Một số ứng dụng ma trận nghịch đảo và ứng dụng hệ phương trình tuyến tính

Sử dụng ma trận nghịch đảo dùng để xử lí, mã hóa thông tin...9B: ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH...12I.. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH...121.. Ứng dụng hệ phương trì

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA : KHOA HỌC CƠ BẢN

*

-BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 MỘT SỐ ỨNG DỤNG MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NHÓM 3 SINH VIÊN THỰC HIỆN: ĐÀO MẠNH HÙNG 2021605137

MAI TRUNG HIẾU 2021602598

NGUYỄN MINH HIẾU 2021608767

NGUYỄN MINH HIẾU 2022600004

PHAN ĐỨC HIẾU 2020605142

TRẦN TRUNG HIẾU 2021608761

LƯƠNG XUÂN HOÀNG 2021601883

NGUYỄN HUY HOÀNG 2021606041

NGUYỄN NGỌC HUÂN 2021608845

NGUYỄN MẠNH HÙNG 2021601449

Mã Lớp : 20224BS6001014 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : NGUYỄN THỊ QUỲNH

Hà Nội, ngày 01 tháng 08 năm 2023

Tiêu chí

Tên Thành Viên

Sự nhiệt tình tham gia công việc

Đưa

ra ý kiến

và ý tưởng làm bài

Giao tiếp và phối hợp tốt với thành viên khác cùng giải quyết vấn

đề chung

Tổ chức và hướng dẫn cả nhóm

Hoàn thành công việc hiệu quả

Tổng điểm được đánh giá bởi A cho từng thành viên (TĐA)

MAI TRUNG HIẾU

2021602598

NGUYỄN MINH HIẾU

2021608767

NGUYỄN MINH HIẾU

2022600004

PHAN ĐỨC HIẾU

2020605142

TRẦN TRUNG HIẾU

2021608761

LƯƠNG XUÂN HOÀNG

2021601883

NGUYỄN HUY HOÀNG

2021606041

NGUYỄN NGỌC HUÂN

2021608845

ĐÀO MẠNH HÙNG

2021605137

NGUYỄN MẠNH HÙNG

2021601449

TỔNG ĐIỂM ĐÁNH GIÁ CỦA CÁC THÀNH VIÊN VÀ QUY ĐỔI RA

HỆ SỐ CÁ NHÂN

Tên thành viên TĐ = Tổng điểm

được đánh giá bởi tất cả các thành viên trong nhóm

Điểm trung bình

= TĐ/(5 x số thành viên)

Hệ số cá nhân (dựa vào bảng quy đổi)

MAI TRUNG HIẾU

2021602598

NGUYỄN MINH HIẾU

2021608767

NGUYỄN MINH HIẾU

2022600004

PHAN ĐỨC HIẾU

2020605142

TRẦN TRUNG HIẾU

2021608761

LƯƠNG XUÂN HOÀNG

2021601883

NGUYỄN HUY HOÀNG

2021606041

NGUYỄN NGỌC HUÂN

2021608845

ĐÀO MẠNH HÙNG

2021605137

NGUYỄN MẠNH HÙNG

2021601449

MỤC LỤC

Phần 1: MỞ ĐẦU 5

Phần 2 : NỘI DUNG 6

A:Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 6

I GIỚI THIỆU MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 6

1 Khái niệm 6

2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 6

II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 6

1 Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải bài toán ma trận 6

2 Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải các bài toán thực tế 7

3 Sử dụng ma trận nghịch đảo dùng để xử lí, mã hóa thông tin 9

B: ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 12

I Khái niệm chung: 12

II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 12

1 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế 12

2 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong hình học và hóa học 13

Phần 3: KẾT LUẬN 16

Phần 1: MỞ ĐẦU

Đối với đa số chúng ta thì cụm từ “Đại số tuyến tính” đã không còn xa lạ gì Nhìn chung, chúng ta có thể hiểu đây là một loại toán được dùng để làm việc với các vấn đề tuyến tính, chẳng hạn như hàm tuyến tính hay biểu diến tuyến tính bằng ma trận và không gian vector

Đại số tuyến tính đã góp phần lớn trong các ứng dụng của đời sống Có lẽ chúng ta đã được học cách tính toán và cách thể hiện những ma trận, những hàm tuyến tính thông qua bài tập, hoặc đã tìm thấy chúng trong sách Tuy nhiên, vấn đề là chúng sẽ được sử dụng để làm gì trong công việc và cuộc sống của chúng ta Trong bài viết này, chúng ta

sẽ tham khảo một số ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ứng dụng của hệ phương

trình tuyến tính.

Phần 2 : NỘI DUNG

A:Ứng dụng của ma trận nghịch đảo.

1 Khái niệm

Cho A là ma trận vuông cấp n Nghịch đảo của ma trận A (nếu tồn tại) là một ma trận vuông cấp n được ký hiệu là A1, sao cho:

-1 -1

n

A.A =A A=I

Khi đó ta nói rằng ma trận A là khả đảo.

2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

 Bước 1: Tính det (A),

 Nếu det (A) = 0 thì kết luận không tồn tại ma trận nghịch đảo A

 Nếu det (A) 0 thì chuyển sang bước 2

 Bước 2: Tìm A

 Bước 3: Tìm ma trận nghịch đảo theo công thức:

det(A)

 Bước 4: Tính các dạng toán X A B 1 hoặc X B A 1

1. dụng ma trận nghịch đảo để giải bài toán ma trận Sử

Câu 1 Giải phương trình ma trận

X=

Có =

Câu 2 Giải phương trình ma trận

X =

Giải Ta có: X = = =

Bài toán 2: Tìm ma trận X thỏa mãn AX=B

Ta có: AX=B AX=B

IX=B

X= B

Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn X=

Phương trình có dạng AX=B

Ta có: X= B

X=

=

2. Sử dụng ma trận nghịch đảo để giải các bài toán thực tế.

Bài toán 1: Công ty có 2 cửa hàng, bán 4 mặt hàng M1, M2, M3, M4 với đơn giá

10;20;30;40 ( ngàn đồng/ cái) doanh số tháng 1/2021:

M1, M2, M3 , M4

A=

Doanh số tháng 2/2021

B=

Tính doanh thu và tổng doanh số của 2 cửa hàng trong 2 tháng?

Giải:

Tổng doanh thu số tháng 1 và 2 là

A+B = + = ( cộng 2 ma trận)

Doanh thu của 2 của hàng tháng 1/2021 là:

C= A x = x = ( nhân 2 ma trận)

Vậy doanhh thu của cửa hàng 1 trong tháng 1/2021 là 2.250.000 đồng

Doanh thu của của hàng 2 reong tháng 1/2021 là 3.250.000 đồng

Doanh thu của 2 của hàng trong 1/2021 là:

D = B x = x = ( nhân 2 ma trận)

Vậy doanh thu của cửa hàng 1 trong tháng 1/2021 là 1.620.000 đồng

doanh thu của cửa hàng 2 trong tháng 1/2021 là 2.240.000 đồng

Bài toán 2: Một nhóm cùng đi du lich khi đi bằng tàu lửa chi phí là 1.000.000 đồng

dành cho trẻ em và 2.000.000 đồng dành cho người lớn thì tổng chi phí là 39 triệu Khi về họ đi bằng máy bay với chi phí 4.000.000/ trẻ em và 7.000.000/ người lớn thì tổng chi phí là 141.000.000 đồng Sử dụng ma trận nghịch đâor hãy tìm số lượng trẻ

em và số lượng người lớn trong nhóm đó?

Giải:

Gọi a là lượng tre em trong nhóm, b là lượng người lớn trong nhóm.

Theo giả thiết bài toán, ta có phương trình sau :

=

Suy ra : = x = x =

Vậy nhóm trên có 9 trẻ em và 15 người lớn

3 Sử dụng ma trận nghịch đảo dùng để xử lí, mã hóa thông tin

Bài toán 1: Cho ma trận A= và một số tương ứng giữa các kí tự và dãy số sau:

Giáo viên muốn gửi thông tin cho sinh viên nhưng cô giáo đã dùng bảng mật mã trên

để chuyển dòng mật mã này thành một dãy số và viết thành ma trận B theo nguyên tắc

từ trái sang phải, mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B sao cho sau khi tính C = B*A và chuyển C về dãy số thì được dãy

13 1 16 14 -1 19 12 8 -5 Hãy giải thích dòng trên.

Giải:

Det A= 2 1 2 =1 # 0 => Tồn tại A-1

Ta có: C = B.A => B = C.A-1

Do A có cấp 3.3 nên A-1 cũng có cấp 3.3 mà để phép nhân thực hiện được thì số cột của C bằng số dòng của A-1 nên C có 3 dòng mà C có 9 phần tử nên C có 3 cột

=> C = 14 -4 19 và A-1 = A*

=>

Vậy thông tin của dòng trên là HAUIKTMT1

1:Cho ma trận A= và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số như sau:

Một bạn trai muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái Để đảm bảo bí mật, anh ta dùng bảng tương ứng trên chuyển tin nhắn của mình thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B Theo nguyên tắc: Lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính D=BA và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy 1

2 1 2 0 3 3 1 4 Hãy giải mã thông tin trên

Giải D=B.A mà 33 => D có 3 cột, mà dãy số có 9 phần tử suy ra mỗi cột D có 3 phần tử => D cỡ 33

D= ; A=

=> det (A) = 40 + 6 -15 - 32 = -1

Tương tự =>

=>

B=D.

 B=

B: ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I Khái niệm chung:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số có dạng:

trong đó: ; – hệ số (của ẩn) ; – hệ số tự do

1 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính vào bài toán thực tế

Ví dụ 1: Thị trường có 3 loại hàng hóa Hàm cung và hàm cầu của 3 loại hàng hóa

trên là

Qs1 = 18p1 – p2 - p3 - 45, QD1 = - 6p1 + 2p2 +130

Qs2 = -p1 + 13p2 – p3 – 10, QD2 = 2P1 – 7P2 + p3 + 220

Qs3 = -p1 – p2 +10p3 -15, QD3 = 3p2 – 5P3 + 215

Tìm giá trị tại điểm cân bằng thị trường

Giải

Xét hệ:

Vậy giá tại điểm căn bằng là (10, 15, 20).

Ví dụ 2: Xác định giá và lượng cân bằng của thị trường hai hàng hóa, cho biết hàm

cung và hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau

Hàng hóa 1 Qs1 = -2 + 4p1 , QD1 = 18 – 3p1 + p2

Hàng hóa 2 Qs2 = -2 + 3p2 , QD2 = 12 + p1 – 2p2

Giải

Hệ phương trình cân bằng thị trường:

Theo quy tắc cremer:

2 Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong hình học và hóa học

Ví dụ 1: Cân Bằng PT Hóa học

Để cân bằng phương trình hóa học trên, ta xét:

( Đối với mỗi loại nguyên tử, ta cân bằng số lượng nguyên tử ở hai vế của phương trình, ta được:

Từ đây, ta thu được hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Giải hệ trên ta được các nghiệm:

( Giá trị t nhỏ nhất để các ẩn nhận các giá trị nguyên dương là 3, khi đó:

Phương trình hóa học cần tìm là:

VD2: Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợp chất hóa học nào

đó A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại

để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g/cm với dung dịch chứa B vớitỉ lệ 3.6 g/cm và dung dịch chứa C với tỉ lệ 5.3 g/cm thì tạo ra 25.07 g hợp chất hóa học đó Nếu tỉ lệ của A, B, C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2.5, 4.3 và 2.4 g/cm (trong khi thể tích là giống nhau), khi đó 22.36 g chất hóa học sẽ được tạo ra Cuối cùng, nếu tỉ lệ tương ứng là 2.7, 5.5 và 3.2 g/cm, thì sẽ tạo ra 28.14 g hợp chất Thể tích của dung dịch chứa A, B và C là bao nhiêu?

Biến đổi ma trận trên cho ta nghiệm là x =1,5; y =3,1; z = 2,2

Phần 3: KẾT LUẬN

Qua phần báo cáo đã được trình bày như trên, chúng ta đã biết cách tìm ra giải pháp chung của một hệ phương trình tuyến tính, giải quyết hệ phương trình tuyến tính: khử Gauss và quy tắc Cramer Chúng ta nói về trường hợp khó khăn và những cách khác của việc tìm kiếm giải pháp, có thể hiểu được về ứng dụng của đại số tuyến tính trong cuộc sống thực tiễn Thông qua đại số tuyến tính chúng ta có thể giải quyết được một số bài toán thực tế cũng như giải quyết được những công việc tưởng như là phức tạp trong đời sống thường ngày, ví dụ như áp dụng ma trận nghịch đảo để mã hóa dữ liệu, tính toán số người, xử lý các phương trình hóa học phức tạp bằng phương pháp Gauss và ứng dụng phương trình tuyến tính trong sản xuất và kinh tế