File bài giảng đại số tuyến tính của Eureka Uni Chương 1. Ma trận, Định thức và hệ phương trình tuyến tính. FULL VIDEO MIỄN PHÍ CÁC MÔN: 1. ĐẠI SỐ: https:tinyurl.comDaiSoFull 2. GIẢI TÍCH 1: https:tinyurl.comGiaiTich1Full 3. GIẢI TÍCH: https:tinyurl.comGiaiTichFull 4. TOÁN CAO CẤP NEU: https:tinyurl.comToanCaoCapNEU 4. XSTK: https:eurekauni.tiny.usXSTKFull 5. KINH TẾ LƯỢNG: https:eurekauni.tiny.usKinhTeLuongFull 6. KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https:tinyurl.comKinhTeLuongNangCao DONATE cho Eureka Uni Vietinbank: 107006662834 Hoang Ba Manh Ví Momo: 0986.960.312
EUREKA! UNI – YOUTUBE ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG MA TRẬN, ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Đạo diễn: Hoàng Bá Mạnh Tài liệu tham khảo Bùi Xuân Diệu (2009) Bài giảng Đại số tuyến tính Viện Toán ứng dụng tin học ĐH BKHN Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế NXB Đại học KTQD Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập I Tái lần 10 NXB Giáo Dục Free Video Playlists ĐẠI SỐ: https://tinyurl.com/DaiSoFull GIẢI TÍCH: https://tinyurl.com/GiaiTichFull GIẢI TÍCH 1: GIẢI TÍCH 2: https://tinyurl.com/GiaiTich1Full https://tinyurl.com/GiaiTich2Full TỐN CAO CẤP NEU: https://tinyurl.com/ToanCaoCapNEU KINH TẾ LƯỢNG: https://eureka-uni.tiny.us/KinhTeLuongFull XÁC SUẤT & THỐNG KÊ: https://eureka-uni.tiny.us/XSTKFull KINH TẾ LƯỢNG NÂNG CAO: https://tinyurl.com/KTLNangCao DONATE cho Eureka! Uni *Momo/Shoppe/Vietinbank/Techcombank/VPbank: 0986.960.312 – Hoang Ba Manh Eureka! Uni - YouTube MỤC LỤC CHƯƠNG Eureka Uni (facebook.com) 1.1 DẠNG MA TRẬN & CÁC PHÉP TOÁN 1.1.5.1 Tìm lũy thừa bậc cao ma trận 1.1.5.2 Tìm lũy thừa bậc cao ma trận 1.2 DẠNG ĐỊNH THỨC 12 1.2.1 Định nghĩa tính chất .12 1.2.2 Các phương pháp tính định thức 15 1.2.3 Bài tập tập tổng hợp 21 1.3 DẠNG MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO .23 1.3.1 Tóm tắt trận nghịch đảo .23 1.3.2 Bài tập tổng hợp 25 1.4 DẠNG HẠNG CỦA MA TRẬN 33 1.4.1 Tóm tắt hạng ma trận 33 1.4.2 Bài tập hạng ma trận .34 1.5 DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .40 1.5.1 Tóm tắt hệ phương trình tuyến tính .41 1.5.2 Bài tập 43 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 1.1 DẠNG MA TRẬN & CÁC PHÉP TỐN 1.1.5.1 Tìm lũy thừa bậc cao ma trận Cộng ma trận 𝑎𝑎11 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �𝑎𝑎21 𝑎𝑎31 𝑎𝑎12 𝑏𝑏11 𝑎𝑎22 � + �𝑏𝑏21 𝑎𝑎32 𝑏𝑏31 Nhân ma trận với vô hướng 𝑎𝑎11 + 𝑏𝑏11 𝑏𝑏12 𝑏𝑏22 � = �𝑎𝑎21 + 𝑏𝑏21 𝑏𝑏32 𝑎𝑎31 + 𝑏𝑏31 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 2𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 + 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 � + �𝑎𝑎21 𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎31 2𝑎𝑎11 2𝑎𝑎12 = �2𝑎𝑎21 2𝑎𝑎22 � 2𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32 Trừ ma trận 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 + 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 � = �𝑎𝑎21 + 𝑎𝑎21 𝑎𝑎32 𝑎𝑎31 + 𝑎𝑎31 𝑎𝑎11 − 𝑏𝑏11 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 + (−𝐵𝐵) = �𝑎𝑎21 − 𝑏𝑏21 𝑎𝑎31 − 𝑏𝑏31 Chuyển vị ma trận Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑎𝑎12 + 𝑏𝑏12 𝑎𝑎22 + 𝑏𝑏22 � 𝑎𝑎32 + 𝑏𝑏32 𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 + 𝑎𝑎22 � 𝑎𝑎32 + 𝑎𝑎32 𝑎𝑎12 − 𝑏𝑏12 𝑎𝑎22 − 𝑏𝑏22 � 𝑎𝑎32 − 𝑏𝑏32 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑏𝑏12 𝑏𝑏 𝑏𝑏22 � ⇒ 𝐵𝐵′ = � 11 𝑏𝑏12 𝑏𝑏32 𝑏𝑏11 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏21 𝑏𝑏31 Nhân ma trận 𝑎𝑎11 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐵𝐵′ = �𝑎𝑎21 𝑎𝑎31 𝑎𝑎12 𝑏𝑏 𝑎𝑎22 � � 11 𝑎𝑎32 𝑏𝑏12 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑖𝑖 (𝐵𝐵′ )𝑐𝑐𝑗𝑗 , Ví dụ Cho hai ma trận 𝐴𝐴 = �1 2 𝑏𝑏21 𝑏𝑏22 𝑏𝑏21 𝑏𝑏22 𝑏𝑏31 � 𝑏𝑏32 𝑏𝑏31 � = �𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 � 3×3 𝑏𝑏32 𝑐𝑐11 = 𝑎𝑎11 𝑏𝑏11 + 𝑎𝑎12 𝑏𝑏12 1 −1� −3 −1 3 2𝐴𝐴 − 3𝐵𝐵 = �1 −3� − � −2 −5 −5 −12 = �−16 −2 −3 � 16 −18 11 Tính 𝐴𝐴(3𝐵𝐵′ ) 1 a) Lập ma trận −1 Eureka Uni (facebook.com) −3� , 𝐴𝐴(3𝐵𝐵′ ), 2𝐴𝐴 − 3𝐵𝐵, b) Tìm ma trận 𝑋𝑋 biết 𝐵𝐵 = � −2 (3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵)′ 3(𝑋𝑋 − 𝐵𝐵𝐴𝐴′ ) = 2𝐴𝐴𝐵𝐵′ c) Tìm phần tử dịng cột ma trận Giải 𝐴𝐴′ 𝐵𝐵, a) Tính 2𝐴𝐴 − 3𝐵𝐵 Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook (𝐴𝐴𝐵𝐵′ )2 −1� −3 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝐵𝐵 = � −2 𝐴𝐴(3𝐵𝐵 ′) Tính (3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵)′ 1 −1� , −3 = 3𝐴𝐴𝐵𝐵 = �1 ′ 24 = �−9 72 −1 Eureka Uni (facebook.com) −2 1 𝐵𝐵 ′ = � � −1 −3 −2 1 � −3� � 2 −1 −3 51 −27 51 123 � 108 39 −1 3 3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵 = �1 −3� − � −2 −5 −8 = �−9 10 −7� 19 −7 −9 19 −5 10 −7 (3𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵)′ = � � −8 −7 b) Tìm 𝑋𝑋, biết: −1� −3 3(𝑋𝑋 − 𝐵𝐵𝐴𝐴′ ) = 2𝐴𝐴𝐵𝐵′ ⇔ 3𝑋𝑋 − 3𝐵𝐵𝐴𝐴′ = 2𝐴𝐴𝐵𝐵′ ⇔ 3𝑋𝑋 = 3𝐵𝐵𝐴𝐴′ + 2𝐴𝐴𝐵𝐵′ 40 25 18 3 ⎛ ⎞ 190 85 ⎟ ⇔ 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵𝐴𝐴′ + 𝐴𝐴𝐵𝐵′ = (3𝐵𝐵𝐴𝐴′ + 2𝐴𝐴𝐵𝐵′ ) = ⎜15 3 ⎟ ⎜ 65 65 ⎝ ⎠ 17 −9 ′ 𝐴𝐴𝐵𝐵 = �−3 17 41 � 24 36 13 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube ′ 𝐵𝐵𝐴𝐴 = (𝐵𝐵 ′ )′ ′ 𝐴𝐴 = (𝐴𝐴𝐵𝐵 c) Tìm phần tử dịng cột ′ )′ Ma trận 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴′ 𝐵𝐵 Eureka Uni (facebook.com) = � 17 −9 −3 17 41 24 36� 13 = (−1 3) �2� = −1 × + × + × = 10 𝑐𝑐23 = −1 −1 𝐴𝐴 = �1 −3� , 𝐴𝐴′ = � � 2 −3 −2 1 1 𝐵𝐵 = � −1� , 𝐵𝐵 ′ = � � −2 −3 −1 −3 Ma trận 𝐷𝐷 = (𝐴𝐴𝐵𝐵′ )2 = (𝐴𝐴𝐵𝐵′ )(𝐴𝐴𝐵𝐵′ ) (𝐴𝐴′ )𝑟𝑟2 𝐵𝐵3𝑐𝑐 Tìm 𝑑𝑑23 = (−3 (𝐴𝐴𝐵𝐵′ )𝑟𝑟2 = (−3 17 17 41) −9 𝑐𝑐 ′ (𝐴𝐴𝐵𝐵 )3 = � 41 � 13 −9 41) � 41 � = (−3)(−9) + 17 × 41 + 41 × 13 = 1257 13 Ví dụ Hãy tìm 𝑓𝑓(𝐴𝐴) với −1 a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 𝐴𝐴 = � � −3 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ) = 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 + 𝐴𝐴 = � 5� −3 Giải a) Ta có: Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑓𝑓(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴2 − 5𝐴𝐴 + 3𝐼𝐼 −1 −4 −1 −1 𝐴𝐴2 = � � = 4𝐴𝐴 � = 4� �=� �� −3 −12 12 −3 −3 1 −1 𝑓𝑓 (𝐴𝐴) = 4𝐴𝐴 − 5𝐴𝐴 + 3𝐼𝐼 = −𝐴𝐴 + 3𝐼𝐼 = − � � �=� � + 3� 0 −3 28 60 b) 𝑓𝑓(𝐴𝐴) = �−45 13 50� −21 −36 13 1.1.5.2 Tìm lũy thừa bậc cao ma trận Lũy thừa bậc 𝑛𝑛 ma trận vuông 𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑛𝑛−𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 𝐼𝐼𝑛𝑛 = 𝐼𝐼, Quy nạp tốn học 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 Tính vài lũy thừa để tìm quy luật Giả sử quy luật với 𝑛𝑛, với 𝑛𝑛 + Khai triển Nhị thức Newton 𝑛𝑛 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛 = � 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝑘𝑘=0 Cộng ma trận 𝐴𝐴 = 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝐵𝐵, 𝐵𝐵𝑘𝑘 = 𝑂𝑂, 𝑘𝑘 ≥ ⋯ cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 𝑛𝑛 Ví dụ Thực phép tốn lũy thừa Giải 𝐴𝐴𝑛𝑛 = � 𝑛𝑛 � , 𝛼𝛼 ∈ ℝ 𝐵𝐵𝑛𝑛 = � Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook − sin 𝑥𝑥 � , cos 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝐶𝐶 = �0 0 𝑛𝑛 1� Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Tính 𝐴𝐴 = � 𝑛𝑛 Quy nạp 𝑛𝑛 � Eureka Uni (facebook.com) 1 �=� 1 �� 1 𝐴𝐴2 = � 𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴 𝐴𝐴2 = � 1 �� 1 ⇒ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = � � 1 �=� 𝑛𝑛 � � Giả sử với 𝑛𝑛, ta điều với 𝑛𝑛 + Thật vậy: Vậy Khai triển Nhị thức 𝐴𝐴𝑛𝑛 = � 𝐴𝐴 = � 1 𝑛𝑛 �=� 1 �� 1 𝐴𝐴𝑛𝑛+1 = 𝐴𝐴1 𝐴𝐴1𝑛𝑛 = � 𝑛𝑛 � 1 �+� 0 �=� 𝑛𝑛 + � � = 𝐴𝐴1 + 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ⇒ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = (𝐴𝐴1 + 𝐼𝐼)𝑛𝑛 = � 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝐴𝐴1𝑘𝑘 𝐼𝐼 𝐴𝐴12 = � 0 �� 0 �=� 0 ⇒ 𝐴𝐴1𝑘𝑘 = 𝑂𝑂, ∀𝑘𝑘 ≥ ⇒ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝐼𝐼 + 𝐶𝐶𝑛𝑛1 𝐴𝐴1 + 𝑂𝑂 = 𝐼𝐼 + 𝑛𝑛𝐴𝐴1 = � cos 𝑥𝑥 Tính 𝐵𝐵 = � sin 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘=0 − sin 𝑥𝑥 𝑛𝑛 � cos 𝑥𝑥 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook � = 𝑂𝑂 0 � + 𝑛𝑛 � 1 �=� 0 𝑛𝑛 � Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube cos 𝑥𝑥 𝐵𝐵2 = � sin 𝑥𝑥 Eureka Uni (facebook.com) − sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥 � �� cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥 − cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 � cos =� sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + cos 𝑥𝑥 sin 𝑥𝑥 − sin2 𝑥𝑥 + cos2 𝑥𝑥 cos 2𝑥𝑥 − sin 2𝑥𝑥 =� � sin 2𝑥𝑥 cos 2𝑥𝑥 ⇒ 𝐵𝐵 𝑛𝑛 = � cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 � cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 Giả sử với 𝑛𝑛, ta điều với 𝑛𝑛 + Thật vậy: cos 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐵𝐵 𝑛𝑛+1 = � � �� sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 cos 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 − cos 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 =� � sin 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 + cos 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 − sin 𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 + cos 𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 cos(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 − sin(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 =� � sin(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 cos(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 sin(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) = sin 𝑎𝑎 cos 𝑏𝑏 ± sin 𝑏𝑏 cos 𝑎𝑎 cos(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏) = cos 𝑎𝑎 cos 𝑏𝑏 ∓ sin 𝑎𝑎 sin 𝑏𝑏 Vậy 𝑛𝑛 Tính 𝐶𝐶 = �0 0 𝑛𝑛 1� 2 𝐶𝐶 = �0 cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐵𝐵 𝑛𝑛 = � sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 0 1� = � 𝑛𝑛 0 − sin 𝑛𝑛𝑛𝑛 � cos 𝑛𝑛𝑛𝑛 1� + �0 0 0 0� = 𝐷𝐷 + 2𝐼𝐼 𝑛𝑛 ⇒ 𝐶𝐶 𝑛𝑛 = (𝐷𝐷 + 𝐼𝐼)𝑛𝑛 = � 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝐷𝐷𝑘𝑘 (2𝐼𝐼)𝑛𝑛−𝑘𝑘 = � 2𝑛𝑛−𝑘𝑘 𝐶𝐶𝑛𝑛𝑘𝑘 𝐷𝐷𝑘𝑘 𝐼𝐼 𝑘𝑘=0 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑘𝑘=0 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝐷𝐷 = �0 𝐷𝐷 = �0 0 0 10 0 1� �0 0 0 1� �0 0 ⇒ 𝐷𝐷 𝑘𝑘 = 𝑂𝑂, 0 0 Eureka Uni (facebook.com) 0 1� = �0 0 0� = �0 0 ∀𝑘𝑘 ≥ 0 0 0 0� 0 0� ⇒ 𝐶𝐶 𝑛𝑛 = 𝐶𝐶𝑛𝑛0 𝐼𝐼 + 𝐶𝐶𝑛𝑛1 𝐷𝐷 + 𝐶𝐶𝑛𝑛2 𝐷𝐷2 + 𝑂𝑂 = 2𝑛𝑛 𝐼𝐼 + 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛𝐶𝐶1 + 2𝑛𝑛−2 = �0 0 𝑛𝑛−1 0� + 𝑛𝑛 �0 1� 0 0 2𝑛𝑛 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛−3 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) �0 0� = � 2𝑛𝑛 0 0 4𝑛𝑛 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) 𝑛𝑛−3 =2 �0 4𝑛𝑛 � 0 𝑛𝑛 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) 𝐶𝐶2 2𝑛𝑛−3 𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1) � 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 2𝑛𝑛 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 40 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) EUREKA! UNI – YOUTUBE ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG MA TRẬN, ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Đạo diễn: Hồng Bá Mạnh 1.5 DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Tài liệu tham khảo Bùi Xuân Diệu (2009) Bài giảng Đại số tuyến tính Viện Tốn ứng dụng tin học ĐH BKHN Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan (2012) Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế NXB Đại học KTQD Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006) Giáo trình Tốn học cao cấp tập I Tái lần 10 NXB Giáo Dục Nguyễn Hữu Việt Hưng (2008) Giáo trình Đại số tuyến tính NXB ĐH QGHN Tốn cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 41 Eureka! Uni - YouTube 1.5.1 Tóm tắt hệ phương trình tuyến tính Eureka Uni (facebook.com) Hệ Dạng thường Dạng ma trận Tổng quát 𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + … + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + … + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2 � 21 … … … … … 𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑥𝑥2 + … + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝐴𝐴 = � … … … … � 𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥1 𝑏𝑏1 𝑥𝑥2 𝑏𝑏 𝐵𝐵 = � � 𝑋𝑋 = � … � , … 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑚𝑚 Cramer 𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2 � 21 … 𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 Thuần 𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = � 21 … 𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎𝑚𝑚2 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝐴𝐴 = � … … … …� 𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑎𝑎𝑛𝑛2 … 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 |𝐴𝐴| ≠ 𝑋𝑋 ′ = (𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 … 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) 𝐵𝐵′ = (𝑏𝑏1 𝑏𝑏2 𝑏𝑏𝑛𝑛 ) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝑚𝑚×1 Phương pháp giải Phương pháp Gauss 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝐴𝐴 = � … … 𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚2 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑏𝑏1 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑏𝑏2 … … �…� … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑏𝑏𝑛𝑛 Biến đổi sơ cấp với dịng 𝐴𝐴 𝑟𝑟(𝐴𝐴) ≠ 𝑟𝑟�𝐴𝐴� ⇒ vơ nghiệm 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = 𝑛𝑛 ⇒ nghiệm 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = 𝑟𝑟 < 𝑛𝑛 ⇒ vô số nghiệm Phương pháp Cramer 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 ⇔ 𝑋𝑋 = 𝐴𝐴−1 𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖 = |𝐴𝐴| 𝑑𝑑𝑖𝑖 = |𝐴𝐴| thay cột 𝑖𝑖 𝐵𝐵 Nghiệm Phương pháp Gauss Nghiệm Không Vô số nghiệm Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube Tam giác Hình thang 𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2 � … 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 42 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 𝐴𝐴 = � … 𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 0 0 𝑎𝑎1𝑘𝑘 𝑎𝑎2𝑘𝑘 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 … … � … 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 … 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎22 … 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝐴𝐴 = � … … … …� 0 … 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎11 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2 � … 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑘𝑘 𝑎𝑎11 ⎛ 𝐴𝐴 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 … 𝑎𝑎𝑚𝑚2 Eureka Uni (facebook.com) 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 ⎞ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 ⎟ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎠ Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Nghiệm Chọn 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑘𝑘 làm ẩn Chọn 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 , 𝑥𝑥𝑘𝑘+2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 làm ẩn phụ Gán cho ẩn phụ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘) số Vơ số nghiệm Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 43 Eureka! Uni - YouTube 1.5.2 Bài tập Eureka Uni (facebook.com) Giải hệ: Gauss, Cramer Biện luận số nghiệm hệ theo tham số Một số tốn ứng dụng Ví dụ Viết dạng ma trận hệ phương trình sau giải hệ có nghiệm: 10𝑥𝑥1 + 9𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 + 10𝑥𝑥4 4𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 � 8𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥4 16𝑥𝑥1 + 12𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥4 = 13 = (1) = = 13 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥5 � 4𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥4 + 7𝑥𝑥5 3𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥4 + 4𝑥𝑥5 3𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 −4𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 � −2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 10𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥3 =1 =0 (2) =3 =2 = = (3) = = −10 Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + (4) � (𝑎𝑎 + 2)𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = Ví dụ Một cơng ty chế biến thực phẩm cần sản xuất loại đồ ăn nhanh chứa nhóm dưỡng chất protein, carbohydrat fat Chúng lấy từ loại nguyên liệu: A, B, C Số lượng dưỡng chất có 1000 gam loại nguyên liệu yêu cầu loại dưỡng chất có sản phẩm làm cho bảng sau: Dưỡng chất Hàm lượng dưỡng chất có 1000 gam (g) Yêu cầu nguyên liệu: dưỡng chất có A (g) B (g) C (g) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 44 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) sản phẩm (g) Protein 36 51 14 35 Carbohydrat 52 34 74 45 Fat 20 17 15 Hãy tìm số lượng loại nguyên liệu A, B, C để chế biến 8000 sản phẩm đủ dưỡng chất đặt (Sử dụng phương pháp Cramer) Ví dụ Một người chăn gia súc mua loại thực phẩm gia súc khác nhau: A, B, C D Mỗi loại thực phẩm chứa bao kích cỡ số gam chất bổ dưỡng bao cho bảng đây: Thức ăn A B C D Chất 𝑁𝑁1 5 10 bổ 𝑁𝑁2 10 30 10 dưỡng 𝑁𝑁3 15 10 25 Với gia súc, người chăm sóc xác định tốt nên kết hợp bao thực phẩm cho có 65 gam loại 𝑁𝑁1 , 150 gam loại 𝑁𝑁2 , 105 gam loại 𝑁𝑁3 Hỏi, người chăm sóc cần phải đặt hàng đối loại thực phẩm? Giải chi tiết Ví dụ Viết dạng ma trận hệ phương trình sau giải hệ có nghiệm: Dạng ma trận 10𝑥𝑥1 + 9𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 + 10𝑥𝑥4 4𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 � 8𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥4 16𝑥𝑥1 + 12𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 + 9𝑥𝑥4 10 𝐴𝐴 = � 16 12 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 10 �, Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook = 13 = (1) = = 13 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑋𝑋 = �𝑥𝑥 � , 𝑥𝑥4 13 𝐵𝐵 = � � 13 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 45 Eureka! Uni - YouTube Phương pháp Gauss 10 𝐴𝐴 = � 16 12 𝑟𝑟2 − 𝑟𝑟1 𝑟𝑟3 −2𝑟𝑟1 𝑟𝑟4 −4𝑟𝑟1 Eureka Uni (facebook.com) 10 13 đổi chỗ 𝑟𝑟 ,𝑟𝑟 2 10 � � �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� � 13 16 12 10 13 � � 13 5 11 ⎛ ⎞ 2𝑟𝑟2 −7 10 11 �⎯⎯⎯� ⎜0 − 2 �� ⎟ �� � � � −4 1 −4 1 −8 1 ⎝0 −8 1 1⎠ 𝑟𝑟3 +4𝑟𝑟2 𝑟𝑟2 −2𝑟𝑟3 1 𝑟𝑟4 +8𝑟𝑟2 1 �⎯⎯⎯� � � � �⎯⎯⎯� � � � −4 1 0 33 37 −8 1 0 65 73 3 5 𝑟𝑟4 −2𝑟𝑟3 1 đổi chỗ 𝑟𝑟3 ,𝑟𝑟4 1 �⎯⎯⎯� � � � �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� � � � 0 33 37 0 −1 −1 0 −1 −1 0 33 37 𝑟𝑟4 −4𝑟𝑟3 1 �⎯⎯⎯� � � � 0 −1 −1 0 37 41 Nhận xét: 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = ⇒ hệ cho có nghiệm Kết thúc biến đổi, ta thu hệ tam giác: Giải hệ ta được: 𝑥𝑥4 = 41 , 37 4𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥4 = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 8𝑥𝑥4 = � 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥4 = −1 37𝑥𝑥4 = 41 𝑥𝑥3 = 41 −1= , 37 37 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 𝑥𝑥2 = − 41 −8× +9= 37 37 37 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑥𝑥1 = 46 1 41 �−5 × − −2× + 3� = 37 37 37 37 Vậy, nghiệm tổng quát hệ là: (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 ) = � Phương pháp ma trận nghịch đảo 𝐴𝐴−1 |𝐴𝐴| = 74, ⎛ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 17 74 37 37 37 − 15 74 17 37 − 37 − 37 − (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 ) = � 12 13 𝑑𝑑1 = � 13 10 � = 74 9 12 5 41 , , , � 37 37 37 37 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 ⇔ 𝑋𝑋 = 𝐴𝐴−1 𝐵𝐵 Phương pháp Cramer 10 |𝐴𝐴| = � 16 Eureka Uni (facebook.com) 29 37 − 37 73 − 37 37 37⎞ − ⎟ 37⎟ , 33 ⎟ 37 ⎟ − ⎠ 37 𝑑𝑑1 𝑑𝑑2 𝑑𝑑3 𝑑𝑑4 , , , �, |𝐴𝐴| |𝐴𝐴| |𝐴𝐴| |𝐴𝐴| 10 � = 10, Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook ⎛37⎞ ⎜ ⎟ 𝑋𝑋 = 𝐴𝐴−1 𝐵𝐵 = ⎜37⎟ ⎜4⎟ ⎜37⎟ 41 ⎝37⎠ − 10 𝑑𝑑2 = � 16 13 𝐵𝐵 = � � 13 13 13 10 �=2 Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 10 𝑑𝑑3 = � 16 Nghiệm hệ là: Dạng ma trận 𝐴𝐴 = � 12 13 13 10 � = 8, 47 (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 ) = � 10 𝑑𝑑4 = � 16 Phương pháp Gauss 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 −2 �, Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook 12 13 � = 82 13 41 , , , � 37 37 37 37 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥5 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥5 � 4𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥4 + 7𝑥𝑥5 3𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥4 + 4𝑥𝑥5 −3 −1 −1 1 −5 −5 −3 −3 Eureka Uni (facebook.com) =1 =0 (2) =3 =2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥 ⎛ 2⎞ 𝑋𝑋 = ⎜𝑥𝑥3 ⎟ , 𝑥𝑥4 ⎝𝑥𝑥5 ⎠ 𝐵𝐵 = � � Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube −3 −1 −1 1 𝐴𝐴 = � −5 −5 3 −3 −3 𝑟𝑟2 −2𝑟𝑟1 𝑟𝑟3 −4𝑟𝑟1 𝑟𝑟4 −3𝑟𝑟1 �⎯⎯⎯� � 0 𝑟𝑟3 −3𝑟𝑟2 𝑟𝑟4 −2𝑟𝑟2 �⎯⎯⎯� � 0 𝑟𝑟4 −2𝑟𝑟3 �⎯⎯⎯� � 0 48 1 −2 đổi chỗ 𝑟𝑟1 ,𝑟𝑟2 � � �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� � 4 −1 −5 −9 −6 −1 −5 −1 −5 0 −3 −9 −6 −3 0 −3 0 Eureka Uni (facebook.com) −1 1 −3 −1 −5 −5 −3 −3 −2 � � 15 10 −2 1 𝑟𝑟3 � � �� � 0 −2 � � 0 −1 0 −5 −2 1 � � −3 0 −2 � � 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = < ⇒ hệ có vơ số nghiệm Kết thúc biến đổi, ta thu hệ hình thang 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥5 = 3𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥5 = � =3 2𝑥𝑥3 Giải hệ 𝑥𝑥3 = Gán 𝑥𝑥4 = 𝛼𝛼, 𝑥𝑥5 = 𝛽𝛽 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ ℝ) ta tính được: 𝑥𝑥2 = 17 �5 × + 3𝛼𝛼 − 5𝛽𝛽 + 1� = + 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 𝑥𝑥1 = � 17 + 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽� − − 𝛼𝛼 + 2𝛽𝛽 = + 𝛽𝛽 3 Vậy, nghiệm tổng quát hệ cho là: Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 49 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 17 (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , 𝑥𝑥4 , 𝑥𝑥5 ) = � + 𝛽𝛽, + 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽, , 𝛼𝛼, 𝛽𝛽� , 3 3𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 −4𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 � −2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 10𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥3 Dạng ma trận −4 𝐴𝐴 = � −2 10 Phương pháp Gauss −4 𝐴𝐴 = � −2 10 −1 −5 𝑟𝑟2 −4𝑟𝑟1 𝑟𝑟3 −2𝑟𝑟1 𝑟𝑟4 +10𝑟𝑟1 −1 −5 �, −6 −1 �⎯⎯⎯⎯� � 0 −1 𝑟𝑟3 −𝑟𝑟2 𝑟𝑟4 +5𝑟𝑟2 �⎯⎯⎯� � 0 = = (3) = = −10 𝑥𝑥1 𝑋𝑋 = �𝑥𝑥2 � , 𝑥𝑥3 −1 𝑟𝑟1 +𝑟𝑟2 −4 � � �⎯⎯� � 4 −2 −6 −10 10 (𝛼𝛼, 𝛽𝛽 ∈ ℝ) −5 𝐵𝐵 = � � −10 4 � � 4 −6 −10 4 −1 −2 −15 −13 𝑟𝑟2 −𝑟𝑟3 � � �⎯⎯� � −1 −4 −4 34 30 4 −1 −1 −11 −9 𝑟𝑟4 +3𝑟𝑟3 � � �⎯⎯⎯� � 0 −21 −15 Nhận xét: 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = ⇒ hệ có nghiệm −1 −1 −1 0 4 −11 −9 � � −4 −4 34 30 4 −11 −9 � � 0 Kết thúc biến đổi, ta thu hệ tam giác: Giải hệ −𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = −𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥3 = −9 � 7𝑥𝑥3 = Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 50 Eureka! Uni - YouTube 𝑥𝑥3 = , 𝑥𝑥2 = − 11 × Nghiệm hệ = , 7 𝑥𝑥1 = Eureka Uni (facebook.com) +4× −4=0 7 (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) = �0, , � 7 Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 5𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + (4) � (𝑎𝑎 + 2)𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −4 Giải Ma trận mở rộng 𝐴𝐴 = � 𝑎𝑎 + Nếu 𝑎𝑎 + = ⇔ 𝑎𝑎 = −2 ⇒ 𝐴𝐴 = �5 −1 −4 −1 −2 𝑟𝑟2 −5𝑟𝑟1 3 �−1� �⎯⎯⎯� �0 − −1 −4 𝑟𝑟3 +𝑟𝑟2 −1 −2 �⎯⎯� �0 −3 16 � −7� 0 15 −11 −1 −4 𝑎𝑎 �𝑎𝑎 + 1� −1 −4 −2 2𝑟𝑟2 �− � �� �0 −1 −4 −1 −3 −2 16 �−7� −1 −4 Nhận xét: 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = ⇒ hệ có nghiệm 𝑥𝑥3 = − Nếu 𝑎𝑎 ≠ −2 11 , 15 𝑥𝑥1 = 11 71 𝑥𝑥2 = − �−16 × �− � − 7� = − 15 45 71 11 46 �− + × �− � + 1� = − 45 15 45 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook 51 Eureka! Uni - YouTube −1 𝑎𝑎 𝑎𝑎 1 𝑟𝑟2 −2𝑟𝑟1 −2 − 2𝑎𝑎 �𝑎𝑎 − 1� �𝑎𝑎 + 1� �⎯⎯⎯� � 𝑎𝑎 + −1 −1 −4 −4 −2 − 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 − đổi chỗ 𝑟𝑟1 ,𝑟𝑟2 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� � −1 𝑎𝑎 � 1� 𝑎𝑎 + −1 −4 𝑟𝑟2 −2𝑟𝑟1 −2 − 2𝑎𝑎 𝑎𝑎 − 𝑟𝑟2 −(𝑎𝑎+2)𝑟𝑟1 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� �0 5𝑎𝑎 − � − 2𝑎𝑎� 2 2𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 − −𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 − 2 𝐴𝐴 = � 𝑎𝑎 + Nhận xét: Khi 𝑎𝑎 ≠ − −1 −4 −𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎 − = − �𝑎𝑎 + � − < ∀𝑎𝑎 ∈ ℝ ⇒ 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = |𝐴𝐴| = − �0 Khi 𝑎𝑎 = − Eureka Uni (facebook.com) −2 − 2𝑎𝑎 5𝑎𝑎 − � 5𝑎𝑎 − � = − � 2𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 2𝑎𝑎 + 2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 − = −[3(2𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 − 7) − (2𝑎𝑎 + 7)(5𝑎𝑎 − 6)] = 4𝑎𝑎2 + 20𝑎𝑎 − 21 |𝐴𝐴| = ⇔ 4𝑎𝑎2 + 20𝑎𝑎 − 21 = ⇔ 𝑎𝑎 = − 5±√46 5±√46 ⇒ 𝑟𝑟�𝐴𝐴� > 𝑟𝑟(𝐴𝐴) hệ cho vô nghiệm ± √46 ⇒ 𝑟𝑟�𝐴𝐴� = 𝑟𝑟(𝐴𝐴) hệ cho hệ Cramer Nghiệm hệ xác định theo quy tắc Cramer: 𝑑𝑑1 = �𝑎𝑎 + −4 𝑑𝑑2 = � 𝑎𝑎 + −1 −4 |𝐴𝐴| = 4𝑎𝑎2 + 20𝑎𝑎 − 21 𝑎𝑎 � = ⋯ = 3𝑎𝑎2 − 14𝑎𝑎 + −1 𝑎𝑎 + −4 𝑎𝑎 � = −𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 − 21𝑎𝑎 + 33 −1 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 𝑑𝑑3 = � 𝑎𝑎 + −1 −4 52 Eureka Uni (facebook.com) 𝑎𝑎 + 1� = −𝑎𝑎2 − 5𝑎𝑎 + 27 −4 3𝑎𝑎2 − 14𝑎𝑎 + −𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 − 21𝑎𝑎 + 33 −𝑎𝑎2 − 5𝑎𝑎 + 27 ⇒ (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) = � , , � 4𝑎𝑎 + 20𝑎𝑎 − 21 4𝑎𝑎2 + 20𝑎𝑎 − 21 4𝑎𝑎 + 20𝑎𝑎 − 21 Dễ thấy 𝑎𝑎 = −2 thỏa mãn nghiệm Kết hợp trường hợp trên, ta được: 𝑎𝑎 ≠ − 𝑎𝑎 ≠ −2 ± √46 ± 46 ⇔ 𝑎𝑎 = − ⇒ hệ vô nghiệm � √ 𝑎𝑎 = − ± √46 ⇒ hệ có nghiệm (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ) 3𝑎𝑎2 − 14𝑎𝑎 + −𝑎𝑎3 − 3𝑎𝑎2 − 21𝑎𝑎 + 33 −𝑎𝑎2 − 5𝑎𝑎 + 27 =� , , � 4𝑎𝑎 + 20𝑎𝑎 − 21 4𝑎𝑎2 + 20𝑎𝑎 − 21 4𝑎𝑎 + 20𝑎𝑎 − 21 Ví dụ Một công ty chế biến thực phẩm cần sản xuất loại đồ ăn nhanh chứa nhóm dưỡng chất protein, carbohydrat fat Chúng lấy từ loại nguyên liệu: A, B, C Số lượng dưỡng chất có 1000 gam loại nguyên liệu yêu cầu loại dưỡng chất có sản phẩm làm cho bảng sau: Dưỡng chất Hàm lượng dưỡng chất có 1000 gam (g) Yêu cầu nguyên liệu: dưỡng chất có sản A (g) B (g) C (g) phẩm (g) Protein 36 51 14 35 Carbohydrat 52 34 74 45 Fat 20 17 15 Hãy tìm số lượng loại nguyên liệu A, B, C để chế biến 15300 sản phẩm đủ dưỡng chất đặt (Sử dụng phương pháp Cramer) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Giải 53 Eureka! Uni - YouTube Eureka Uni (facebook.com) 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 tương ứng số lượng nguyên liệu loại A, B, C (kg) để chế biến sản phẩm Hàm lượng Protein cần có 35 = 36𝑥𝑥 + 51𝑦𝑦 + 14𝑧𝑧 Hàm lượng Carbohydrat cần có Hàm lượng Fat cần có 45 = 52𝑥𝑥 + 34𝑦𝑦 + 74𝑧𝑧 15 = 20𝑥𝑥 + 17𝑦𝑦 + 6𝑧𝑧 Ta có hệ phương trình tuyến tính: 36𝑥𝑥 + 51𝑦𝑦 + 14𝑧𝑧 = 35 �52𝑥𝑥 + 34𝑦𝑦 + 74𝑧𝑧 = 45 20𝑥𝑥 + 17𝑦𝑦 + 6𝑧𝑧 = 15 Định thức trận hệ số 𝐴𝐴 hệ là: 36 �52 20 51 34 17 14 74� 34 74 51 = 36 × (−1)1+1 � � + 52 × (−1)2+1 � 17 17 51 14 + 20 × (−1)3+1 � � = 24480 ≠ 34 74 14 � ⇒ Hệ hệ Cramer Giải hệ theo quy tắc Cramer: 35 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �45 15 36 𝑑𝑑𝑦𝑦 = �52 20 51 34 17 35 45 15 14 𝑑𝑑𝑥𝑥 9520 � = ⋯ = 9520 ⇒ 𝑥𝑥 = = = 74 |𝐴𝐴| 24480 18 14 𝑑𝑑𝑦𝑦 8960 56 = = 74� = ⋯ = 8960 ⇒ 𝑦𝑦 = |𝐴𝐴| 24480 153 Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook Eureka! Uni - YouTube 36 𝑑𝑑𝑧𝑧 = �52 20 Nghiệm hệ 51 34 17 54 Eureka Uni (facebook.com) 35 𝑑𝑑𝑧𝑧 4080 = = 45� = ⋯ = 4080 ⇒ 𝑧𝑧 = |𝐴𝐴| 24480 15 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = � 56 , , � 18 153 Cũng số lượng nguyên liệu (kg) A, B, C tương ứng để sản xuất sản phẩm Nhân số với 15300, ta khối lượng nguyên liệu (kg) A, B, C tương ứng để sản xuất 15300 sản phẩm, là: (5950,5600,2550) Toán cao cấp - Eureka! Uni | Facebook Xác suất Thống kê - Eureka! Uni | Facebook