Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế

Trang 1 BỘ CÔNG THƯƠNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA KHOA HỌC CƠ BẢN____________*____________BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001031CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠ

BỘ CÔNG THƯƠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN *

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001031 CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN

NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001031

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

Sinh viên thực hiện : Nguyễễn Đình Đ t ạ

Nguyễễn Đ c Bình Thân Thành Chính ứ

Nguyễễn Thành Công Bùi Đ c Đ i ứ ạ

Nguyễễn Tâấn C ườ ng Vũ Đăng Đ t ạ

Lễ Công Đ c Ph m Văn Đ c ứ ạ ứ

Nguyễễn Th c Minh Đ c Đ ng Nguyễễn Minh Đ c ạ ứ ặ ứ

Nguyễễn Thành Đông Trâần Vi t Dũng ệ

Võ Anh Đ c Kh ứ ươ ng Đình Đ i ạ

Tên lớp: : TDH 03-K16

Giáo viên hướng dẫn : Đặng Việt Chung

Hà Nam , tháng 4 năm 2022

BẢNG ĐÁNH GIÁ TIÊU CHÍ LÀM VIỆC NHÓM

Tiêu

Chí

Thành

viên

Sự nhiệt tình tham gia công việc

Đưa ra ý kiến và ý tưởng làm bài

Giao tiếp

và phối hợp tốt với thành viên khác cùng giải quyết vấn

đề chung

Tổ chức

và hướng dẫn cá nhân nhóm

Hoàn thành công việc hiệu quả

Tổng điểm được đánh giá cho cá nhân

TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ VÀ HỆ SỐ CÁ NHÂN

CỦA CÁC THÀNH VIÊN

Tên thành viên Tổng điểm

được đánh giá

Điểm trung bình

Hệ số

cá nhân

MỤC LỤC

Danh sách thành viên nhóm 1 ……… 2 Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm ……… 3 Tổng điểm đánh già và hệ số cá nhân của các thành viên ……… 4 Lời nói đầu ……… 5 Phần I: Ứng dụng của ma trận nghịch đỏa trong bài toán thực tế 8 1.1 Ứng dụng của ma trận nghịch đỏa trong giải hệ phương trình

tuyến tính ……… 8 1.2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong vật lý, khoa học - kỹ

thuật ……… 9 1.3 Úng dụng của ma trận nghịch đảo trong thông tin liên lạc …

10

1.4 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong bài toán kinh tế và

……… 12

Phần II: Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong bài toán

……… 15 1.1 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong khoa học – kỹ

thuật ……… 15

1.2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong phân tích kinh

tế

……….17

Kết luận ……… 19

LỜI NÓI ĐẦU

Ma trận là một bảng được điền với một bộ số cụ thể theo một thứ tự cụ thể Thuật ngữ này được đưa vào lưu hành bởi nhà lý thuyết người Anh nổi tiếng James Sylvester Ông là một trong những người sáng lập lý thuyết ứng dụng các yếu tố toán học này

Cho đến nay, chúng ta đã tìm thấy ứng dụng rộng rãi trong việc thực hiện các tính toán khác nhau, dựa trên một số phương pháp như tìm ma trận nghịch đảo hay lập hệ phương trình tuyến tính Phương pháp này dựa trên việc xác định các tham số chưa biết của một hệ phương trình khác nhau

và thường được sử dụng khi tiến hành các tính toán kinh tế hay xử lý vấn

đề kỹ thuật Hầu hết các ma trận thường được sử dụng khi tiến hành tính toán kinh tế Với sự giúp đỡ của các công cụ tính toán này, bạn có thể dễ dàng và nhanh chóng xử lý một lượng lớn thông tin và kết quả cuối cùng

sẽ được trình bày dưới dạng thuận tiện cho công việc Chúng em – nhóm

6 lớp Cơ khí 3- K16 đã cùng nhau thảo luận về những ứng dụng của hai công cụ là ma trân nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính vào những bài toán thực tế trong nghiên cứu kỹ thuật và phân tích kinh tế cũng như thực tiễn cuộc sống

PHẦN I : ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ

1.1 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong giải hệ phương

trình tuyến tính

Ma trận nghịch đảo thường được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, ngoài ra, ma trận nghịch đảo còn cho ta biết sự nhất quán hoặc không nhất quán của nghiệm phương trình

Ví dụ 1:

Giải : A.X=B ; với A = ; B= => =

 A.X=B => X=.B => X= x =

 X = 2 ; y = 3 ; z =1

Ví dụ 2:

Giải : A.X=B ; với A = B= => =

 A.X=B => X=.B => X= x =

 X = -8 ; y = 12 ; z = 11

1.2 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong vật lý, khoa học - kỹ thuật

Ma trận nghịch đảo được sử dụng để khám phá mạch điện, cơ học lượng

tử và quang học, nó rất quan trọng trong đo lường sản lượng điện của pin

và chuyển đổi điện năng thành dạng năng lượng khác bằng điện trở, khi

áp dụng các định luật Kirchhoff về điện áp và dòng điện để giải các bài toán, các ma trận nghịch đảo có ý nghĩa vô cùng lớn

Ví dụ 1:

Cho mạch điện như hình vẽ dưới đây:

Tìm , ,

Giải:

Viết phương trình Kirchhoff 1 tại A, ta có : - - =0

Viết phương trình Kirchhoff 2 cho vòng 1, ta có: 7 + 3 = -30

Viết phương trình Kirchhoff 2 cho vòng 2, ta có: 11 - 3 = -50

Ta có hệ phương trình 3 ẩn như sau:

 A= ; B = ; X=

 A.X=B => X=.B

 X= B = =

Vậy = ; = ; =

1.3 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong thông tin liên lạc

Ma trận nghịch đảo thường được sử dụng để mã hóa tin nhắn, các ma trận được các lập trình viên sử dụng để mã hóa số hoặc chữ cái Một thông điệp được tạo thành từ chuỗi các số nhị phân được giải bằng cách sử dụng

lý thuyết mã hóa để liên lạc, kết quả là khái niệm ma trận được sử dụng

để giải các phương trình như vậy. Những kỹ thuật mã hóa ban đầu như mật mã Hill cũng áp dụng lý thuyết ma trận Tuy nhiên, do bản chất tuyến tính của ma trận, những mã này bị phá tương đối dễ

Ví dụ 1:

Cho ma trận A , và một sự tương ứng giữa các ký tự và các chữ số như sau:

Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái, để đảm bảo bí mật, anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyển tin nhắn của mình thành 1 dãy số

và viết dãy số này thành ma trận B theo nguyên tắc : Lần lượt từ trái sang phải, mỗi chữ số là 1 vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D= B.A và

chuyển D về dãy số thì tìm được dãy 1 2 1 2 0 3 2 1 4, giải mã thông tin trên

Giải: D=B.A => B=D

Ta có : A = ; D=

 Det(A) = 40 + 16 - 15 - 32 = -1< 0

= Det () = 1 = 40

Tương tự: = -13 ; = -5

= -16 ; = 5 ; = 2

= -9 ; = 3; =1

= => = = -1

= -1 =

B=D = =

1.4 Ứng dụng của ma trận nghịch đảo trong bài toán kinh tế và thực tiễn

Có rất nhiều ứng dụng của ma trận, cả trong toán học lẫn những ngành khoa học khác Một số chỉ là tận dụng sự thuận tiện khi biểu diễn một cách ngắn gọn tập hợp số bên trong một ma trận Ví dụ, trong lý thuyết trò chơi và kinh tế học, ma trận tiền trả ( chứa số tiền trả) của hai người chơi, phụ thuộc vào tập hợp (hữu hạn) các khả năng mà người chơi sẽ

trận phần tử văn bản như để đánh dấu tần suất một từ nhất định xuất hiện trong một vài văn bản

Ví dụ 1: Một nhóm cùng nhau đi du lịch, địa điểm là hai nơi cách nhau

khá xa Khi xuất phát đến nơi đầu tiên, họ đi bằng tàu hỏa với giá là 1 triệu đồng/ trẻ em , 2 triệu đồng/ thanh thiếu niên và 3 triệu đồng đối với người lớn với tổng chi phí là 57 triệu Khi đến địa điểm thứ 2, họ đi bằng

ô tô với giá là 4 triệu đồng/ trẻ em, 1 triệu đồng/ thanh thiếu niên và 2 triệu đồng/ người lớn, tổng chi phí là 63 triệu khi về, họ đi máy bay với giá thành : 2 triệu đồng/ trẻ em; 5 triệu dồng/ thanh thiếu niên và 8 triệu đồng/ người lớn, tổng chi phí là 141 triệu Tính số trẻ em, thanh thiếu niên

và người lớn trong đoàn du lịch đó

Giải :

Lần lượt gọi số trẻ em, thanh- thiếu niên, người lớn là x ; y; z

Điều kiện : x, y, z >0

Đặt A= ; B=

Theo bài ra, ta có

A.X=B => X=B

det (A) = = -4 < 0 =>

= Det () = 1 = -2

Tương tự: = -1 ; = 1

= -28 ; = 2 ; = 10

= 18 ; = -1; = -7

 = =

= => X= =

Vậy nhóm đó có 9 trẻ em, 15 thanh thiếu niên và 16 người lớn

Ví dụ 2: Một nhóm học sinh được giao nhiện vụ làm bài tập thực hành với

các bộ môn Toán, Lý, Hóa Trong nhóm thực hành đó, học sinh được chia theo học lực giỏi, khá và trung bình, với mỗi học sinh có năng lực khác nhau sẽ được phân số lượng công việc khác nhau theo bảng sau:

Học lực

Môn học

Số lượng bài tập toán là 24, lý là 29, hóa là 38 bài Tìm số lượng mỗi loại học sinh của nhóm đó

Giải: Lần lượt gọi số lượng học sinh giỏi, khá, trung bình là a;b;c

Điều kiện : a,b,c >0

Đặt A=

Theo bài ra, ta có

=

Ta có : det (A) = = 1 > 0 =>

= => = =



Vậy số học sinh giỏi của nhóm đó là 4, học sinh khá là 3, học sinh trung bình là 2

PHẦN II : ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ

2.1 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong khoa học- kỹ thuật

Hệ phương trình tuyến tính là 1 công cụ rất hữu hiệu dùng để giải các bài toán liên quan đến vật lý như dao động riêng, quang hình học và điện tử học Trong điện tử học ,phương pháp phân tích dòng điện vòng (mesh analysis) truyền thống trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một

hệ phương trình tuyến tính mà có thể miêu tả bằng ma trận Ngoài ra, nó cũng được ứng dụng để giải các bài toán hóa và vấn đề kỹ thuật khác

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ:

= 50V ; = = 25V

= ==== 5

Tìm , , ,

Giải : Viết phương trình Kirchhoff 2 cho mạch điện ta có

Thay các dữ liệu vào hệ phương trình, ta được :

Ta có ma trận mở rộng =

< 0 ngược chiều quy ước

Vậy ta thu được nghiệm , , , lần lượt bằng 6; 2;3;1

Ví dụ 2: Cần 3 thành phần khác nhau A,B,C để sản xuất 1 hợp chất hóa

học A,B,C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa A với tỉ lệ 1,5g / với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3,6g /và dung dịch chứa C với tỉ lệ 5,3g/ thì tạo ra 25,07g hợp chất cần tạo Nếu tỉ lệ của A,B,C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2,5 ; 4,3 ; 2,4g/ trong khi thể tích giống nhau thì tạo được 22,36g hợp chất Cuối cùng, nếu tỷ lệ tương ứng là 2,7 ; 5,5 ; 3,2g/ thì tạo ra 28,14 g hợp chất Thể tích các dung dịch chứa A,B,C trong từng phương án là bao nhiêu ( đơn vị )

Giải :

Gọi x,y,z lần lượt là thể tích của các dung dịch chứa A,B,C trong các phương án

Điều kiện : x,y,z

Theo bài ra, ta có hệ phương trình

Ma trận bổ sung : =

=

Vậy thể tích của các dung dịch chứa A,B,C trong các phương án lần lượt

là 1,5; 3,1 ;2,2

2.2 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong phân tích kinh tế

Trong phân tích kinh tế, hệ phương trình tuyến tính có rất nhiều ứng dụng,

nó có thể tận dụng sự ngắn gọn của ma trận nhằm viết thông tin dưới dạng thuận tiện nhất, từ đó đưa ra nhận xét về thị trường một cách dễ dàng hơn, tiêu biểu là việc tìm ra điểm cân bằng của thị trường

Ví dụ : Thị trường có 3 loại hàng hóa, hàm cung và hàm cầu của 3 loại

hàng hóa trên như sau :

Qs2= -5p1 + 15p2 –p3- 20 QD2= 3p1-18p2 + 2p3+ 150

Qs3 = -3p1-4p2 + 12p3 - 10 QD3= 4p2 – p3 + 280

Tìm giá và lượng tại điểm cân bằng thị trường

Giải: Xét hệ

= 4560

= 6660 = 1,46

= 40430 = 8,87

= 128140 = 28,1

= 28,87; = 51,04; = 287,34

Vậy giá tại thời điểm thị trường cân bằng là ( 1,46 ; 8,87 ; 28,1 ) Lượng

tại thời điểm thị trường cân bằng là ( 28,87; 51,04 ; 287,34 )

KẾT LUẬN

Ma trận có ứng dụng vô cùng rộng rãi trong tất cả các lĩnh vực và thực tiễn cuộc sống, từ vật lý, hóa học đến phân tích kinh tế, trong đó, ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính là hai công cụ rất hữu hiệu giúp

ta xử lý các bài toán liên quan đến ma trận Cùng với sự giúp đỡ của cô giáo, sự nhiệt tình tham gia đóng góp xây dựng báo cáo, chúng em đã có được cái nhìn mới mẻ và bổ ích về ma trận, đặc biệt là những ứng dụng thiết thực của nó trong đời sống Vì vậy, chúng em cảm thấy yêu thích và hứng thú với Toán học, vì Toán học chính là cuộc sống, gắn liền với cuộc sống Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song chúng em sẽ không tránh khỏi những sai sót nhất định, mong cô và các bạn đọc có thể góp ý chân thành

để bọn em hoàn thiện hơn

Cảm ơn tất cả các độc giả !