BÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN và MA TRẬN NGHỊCH đảo

BÀI PHÉP NHÂN MA TR N VÀ MA TR N NGH CH Đ O ThS Vũ Quỳnh Anh Trường Đại học Kinh tế quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KH I Đ NG: Tính doanh thu c a m t cửa hàng Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên gạo Tám Thái Lan với giá tương ng 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg 19.000 đồng/1kg Trong tháng đầu năm, cửa hàng bán đư c số lư ng c thể sau: Đơn vị: kg Tháng Loại gạo Bắc Hương 345 340 350 Tám Điện Biên 315 330 370 Tám Thái Lan 430 425 425 Hãy sử d ng ma tr n, tính doanh thu c a cửa hàng tháng v1.0014105206 M C TIÊU • Sinh viên nắm đư c cách nhân hai ma tr n, tính chất c a phép nhân • Nắm đư c định nghĩa tính chất c a ma tr n ph h p, nghịch đảo • Tính đư c ma tr n ph h p, ma tr n nghịch đảo c a ma tr n vng • Biết sử d ng ma tr n nghịch đảo việc giải phương trình ma tr n v1.0014105206 N I DUNG Phép nhân ma tr n với ma tr n Ma tr n nghịch đảo ng d ng c a ma tr n nghịch đảo v1.0014105206 PHÉP NHÂN MA TR N V I MA TR N 1.1 Định nghĩa phép nhân hai ma tr n 1.2 Các tính chất c a phép nhân hai ma tr n v1.0014105206 1.1 Đ NH NGHƾA PHÉP NHÂN HAI MA TR N Cho ma tr n A cấp mn B cấp np A = (aij)mn B =(bjk)np Tích c a A với B ma tr n cấp mp ký hiệu: AB = (cik)mp đư c xác định sau:  b1k  b  d c c ik  A i Bk  (ai1,ai2 ,,ain )  2k   ai1b1k  ai2b2k    ainbnk     bnk  v1.0014105206 VÍ D Cho ma tr n:  2  A  ,     2    B   4   3    Tính AB Gi i: c13  c c A B  (c ik )23   11 12  23 33  c 21 c 22 c 23  v1.0014105206 VÍ D  2  c11  A1dB1c  1 2  4   2  12   18 2   3 c12  A1dBc2  1 2        3     1 c13  A1dB3c  1 2    1    4    18  AB     14 21 8  v1.0014105206  2  c21   3  4   8    14 2   3 c22   3    12    21  3     1 c23   3      12  8    4 VÍ D  2  Cho ma tr n A   ,  3   2    B   4   3    Tính BA’ Gi i:  2 B A '     3   2            v1.0014105206             2 3    8             15     11     CHÚ Ý Tồn tích AB số cột c a A số dòng c a B Tồn hai tích AB BA A có cấp mn B phải có cấp nm Phép nhân ma tr n khơng có tính chất giao hốn, nói chung AB ≠ BA A nhân đư c với A A ma tr n vuông v1.0014105206 10 VÍ D  3    Tính ma tr n nghịch đảo c a ma tr n: A     2    Gi i: 3 • Tính d  A   ( 6   12)  ( 27   8)  12  33  21  2 suy tồn ma tr n nghịch đảo c a A • Tính A* (Xem ví d trước)  8 2 11   8 2 11  1    A*   7 7   A 1  A*   7 7  d 21   5 1      5 1  v1.0014105206 22  2  5 Cho ma tr n A    2  2 VÍ D 5  3  4 Tìm phần tử nằm dòng 1, cột c a ma tr n A–1 d  A  41   A 141  A 41 d A 41  ( 1)5 5 v1.0014105206 A 1 2  A 11  1  A 12  A*  d d  A 13   A 14 9 2 1  A14  A 21 A 22 A 23 A 24 A 31 A 32 A 33 A 34 A 41  A  A 43   A 44  41 23  1   2   Cho ma tr n A    2 3     1 m  VÍ D Tìm m để ma tr n A khả nghịch Khi đó, tìm phần tử nằm dịng cột c a ma tr n nghịch đảo c a ma tr n A Gi i: A  1 2 1 3 2 m 1 3  7 14 1 5 7 7 m  7  14 7 m  5  14  7m Ma tr n A khả nghịch |A| = 14 – 7m ≠ ↔ m ≠ v1.0014105206 24 VÍ D Phần tử dịng cột c a ma tr n nghịch đảo c a ma tr n A là: 1 A 421   A 24   ( 1)6  2  A 14  7m 1 m v1.0014105206 25 2.4 CÁC TÍNH CH T CƠ B N C A MA TR N NGH CH Đ O • Tính chất 1: Nếu ma tr n A có nghịch đảo (A–1)–1 = A |A–1|= |A|–1 • Tính chất 2: Nếu hai ma tr n vng cấp A, B có ma tr n nghịch đảo thì: (AB)–1 = B–1A–1 v1.0014105206 26 NG D NG C A MA TR N NGH CH Đ O Giải phương trình ma tr n: AX = B • Trong A, B hai ma tr n cho trước, A vng khơng suy biến • Khi ma tr n phải tìm X đư c tính theo cơng th c: • Tương tự, A ma tr n vng khơng suy biến phương trình ma tr n YA = B có nghiệm nhất: X = A1B Y =B A1 v1.0014105206 27 VÍ D  2    A   2 ,  5     2    B   2   1   Giải phương trình ma tr n AX = B YA = B Gi i: Giải phương trình ma tr n AX = B  13 11    A*     2 14 10    • Ta có: A  38 • Phương trình có nghiệm là:  13 11    A 1   38    2 14 10   13 11   2   58 27 33  1          X  A 1  B  40 35    38   38        2 14 10   1  32 104 46  v1.0014105206 28 VÍ D (ti p theo) Giải phương trình ma tr n YA = B → Y = B.A–1 Phương trình có nghiệm là:  2   13 11   17 52 67  1  65 20 17  Y  B.A 1   2         1 38  2 14 10  38  36 14 10        v1.0014105206 29 CHÚ Ý Giải phương trình AX = B mà A ma tr n vuông suy biến A ma tr n hình chữ nh t: • Từ cấp c a A, B suy cấp c a X Giả sử X = (xij) • Nhân AX Cho AX = B suy hệ phương trình tuyến tính • Giải hệ phương trình suy kết lu n v1.0014105206 30 GI I QUY T TÌNH HUỐNG • L p ma tr n A ma tr n giá mặt hàng theo dòng B số lư ng mặt hàng tháng C ma tr n doanh thu tháng • Ta có: • V y doanh thu tháng c a cửa hàng là:  345 A  18 20 19  ,B   315  430   C  AB   20680 20795 340 350  330 370  425 425  21775   Tháng 1: 20.680.000 đồng  Tháng 2: 20.795.000 đồng  Tháng 3: 21.775.000 đồng v1.0014105206 31 CÂU HỎI TR C NGHI M  1 3  Cho ma tr n: A    3 1  Các phần tử dòng c 2  3     B   1 4  4  ,  3     a ma tr n AB là: A (7, –5, 1) B (7, 5, –1) C (–7, 5, –1) D (–7, –5, 1) Tr l i: • Đáp án là: A (7, –5, 1) • Giải thích: Các phần tử dịng c a ma tr n C=A.B là:  C11 = Ad1 Bc1 =  C12 =Ad1 Bc2 = –5  C13 = Ad1 Bc3 = v1.0014105206 32 CÂU HỎI TR C NGHI M  1 3  Cho ma tr n: A   4     3 1    Phần tử nằm dòng c t c a ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A là: A 1/3 B –1/3 C –2/3 D 2/3 Tr l i: • Đáp án là: C –2/3 • Giải thích: Phần tử dòng cột c a ma tr n nghịch đảo c a A có giá trị d = –12, A12 = v1.0014105206 A12 d 33 BÀI T P  3  3 3  3   Cho hai ma tr n: A   2 3  , B     5      1 Tính phần tử cột c a ma tr n AB 3 m 4 3 3 2  5  1 Gi i: Đặt C = AB Các phần tử cột c a AB C12, C22, C32 C12 = Ad1.Bc2 = ─ + ─ ─ 3m = ─3 ─ 3m C22 =Ad2 Bc2 = – + + m = + m C32 = Ad3 Bc2 = + ─15 – 5m = ─10 – 5m  3  3m     Cc2    m   10  5m    v1.0014105206 34 TĨM LƯ C CUỐI BÀI • Tích c a ma tr n A ma tr n B ma tr n cấp mp, ký hiệu AB = (cij)mp đư c xác định sau: cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj • Tồn tích AB số cột c a ma tr n đ ng trước (ma tr n A) số dòng c a ma tr n đ ng sau (ma tr n B); • Ma tr n AB có số dòng số dòng c a ma tr n A số cột số cột c a ma tr n B; • Ma tr n nghịch đảo c a ma tr n vuông A ma tr n vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: AX = XA = E • Ký hiệu Aứ1 để ma tr n nghịch đảo c a ma tr n A v1.0014105206 35 TÓM LƯ C CUỐI BÀI • •  A11  Ma tr n ph h p c a ma tr n A: A *   A12    A1n A 21  A n1  A 22  A n2       A 2n  A nn  Điều kiện cần đ để ma tr n vng A có ma tr n nghịch đảo là: d = |A| ≠ Khi ma tr n nghịch đảo c a ma tr n A đư c xác định theo cơng th c: A 1  • • A* d Phương trình ma tr n AX = B trường h p ma tr n A vuông có ma tr n nghịch đảo có nghiệm tính theo cơng th c: X = A–1B Phương trình ma tr n YA = B trường h p ma tr n A vng có ma tr n nghịch đảo có nghiệm tính theo cơng th c: Y = BAứ1 v1.0014105206 36 ... trình ma tr n v1.00141 052 06 N I DUNG Phép nhân ma tr n với ma tr n Ma tr n nghịch đảo ng d ng c a ma tr n nghịch đảo v1.00141 052 06 PHÉP NHÂN MA TR N V I MA TR N 1.1 Định nghĩa phép nhân hai ma tr... tính chất c a phép nhân • Nắm đư c định nghĩa tính chất c a ma tr n ph h p, nghịch đảo • Tính đư c ma tr n ph h p, ma tr n nghịch đảo c a ma tr n vng • Biết sử d ng ma tr n nghịch đảo việc giải... công th c tìm ma tr n nghịch đảo 2.4 Các tính chất c a ma tr n nghịch đảo v1.00141 052 06 12 2.1 KHÁI NI M MA TR N NGH CH Đ O • Đ nh nghƿa: Ma tr n nghịch đảo c a ma tr n vuông A ma tr n vuông