Ma trân nghịch đảo Matrix (đại học)

Bài 1 AX  B  X  A B §3: Ma trận nghịch đảo  Xét phương trình: a x = b b Ta có: x   b  a 1b ( a  0) a a Tương tự lập luận liệu ta có 1 AX  B  X  A B 1 A ma trận định nghĩa nào? §3: Ma trận nghịch đảo  Ta để ý: AX  B axb 1 1  a ax  a b 1  1x  a b 1 xa b 1 1  A AX  A B 1 IX A B 1 XA B Phải A1 A  I ? §3: Ma trận nghịch đảo  3.1 Định nghĩa a Đ/n: Cho ma trận A vuông cấp n Ta nói ma trận A ma trận khả nghịch tồn ma trận B cho AB=BA=En Khi đó, B gọi ma trận nghịch đảo ma trận A, kí hiệu A-1 Như vậy, A.A-1 = A-1A=En §3: Ma trận nghịch đảo  Nhận xét: (1) Ma trận đơn vị En khả nghịch (En)-1=En (2) Ma trận không  không khả nghịch .A  A    , A §3: Ma trận nghịch đảo  Nhận xét: §3: Ma trận nghịch đảo  b Tính chất: Cho A, B ma trận khả nghịch số k≠0 Khi đó, AB, kA A-1 ma trận khả nghịch 1 ( i)  AB   B 1 A1 1 (ii)  kA  A k 1 1 (iii) (A )  A 1 §3: Ma trận nghịch đảo  c Ma trận phụ hợp Cho A  [aij ] ma trận vuông cấp n Ma trận phụ hợp A, kí hiệu PA ,được định nghĩa sau:  A11 A21 An1  A  A A 12 22 n2   PA       A1n A2 n Ann  Aij phần bù đại số phần tử aij ma trận A §3: Ma trận nghịch đảo   Ví dụ1: Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau:   A11  28 A21  -29 A31  -12   A   2  A12  14 A22  -5 A32  -6  5  A13  -6 A23  13 A33   A11  PA   A12  A13 A21 A22 A23 A31     A32    A33         §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ 2: Tìm ma trận phụ hợp ma trận sau: 2 0    A  5   1  A11  PA   A12  A13 A21 A22 A23 A11  -1 A21  A31  A12  A22  -2 A32  A13  17 A23  -8 A33  A31     A32    A33       10   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 2 6 A  1  A1  det( A)   6  PA   1     6       1    3  1 16  §3: Ma trận nghịch đảo Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp a b   d b  A  PA     c d   c a   Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 2 5  5 2  1 A  A         det A       17 §3: Ma trận nghịch đảo  b Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0 -Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, ma trận [A|E] -Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển ma trận [A|E] dạng [E|B] -Khi B=A-1 18   Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1    A  0 4 1 2  19   Lời giải: 1 0  1 0    h ( 1) h    0   A | E   0   0 1 1  1 2 0  1  h2  h3   h1 3 h3 0  1  h3 ( 1)   0  0 1 1 0 2 5 2   h1  ( 2) h2   4    0 4  0 1 1  1 1  2 5   4   A   1 1 20 §3: Ma trận nghịch đảo  Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) 2) 3) 4) AX = B XA = B AXB = C AX + kB = C 21   §3: Ma trận nghịch đảo Ta có: 1) AX=B  A-1 AX=A-1B -1  EX=A B 1 XA B 1 1 2) XA  B  XAA  BA 1  XE  BA  X  BA1  A1 B 22 §3: Ma trận nghịch đảo   Ta có: 3) AXB=C  A-1 AXB=A-1C -1 -1  XBB =A CB 1  X  A CB 1 1 4) AX  kB  C  AX  (C  kB) 1 1  A AX  A (C  kB)  X  A1(C  kB) 23   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1  1  0  X        0 1   Phương trình có dạng: AX=B 1 Ta có: X  A B 24  §3: Ma trận nghịch đảo Vậy 1  X  0 0  9  8  2 2 5 1      0  1   18  16  3  25   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ 2: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1  1 1  3 X 2     2 4   0  Phương trình có dạng XA  B  C 1  X  (C  B ) A 26   §3: Ma trận nghịch đảo  1  3 Ta có A    ; C  2B      2   4  1 Với X  (C  B) A1 nên  1  3  1  3 X  ( )        2     2        1  1  1      17   26 17  13   27   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ Tìm ma trận X thỏa mãn: 2 4 2      X     2        Phương trình có dạng AXB  C 1 1  X  A CB 28   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trìnhsau:  x  2y  z  1 1  x           3 x  y  z  1   1   y    1    z    4 x  y  z   1   1 AX  B  X  A B  X     1 29   §3: Ma trận nghịch đảo Bài tập: 2 1 Cho ma trận A   đa thức f(x)  x  5x    3 Tính f(A) Tìm ma trận X thỏa mãn (5A2  A3 ) X  At Cho ma trận 1 3  7 1 2 0 A  0  ,B   2  ,C   1        1   5  4  a) Tính det(B-2C) tìm ma trận nghịch đảo A (nếu có) b) Tìm ma trận X thỏa mãn X(AB  2AC)  (B  2C) (Đề thi K55 – Đề – Đề 3) 30 [...]... A  0 1 4   0 0 1 15   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6 A  1 4  A1  det( A)  2  4 6  PA   1 2    1  4 6   2  1   2  1 2    2 3  1 16  §3: Ma trận nghịch đảo Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2 a b   d b  A  PA     c d   c a   Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 5 1  2 5 2 5 ...   0 0 38 1 0 0     38 0 1 0  0 0 1  12 §3: Ma trận nghịch đảo  Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là detA ≠0 Khi đó, 1 1 A  PA det A 13   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ:  28 29 12  1   1 A  14 5 6  38  6 13 8  14   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3  det( A)  1   A  0 1 4  0 0 1  1...§3: Ma trận nghịch đảo  3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo a Sử dụng phần phụ đại số Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì PA A  A.PA  det A.E trong đó, PA là ma trận phụ hợp của ma trận A 11  §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ:  1 2 3   28 29 12      APA   2 4 0  14 5 6   4 5 7   6 13 8  38 0 0      0 38 0   0 0 38 1 0 0     38 0 1 0  0 0 1  12 §3: Ma. ..  1 A  A       1 2  1 2 1  2 det A       17 §3: Ma trận nghịch đảo  b Phương pháp Gauss-Jordan Cho ma trận A có detA≠0 -Viết ma trận đơn vị E vào đằng sau ma trận A, được ma trận [A|E] -Sử dụng phép biến đổi sơ cấp theo hàng chuyển ma trận [A|E] về dạng [E|B] -Khi đó B=A-1 18   Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3    A  0 1 4 1 2 2  19   Lời giải: 1... kB)  X  A1(C  kB) 23   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 2 3  1 5  0 1 4  X   0 4      0 0 1  2 3  Phương trình có dạng: AX=B 1 Ta có: X  A B 24  §3: Ma trận nghịch đảo Vậy 1  X  0 0  9  8  2 2 5 1 5     1 4  0 4  0 1  2 3  18  16  3  25   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ 2: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 3  1 1... §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trìnhsau:  x  2y  z  6 1 2 1  x   6         3 x  y  2 z  1   3 1 2   y    1  4 3 5   z   5  4 x  3 y  5 z  5  1   1 AX  B  X  A B  X   2   1 29   §3: Ma trận nghịch đảo Bài tập: 2 1 2 1 Cho ma trận A   và đa thức f(x)  x  5x  1   5 3 Tính f(A) Tìm ma trận...  1 1 0 1  0 6 2 5   0 4 1 4   A  1  1 1 0 1 20 §3: Ma trận nghịch đảo  Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) 2) 3) 4) AX = B XA = B AXB = C AX + kB = C 21   §3: Ma trận nghịch đảo Ta có: 1) AX=B  A-1 AX=A-1B -1  EX=A B 1 XA B 1 1 2) XA  B  XAA  BA 1  XE  BA  X  BA1  A1 B 22 §3: Ma trận nghịch đảo   Ta có: 3) AXB=C  A-1 AXB=A-1C -1 -1  XBB =A CB 1  X  A CB... B  C 1  X  (C  2 B ) A 26   §3: Ma trận nghịch đảo  0 1 1  4 3 Ta có A    ; C  2B     2  2 1   4 5  1 Với X  (C  2 B) A1 nên  0 1 1  4 3 1  0 1  4 3 X  ( )        2 1   4 5  2 1  4 5 2 2        1 1  2 1  1 2      17  2  26 17  13  2  27   §3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ 3 Tìm ma trận X thỏa mãn: 2 4 2 7   4 8...  và đa thức f(x)  x  5x  1   5 3 Tính f(A) Tìm ma trận X thỏa mãn (5A2  A3 ) X  At 2 Cho các ma trận 1 2 3  7 7 1 2 1 0 A  0 1 2  ,B   2 3 8  ,C   1 1 3        1 3 0   0 4 5  0 1 4  a) Tính det(B-2C) và tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có) 2 b) Tìm ma trận X thỏa mãn X(AB  2AC)  (B  2C) (Đề thi K55 – Đề 1 – Đề 3) 30