GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

86 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy CHƯƠNG MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 4.1 Ma trận khái niệm 4.1.1 Định nghĩa ma trận:  Ma trận bảng hình chữ nhật, xếp phần tử ( số ) theo hàng cột Ma trận thường ký hiệu chữ : A , B , …, X, Y, … ; phần tử thường ký hiệu chữ thường : a , b , …, x , y , …  Giả sử ma trận có m hàng, n cột, để phần tử hàng i (từ xuống), cột j ( từ trái qua phải) ta ký hiệu : aij ( số hàng trước, số cột sau) Các phần tử ma trận nằm dấu [ ] , ( ) , ||  a11 a12 a a A   21 22    a m1 a m  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  21 ; A     a mn  m  n  a m1 a m || , có dạng : a 1n  a 2n   ; A   a mn  m  n a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m a mn  Ma trận có m hàng n cột cỡ ma trận m  n ,  a ij phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng i cột j,   Ký hiệu: A  a ij mn , A  a ij  mn  Khi m = n (số hàng số cột) A gọi ma trận vng cấp n Ví dụ 1  1   A    1  ma trận cỡ 3 , a11  , a 24  … 6   1   B   7 8  ma trận cỡ  (ma trận vuông cấp 3)  0  3  mn Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 87 4.1.2 Các khái niệm liên quan đến ma trận Đường chéo Cho ma trận A vng cấp n Khi phần tử a11, a22,…, ann nằm đường thẳng gọi đường chéo A, phần tử a11, a22,…, ann gọi phần tử chéo ( ý : khái niệm đường chéo có ma trận vng) Ma trận tam giác Cho ma trận A vuông cấp n +) Ma trận tam giác trên: Nếu A có phần tử nằm phía đường chéo (Tức là: aij = với i > j)  a11  A    a12 a22 a1n  a2 n    ann n  n +) Ma trận tam giác dưới: Nếu A có phần tử nằm phía đường chéo 0( tức là: aij = với i < j)  a11 a A   21    an a22 an      ann  n  n Ma trận chéo Ma trận vuông A có phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận chéo  a11  A    0 a22      ann n  n Ma trận chéo vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị ma trận chéo có phần tử nằm đường chéo Ký hiệu In (hoặc En) ma trận đơn vị cấp n 1 0 In     0 0 0    n  n 88 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Ví dụ  0 1 0 I2   ma trận đơn vị cấp ; I3    ma trận đơn vị cấp   2  0 1  3  Ma trận đối xứng Ma trận A vuông cấp n gọi ma trận đối xứng aij  a ji ,  i, j 1, n ( cặp phần tử đối xứng với qua đường chéo nhau) Ví dụ  5  A   1  ma trận đối xứng  5  1  2 B 5  6 6   khơng đối xứng a12 =  a21 = 4, a14 = -6  a41 = 2  0 Ma trận không Là ma trận có tất phần tử 0, ký hiệu [0]  Ví dụ Các ma trận sau ma trận không: 0  0 0 0 0 ;   0 0    0  0 0   Ma trận Cho A ma trận cỡ m  n Ma trận B gọi ma trận A B có từ A cách bỏ số hàng, số cột 3 Ví dụ Cho ma trận A  3   -2 1 - Bỏ dòng 3, cột 4, ta ma trận 4 2    3 M2   3 2 - ma trận cấp  Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp - Bỏ dòng 1, ta ma trận 89  1 2 M3   - ma trận cỡ    1 3  Ma trận chuyển vị Cho A ma trận cỡ m  n Ma trận chuyển vị A ma trận cỡ n  m có từ A cách chuyển hàng thành cột ( chuyển cột thành hàng), ký hiệu AT  a11 a12 a a 22 A   21    a m1 a m2 a1n  a 2n     a mn m  n  a 11 a T A   12    a 1n a 21 a m1  a 22 a m2    a 2n a mn  n  m Nhận xét A ma trận đối xứng A = AT Ví dụ 1 A  2  1 -1 5 1  T   A  3  5 1 1 -1  1 1 1 -1  T  A   A  2     3 -1 Ma trận hàng Là ma trận có hàng Ma trận cột Là ma trận có cột -2  1  -3  A = [a1 a2 an]1 n  b1 b B     bm      m 1 4.2 Các phép toán ma trận 4.2.1 Phép Hai ma trận gọi chúng cỡ phần tử tương ứng vị trí 90 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.2.2 Phép cộng hai ma trận cỡ 4.2.2.1 Định nghĩa Cho A B hai ma trận cỡ m  n , A = (aij)m × n, B = (b ij)m × n Tổng hai ma trận A B ma trận cỡ C = (cij)m × n cij  a ij  b ij , i 1, m, j 1, n Ký hiệu: A  B   a ij  b ij  m n Như vậy,  a 11 a A   21   a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n   b11 b a n   , B   21     a mn   b m1 b12 b 22 b m2 b1n  b n     b mn  Khi ta có  a 11  b11 a12  b12 a 1n  b1n  a  b a 22  b 22 a n  b n  21 21    [a ij  b ij ]m  n AB     a m1  b m1 a m  b m a mn  b mn  Thao tác cộng hai ma trận cỡ : cộng phần tử vị trí tương ứng với Ví dụ  1 3   3  3           2    2   Ví dụ 1 A  -1 0 C=A+B=  4 5  3  -1 B 2 2   2    1 1  1 1 1  6  2 D = A – B = A + (-B) =  0 -2 4  Ma trận đối: Nếu A + B = [0] B gọi ma trận đối A ngược lại Ký hiệu ma trận đối A –A Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 91 4.2.2.2 Tính chất Giả sử A, B, C ma trận cỡ Khi đó: 1) A + B = B + A 2) (A + B) + C = A + (B + C) 3) A +  =  + A = A 4) A + (-A) = (-A) + A =  4.2.3 Phép nhân ma trận với số thực 4.2.3.1 Định nghĩa Cho A  a ij  số thực k Khi đó, tích số thực k với ma trận A ma trận mn cỡ đuợc xác định bởi: kA  ka ij  m  n (Tức là: muốn thực phép nhân ma trận với số k, ta nhân tất phần tử ma trận với k.) Ví dụ: 1)  2  4      1    2   2) 1 2 3 5  0 1 3  1 3  2 0 2    2 0 4 9  8 3  15 1    42  11  15    12   4.2.3.2 Tính chất Giả sử A, B ma trận cỡ k , n số thực Khi đó: - k (A + B ) = k A + k B - ( k + n) A = kA + nA - k(nA ) = k n(A ) - 1.A = A - A =  92 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.2.4 Phép nhân hai ma trận 4.2.4.1 Định nghĩa   Cho hai ma trận A  a ij mp   , B  bi j pn ( số cột ma trận A số hàng ma trận B) Khi đó, tích hai ma trận A B ma trận C   c i j  m  n đó: p cij   a ik b kj  a i1b1 j  a12 b j  a13b j   a ip b pj k 1 tức cij tích vơ hướng hàng i ( ma trận A) với cột j ( ma trận B) Ví dụ 2   1 1   3   1.2  3.3 1.91   16  1 16 9 3  Ví dụ 2 c11   1.2  3.3  1.9  16   1  16     2   3  c   2.2  2.3  0.9    2  21  2  2   2  9   Ví dụ 1 3  3 , B   1 1   1   2  Tính AB với A    c11 c12 c13  Giả sử AB  (cij )     , ta có  c 21 c 22 c 23  c11 = 1.2 + 3.1 = 5, c12 = 1.0 + 3.(-1) = -3, c13 = 1.(-3) + 3.4 = 9, c21 = 2.2 + (-1).1 = 3, c22 = 2.0 + (-1)(-1) = 1, c23 = 2.(-3) + (-1).4 = -10 1 Vậy AB   2 3   1 1 1  2  Ví dụ Tính AB   2     0   3 5   3 3 2 2  4 3    0   9  10  Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 93 Giải  2   2  AB   2   4 3   0   0  1.2   2  4  1.1 11 1.0   2  1.0   1.2   2  3 1.0      1    6 3 11 2    1   6   Ví dụ Tính  2  1 2  BA   4 3  2      0   0   4    11 2     2   Ví dụ Tìm ma trận X thoả mãn: a) 3  5 - 2 3 .   b)  -3 X -  -4  -5  4  11    2X    5 9 2  2  1  1 6     -6  -2 -9   -4 -8  6   Giải a) Ta có 11    -  9 2 5 2X =  X= 1   -14  -6  b) X   - - - -  - 2 3 .   -2    -38  4   11    -     23  2X =  3 X    -7  1 -     3 -   -  2   1   -1   -19  6  5  2     40   -14 -2   -38  94 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy  -6   X  - - - -   1      10      X  2 -  1    2   - -   -1 1 1  Ví dụ Cho A =  3  -2 -4 -5 -5     0   -   - -2 -1 1 1  2 -  2  4 -  3   f(x) = 3x2 - 2x + Tính f(A)  Giải 1  f(A) = 3A – 2A + 5I =  3   =  3  1  -9 7 1  - 2 4 2 3   -2 -4 -5 -2 -4 -5 3 1   1 -  3   3 1   1 +  0   -2 -4 -5 3 1   1 +  0   0   21 -23    =  13 34   9 22 0  0  15   10  25  Nhận xét - Phép nhân AB thực số cột ma trận A số hàng ma trận B - Phép nhân hai ma trận tính chất giao hốn Ví dụ 1 A 0 0 0 , B   0 0 1 0   AB   0 0 1 0   BA   0 0 0   - Phép nhân AB BA thực A ma trận cỡ m × n B ma trận cỡ n × m kết khác nhau: Ví dụ  3  8 9   3  10    A ; B  1  A.B    BA   7 11          4   12 11  1  1      Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 95 4.2.4.2 Tính chất - A ( B + C ) = AB + AC - ( A + B ) C = AC + BC - ( AB )C = A ( BC ) - ( kA ) B = k ( AB ) = A ( kB ) - AI = IA = A - (AB)T = BT AT ( A ma trận vuông , I ma trận đơn vị cấp với A) 4.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Các phép biến đổi sơ cấp ma trận gồm có ba thao tác sau : 1) Đổi chỗ hai hàng( hai cột ) cho 2) Nhân hàng( cột ) với số khác không 3) Nhân hàng( cột ) với số đem cộng vào hàng khác (cột khác ) Các phép biến đổi sơ cấp ma trận đóng vai trị quan trọng để tính định thức, tính hạng ma trận để giải hệ phương trình đại số tuyến tính… Khi nói : dùng phép biến đổi sơ cấp ma trận hàng thao tác thực hàng Sử dụng thao tác phép biến đổi sơ cấp ma trận cách hợp lý để đạt mục đích cụ thể cho cơng việc Chẳng hạn để giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau : x + 2y + 3z -2x + 3x y + 2z + 4y + = -1 = -5 z = -5 Khi ta viết dạng ma trận : -2 -1 -5 -5 hg1 hg2 hg3 Dùng phép biến đổi sơ cấp ma trận hàng : Nhân hg1 với đem cộng vào hg2 ; nhân -3 với hg1 đem cộng vào hg3 : 96 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 0 -2 -8 -1 -7 -2 hg4 hg5 hg6 Nhân hg5 với đem cộng vào hg6 nhân với 5, nhân hg5 với -2 đem cộng vào hg4 nhân với : 0 -1 -24 -7 -24 hg7 hg8 hg9 Chia hg9 cho -24 hg12, sau nhân hg12 với -8 đem cộng vào hg 8, cộng hg12 với hg7 : 0 0 10 -15 hg10 hg11 hg12 0 -3 hg13 hg14 hg15 Chia hg10 cho , chia hg11 cho5 : 0 Chú ý thao tác cho ta hệ phương trình tương đương với hệ ban đầu, đến ta có x = ; y = -3 ; z = 4.4 Định thức 4.4.1 Định nghĩa định thức 4.4.1.1 Định nghĩa Cho ma trận A =  a ij n  n vng cấp n Kí hiệu Mij ma trận cấp (n – 1) có từ ma trận A bỏ hàng i, cột j Khi Mij gọi ma trận A ứng với phần tử aij Ví dụ  2   1  2    Víi A  1 th× M 11   , M 23       5     0    Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 97 4.4.1.2 Định nghĩa Giả sử A ma trận vng cấp n Khi đó, định thức cấp n ma trận A, kí hiệu là: det(A) hay A , số thực định nghĩa cách qui nạp sau: a) Định thức cấp Giả sử A = [a11]  det (A) = a11 (1) b) Định thức cấp a A   11  a 21 a12  a11 a12 = a11a 22  a12a 21   det (A)  a 22  a 21 a 22 (2)  a11 a12 a13  c) Định thức cấp : Giả sử : A   a21 a22 a23     a31 a32 a33  Khi đó, ta có: a11 det(A)  a 21 a12 a 22 a13 11 1 1 a 23   1 a11det  M11  +  1 a12 det  M12    1 a 13det  M13  a 31 a 32 a 33  a11 a 22 a 23 a 32 a 33  a12 a 21 a 23 a 31 a 33  a13 a 21 a 22 a 31 a 32 Một cách tổng quát ta có : i 1 det(A)   1 a i1det  M i1  +  1 1 j det(A)   1 i i a i2 det  M i2    1 a i3det  M i3  a jdet  M1 j  +  1 2 j a jdet  M j    1 3 j a jdet  M j  (3) (4) Trong Mij ma trận vng cấp có từ A cách bỏ hàng thứ i, cột thứ j Công thức (3) gọi công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, Công thức (4) gọi công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2,  0   Ví dụ Tính định thức ma trận A   1   5   98 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Giải - Khai triển định thức theo hàng 1, ta được: 1 3 det(A) = 1  ( 1)1 1  ( 1)1      2    5 - Khai triển định thức theo cột 3, ta được: 3 3  ( 1) 3  33  35   det(A) = 1    1 1 - Khai triển theo hàng ta : det(A) = (-1)3 + 1.4 1 + (-1)3 + 1 + (-1)3 + 1 = 36 - -35 = -2 d) Định thức cấp n Giả sử ta định nghĩa định thức cấp (n - 1) Khi đó, định thức cấp n ma   trận A = aij nxn xác định sau: i 1 i det(A)   1 a i1det  M i1  +  1 a i det  M i     1 i n a i n det  M in  (5) a mjdet  M mj  (6) 1 j det(A)   1 a 1jdet  M1 j  +  1 2 j a jdet  M j     1 m j Trong Mij ma trận vng cấp (n - 1) có từ A cách bỏ hàng thứ i cột thứ j Công thức (5) gọi công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2,…, n Công thức (6) gọi công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, ….,n Ví dụ Tính định thức: det(A) = 1 1 3 0 1 Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 99 Giải Ta khai triển định thức theo hàng cột có phần tử  Khai triển theo hàng 2: 1 1 3 0 1 1 Tính I1 =  1 2   1 2 1 1   1 1 2 1 1 3 0 1 , khai triển theo cột I1 =  1 1 3 1 1 0 1 1 1 1 Tính I2 = 1 , khai triển theo hàng I2 = 1  27   36 1 3 Vậy det(A) = – 36 = -36  Khai triển theo cột 3: 1 1 3 0 1 1   1 3 1 1 3 1   1 3 1 1   36 Ví dụ : Tính định thức sau:  4 0 a) 7 8 Hướng dẫn :: 2 4 b) 3 6 3 a) Khai triển theo hàng b) Khai triển theo cột hàng 100 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.4.2 Các tính chất định thức Tính chất Giả sử A vng , det(A) = det(AT) Ví dụ 2 2 2  2  12 2 2 Hệ Mọi tính chất cho định thức cho hàng cho cột ngược lại Tính chất Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) định thức cho định thức đổi dấu Ví dụ với ví dụ 2 2 2   12 , đổi chỗ hàng với hàng : 2 2 2 Tính chất  12 Khi nhân phần tử hàng (một cột ) với số k định thức nhân lên k lần Hệ Nếu phần tử hàng (một cột ) có thừa số chung đưa thừa số chung ngồi dấu định thức 156 Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13, với D  286 416 Giải nhận xét 156 = 12.13, 286 = 22.13, 416 = 32.13 nên rút thừa số chung 13 12.13 12 12 D  22.13  13 22 ý 22 = M , => D = 13.M 32.13 32 32 Giáo trình Toán cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 101 phần tử ma trận toàn số nguyên nên M phải số nguyên => D chia hết cho 13  Đpcm Tính chất Khi tất phần tử hàng (một cột) có dạng tổng hai số hạng định thức phân tích thành tổng hai định thức sau: Ví dụ a11 a21  a21' a12 a22  a22' a31 a32 Tính chất a13 a11 a23  a23'  a21 a33 a31 a12 a22 a13 a11 a23  a21' a12 a22' a13 a23' a32 a33 a32 a33 a31 Định thức ma trận không thoả mãn điều kiện sau: - Có hàng (một cột) gồm tồn số khơng - Có hai hàng (hai cột) tỷ lệ với - Có hàng (một cột) tổ hợp tuyến tính hàng khác (cột khác) ( Đại lượng  tổ hợp tuyến tính đại lượng 1 ,  , ,  n , tồn n số thực k1, k2 , , kn   k11  k 22   k n n ) Ví dụ a1 a2 b1 b2 a  b1 a  2b  (Vì cột = cột + 2.cột 2) a3 b3 a  2b Tính chất 6: Định thức ma trận không thay đổi nhân k vào hàng (một cột) đem cộng vào hàng khác(cột khác) Ví dụ 2 2 1 (h1  2h  h1 ) 2  2 2 (khai triÓn theo cét 2)   1 2 1   12 2 102 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy Tính chất Định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo a11 a 12 a1n a 22 a 2n  a11 a 21 a 22 a n2  a11a 22 a nn a nn a n1 a nn Tính chất Nếu A, B hai ma trận vng cấp n det(AB) = det(A) det(B) 4.4.3 Tính định thức phép biến đổi sơ cấp Từ tính chất định thức, ta có kết thao tác phép biến đổi sơ cấp ma trận ghi bảng sau : Thao tác Kết Nhân hàng với số k  Định thức nhân k Đổi chỗ hàng Định thức đổi dấu 3.Nhân k với hàng r đem cộng vào hàng s Định thức không đổi Nhận xét : Nếu tính định thức việc sử dụng cơng thức khai triển theo hàng (hay cột) khối lượng tính lớn ( n  ) Sử dụng phép biến đổi sơ cấp ma trận để đưa ma trận dạng tam giác, định thức ma trận tam giác tích phần tử chéo Để tính định thức theo phương pháp ta làm sau: Bước 1: Áp dụng phép biến đổi sơ cấp đưa định thức dạng định thức ma trận tam giác, nhớ ghi lại tác dụng phép biến đổi sơ cấp sử dụng Bước 2: Tính giá trị định thức dạng tam giác kể tác dụng tổng hợp phép biến đổi sơ cấp để sử dụng Hµng thø Hµng thø Hµng thø Hµng thø 2 4 1 4 Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp Hµng thø 1 ( -2 ) * hµng + hµng 103 1 2 2 14 20 9 13 12 ( ) * hµng + hµng ( -3 ) * hµng + hµng Hµng thø 1 2 1 2 0 8 75 0 14 70 hµng ( 14 ) * hµng + hµng ( -13 ) * hµng + hµng Hµng thø hµng 1 2 hµng 0 8 ( 7/ ) * hµng + hµng 0 2 75 245 định thức = 1.(-1).(-8) 245 = 490 4.5 Ma trận nghịch đảo 4.5.1 Phần phụ đại số phần tử, ma trận phụ hợp Cho ma trận A vuông cấp n  a 11 a A   21   a n a 12 a 22 a n2 a 1n  a n     a nn  Ký hiệu Mij ma trận có từ ma trận A bỏ hàng i, cột j det  M ij  Aij = (-1)i + j det(Mij) =    det  M ij  nÕu (i j) chẵn (i j) lẻ Aij gi phần phụ đại số phần tử aij 104 Biên soạn : Vũ Khắc Bảy 4.5.1.1 Ma trận phụ hợp:  = A Định nghĩa : Ma trận phụ hợp ma trận A ma trận ký hiệu A ij       A A A 11 12 1n     A 21 A A 22 2n       tức : A   A ij   n n        A n1 A n A nn   ij = Aji với A  ij phần phụ đại số phần tử aji ma trận A => A 4.5.1.2 Phương pháp tính ma trận phụ hợp : Để tìm ma trận phụ hợp ma trận A = (aij) ta thực bước sau:  ij)T = (Aij)  Tìm ( A  ij)T ta chuyển vị  Từ ( A  = (Aij)T A 1 2 A     4 Ví dụ 1: Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau: Giải: Tìm phần phụ đại số: A11 = 4, A12 = -3, A21 = -2, A22 = T    3    2  Suy ma trận phụ hợp A là: A  2   3       có từ A Ghi nhớ Nếu A ma trận vng cấp ma trận phụ hợp A A phần tử chéo đổi chỗ , phần tử “ chéo phụ ” đổi dấu Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau:  2   A  6     3   Giải: - Tính phần phụ đại số phần tử : Giáo trình Tốn cao cấp - Đại học Lâm nghiệp 11 A11=  1 A21=  1 A31=  1 4 1 1 = -1, A12 =  1 = 38, A13=  1 = -27, 2 3 3 2 7 1 , A22 = ( 1) 22   41 , 2 3 3 1 31 105   1, A32= ( 1)32  34 , A23 = ( 1) 23 A33= ( 1) 33  29 , 2   24 Suy ma trận phụ hợp A là: 1   1    38 41 34  A    27 29 24    3 2   Ví dụ 3: Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau: A  2    2 3    Giải: Các phần phụ đại số: 11 A11   1 A21   1 A31   1 2 2 1 1   ; A12   1   ; A13   1  2 3 3 2 1 1 3 2 2 2   ; A22   1   15 ; A23   1 7 2 3 3 2   2; 2 A32   1 3 2 7; 2 A33   1 3 1 Ma trận phụ hợp A là: T  4 3 2    3 2  A   3 15    3 15       2   1   2 1   4.5.2 Ma trận nghịch đảo 4.5.2.1 Định nghĩa: Cho A ma trận vuông cấp n Nghịch đảo ma trận A (nếu tồn tại) ma trận vuông cấp n ký hiệu A-1, cho AA-1 = A-1A = In (trong In ma trận đơn vị cấp n) , nói ma trận A khả đảo