Đang tải... (xem toàn văn)
Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.[r]
(1)Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo
Hướng dẫn học
Để học tốt này,sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:
Học lịch trình môn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn
Đọc tài liệu:
1 Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012
2 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê
3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục
4 Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc
5 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England
Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email
Tham khảo thông tin từ trang Web môn học
Nội dung
Phép nhân ma trận với ma trận;
Ma trận nghịch đảo;
Ứng dụng ma trận nghịch đảo
Mục tiêu
Sinh viên nắm định nghĩa phép hệ phương trình Cramer
(2)Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo
Tình dẫn nhập
Tính doanh thu cửa hàng
Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên gạo Tám Thái Lan với giá tương ứng 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg 19.000 đồng/1kg Trong tháng đầu năm, cửa hàng bán số lượng cụ thể sau:
Đơn vị: kg
Tháng Loại gạo
1 2 3
Bắc Hương 345 340 350
Tám Điện Biên 315 330 370
Tám Thái Lan 430 425 425
(3)Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo
5.1 Phép nhân ma trận với ma trận 5.1.1 Định nghĩa phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận:
11 12 1p
11 12 1n
21 22 2p
21 22 2n
n1 n2 np
m1 m1 mn
b b a a a a
b b a a a a
A = , B =
b b a a a a
Trong ma trận A có số cột số dòng ma trận B
Định nghĩa: Tích ma trận A ma trận B ma trận cấp m×p, ký hiệu AB xác định sau
11 12 1p
21 22 2p
m1 m2 mp
c c c c c c AB =
c c c
Trong đó:
cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p)
Để thực phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa bạn cần lưu ý điểm sau đây:
Tồn tích AB số cột ma trận đứng trước (ma trận A) số dòng ma trận đứng sau (ma trận B);
Cấp ma trận AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dịng số dịng ma trận A số cột số cột ma trận B
Tính phân tử ma trận AB; Phần tử cij thuộc dòng i cột j ma trận AB tích dịng thứ i ma trận A với cột thứ j ma trận B theo quy tắc nhân dòng với cột sau:
1
1 n 1 2 n n
y y
[x x x ] = x y + x y + + x y
(4)Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo Ma trận AB ma trận cấp 3×4:
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34
c c c c AB = c c c c c c c c
Để tính phần tử thuộc dịng thứ AB ta lấy dòng thứ A nhân với cột B theo quy tắc nhân dòng với cột:
11
0
c = = 3.0 + 1.1 + ( 2).( 5) = 11 12
c = 3 = 3.2 + 1.3 + ( 2).( 1) = 11 13
c = = 3.( 5) + 1.0 + ( 2).4 = 23 14
c = = 3.1 + 1.( 1) + ( 2).1 =
Để tính phần tử thuộc dịng thứ hai AB ta lấy dòng thứ hai A nhân với cột B:
21 22 23 24
c = 2.0 + 5.1 + 4.( 5) = 15 c = 2.2 + 5.3 + 4.( 1) = 15 c = 2.( 5) + 5.0 + 4.4 = c = 2.1 + 5.( 1) + 4.1 =
Để tính phần tử thuộc dịng thứ ba AB ta lấy dòng thứ ba A nhân với cột B
31 32 33 34
c = ( 1).0 + 0.1 + ( 3).( 5) = 15 c = ( 1).2 + 0.3 + ( 3).( 1) = c = ( 1).( 5) + 0.0 + ( 3).4 = c = ( 1).1 + 0.( 1) + ( 3).1=
Kết là:
11 11 23 AB = 15 15 15
(5)Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo
Ví dụ 2: Cho ma trận:
2 1 A = , B =
Hai ma trận cho hai ma trận vuông cấp Theo quy tắc nhân ma trận AB BA có nghĩa hai tích ma trận vng cấp Bạn tự tính tốn phần tử ma trận tích đối chiếu với kết sau đây:
3 13 15
AB = 66 , BA = 66 41
19 36 5
Chú ý: Trong phạm vi ma trận vng cấp ta nhân hai ma trận tích hai ma trận vuông cấp n ma trận vuông cấp n Tuy nhiên, phạm vi ma trân vuông cấp phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn (ví dụ trường hợp AB ≠ BA)
5.1.2 Các tính chất phép nhân hai ma trận
Phép nhân ma trận với ma trận có tính chất sau Chúng tơi bỏ qua phần chứng minh Bạn cần đọc kỹđể hiểu xác nội dung tính chất
(1) Tính chất kết hợp:
(AB)C = A(BC)
Trong A, B, C ba ma trận thỏa mãn điều kiện: số cột A số dòng B số cột B số dòng C Do phép nhân có tính chất kết hợp, viết tích ba nhiều ma trận ta bỏ dấu ngoặc
(2) Tính chất phân phối phép nhân hai ma trận phép cộng: A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD
Trong B C hai ma trận cấp có số dòng số cột ma trận A số cột số dòng ma trận D
(3) Với A, B hai ma trận cho tích AB có nghĩa α số ta ln có: α(AB) = (αA)B = A(αB)
(6)Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo
Chú ý:
Tính chất thứ sáu mở rộng cho tích số hữu hạn ma trận vuông cấp:
1 n n
A A A = A A A
Đối với ma trận vng, ta sử dụng ký hiệu lũy thừa nguyên dương sau: A2 = AA, A3 = AAA, An = AA…A (n lần)
Từ tính chất suy ra:
n n
A = A
5.2 Ma trận nghịch đảo
5.2.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo
Như ta biết, tập hợp tất số thực số giữ vai trò phần tử trung hòa phép nhân (a.1 = a, a R) gọi sốđơn vị Trong tập hợp tất ma trận vuông cấp, ma trận đơn vị E có vai trị tương tự:
AE = EA = A
Trong số học, số nghịch đảo số thực a ≠ số thực a–1 thỏa mãn điều kiện a.a–1 = Khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cũng được định nghĩa tương tự
Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ma trận vuông X
(cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện: AX = XA = E
Chú ý khái niệm ma trận nghịch đảo áp dụng cho ma trận vuông
Từđịnh nghĩa ta suy ma trận vng A có ma trận nghịch đảo có ma trận nghịch đảo
Thật vậy, giả sử X Y ma trận nghịch đảo ma trận A, tức là: AX = XA = E AY = YA = E
Khi ta có:
X(AY) = XE = X (XA)Y = EY = Y
Do phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức suy X = Y Như vậy, ma trận vng A có ma trận nghịch đảo ma trận nghịch đảo xác định Ta dùng ký hiệu A–1để ma trận nghịch đảo ma trận A Theo định nghĩa ta có:
AA–1 = A–1A = E
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo ta cịn nói A ma trận không suy biến
5.2.2 Ma trận phụ hợp ma trận vuông
(7)Bài 5: Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo
11 12 1n 21 22 2n
n1 n2 nn
a a a a a a A=
a a a
là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A*, có phần tử thuộc dịng i cột j phần bù đại số phần tử aji ma trận A:
11 21 n1
12 22 n2
* * ij n x n
1n 2n nn
A A A A A A A = a =
A A A
(5.1)
Để lập ma trận phụ hợp A* ma trận vuông A ta phải tính phần bù đại số Aij tất phần tử aij xếp Aij vào dòng j, cột i A*
Ví dụ: Lập ma trận phụ hợp ma trận
3 2 A =
Giải: Trước hết ta tính phần bù đại số tất các phần tử
11 12 13
2 5
A = + = 26, A = = 33, A = + =
6 7
21 22 23
2 3
A = = 16, A = + = 20, A = =
6 7
31 32 33
2 3
A = = 14, A = = 17, A = + =
2 5
Ma trận phụ hợp ma trận A là:
11 21 31 *
12 22 32 13 23 33
A A A 26 16 14 A = A A A = 33 20 17
A A A 4