Một số c đại số liên quan đến ma trận đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ THỊ HUỆ MỘT SO C*-ĐẠI SỒ LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐỖ THỊ HUỆ MỘT SO C*-ĐẠI SỒ LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS LÊ THANH HIEU Mục lục Bảng ký hiệu R : Trường số thực C : Trường số phức K : Trường số thực trường số phức KnXn : Tập ma trận vu ông cấp ntrên trườ ng K K[x] : Tập đa thức n biếntrên trường K C[z,z] : Tập đa thức hỗn tạp trường C MsXt : Tập ma trận đa thức cỡ s X t vành đa thức K[x] XT : Ma trận chuyển vị ma trận X XH : Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận X L(E, K) : Không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định E C0(R) : Tập tất hàm xác định vàliên tục R, nhận giá trị phức triệt tiêu vô B(H) ơ(a) r(a) : : Tap toán tử tuyến tính bị chặn : Phổ phần tử a Bán kính phổ phần tử a H Mở đầu C*-đại số, từ lâu xem nhánh Giải tích hàm thỏa mãn tính chất khơng gian Banach, kết hợp cấu trúc không gian Banach với cấu trúc đại số không gian vectơ, vành, môđun *-đại số Đặc biệt, C*-đại số hữu hạn chiều có hên hệ chặt chẽ với tập ma trận vuông tập đa thức trường Ngồi ra, C*-đại số có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực, chẳng hạn Cơ lượng tử, C*-đại số dùng để mơ hình hóa đại số quan sát vật lý, Trong năm gần đây, nhà toán học quan tâm nhiều đến vấn đề hên quan đến ma trận đa thức có nhiều vấn đề tốn học cần hiểu biết định ma trận đa thức Mục đích luận văn tìm hiểu số tính chất C*-đại số Từ đó, chúng tơi kiểm tra thỏa mãn số cấu trúc liên quan đến C*-đại số cho số tập tập ma trận đa thức Điều giúp ích cho nghiên cứu sau Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương C*-đại số tổng quát số vấn đề liên quan Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian vectơ, không gian unita, không gian tiền Hilbert, không gian Banach, tốn tử tuyến tính, khái niệm, ví dụ tính chất đại số, sử dụng luận văn Phần chương trình bày tính chất ba cấu trúc đại số: *-đại số, đại số Banach C*-đại số Chương Một số C*-đại số liên quan đến ma trận đa thức Trong chương này, kiểm tra tập nêu ví dụ Chương 1, tập ma trận vuông (thực phức), tập đa thức (thực phức), tập ma trận đa thức, có thỏa mãn ba cấu trúc nêu trên, có cấu trúc C*-đại số, hay khơng Các kết phát biểu chứng minh dạng định lý mệnh đề Luận văn hoàn thành hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo TS Lê Thanh Hiếu, Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình thực luận văn Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn Thống kê quý Thầy, Cô giáo giảng dạy lớp Cao học Đại số lí thuyết số khóa 20 giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Nhân đây, xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt từ phía gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, đơn vị nơi công tác - Trường Dự bị đại học dân tộc trung ương Nha Trang hỗ trợ, giúp đỡ để hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, tháng năm 2019 Học viên Đỗ Thị Huệ Chương C*-ĐẠI SỐ TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian vectơ, không gian unita, không gian tiền Hilbert, không gian Banach, tốn tử tuyến tính, khái niệm, ví dụ tính chất đại số, sử dụng luận văn Các kết tham khảo từ tài liệu [3] [4] Từ chúng tơi trình bày cấu trúc đại số gần với C*-đại số như: đại số, *-đại số, đại số Banhach; C*-đại số tổng quát Các kết chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Cho K trường (K = R K = C) Một khơng gian vectơ (cịn gọi khơng gian tuyến tính') X trường K tập hợp khác rỗng với hai phép toán + : X X X —> X (x,y) I—> x + y • : K X X —> X (A,x) I—> Xx thỏa mãn tám tiên đề sau mà ta gọi tám tiên đề không gian vectơ: (i) x + y = y + x với x, y G X; (ii)x + (y + z) = (x + y) + z với x, y, z G X; (iii) Tồn G X cho x + = + x = x với x G X; (iv) Với x G X tồn —x G X cho x + (—x) = 0; (v) (Ay)x = A(yx) với A, p, G K x G X; (vi) (A + y)x = Ax + ^x với A, y G K x G X; (vii) A(x + y) = Ax + Ay với A G K x, y G X; (viii) 1.x = x với x G X, phần tử đơn vị K Khi đó, ta nói X K-không gian vectơ Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian vectơ trường K Một tích, vơ hướng xác định H ánh xạ : H X H —> K (x, ) y —> (x,y) thỏa mãn điều kiện sau: (i) (x, x) > với x G H; (x, x) = x = 0; (ii)(x,y) = (y,x) với x,y G H (iii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với x, y, z G H (iv) (Ax,y} = A(x,y) với x,y G H A G K Không gian vectơ H với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert ký hiệu (H, (.,.)) hay H cho gọn Ta nói H tó không gian vectơ unita (t.ư., Euclid') H hữu hạn chiều C (t.ư., R) Ví dụ 1.1.3 1) Ký hiệu KmXn tập tất ma trận cỡm X n trường K Khi a) KmXn iiiột K-không gian vectơ với hai phép toán: phép cộng hai ma trận phép nhân phần tử trường K với ma trận Nói riêng, RmXn R-khơng gian vectơ CmXn C-không gian vectơ mn chiều Hơn nữa, CmXn R-không gian vectơ 2mn chiều b) Xét ánh xạ • : RmXn X RmXn —> R (X, Y) I—> X • Y := Tr(XTY) XT chuyển vị ma trận X Khi đó, ánh xạ tích vơ hướng R mXn RmXn khơng gian vectơ Euclid Thật vậy, với X = [xjj], Y = [yij] G RmXn, ta có (i) Tr(XTX) = EỊ=1 j > E’=1 j = k Xj = 0, với < i < m, < j < n Do đó, X • X > với X G RmXn X • X = X = (ii)X • Y = Tr(XTY) = Tr(XTY)T = Tr(YTX) = Y • X (iii) (X + Y) • Z = Tr(X + Y)TZ = Tr(XTZ + YTZ) = Tr(XTZ) + Tr(YTZ) = X • Z + Y • Z (iv) (XX)• Y = Tr((XX)TY) = Tr(XXTY) = XTr(XTY) = X(X• Y), với X E R Đặc biệt, m = ntacóX • Y = Tr(XTY) = J2n=i Hj=i Xjjyij Khi m = (hoặc n = 1) tích vơ hướng trở thành tích vơ hướng thông thường Rn (t.ư., Rm) c) Cmxn khơng gian vectơ unita với tích vơ hướng X • Y := Tr(XYH), Y = Y chuyên vị liên hợp ma trận Y Thật vậy, với X = [xj], Y = [yij] E Cmxn A E C ta có (i) X • X = Tr(XXH) = Ei=i j = Ei=i E"=1 |x,j|2 > Hơn X • X = x,j = 0, với i,j hay X = (ii)X • Y = Tr(XYH) = TT(XỸT) = TT(XỸT)T = Tr(YXT) = Tr(YXT) = ỸTX (iii) (X + Y) • Z = Tr ((X + Y)ZH) = Tr(XZH + ỸZH) = Tr(XZH) + Tr(YZH) = X • Z + Y • Z Chương MỘT SỐ C*-ĐẠI SỐ LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN ĐA THỨC Trong chương kiểm tra số tập hợp quen thuộc hên quan đến ma trận đa thức có thỏa mãn cấu trúc đại số nêu Chương Từ ta có nhìn tổng quan thỏa mãn cấu trúc C*-đại số tập hợp Ta ý đa thức trường, ma trận số xem ma trận đa thức đặc biệt 2.1 Tập ma trận vuông thực phức Xét đại số ma trận Knxn với K = R, C Mệnh đề 2.1.1 Khi n = K = C đại số C C*-đại số Chứng minh Xem Ví dụ 1.6.4 □ Do đó, từ sau ta đề cập đến ma trận vuông cỡ n > Mệnh đề 2.1.2 (i) Rnxn *-đại số với phép đối hợp A* = AT AT ma trận chuyển vị ma trận A G Rnxn (a) Rnxn với ch uẩn ||A|| = ỵ/ Tr(ATA) (chuẩn Frobenius) đại số Banach không C*-đại số Chứng minh, (i) Xem Ví dụ 1.5.2a) (ii) Rnxn với chuẩn ||A|| = \/Tr(ATA) không gian Banach Để kiểm tra Rnxn đại số Banach, ta cần kiểm tra điều kiện ||AB II < ||A||.||B II với m ọi A, B G Rnxn Thật vậy, gi ả sử A = [aij ],B = [bij] AB = [uij] G Rnxn đó, Uij = n=1 aikbkj Ta có ọ = l|A||2 ||B II2 Từ suy IIABII < ||A||.||BII, với A, B G Rnxn Vậy Rnxn đại số Banach Ta Rnxn với chuẩn cho không thỏa mãn điều kiện II A*A|| = IIA||2 khơng C*-đại số Thật vậy, lấy ma trận Ta có A* = AT Khi đó, IIA|| ự6 IIATA|| AT A = ự 28 < = IIA||2 Mệnh đề chứng minh xong □ Mệnh đề 2.1.3 (i) Cnxn *-đại số với phép đối hợp A* = AH AH = AT V'kyvM'Vvii hợp ma trận A G Cnxn (a) Đại số Cnxn vớỉ chuẩn Frobenius ||A|| = ỵ/Tr(AAH) đại số Banach không C*-đại số Chứng minh, (i) Xem Ví dụ 1.5.2b) (ii) Cnxn với chuẩn Frobenius ||A|| = \/Tr(AAH) đại số Banach (xem Ví dụ 1.4.2.2a)) Tuy nhiên, Cnxn không C*-đại số với chuẩn Thật vậy, xét ma trận G C2x2 Khi H A -i 20 H A A= —2i 2i Ta có, IIA|| = ự6 IIAHA|| = V28 < = ||A||2 Bây giờ, ta xét đại số Knxn với chu ẩn || • II1 Để cho gọn chúng tơi gộp hai trường hợp thành mệnh đề Mệnh đề 2.1.4 Trên Knxn ta xét chuẩn n II A|1 = max y |aijI A = [aij] G Knxn < j Ĩ Chứng minh Từ Mệnh đề 1.2.12 Ví dụ 1.2.3.2) suy raR[x] với chuẩn ||-||p không gian Banach (i) Khi p = Ĩ, với f, g G R[x], giả sử f X faxa g = aG^n,d Vậy R[x] với chuẩn II-|1 đại số Banach (ii)Lấy f = g = Ĩ+x1 G R[x^ Với mọip > 2, ta có Ilf ||p = ||g||p = fg = + 2x1 + x2 Khi đó, \\fg\\p = ý2 + 2p > \l = \\f ||p.||g||p, với p > Do đó, R[x] với chuẩn II.|p (p > 2) không đại số Banach (iii) Khi p > 1, (R[x], ||.||p) khơng đại số Banach nên khơng C*-đại số Khi p = 1, ta có llf llỉ= a +2£\fa\f I a,y >^\ ^2 ff = llf2||l = llf *f\l Y a+'ỉ=Y Do (R[x], ||.||p) khơng C*-đại số p =1 Mệnh đề chứng minh xong Mệnh đề 2.2.3 Trên R[x], dại Ilf || = sup \fa| Khi đó, a €^n,d (i) !.! chuẩn írển R[x] (ii)R[x] với chuẩn cho khơng đại số Banach Do đó, R[x] khơng C*-đại số với chuẩn Chứng minh, (i) Với f, g G R[x] vàmọi A G R ta có \fa\ > II/ h = o sup \fa1 = o a a E^n,d ^^n,d với a G Qn,d hay fa = với a G Qn,d Do đó, f = (11) (12) (13) \fa + ga\ II/ h = su p \fa\ = 0, ||Af H = sup \Afa\ = |A| sup \fa \ = |A|||/ || ữCQn,d Với a G Qn,d, ta có < \ fa\ + \ga\ < su a ^^n,d p \fa\ + sup \ga\ = II/ H + WgWa a E^n,d ^n,d f+ su f + + f DođÓ|| gW = p \ a ga \ < || H WgW a CQn,d (ii) Lấy f = g = 1+x E R[x] Ta có Ilf II = ||gII = fg = 1+2x+x Khi \\fgII = > = Ilf ||.||g|| Do đó, R[x] với chuẩn sup không đại số Banach Vậy R[x] không C*-đại số với chuẩn cho □ Mệnh đề 2.2.4 (i) C[z] không gian Banach với chuẩn I\f II = sup |fY | YE ^n,d (ii)C[z] *-đại số với phép đối hợp f *(z) f (z) X fYzY YE ^n,d YzY E C[z]Y €^n,d (iii) C[z] không đại số Banach với chuan “sup” Do đó, C[z] khơng = f C*-đại số Chứng minh, (i) C[z] không gian định chuẩn với chuẩn Ilf II = sup |fY| Với dãy {fk(z)} c C[z], fk(z) —> f(z) ta phải chứng minh f(z) E C[z] Thật vậy, giả sử fk(z) = X-fk)zY f(z) = fk -^ f Efz Y o) Y E C[z], đó, sup |f k) - /| -^ llfk - f I Từ suy < ,/'-k — ,f o < sup |fk) — | —> với Y7 Do ,/'-k —> với Y hay f (z) E C[z] Vậy C[z] khơng gian Banach (ii)Xem Ví dụ 1.5.2.d) (iii) Lấy f (z) = i — 2z + z2 + z3 g(z) = z — z3 E C[z] Khi Ilf II = 2, IIgII = fg = iz — 2z2 + (1 — i)z3 + 3z4 — z5 — z6 Ta có llfgII =3 > = Ilf ||.||g|| Do C[z] khơng đại số Banach với chuẩn “sup” Điều kéo theo C[z] không C*-đại số với chuẩn cho □ Mệnh đề 2.2.5 Trên C[z]> xét p-chuẩn, p > 1 E fi\ ( n p i=1 Khi đó, (ỉ) Với p = 1, C[z ] với ch uẩn ||.||1 đại số Banach, (ii) Với p > 2, C[z ] với ch uẩn ||.||p không đại số Banach (Hi) (C[z], ||.||p) không C*-đại số với p > Chứng minh Từ Mệnh đề 1.2.12 Mệnh đề 2.2.4 suy C[z] với chuẩn ||.||p không gian Banach (i) Khi p = 1, với f, g G C[z] giả sử f = 52 faz"và g = a Ẹ g ^tacó g = Ẹ ( Ẹ a gi H z f zY €^n,d Khiđó, Vậy C[z] với chuẩn II.II1 đại số Banach (ii)Lấy f = g = i + zi G C[zi] Với mọip > 2, ta có Ilf llp = ||g||p = #2 fg = -1 + 2iz + z i i Khi đó, Mg^p = ý2 + 2p > Ý4 = ||f llp.HgHp với p > Do đó, C[z] với chuẩn II.||p, (p > 2) không đại số Banach (iii) Khi p > 1, (C[z], II ||p) không đại số Banach nên khơng C*-đại số Khi p = 1, ta có Wf 112 = Eff«|2 + 2^ |fa|.|ffi |>£| £ f I a a,fi Y a+fi=Y = Wf 2lli = Wff 111 Vậy (C[z], ||.||p) không C*-đại số khip = Do (C[z], W.W p) không C*đại số với p > □ Ký hiệu C[z, z] = < f (z, z ^2 fafizazfi : fafi G C• Mệnh đề 2.2.6 (i) C[z,z] không gian Banach với chuẩn “sup” Wf W = sup lfafi| a,fi £&n,d (ii)C[z, z] *-đại số với phép đối hợp f *(z,z) ^2 fafizazfi a,fi €&n,d fafizazfi G C[z,z] a,fi €$"n,d (iii) C[z,z] không đại số Banach với chuan “sup” Do đó, C[z,z] khơng f (z,z) = C*-đại số Chứng minh Lập luận hoàn toàn tương tự Mệnh đề 2.2.4 ta thu kết (i) (ii) (iii) Lấy f (z, z) = 2z2 + 3zz g(z, z) = zz + iz2 Khi đÓ, Ilf W = 3, llgll = fg = 2zz3 + (3 + 2i)z2z2 + 3iz3z Ta co, WfgW = ^13 > 3= Ilf ||.||g|| Vậy C[z, z] không đại so Banach với chuẩn sup Do đó, C[z, z] khơng C*đại số Ký hiệu Ch[z, z] = {f (z, z) E C[z, z] : f (z, z) E R, Vz E Cn} □ = {f (z,z) E C[z,z] : f (z,z) = f (z,z)} fapzazp E C[z,z] Khi apEpl n,d Mệnh đề 2.2.7 Cho f (z,z) = f E Ch[z,z] o fap = f pa, Va, p E Dn,d o ma trận [fap] Hermit Chứng minh Ta viết f (z,z) = foo + s (fapzazp + fpazp.za) Từ suy f (z,z) nhận giá trị thực với z E Cn f (z,z) = f (z,z) hay fap = fpa với a, ft E Dn,d- Điều xảy ma trận [fap] ma trận Hermit □ Mệnh đề 2.2.8 (i) Ch[z,z] đại số thực đại số C[z,z] (ii)Ch[z,z] *-đại số với phép đối hợp tầm thường f * = f (iii) Ch[z,z] không đại số Banach Với chuẩn Ilf II = sup lfap| Do a,pE ^n,d Ch[z,z] khơng C*-đại số Chứng minh, (i) Ta có Ch[z,z] không gian vectơ C[z,z] Với 5, E f (z,z) = £ fapzazp, g(z,z) = £ fsez5z0 E Ch[z,z] ta a,pE^n,d ° ^n,d CÓ f f ap.gse j zYZn.Kĩ f, g E Ch[z,z]wằn fap = Y,n ỵa+J=Y, p+ớ=n ) f p^h gse = 905- Do đó, g=I f a.p g50 = f pa.g05 = fpa g0ỗ Từ suy fg E Ch[z,z] Vậy Ch[z,z] đại số thực C[z,z ] (ii)Rõ ràng f f* = f phép đối hợp Ch[z, z] (iii) Lấy f (z, z) = z2 + zz + z2 g(z,z) = z + z E Ch[z,z] Ta co \\f II = \\g\\ = fg = z3 + 2z2z + 2zz2 + z3 Khi llfg\l = > = \\f||.||g|| Vậy Ch[z,z] không đại số Banach với chuẩn cho Do Ch[z,z] khơng phải C*-đại số Mệnh đề chứng minh xong □ 2.3 Tập ma trận đa thức Các đa thức trường ma trận số xem ma trận đa thức đặc biệt Việc kiểm tra tập chúng tơi trình bày mục 2.1 2.2 đây, xét tập ma trận đa thức dạng tổng quát Xét đại số ma trận đa thức Msxs trường K Mệnh đề 2.3.1 (i) Msxs *-đại số với phép đối hợp cho A*(x) = AH (x) AH(x) = AT (x) ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A(x) E Msxs (ii)(Msxs, ||.||p) đại số Banach p = không đại số Banach p > (iii) (Msxs, ||.||p) không C*-đại số với p > Chứng minh, (i) Xem Ví dụ 1.5.2 Theo Mệnh đề 2.2.5 ta có (ii) (iii) □ Ta tóm tắt kết chương Bảng 2.2 đây, có dấu “ự” nghĩa tập cột “thỏa mãn” cấu trúc dịng tương ứng II • h Đại số Đại số Banach *-đại số c*-đại số V R"x", cnxn (n > 1) ll-lli, II ' ll-ll, II • Umax (1 < p < 00 ) IU 7 7 7 7 R[aị C[z] II • h II ■ llsup 7 7 II- llP p=1 p>1 7 C[z, z], II ch■[z,llsup z] V V Bảng 2.2: Bảng tóm tắt cấu trúc đại số số tập với chuẩn khác •^sxs II- IIP p=1 p> V V V 5 Kết luận Luận văn đạt số kết sau: Trình bày cách chi tiết, có hệ thống khái niệm tính chất khơng gian vectơ, khơng gian định chuẩn, tốn tử tuyến tính đặc biệt cấu trúc đại số: đại số, đại số Banach, *-đại số C*-đại số Trong đó, kết quan trọng cấu trúc đại số chứng minh chi tiết so với tài liệu tham khảo gồm có Định lý 1.4.11, Mệnh đề 1.5.6, Mệnh đề 1.6.5, Mệnh đề 1.6.6, Mệnh đề 1.6.8, Mệnh đề 1.6.9, Mệnh đề 1.6.10 (xem Chương 1) Kiểm tra thỏa mãn cấu trúc liên quan đến C*-đại số nêu đa thức chosự tập: trường tập số thực trận phức, vng đặc thực biệt có phức, tập tập đa với thức hỗn tập tạp, chúng tập xét nhiều mama trận chuẩn đa khác thức Trong (xem đó, Chương ứng 2) Các kết trình bày tóm tắt Bảng 2.2 Tài liệu tham khảo [1] K.R Davidson, c*-algebras by example, NXB American Mathematical Society, 1996 [2] K Schùdgen, Noncommutative real algebraic geometry-some basic concepts and first ideas, NXB Springer New York, 2009 [3] Lê Thanh Hiếu, Bài giảng chun đề Tính tốn ma trận, Khoa Tốn Thống kê, Trường đại học Quy Nhơn, 2018 [4] Thái Thuần Quang, Cơ sở lý thuyết giải tích hàm, Khoa Toán Thống kê, Trường đại học Quy Nhơn, 2013 ... c? ?? □ Chương MỘT SỐ C* -ĐẠI SỐ LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN ĐA TH? ?C Trong chương kiểm tra số tập hợp quen thu? ?c hên quan đến ma trận đa th? ?c có thỏa mãn c? ??u tr? ?c đại số nêu Chương Từ ta c? ? nhìn tổng quan. .. Phần chương trình bày tính chất ba c? ??u tr? ?c đại số: * -đại số, đại số Banach C* -đại số Chương Một số C* -đại số liên quan đến ma trận đa th? ?c Trong chương này, chúng tơi kiểm tra tập nêu ví dụ Chương... mãn c? ??u tr? ?c C* -đại số tập hợp Ta ý đa th? ?c trường, ma trận số xem ma trận đa th? ?c đ? ?c biệt 2.1 Tập ma trận vuông th? ?c ph? ?c Xét đại số ma trận Knxn với K = R, C Mệnh đề 2.1.1 Khi n = K = C đại số