Một số bài toán về hàm số liên quan đến khoảng cách

KHOẢNG CÁCH A LÝ THUYẾT 1.Khoảng cách hai điểm A( xa ; ya ), B( xb ; yb ) AB = ( xb − x a ) + ( y b − y a ) 2 Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = d ( M , ∆) = ax0 + by + c a2 + b2 Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y ) đến tiệm cận đứng x = a M ( x0 ; y ) đến tiệm cận ngang y = b h = x0 − a Khoảng cách từ điểm h = y0 − b B BÀI TẬP DẠNG 1: Cho hàm số y = f (x) ( hàm phân thức) có đồ thị ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị cho khoảng cách AB ngắn Cách giải: Giả sử ( ؏ ) có tiệm cận đứng : x = a Do tính chất hàm phân thức đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Với α, β hai số dương Nếu A thuộc nhánh trái x a < a ⇒ x a = a − α < a ∈ (؏) Nếu B thuộc nhánh phải xb > a ⇒ xb = a + β > a ∈ (؏) 2 Tính f ( xa ), f ( xb ) sau tính AB = ( xb − xa ) + ( yb − y a ) Khi AB có dạng là: AB = g [ ( a + b ) , ( α + β ) , αβ ] áp dụng bất đẳng thức côsi ta có kết cần tìm Ví dụ: Cho hàm số y = x+3 (؏) x−3 Tìm ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị cho khoảng cách AB ngắn Lời giải y= x+3 = 1+ x−3 x−3 Hàm số có tiệm cận đứng: x = Gọi A( x a ; y a ) điểm thuộc nhánh trái đồ thị nên x a < 6 Với α > , ta có x a = − α ⇒ y a = + x − = + − α − = − α a Gọi B( xb ; yb ) điểm thuộc nhánh phải đồ thị nên xb > 6 Với β > , ta có xb = + β ⇒ y b = + x − = + + β − = + β b Ta có: AB = ( xb − x a ) + ( y b − y a ) = [ ( + β ) − ( − α ) ] 2 = (α + β ) ≥ 4αβ 2 2 6 6 36 2 +  +  = ( α + β ) 1 + 2 α β   α β  6   + 1 +  − 1 −   β   α     36 = 48 α 2β Dấu “=’’ xảy khi: α = β α = β  ⇔ ⇔α = β = ( α , β > ) 36 ⇔ = α β =   α2 β2  Vậy A(3 − ;1 − ); B (3 + ;1 + ) hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tương tự Bài 1: Cho hàm số y= x2 − x +1 = x+ x −1 x −1 (؏) Tìm ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn Bài :Cho hàm số y = x + 3x + 13 = x+5+ x−2 x−2 (؏) Tìm ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn Bài 3: Cho hàm số y = x2 x −1 (؏) Tìm ( ؏ ) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn DẠNG Hàm số y = f (x) ( ؏) Tìm ( ؏ ) điểm M cho: Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Cách giải : Gọi M ( x0 ; y ) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = x0 + y - Xét khoảng cách từ M đến hai trục M nằm vị trí đặc biệt : trục hoành , trục tung - Sau xét tổng quát, nhữngđiểm M có hoànhđộ , tung độ lớn hoành độ tungđộ M nằm hai trục, để suy cách tìm GTNN d Ví dụ Cho hàm số y = x+2 ( ؏ ) Tìm ( ؏ ) điểm M x −3 cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Lời giải Giả sử M ( x; y ) + Xét điểm M nằm trục Ox : cho y = ⇒ x = −2 , tồn M (−2;0) ∈ ( ؏ ) Khi khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = − + = + Xét điểm M nằm trục Oy : 2 cho x = ⇒ y = − , tồn M (0;− ) ∈( ؏ ) 3 Khi khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là:  2 d = + −  = <  3 + Xét điểm M có hoành độ: x > Khi khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = x + y > + Xét điểm M có hoành độ: x < 3 i) Trường hợp: < x ≤ Xét hàm số y = x+2  2 khoảng  0;  ta chứng minh được: x −3  3 y Suy 3 i) Trường hợp : − ≤ x < Xét hàm số y = − x+2   khoảng  − ;0  ta chứng minh : x−3   < y≤− 11 d = x + y = − x − y = − x −1 − d ′ = −1 + ( x − 3) d′ = ⇔ x = ± 5 x −3 Lập bảng biến thiên ta được: d > Vậy M (0;− ) thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tương tự Bài 1: Cho hàm số y = x2 − ( ؏ ) Tìm ( ؏ ) điểm M x−2 cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ x + 3x + Bài 2: Cho hàm số y = ( ؏ ) Tìm ( ؏ ) điểm x+2 M cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhau( hay khoảng cách từ M đến trục hoành k lần khoảng cách từ M đến trục tung) Cách giải:  y = kx  g ( x, k ) = y =kx ⇔ ⇔  y = − kx  h ( x, k ) = Từ phương trình ta giải nghiệm toán Ví dụ: Cho hàm số y= x−2 x +1 ( ؏ ) Tìm ( ؏ ) điểm M cho khoảng cách từ M đến Ox ba lần khoảng cách từ M đến Oy Lời giải Giả sử M ( x; y ) Khoảng cách từ M đến Ox là: d1 = y Khoảng cách từ M đến Oy là: d = x Khoảng cách từ M đến Ox ba lần khoảng cách từ M đến Oy nên ta có: x−2  x + = 3x  y = 3x − ± 10 d1 = 3d ⇔ y = x ⇔  ⇔ ⇔x=  y = −3 x  x − = −3x  x +  − ± 10 − ± 10   ;  ± 10   Vậy M  thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tương tự Bài 1: Cho hàm số x + x + 15 y= x+3 ( ؏ ) Tìm ( ؏ ) điểm M cho khoảng cách từ M đến Ox hai lần khoảng cách từ M đến Oy DẠNG 3: Cho đường cong ( ؏ ) có phương trình y = f (x) đường thẳng ∆ : y = kx + m Tìm m để ∆cắt ( ؏ ) hai điểm A,B cho: - AB số a - AB ngắn Cách giải - Tìm điều kiện (*) m để phương trình hoàn độ giao điểm : f ( x) = kx + m (1) có hai nghiệm - Gọi A( x1 ; y1 ), B( x ; y ) hai giao điểm ∆và ( ؏ ) x1 , x2 nghiệm (1) - Tính AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = g ( x1 , x2 , x1 x2 , m) (2) - Áp dụng vi ét cho (1) thay vào (2) ta h(m) = (3) Giải (3) ta tìm m Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 3x + ( ؏) Cho điểm I (−1;0) Xác định tham số thực m để đường thẳng ∆ : y = mx + m cắt đồ thị ( ؏) ba điểm phân biệt I ,A ,B cho AB < 2 Lời giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình :  x = −1 x − x + = mx + m ⇔ x − 3x − mx + − m = ⇔  ( x − 2) − m = 0(1) 3 Theo giả thiết đồ đường thẳng cắt đồ thị ba điểm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 m ≠ ⇔ (∗) m > Gọi I (−1;0) , A( x1 ; mx1 + m) , B( x ; mx + m) tọa độ ba giao điểm đường thẳng ∆và đồ thị ( ؏ ) , x1 , x nghiệm (1) AB = ( x − x1 ) + (mx2 + m − mx1 − m) = x2 − x1 m + AB < 2 ⇔ + m − + m m + < 2 ⇔ m(m + 1) < 2 ⇔ m3 + m − < ⇔ m < Kết hợp với điều kiện (∗) ta có < m < Vậy < m < thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ : Cho hàm 1số y = 2x + ( ؏ ) Tìm m để đường thẳng x+2 ∆ : y = − x + m cắt (؏ ) hai điểm A, B cho AB nhỏ Lời giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: 2x +1 = −x + m x+2 (1) Để ∆cắt ( ؏ ) A, B (1) có hai nghiệm phân biệt hay phương trình : x + (4 − m) x − 2m + = (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2 (4 − m) − 4(−2m + 1) > ⇔ m + 12 > ( đúng)  − ≠ Vậy ∆luôn cắt ( ؏ ) hai điểm phân biệt với giá trị m Giả sử A( x1 ;− x1 + m), B( x ;− x + m) AB = ( x1 − x ) + ( x − x1 ) = 2( x − x1 ) Áp dụng định lí viet cho phương trình (2) ta : ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = (m − 4) − 4(−2m + 1) = m + 12 ≥ 12 ⇔ AB ≥ 24 ⇔ AB ≥ Vậy AB nhỏ m = Bài tập tương tự x2 + 4x + Bài 1: Cho hàm số y = ( ؏) Tìm M ( ؏) cho x+2 khoảng cách từ M đến d : y + 3x + = nhỏ x + (m + 1) x + m + Bài 2: Cho hàm số y = ( ؏) Chứng tỏ với x +1 m hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách chúng 20 Bài 3: Cho hàm số y = − x + + ( ؏) Chứng minh với x −1 m đường thẳng d : y = x + m cắt ( ؏) hai điểm A,B có hoành độ x1 , x Tìm m để ( x2 − x1 ) đạt giá trị nhỏ x2 − 2x + 4 Bài 4: Cho hàm số y = = x+ ( ؏) x−2 x−2 Tìm m để đường thẳng d : y = mx + − 2m cắt ( ؏) hai điểm A,B cho AB = Bài 5: Cho hàm số y = x − mx − x + m + ( ؏) Chứng minh với m hàm số có cực đại, cực tiểu Tìm m để khoảng cách điểm cực đại, cực tiểu nhỏ