Tích Phân Toán Đại Học

Chương 2: Tích phân Trần Minh Toàn (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2013 (1) Email: toantm24@gmail.com T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 1/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Nội dung Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng Ứng dụng tích phân xác định T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 2/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Khái niệm tính chất Định nghĩa 1.1 Ta gọi F (x) nguyên hàm f (x) F (x) = f (x) Mọi nguyên hàm f (x) có dạng F (x) + C (C − const) Tập hợp tất nguyên hàm f (x), gọi tích phân bất định, ký hiệu f (x)dx = F (x) + C (C − const) Tích phân bất định có tính chất sau d Đạo hàm f (x)dx = f (x) vi phân d dx af (x)dx = a f (x)dx (a − const); [f (x) ± g(x)] dx = Nếu f (x)dx ± f (x)dx = F (x) + C T.M Toàn (SAMI-HUST) f (x)dx = f (x)dx; g(x)dx; f (u)du = F (u) + C Chương 2: Tích phân Hà Nội, 3/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Khái niệm tính chất Định nghĩa 1.1 Ta gọi F (x) nguyên hàm f (x) F (x) = f (x) Mọi nguyên hàm f (x) có dạng F (x) + C (C − const) Tập hợp tất nguyên hàm f (x), gọi tích phân bất định, ký hiệu f (x)dx = F (x) + C (C − const) Tích phân bất định có tính chất sau d Đạo hàm f (x)dx = f (x) vi phân d dx af (x)dx = a f (x)dx (a − const); [f (x) ± g(x)] dx = Nếu f (x)dx ± f (x)dx = F (x) + C T.M Toàn (SAMI-HUST) f (x)dx = f (x)dx; g(x)dx; f (u)du = F (u) + C Chương 2: Tích phân Hà Nội, 3/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Khái niệm tính chất Định nghĩa 1.1 Ta gọi F (x) nguyên hàm f (x) F (x) = f (x) Mọi nguyên hàm f (x) có dạng F (x) + C (C − const) Tập hợp tất nguyên hàm f (x), gọi tích phân bất định, ký hiệu f (x)dx = F (x) + C (C − const) Tích phân bất định có tính chất sau d Đạo hàm f (x)dx = f (x) vi phân d dx af (x)dx = a f (x)dx (a − const); [f (x) ± g(x)] dx = Nếu f (x)dx ± f (x)dx = F (x) + C T.M Toàn (SAMI-HUST) f (x)dx = f (x)dx; g(x)dx; f (u)du = F (u) + C Chương 2: Tích phân Hà Nội, 3/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Khái niệm tính chất Định nghĩa 1.1 Ta gọi F (x) nguyên hàm f (x) F (x) = f (x) Mọi nguyên hàm f (x) có dạng F (x) + C (C − const) Tập hợp tất nguyên hàm f (x), gọi tích phân bất định, ký hiệu f (x)dx = F (x) + C (C − const) Tích phân bất định có tính chất sau d Đạo hàm f (x)dx = f (x) vi phân d dx af (x)dx = a f (x)dx (a − const); [f (x) ± g(x)] dx = Nếu f (x)dx ± f (x)dx = F (x) + C T.M Toàn (SAMI-HUST) f (x)dx = f (x)dx; g(x)dx; f (u)du = F (u) + C Chương 2: Tích phân Hà Nội, 3/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Khái niệm tính chất Định nghĩa 1.1 Ta gọi F (x) nguyên hàm f (x) F (x) = f (x) Mọi nguyên hàm f (x) có dạng F (x) + C (C − const) Tập hợp tất nguyên hàm f (x), gọi tích phân bất định, ký hiệu f (x)dx = F (x) + C (C − const) Tích phân bất định có tính chất sau d Đạo hàm f (x)dx = f (x) vi phân d dx af (x)dx = a f (x)dx (a − const); [f (x) ± g(x)] dx = Nếu f (x)dx ± f (x)dx = F (x) + C T.M Toàn (SAMI-HUST) f (x)dx = f (x)dx; g(x)dx; f (u)du = F (u) + C Chương 2: Tích phân Hà Nội, 3/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Một số tích phân bất định 0dx = C; adx = ax + C (a − const) xα+1 + C, (α = −1) α+1 ax dx = ln |x| + C; ax dx = + C (a > 0, a = 1) x ln a eax dx = eax + C (a = 0); a cos bxdx = sin bx + C (b = 0) b dx sin bxdx = − cos bx + C; = tan x + C b cos2 x dx dx x +C = − cotan x + C; = ln tan sin x sin2 x dx x π = ln tan + + C; cos x xα dx = T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 4/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Một số tích phân bất định (tiếp) a+x dx = +C ln a2 − x2 2a a−x dx x x dx √ = arctan + C; = arcsin + C x2 + a2 a a a a2 − x2 √ dx √ = ln x + x2 + b + C x2 + b √ x x√ a2 a2 − x2 dx = a − x2 + arcsin + C 2 a √ √ x√ b x + bdx = x + b + ln x + x2 + b + C 2 T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 5/64 tháng năm 2013 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định Phương pháp phân tích Dựa vào phép biến đổi đại số để đưa f (x) dạng tổng hàm sơ cấp đơn giản mà nguyên hàm chúng có sẵn T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 6/64 tháng năm 2013 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng Đường cong toạ độ Descarter Diện tích hình thang cong giới hạn đường b |f (x)| dx y = f (x), y = 0, x = a, x = b tính công thức S = a Trường hợp hình phẳng giới hạn đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b: b |f (x) − g(x)| dx S= a Trường hợp hình phẳng giới hạn đường x = α(y), x = β(y), y = c, y = d: d |α(y) − β(y)| dy S= c T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 57/64 tháng năm 2013 57 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân , y = 0, x = 1, x = x Hà Nội, 58/64 tháng năm 2013 58 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x(x − 1)(x − 2) trục Ox Ta có I= f (x)dx + T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân (−f (x))dx = Hà Nội, 59/64 tháng năm 2013 59 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng Đường cong cho dạng tham số Trường hợp đường cong cho dạng tham số x y = x(t) , α ≤ t ≤ β ta có = y(t) β S= y(t)x (t) dt α Ví dụ Tính diện tích hình giới hạn đường cong (ellipse) x = a cos t, y = b sin t, ≤ t ≤ 2π (a, b > 0) Ta có 2π |b sin t (−a sin t)| dt = πab S= T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 60/64 tháng năm 2013 60 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích hình phẳng Đường cong cho dạng tham số Trường hợp đường cong cho dạng tham số x y = x(t) , α ≤ t ≤ β ta có = y(t) β S= y(t)x (t) dt α Ví dụ Tính diện tích hình giới hạn đường cong (ellipse) x = a cos t, y = b sin t, ≤ t ≤ 2π (a, b > 0) Ta có 2π |b sin t (−a sin t)| dt = πab S= T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 60/64 tháng năm 2013 60 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính thể tích Thể tích vật thể có thiết diện thẳng góc với Ox với diện tích S(x), a ≤ x ≤ b: b V = S(x)dx a Tương tự, vật thể có thiết diện thẳng góc với Oy với diện tích S(y), c ≤ y ≤ d: d V = S(y)dy c T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 61/64 tháng năm 2013 61 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính thể tích Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình giới hạn y = y(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Ox b [y(x)]2 dx V =π a Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình giới hạn x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy d [x(y)]2 dy V =π c Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay y = y(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Oy tính theo công thức b V = 2π xy(x)dx a T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 62/64 tháng năm 2013 62 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính thể tích Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình giới hạn y = y(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Ox b [y(x)]2 dx V =π a Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình giới hạn x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy d [x(y)]2 dy V =π c Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay y = y(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Oy tính theo công thức b V = 2π xy(x)dx a T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 62/64 tháng năm 2013 62 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính thể tích Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình giới hạn y = y(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Ox b [y(x)]2 dx V =π a Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình giới hạn x = x(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy d [x(y)]2 dy V =π c Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay y = y(x), y = 0, x = a, x = b quanh trục Oy tính theo công thức b V = 2π xy(x)dx a T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 62/64 tháng năm 2013 62 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích mặt tròn xoay Diện tích mặt tròn xoay tạo quay y = y(x), a ≤ x ≤ b quanh trục Ox: b + [y (x)]2 dx |y(x)| S = 2π a Diện tích mặt tròn xoay tạo quay x = x(y), c ≤ y ≤ d quanh trục Oy: b |x(y)| S = 2π + [x (y)]2 dy a Trường hợp đường cong cho dạng tham số x y = x(t) , α ≤ t ≤ β quay = y(t) quanh trục Ox: β |y(t)| S = 2π [x (t)]2 + [y (t)]2 dt α β Nếu quay quanh trục Oy : S = 2π T.M Toàn (SAMI-HUST) α Chương 2: Tích phân |x(t)| [x (t)]2 + [y (t)]2 dt Hà Nội, 63/64 tháng năm 2013 63 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích mặt tròn xoay Diện tích mặt tròn xoay tạo quay y = y(x), a ≤ x ≤ b quanh trục Ox: b + [y (x)]2 dx |y(x)| S = 2π a Diện tích mặt tròn xoay tạo quay x = x(y), c ≤ y ≤ d quanh trục Oy: b |x(y)| S = 2π + [x (y)]2 dy a Trường hợp đường cong cho dạng tham số x y = x(t) , α ≤ t ≤ β quay = y(t) quanh trục Ox: β |y(t)| S = 2π [x (t)]2 + [y (t)]2 dt α β Nếu quay quanh trục Oy : S = 2π T.M Toàn (SAMI-HUST) α Chương 2: Tích phân |x(t)| [x (t)]2 + [y (t)]2 dt Hà Nội, 63/64 tháng năm 2013 63 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính diện tích mặt tròn xoay Diện tích mặt tròn xoay tạo quay y = y(x), a ≤ x ≤ b quanh trục Ox: b + [y (x)]2 dx |y(x)| S = 2π a Diện tích mặt tròn xoay tạo quay x = x(y), c ≤ y ≤ d quanh trục Oy: b |x(y)| S = 2π + [x (y)]2 dy a Trường hợp đường cong cho dạng tham số x y = x(t) , α ≤ t ≤ β quay = y(t) quanh trục Ox: β |y(t)| S = 2π [x (t)]2 + [y (t)]2 dt α β Nếu quay quanh trục Oy : S = 2π T.M Toàn (SAMI-HUST) α Chương 2: Tích phân |x(t)| [x (t)]2 + [y (t)]2 dt Hà Nội, 63/64 tháng năm 2013 63 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính độ dài cung Giả sử cung AB xác định phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b, đồng thời y (x) liên tục [a, b] Khi ta có b + [y (x)]2 dx = a Trường hợp đường cong cho dạng tham số x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β ta có β [x (t)]2 + [y (t)]2 dt = α Trường hợp đường cong toạ độ cực: r = r (ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β: β [r (ϕ)]2 + [r (ϕ)]2 dϕ = α T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 64/64 tháng năm 2013 64 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính độ dài cung Giả sử cung AB xác định phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b, đồng thời y (x) liên tục [a, b] Khi ta có b + [y (x)]2 dx = a Trường hợp đường cong cho dạng tham số x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β ta có β [x (t)]2 + [y (t)]2 dt = α Trường hợp đường cong toạ độ cực: r = r (ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β: β [r (ϕ)]2 + [r (ϕ)]2 dϕ = α T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 64/64 tháng năm 2013 64 / 64 Ứng dụng tích phân xác định Ứng dụng tích phân xác định Tính độ dài cung Giả sử cung AB xác định phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b, đồng thời y (x) liên tục [a, b] Khi ta có b + [y (x)]2 dx = a Trường hợp đường cong cho dạng tham số x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β ta có β [x (t)]2 + [y (t)]2 dt = α Trường hợp đường cong toạ độ cực: r = r (ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β: β [r (ϕ)]2 + [r (ϕ)]2 dϕ = α T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 64/64 tháng năm 2013 64 / 64 [...]... Tích phân xác định Nội dung 1 Tích phân bất định 2 Tích phân xác định 3 Tích phân suy rộng 4 Ứng dụng của tích phân xác định T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 21/64 tháng 8 năm 2013 21 / 64 Tích phân xác định Tích phân xác định Tính diện tích hình thang cong T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 22/64 tháng 8 năm 2013 22 / 64 Tích phân xác định Tích phân xác định Tính diện tích. .. arctan +C 4 8 3 Chương 2: Tích phân Hà Nội, 8/64 tháng 8 năm 2013 8 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định 3 Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là các hàm khả vi thì ta có udv = uv − T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân vdu Hà Nội, 9/64 tháng 8 năm 2013 9 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định Chú ý 1.1... diện tích của hình thang cong giới hạn bởi 0 ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤ b là n f (xi ) ∆xi , λ = max ∆xi S = lim λ→0 i=1 T.M Toàn (SAMI-HUST) i=1,n Chương 2: Tích phân Hà Nội, 23/64 tháng 8 năm 2013 23 / 64 Tích phân xác định Tích phân xác định Định nghĩa tích phân xác định T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 24/64 tháng 8 năm 2013 24 / 64 Tích phân xác định Tích phân xác định Định nghĩa tích phân. .. của x, được hệ để tìm chúng Tích phân hai vế đẳng thức cuối cùng ta được kết quả T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 14/64 tháng 8 năm 2013 14 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định 4 Tích phân hàm hữu tỷ Phân tích Qm (x) =bo (x − a)(x − b)α (x2 + p1 x + q1 )× × (x2 + p2 x + q2 )β , p2i − 4qi < 0, ∀i ≥ 1 Phân tích Pn (x) = Qm (x) = + A B1... thì gọi là phân thức hữu tỷ thực sự Qm (x) Để tính Pn (x) dx, Qm (x) T.M Toàn (SAMI-HUST) n < m ta tiến hành như sau Chương 2: Tích phân Hà Nội, 13/64 tháng 8 năm 2013 13 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định 4 Tích phân hàm hữu tỷ Phân tích Qm (x) =bo (x − a)(x − b)α (x2 + p1 x + q1 )× × (x2 + p2 x + q2 )β , p2i − 4qi < 0, ∀i ≥ 1 Phân tích Pn (x)... Lập tổng tích phân σ = f (ξi ) ∆xi i=1 Nếu lim σ = I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn các điểm ξi thì λ→0 b I được gọi là tích phân xác định của hàm f (x) trên [a, b] và ký hiệu là f (x)dx Khi a đó ta cũng nói f (x) khả tích trên [a, b] T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 25/64 tháng 8 năm 2013 25 / 64 Tích phân xác định Tích phân xác định Định nghĩa tích phân xác... Lập tổng tích phân σ = f (ξi ) ∆xi i=1 Nếu lim σ = I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn các điểm ξi thì λ→0 b I được gọi là tích phân xác định của hàm f (x) trên [a, b] và ký hiệu là f (x)dx Khi a đó ta cũng nói f (x) khả tích trên [a, b] T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 25/64 tháng 8 năm 2013 25 / 64 Tích phân xác định Tích phân xác định Định nghĩa tích phân xác... cos x2 , sin x2 , T.M Toàn (SAMI-HUST) ex cos x sin x 1 , , , , x x x ln x Chương 2: Tích phân 1 1 − x3 , √ 1 − x3 Hà Nội, 19/64 tháng 8 năm 2013 19 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định 5 Tích phân một số hàm vô tỷ (tiếp) Ta có thể dùng phép thế Euler để đưa về dạng tích phân hữu tỷ √ √ Nếu a > 0, đặt ax2 + bx + c = t ± x a; √ √ Nếu c > 0, đặt ax2 + bx +... + 2x + 3)2 (x + 1) x+2 1 x+1 ln |x + 1| − − √ arctan √ + C 2 (x2 + 2x + 3) 2 2 2 T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 15/64 tháng 8 năm 2013 15 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định 5 Tích phân hàm lượng giác Giả sử cần tính tích phân I = R (sin x, cos x) dx, trong đó R (sin x, cos x) là hàm hữu tỷ đối với các biến sin x, cos x x Thực hiện phép... với sin x thì đặt t = cos x; Nếu R (sin x, cos x) lẻ đối với cos x thì đặt t = sin x T.M Toàn (SAMI-HUST) Chương 2: Tích phân Hà Nội, 16/64 tháng 8 năm 2013 16 / 64 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân bất định 5 Tích phân hàm lượng giác Giả sử cần tính tích phân I = R (sin x, cos x) dx, trong đó R (sin x, cos x) là hàm hữu tỷ đối với các biến sin x, cos x x Thực hiện phép