Phần 1 Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí) 3 Phần 2 Mở đầu 4 Phần 3 Nội dung báo cáo 5 3.1 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 1 (5 ứng dụng) 5 Câu 1 (biến đổi nhiệt) 5 Câu 2 (biến đổi nhiệt) 6 Câu 3 (lò xo) 7 Câu 4 (phân rã của chất) 8 Câu 5 (phân rã của chất) 9 3.2 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 (4 ứng dụng) 10 Câu 1 (mạch điện) 10 Câu 2 (mạch điện) 12 Câu 3 (lò xo) 13 Câu 4 (lò xo) 14 Phần 4 Kết luận 15 Phần 5 Tài liệu tham khảo 15
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ──────── * ─────── BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: TKT BS6004 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG THỰC TIỄN Sinh viên thực : Tên lớp : 20221BS6004010 Giáo viên hướng dẫn : Đặng Việt Trung Hà Nội, 10 tháng 10 năm 2022 Phần Mục lục Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí) Phần Mở đầu Phần Nội dung báo cáo 3.1 Một số ứng dụng phương trình vi phân cấp (5 ứng dụng) Câu (biến đổi nhiệt) Câu (biến đổi nhiệt) Câu (lò xo) Câu (phân rã chất) .8 Câu (phân rã chất) .9 3.2 Một số ứng dụng phương trình vi phân cấp (4 ứng dụng) 10 Câu (mạch điện) 10 Câu (mạch điện) 12 Câu (lò xo) .13 Câu (lò xo) .14 Phần Kết luận 15 Phần Tài liệu tham khảo 15 Phần Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí) - Tổng điểm đánh giá thành viên qui đổi hệ số cá nhân - Bảng qui đổi hệ số cá nhân Phần Mở đầu Lý chọn đề tài Lịch sử lý thuyết phương trình vi phân khởi nguồn từ nửa cuối kỉ XVII cơng trình Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz hay nhà Bernoulli, Jakob Johann Các phương trình vi phân xuất hệ tự nhiên nhà toán học áp dụng ý tưởng giải tích vào số toán học Trải qua lịch sử 300 năm, lý thuyết phương trình vi phân trở thành công cụ đặc biệt việc mơ tả phân tích nhiều tốn thực tiễn không khoa học kỹ thuật mà nhiều lĩnh vực khác y học, sinh thái học, kinh tế, môi trường v.v Tầm quan trọng chúng động lực thúc đẩy nhà khoa học toán học phát triển phương pháp nghiên cứu tính chất nghiệm, từ phương pháp tìm nghiệm xác qua hàm sơ cấp đến phương pháp đại giải tích xấp xỉ số Hơn nữa, lý thuyết đóng vai trị trung tâm phát triển tốn học câu hỏi vấn đề phương trình vi phân khởi nguồn nhiều lĩnh vực toán học topo, đại số, hình học giải tích đại Sự phát triển nhanh chóng lý thuyết phương trình vi phân ứng dụng chúng nhiều ngành khoa học thu hút quan tâm nghiên cứu chuyên gia người học lĩnh vực đa ngành Điều đặt lý thuyết phương trình vi phân vị trí đặc biệt tốn học khoa học ứng dụng Ngày nay, lý thuyết dạy nhiều cấp độ khác hầu hết trường đại học viện nghiên cứu giới Phần Nội dung báo cáo 3.1Một số ứng dụng phương trình vi phân cấp (5 ứng dụng) Câu (biến đổi nhiệt): Một thép nung nóng đến nhiệt độ 400 ℃ , đặt môi trường với nhiệt độ không đổi 25 ℃ (và nhiệt độ thép tỏa không làm thay đổi nhiệt độ môi trường ) Biết tốc độ nguội dần nóng lên vật tỉ lệ thuận với hiệu số nhiệt độ vật nhiệt độ môi trường xung quanh sau 30 phút nhiệt độ thép 200 ℃ a) Viết phương trình vi phân mơ tìm nghiệm phương trình b) Hỏi sau nhiệt độ thép 100 ℃ Giải a) Ký hiệu T(t) nhiệt độ thép thời điểm t Tốc độ biến thiên thép dTdt ,tỉ lệ thuận với hiệu số nhiệt độ T thép nhiệt độ môi trường xung quanh Te Tốc độ đại lượng âm T giảm theo thời gian Ta có phương trình vi phân sau: dTdt =−k (T −25) , (k >0) với k hệ số tỷ lệ (1) Với điều kiện ban đầu : T(0)=400 , T(30)=200 (sau 30 phút nhiệt độ thép 200 ℃ ) Giải phương trình vi phân (1) ; dTdt =−k (T −25) ⇒ dT T −25 =−kdt Tích phân vế phương trình ta ln|T −25|=−kt+C1 ,C1=const (*) Do nhiệt độ thép lớn nhiệt độ môi trường nên T- 25>0 (*) => T-25=e−kt+C1=eC1 e−kt =>T =C e−kt+25 , C=eC1=const (2) Với T (0 )=400 thay vào (2) ta , C=375 => T =375 e−kt +25 (3) Với T (30 )=200 thay vào (3) ta : 200=375 e−k 30+ 25 k= 130 ln 375 127 ≈ 0,025 Vậy quy luật nguội thép T =375 e−0,025 t +25 b) Tìm thời gian thép có T=100, ta có phương trình 100=375 e−0,025t+ 25≤¿ e0,025 t= 375 75 t ≈ 64 Vậy sau 64 phút nhiệt độ thép 100℃ Câu (biến đổi nhiệt): Một kim loại nung nóng tới nhiệt độ 500° C , đặt môi trường đủ rộng với nhiệt độ không đổi 40° C(nhiệt độ kim loại tỏa không làm thay đổi nhiệt độ môi trường) Biết tốc độ nguội dần nóng lên kim loại tỉ lệ thuận với hiệu số nhiệt độ kim loại nhiệt độ môi trường xung quanh sau 30 phút nhiệt độ kim loại 400° C a, Viết phương trình vi phân mơ tìm nghiệm phương trình b, Sau nhiệt độ kim loại 250° C ? Giải a, Gọi T(t) nhiệt độ kim loại thời điểm t Tốc độ biến thiên nhiệt độ kim loại dTdt tỷ lệ với hiệu số nhiệt độ T kim loại nhiệt độ môi trường xung quanh T e Tốc độ đại lượng âm T giảm theo thời gian Ta có phương trình vi phân mơ sau: dTdt =−¿k(T−40¿ với k>0, k hệ số tỷ lệ (1) Với điều kiện ban đầu: T(0)= 500; T(30)= 400 Giải phương trình (1): dTdt = −¿k(T-40) => dT T −40 = −k dt => ∫ dT T −40 = ∫−k dt =>ln ¿ T −40∨¿ ¿ = -kt + C1 với C1 = const (*) Do nhiệt độ kim loại ≥ nhiệt độ môi trường nên: |T −40∨¿ = T – 40 (*) => T– 40 = e−kt+C1 = eC1 e−kt => T = Ce−kt +¿ 40 với C = eC1 = const (2) Với T(0) = 500 thay vào (2) ta được: 500 = Ce−k +¿ 40 Nên C = 460 => T = 460e−kt +¿ 40 (3) Với T(30) = 400 thay vào (3) ta được: 400 = 460e−k 30 +¿ 40 Nên k = 130 ln 460 360 ≈ 0,008171 Vậy quy luật nguội dần kim loại là: T = 460e−0,008171t +¿ 40 b, Khoảng thời gian t để T = 250° C là: 250 = 460e−0,008171t +¿40 Nên t = 0,008171 ln 460 210 ≈95,96 (phút) Câu (lò xo): Biết tốc độ giảm biên độ lò xo tỉ lệ thuận với biên độ dao động lò xo Hãy tìm quy luật giảm biên độ lị xo biết thời gian cần thiết để biên độ giảm nửa giây tìm thời gian cần để biên độ dao động lò xo lại 10% ? Giải Ký hiệu A(t) biên độ thời điểm t ( A0 biên độ thời điểm ban đầu) tốc độ giảm biên độ dAdt Tốc độ đại lượng âm A giảm dần theo thời gian Theo điều kiện ban đầu ta có: dAdt =-kA (k,A>0) k hệ số tỷ lệ Suy ra: dAA =-kdt Suy ra: ln|A|=ln|C|-kt Suy ra: A=C× e−kt Tại t=0 suy A0 =C× e−k×0 suy C= A0 Tại t=5 giây suy A0 = A0 × e−k×5 suy k=0,1386 Thời gian dao động cần tìm để biên độ dao động cịn lại 10% là: 110 × A0= A0 × e−0,1386 ×t Suy t=16,6 (giây) Vậy thời gian cần để biên độ giảm xuống 10% là: 16,6 giây Câu (phân rã chất): Biết tốc độ phân rã radium tỉ lệ thuận với khối lượng có Hãy tìm quy luật phân rã biết khối lượng ban đầu thời gian T cần thiết để phân rã hết 50% khối lượng ban đầu Hỏi sau 150 năm phân rã hết phần trăm khối lượng radium ban đầu biết T= 1800 năm Giải Ký hiệu R(t) khối lượng radium thời điểm t Tốc độ phân rã dRdt , tỉ lệ thuận với khối lượng có Tốc độ đại lượng âm R giảm theo thời gian Theo điều kiện ban đầu ta có phương trình vi phân : dRdt = -kR ( R > 0, k > ) k hệ số tỷ lệ (1) R(0) = R0 R(T) = R0 Giải phương trình vi phân (1) dRdt = -kR => dRR = -kdt Tích phân vế phương trình ta : lnR = -kt + ln|C| R = Ce-kt ( ln|C| = C1 ) Vì R(0)=R0 , R(T)= R0 C=R0 , K= ln T −ln t Quy luật phân rã radium là: R=R0e T Với T = 1800 , t = 150 ta có: R(150) = R0e−0.058 => R (150) R0 = e−0.058 = 0.944 = 94.4% Vậy qua 150 năm phân rã hết 5.6% lượng radium ban đầu Câu (phân rã chất): Một mẫu phóng xạ có khối lượng ban đầu R0=1 mg Sau 15,8 ngày khối lượng mẫu giảm 94,25% Tìm chu kỳ bán rã chất phóng xạ, biết tốc độ phân rã chất phóng xạ tỉ lệ thuận với khối lượng có Giải Ký hiệu R(t) khối lượng radium thời điểm t Tốc độ phân rã dRdt , tỉ lệ thuận với khối lượng có Tốc độ đại lượng âm R giảm theo thời gian Theo điều kiện ban đầu ta có phương trình vi phân : dRdt = -kR ( R > 0, k > ) k hệ số tỷ lệ (1) R(0) = R0 = R(15,8) = – 0,9425 = 0,0575 Giải phương trình vi phân (1) dRdt = -kR => dRR = -kdt Tích phân vế phương trình ta : lnR = -kt + ln|C| R = Ce-kt ( ln|C| = C1 ) (2) Với R(0) = thay vào (2) ta C = R(t) = e-kt (3) Với R = 0,0575 thay vào (3) ta được: e-15,8k = 0,0575 k=0.1807 Vậy quy luật phân rã chất phóng xạ là: R(t) = e-0,1807t Gọi T chu kỳ bán rã chất phóng xạ, ta có: R(T) = R0 = 12 e-0,1807T = 12 => T = 3,83 ngày 3.2Một số ứng dụng phương trình vi phân cấp (4 ứng dụng) Câu (mạch điện) : Xét mạch điện nối tiếp hình vẽ gồm phần tử sau R=5Ω,L=1H,C=0,25F,vs=10 sin t.Tìm vc (t )? Biết mạch có điều kiện ban đầu vc (0)=0,v'c (0)=0 Giải Áp dụng định luật kirchoff 2(K2), ta được: vR+ vL+ vC=vs(1) Ri+ L i'+ vc=vs Mài=C v'c ; i'=C' v''c 10 (1) v ”c + RL v c' + vc LC = vs LC Thay số ta được: v' 'c+ v'c+ v'c=40 sin t (2) Xét phương trình đặc trưng: k 2+5 k + 4=0 Phương trình đặc trưng có nghiệm: k1=-1,k2=-4 Nghiệm phương trình vh=c1 e−t +c2 e−4t Xét VP = 40sin4t(a=0,n=1) Ta thấy a=0 khơng nghiệm phương trình đặc trưng Nên nghiệm riêng (2) có dạng: vp= Acos t +Bsin t v' p=−4 Asin t + Acos t v' ' p=−16 Acos t −16 Bsin t Thay vp , v' p , v' 'p vào (2) (2) (−12 A +20 B )cos t +(−20 A−12 B) sin t =40 sin t −12 A +20 B=0 −20 A−12 B=40 A=−25 17 ,B=−15 17 vp=−25 17 cos t − 1517 sin t Nghiệm tổng quát: vc (t )=v p+ vh=e−t c1+e−4 t c2− 25 17 cos t − 15 17 sin t Với điều kiện ban đầu vc (0)=0 , v'c(0 )=0 c1+c2− 2517 =0 −c1−4 c2−4 1517 =0 11 c1=3,14 , c2=−1,67 vc=3,14.e−t−1,67 e−4t− 2517 cos t− 1517 sin t 12 Câu (mạch điện): Hãy tìm phương trình vi phân ứng với dòng điện i2 mạch Giải Áp dụng định luật Kirchhoff Ta có: i1+ ⅆ i1 ⅆt − ⅆ i2 ⅆt =vs −ⅆ i1 ⅆt +3 i2+2 ⅆ i1 ⅆt =0 Sử dụng toán tử s=d ∕ ⅆt (2+ s) i1−s i2=vs −s i1+(3+ s) i2=0 Sử dụng định luật Cramer để tìm i2 ta được: i2= (2+ s ) (3+ s)−s2 s vs = s2 s vs +7 s+6 ( s2+7 s+6 )i2=s vs Vậy pt vi phân cho i2 là: ⅆ2i2 ⅆi2 ⅆ vs +7 +6 i2= ⅆ t ⅆt ⅆt Xét phương trình đặc trưng: k 2+7 k+ 6=0 Phương trình đặc trưng có nghiệm là: k= -1,k= -6 Vậy nghiệm phương trình là: vh=C1 ⅇ−t +C 2ⅇ−6t 13 Câu (lò xo) : Một lị xo khối lượng 3Kg có độ dài tự nhiên 0,3(m) Người ta cần lực 30(N) kéo giãn độ dài 0,8(m) Nếu lị xo kéo giãn tới độ dài 0,8(m) sau thả với vận tốc ban đầu 0, tìm vị trí vật thể thời điểm t L0 L m x 0,5 mF Theo định luật Hooke, lò xo kéo dãn thêm x đơn vị so với chiều dài tự nhiên nó, tạo nên lực tỷ lệ thuận với x Lực cần thiết để kéo giãn lò xo là: F=kx 30=0,5k k=60 Nếu bỏ qua lực cản , theo ĐL II Newton: F=ma -kx=mx” 3x”+60x=0 3x”+60x=0 phương trình vi phân tuyến tính cấp Ta có phương trình đặc trưng : 3λ2 +60 =0 λ1=2 √5 i λ2=−2 √5 i Nghiệm tổng quát phương trình x(t) = C1cos (2 √5¿t )+ C sin(2 √5¿ t)¿ ¿ x’(t)¿−2 √5 C sin(2 √5¿t )+2 √5 C cos(2 √5¿t )¿ ¿ 14 Thời điểm bắt đầu thả vật t=0 => x(0) =0,5 =>C1=0,5 Vận tốc ban đầu => v(0)=0 x’(0) =0 C2 =0 => x(t)= 12 cos (2 √5¿t )¿ pt xác định vị trí vật thể thời điểm t Câu (lò xo): Một lị xo có độ cứng K , đầu lò xo gắn cố định đầu gắn với vật nặng khối lượng kg chiều dài tự nhiên lò 0,4 m người ta cần lực 60(N) kéo giãn độ dài m lò xo kéo giãn tới độ dài 1m sau thả với vận tốc ban đầu Hãy tìm tọa độ vật thể thời điểm t= 12 s? Giải Theo định luật hooke lò xo kéo dãn thêm x đơn vị so với chiều dài tự nhiên nó, tạo nên lực tỷ lệ thuận với x Lực cần thiết để giãn lò xo là: F=Kx Suy ra: 60=0,6K Suy ra: K=100 (N/m) Nếu bỏ qua lực cản theo định luật II Newton: F=ma Suy ra: -kx=ma Suy ra: 4x ¿+100x=0 (1) Ta có phương trình (1) phương trình vi phân tuyến tính cấp Ta có phương trình đặc trưng : b2+60 b=0 Suy ra: b1=2i √15 ; b2=−2i √15 Suy nghiệm tổng quát phương trình (1) là: x=e0 ¿+C2sin t √15) (2) Tại t=0, x=0,6 thay vào phương trình (2) ta được: C1=0,6 Tại t=0, v=0 thay vào x' ta được: 0=-2√15 ×0,6×sin2t√15 +2C2√15 ×cos t √15 Suy C2=0 Suy phương trình giao động vật là: x=0,6cos(2t√15) Suy tọa độ vật thời điểm t=1/2 s là: x=-0,4465 15 Phần Kết luận Từ ví dụ nêu ta thấy tính ứng dụng mơn Tốn Kỹ Thuật thực tế Là công cụ hữu dụng để nghiên cứu, kiểm tra đánh giá số tượng vật quanh ta Chúng ta thấy mơn học Tốn Kỹ Thuật khơng phải môn với số khô khan khơng có tính ứng dụng, khơng có giúp ích cho sống Chỉ ta tìm tịi để hiểu thêm thứ mà mang lại cho hữu dụng Các công việc mà làm từ trước đến ta ứng dụng toán kĩ thuật vào hiệu đem lại lớn ta chuyển từ cách làm việc theo kiểu đem lại cho tinh thần vui vẻ, có thêm động lực để sáng tạo khiến cơng việc bớt nhàm chán Chính tất lí lẽ mà nên học hỏi, tìm tịi, biết cách vận dụng kiến thức cách khôn ngoan để giúp cho sống phát triển theo chiều hướng tích cực, tốt đẹp hơn!!! Phần Tài liệu tham khảo Tiếng việt Cuuduongthancong (khơng ngày tháng) Hồ Chí Minh Loi, T D (2021) ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP GIẢI MẠCH ĐIỆN Trần Đức Lợi Tốn kỹ thuật - 20221BS6004010 (khơng ngày tháng) 16