cực, tốt đẹp hơn!!!

Tiếng việt

 Cuuduongthancong (không ngày tháng) Hồ Chí Minh

 Loi, T D (2021) ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 GIẢI MẠCH ĐIỆN Trần Đức Lợi