Sử dụng ma trận nghịch đảo dùng để xử lí, mã hóa thông tin...9B: ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH...12I.. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH...121.. Ứng dụng hệ phương trì
lOMoARcPSD|39270902 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA : KHOA HỌC CƠ BẢN - * - BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 MỘT SỐ ỨNG DỤNG MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NHÓM 3 SINH VIÊN THỰC HIỆN: ĐÀO MẠNH HÙNG 2021605137 2021602598 MAI TRUNG HIẾU 2021608767 2022600004 NGUYỄN MINH HIẾU 2020605142 2021608761 NGUYỄN MINH HIẾU 2021601883 2021606041 PHAN ĐỨC HIẾU 2021608845 2021601449 TRẦN TRUNG HIẾU LƯƠNG XUÂN HOÀNG NGUYỄN HUY HOÀNG NGUYỄN NGỌC HUÂN NGUYỄN MẠNH HÙNG Mã Lớp : 20224BS6001014 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : NGUYỄN THỊ QUỲNH Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Hà Nội, ngày 01 tháng 08 năm 2023 2 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Tiêu chí Sự Đưa Giao tiếp và Tổ Hoàn Tổng điểm nhiệt ra ý phối hợp tốt chức thành được đánh Tên Thành Viên tình kiến và công giá bởi A tham và ý với thành hướng việc cho từng MAI TRUNG HIẾU gia tưởng viên khác dẫn cả hiệu thành viên 2021602598 công làm cùng giải nhóm quả việc bài quyết vấn (TĐA) NGUYỄN MINH HIẾU đề chung 2021608767 NGUYỄN MINH HIẾU 2022600004 PHAN ĐỨC HIẾU 2020605142 TRẦN TRUNG HIẾU 2021608761 LƯƠNG XUÂN HOÀNG 2021601883 NGUYỄN HUY HOÀNG 2021606041 NGUYỄN NGỌC HUÂN 2021608845 ĐÀO MẠNH HÙNG 2021605137 NGUYỄN MẠNH HÙNG 2021601449 3 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA CÁC THÀNH VIÊN VÀ QUY ĐỔI RA HỆ SỐ CÁ NHÂN Tên thành viên TĐ = Tổng điểm Điểm trung bình Hệ số cá nhân (dựa được đánh giá bởi = TĐ/(5 x số vào bảng quy đổi) tất cả các thành thành viên) viên trong nhóm MAI TRUNG HIẾU 2021602598 NGUYỄN MINH HIẾU 2021608767 NGUYỄN MINH HIẾU 2022600004 PHAN ĐỨC HIẾU 2020605142 TRẦN TRUNG HIẾU 2021608761 LƯƠNG XUÂN HOÀNG 2021601883 NGUYỄN HUY HOÀNG 2021606041 NGUYỄN NGỌC HUÂN 2021608845 ĐÀO MẠNH HÙNG 2021605137 NGUYỄN MẠNH HÙNG 2021601449 MỤC LỤC Phần 1: MỞ ĐẦU 5 Phần 2 : NỘI DUNG 6 A:Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 6 I GIỚI THIỆU MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO .6 1 Khái niệm 6 2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 6 4 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 6 1 Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải bài toán ma trận 6 2 Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải các bài toán thực tế 7 3 Sử dụng ma trận nghịch đảo dùng để xử lí, mã hóa thông tin 9 B: ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 12 I Khái niệm chung: 12 II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 12 1 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế 12 2 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong hình học và hóa học 13 Phần 3: KẾT LUẬN 16 5 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Phần 1: MỞ ĐẦU Đối với đa số chúng ta thì cụm từ “Đại số tuyến tính” đã không còn xa lạ gì Nhìn chung, chúng ta có thể hiểu đây là một loại toán được dùng để làm việc với các vấn đề tuyến tính, chẳng hạn như hàm tuyến tính hay biểu diến tuyến tính bằng ma trận và không gian vector Đại số tuyến tính đã góp phần lớn trong các ứng dụng của đời sống Có lẽ chúng ta đã được học cách tính toán và cách thể hiện những ma trận, những hàm tuyến tính thông qua bài tập, hoặc đã tìm thấy chúng trong sách Tuy nhiên, vấn đề là chúng sẽ được sử dụng để làm gì trong công việc và cuộc sống của chúng ta Trong bài viết này, chúng ta sẽ tham khảo một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 6 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Phần 2 : NỘI DUNG A:Ứng dụng của ma trận nghịch đảo I GIỚI THIỆU MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1 Khái niệm Cho A là ma trận vuông cấp n Nghịch đảo của ma trận A (nếu tồn tại) là một ma trận vuông cấp n được ký hiệu là A 1 , sao cho: A.A-1= A-1.A =In Khi đó ta nói rằng ma trận A là khả đảo 2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Bước 1: Tính det (A), Nếu det (A) = 0 thì kết luận không tồn tại ma trận nghịch đảo A Nếu det (A) 0 thì chuyển sang bước 2 Bước 2: Tìm A Bước 3: Tìm ma trận nghịch đảo theo công thức: -1 1 * A= .A det(A) Bước 4: Tính các dạng toán X A 1 B hoặc X B A 1 II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1 Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải bài toán ma trận Câu 1 Giải phương trình ma trận X= Có = Câu 2 Giải phương trình ma trận X = Giải Ta có: X = = = Bài toán 2: Tìm ma trận X thỏa mãn AX=B Ta có: AX=B AX=B IX=B X= B 7 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn X= Phương trình có dạng AX=B Ta có: X= B X= = 2 Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải các bài toán thực tế Bài toán 1: Công ty có 2 cửa hàng, bán 4 mặt hàng M1, M2, M3, M4 với đơn giá 10;20;30;40 ( ngàn đồng/ cái) doanh số tháng 1/2021: M1, M2, M3 , M4 A= Doanh số tháng 2/2021 B= Tính doanh thu và tổng doanh số của 2 cửa hàng trong 2 tháng? Giải: Tổng doanh thu số tháng 1 và 2 là A+B = + = ( cộng 2 ma trận) Doanh thu của 2 của hàng tháng 1/2021 là: C= A x = x = ( nhân 2 ma trận) Vậy doanhh thu của cửa hàng 1 trong tháng 1/2021 là 2.250.000 đồng Doanh thu của của hàng 2 reong tháng 1/2021 là 3.250.000 đồng Doanh thu của 2 của hàng trong 1/2021 là: D = B x = x = ( nhân 2 ma trận) Vậy doanh thu của cửa hàng 1 trong tháng 1/2021 là 1.620.000 đồng doanh thu của cửa hàng 2 trong tháng 1/2021 là 2.240.000 đồng 8 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Bài toán 2: Một nhóm cùng đi du lich khi đi bằng tàu lửa chi phí là 1.000.000 đồng dành cho trẻ em và 2.000.000 đồng dành cho người lớn thì tổng chi phí là 39 triệu Khi về họ đi bằng máy bay với chi phí 4.000.000/ trẻ em và 7.000.000/ người lớn thì tổng chi phí là 141.000.000 đồng Sử dụng ma trận nghịch đâor hãy tìm số lượng trẻ em và số lượng người lớn trong nhóm đó? Giải: Gọi a là lượng tre em trong nhóm, b là lượng người lớn trong nhóm Theo giả thiết bài toán, ta có phương trình sau : = Suy ra : = x = x = Vậy nhóm trên có 9 trẻ em và 15 người lớn 3 Sử dụng ma trận nghịch đảo dùng để xử lí, mã hóa thông tin Bài toán 1: Cho ma trận A= và một số tương ứng giữa các kí tự và dãy số sau: -17 -9 1 2 3 4 5 7 27 1 T K H U A T I M Giáo viên muốn gửi thông tin cho sinh viên nhưng cô giáo đã dùng bảng mật mã trên để chuyển dòng mật mã này thành một dãy số và viết thành ma trận B theo nguyên tắc từ trái sang phải, mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B sao cho sau khi tính C = B*A và chuyển C về dãy số thì được dãy 13 1 16 14 -1 19 12 8 -5 Hãy giải thích dòng trên Giải: Tồn tại A-1 101 Det A= 2 1 2 =1 # 0 => 1 -1 2 Ta có: C = B.A => B = C.A-1 9 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Do A có cấp 3.3 nên A-1 cũng có cấp 3.3 mà để phép nhân thực hiện được thì số cột của C bằng số dòng của A-1 nên C có 3 dòng mà C có 9 phần tử nên C có 3 cột 13 1 16 => C = 14 -4 19 và A-1 = A* 12 8 -5 4 -1 -1 => A* = -2 1 0 -3 1 1 243 => B = C.A* = 7 1 5 47 -9 -17 => Dãy B 2 4 3 7 1 5 47 -9 -17 H A U I K T MT 1 Vậy thông tin của dòng trên là HAUIKTMT1 1:Cho ma trận A= và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số như sau: 10 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảm bảo bí mật, anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyển tin nhắn của mình thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B Theo nguyên tắc: Lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D=BA và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy 1 2 1 2 0 3 3 1 4 Hãy giải mã thông tin trên Giải D=B.A mà 33 => D có 3 cột, mà dãy số có 9 phần tử suy ra mỗi cột D có 3 phần tử => D cỡ 33 D= ; A= => det (A) = 40 + 6 -15 - 32 = -1 Tương tự => => B=D B= -9 4 2 -65 26 15 -87 35 20 T O N H O C A U ! 11 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 B: ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Khái niệm chung: 1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số có dạng: trong đó: ; – hệ số (của ẩn) ; – hệ số tự do II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế Ví dụ 1: Thị trường có 3 loại hàng hóa Hàm cung và hàm cầu của 3 loại hàng hóa trên là Qs1 = 18p1 – p2 - p3 - 45, QD1 = - 6p1 + 2p2 +130 Qs2 = -p1 + 13p2 – p3 – 10, QD2 = 2P1 – 7P2 + p3 + 220 Qs3 = -p1 – p2 +10p3 -15, QD3 = 3p2 – 5P3 + 215 Tìm giá trị tại điểm cân bằng thị trường Giải Xét hệ: Vậy giá tại điểm căn bằng là (10, 15, 20) Ví dụ 2: Xác định giá và lượng cân bằng của thị trường hai hàng hóa, cho biết hàm cung và hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau Hàng hóa 1 Qs1 = -2 + 4p1 , QD1 = 18 – 3p1 + p2 Hàng hóa 2 Qs2 = -2 + 3p2 , QD2 = 12 + p1 – 2p2 Giải 12 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Hệ phương trình cân bằng thị trường: Theo quy tắc cremer: 2 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong hình học và hóa học Ví dụ 1: Cân Bằng PT Hóa học Để cân bằng phương trình hóa học trên, ta xét: ( Đối với mỗi loại nguyên tử, ta cân bằng số lượng nguyên tử ở hai vế của phương trình, ta được: Từ đây, ta thu được hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Giải hệ trên ta được các nghiệm: ( Giá trị t nhỏ nhất để các ẩn nhận các giá trị nguyên dương là 3, khi đó: Phương trình hóa học cần tìm là: 13 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 VD2: Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợp chất hóa học nào đó A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g/cm với dung dịch chứa B vớitỉ lệ 3.6 g/cm và dung dịch chứa C với tỉ lệ 5.3 g/cm thì tạo ra 25.07 g hợp chất hóa học đó Nếu tỉ lệ của A, B, C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2.5, 4.3 và 2.4 g/cm (trong khi thể tích là giống nhau), khi đó 22.36 g chất hóa học sẽ được tạo ra Cuối cùng, nếu tỉ lệ tương ứng là 2.7, 5.5 và 3.2 g/cm, thì sẽ tạo ra 28.14 g hợp chất Thể tích của dung dịch chứa A, B và C là bao nhiêu? Biến đổi ma trận trên cho ta nghiệm là x =1,5; y =3,1; z = 2,2 14 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Phần 3: KẾT LUẬN Qua phần báo cáo đã được trình bày như trên, chúng ta đã biết cách tìm ra giải pháp chung của một hệ phương trình tuyến tính, giải quyết hệ phương trình tuyến tính: khử Gauss và quy tắc Cramer Chúng ta nói về trường hợp khó khăn và những cách khác của việc tìm kiếm giải pháp, có thể hiểu được về ứng dụng của đại số tuyến tính trong cuộc sống thực tiễn Thông qua đại số tuyến tính chúng ta có thể giải quyết được một số bài toán thực tế cũng như giải quyết được những công việc tưởng như là phức tạp trong đời sống thường ngày, ví dụ như áp dụng ma trận nghịch đảo để mã hóa dữ liệu, tính toán số người, xử lý các phương trình hóa học phức tạp bằng phương pháp Gauss và ứng dụng phương trình tuyến tính trong sản xuất và kinh tế 15 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com)