Báo cáo nhómh ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệp hương trình tuyến tính vào bài toán thực tiễn

Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính...63.. Ngoàira, giải tích hàm, một nhánh của giải tích toán học, về cơ bản có thể được xem làứng dụng của đại số tuyến tính vào không g

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT 20222BS6001008

ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO BÀI TOÁN

THỰC TIỄN

Sinh viên thực hiện : Đỗ Huy Lập

Nguyễn Đào Phúc Linh Kiều Văn Lượng

Ngô Xuân Mạnh Nguyễn Phương Mạnh Trần Hợp Mạnh Đồng Văn Minh Lưu Văn Minh Đường Xuân Nam Phạm Quang Nam

Lê Quang Tuấn Nghĩa Hoàng Thế Ngọc Tên lớp : 2022DHDKTD01 Giáo viên hướng dẫn : Trần Quốc Toản

Hà Nội, ngày 06/05/2023

Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm, tổng điểm đánh giá của

các thành viên

STT Họ và tên Chức vụ Ghi

chú

Điểm số

viên

2 Nguyễn Đào Phúc

Linh

Thành viên

viên

trưởng

5 Nguyễn Phương

Mạnh

Thành viên

viên

viên

viên

viên

viên

11 Lê Quang Tuấn

Nghĩa

Thành viên

viên Tổng

MỤC LỤC Phần mở đầu

A LÝ THUYẾT

I Hệ phương trình tuyến tính

1 Khái niệm 5

2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 6

3 Biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính 7

II Ma trận nghịch đảo 1 Khái niệm7 2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo7 3 Một số lưu ý khi tìm ma trận nghịch đảo8 B ỨNG DỤNG I Ứng dụng của ma trận nghịch đảo 1 Ứng dụng bảo mật, mã hóa thông tin, tin nhắn 8

2 Ứng dụng tính toán số người 10

II Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính 1 Ứng dụng vào bài toán mạch điện 11

2 Ứng dụng vào bài toán vật liệu kỹ thuật 13

III Kết luận 14

IV.Tài liệu tham khảo 14

Phần mở đầu

Đại số tuyến tính là một nhánh của toán học liên quan đến các phương trình tuyến tính, ánh xạ tuyến tính và biểu diễn chúng trong không gian vecto và thông qua ma trận

đại số tuyến tính là trung tâm của hầu hết các lĩnh vực toán học Ví dụ, đại số tuyến tính là cơ bản trong các bài thuyết trình hiện đại về hình học, bao gồm cả việc xác định các đối tượng cơ bản như đường thẳng, mặt phẳng và phép quay Ngoài

ra, giải tích hàm, một nhánh của giải tích toán học, về cơ bản có thể được xem là ứng dụng của đại số tuyến tính vào không gian của các hàm

Đại số tuyến tính cũng được sử dụng trong hầu hết các ngành khoa học và lĩnh vực kỹ thuật, vì nó cho phép mô hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên và tính toán hiệu quả với các mô hình như vậy Đối với các hệ thống phi tuyến, không thể được mô hình hóa bằng đại số tuyến tính, nó thường được sử dụng để xử lý các phép xấp xỉ bậc nhất, do thực tế là vi phân của một hàm đa biến tại một điểm là ánh

xạ tuyến tính gần đúng nhất của hàm gần điểm đó

Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình

vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học

tự nhiên (vật lý, công nghệ ) và khoa học xã hội (kinh tế ), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính

A LÝ THUYẾT

I HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 Khái niệm

Hệ phương trình tuyến tính là tập hợp của hai hoặc nhiều phương trình tuyến tính có cùng biến số giống nhau Phương trình tuyến tính có thể có một biến, hai biến hoặc ba biến Dưới đây là dạng tổng quát của hệ với m phương trình và n ẩn Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:

Trong đó:

xi: được gọi là các ẩn của hệ

aij: được gọi là các hệ của ẩn

bi: được gọi là các hệ số tự do

Ký hiệu: Như chúng ta đã biết, hệ phương trình tuyến tính có thể viết dưới dạng ma trận Do đó, hệ phương trình tuyến tính n biến có thể được viết dưới dạng:

2 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.1 Định lý Kronecker – Capeli

Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi:

r(A)=r(Ā)

2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramers

Có 4 phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính AX = B với điều kiện khi tính định thức det(A) ≠ 0

Phương pháp Cramers

Phương pháp nghịch đảo

Phương pháp Gauss-Jordan

Phương pháp loại bỏ Gauss

Sau đây mình sẽ trình bày 2 cách mình cho là dễ hiểu và dễ ăn nhất:

2.2.1 định nghĩa hệ cramer

Một hệ phương trình tuyến tính tổng quả được gọi là hệ Cramer nếu thoả mãn:

số ẩn = số phương trình

định thức ≠ 0

2.2.2 định lý cramer

Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được tính theo công thức:

Trong đó:

A là ma trận hệ số

Aj là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi hệ số cột tự do 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận nghịch đảo Xét hệ phương trình tuyến tính AX=B là ma trận khả nghịch.Khi đó hệ có nghiệm duy nhất là:X=A-1B

2.4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát: AX = B Bước 1: Đưa ma trận bổ sung về dạng bậc thang bằng PBĐSC trên hàng Ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho Bước 2: Giải hệ phương trình mới với quy tắc: Các ẩn mà các hệ số là các phần tử khác 0 đầu tiên trên các hàng của ma trận bậc thang được gọi là các ẩn ràng buộc Các ẩn còn lại là các ẩn tự do

Liên quan:

giá trị riêng của ma trận

bài tập ánh xạ tuyến tính

3 Biện luận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương Ax=b là hệ có n ẩn

Cho hệ phương Ax=0 là hệ có n ẩn

Hệ có nghiệm duy nhất(nghiệm tầm thường): rank(A)=n

Hệ có vô số nghiệm(nghiệm không tầm thường): rank(A)<n

Đối với ma trận vuông: detA= 0 => vô số nghiệm

II MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1 Khái niệm

Nghịch đảo của ma trận được định nghĩa:

Ma trận A-1 gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu: A.A-1=A-1.A=I với I là một ma trận đơn vị

Ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là : A-1

1.2 Tại sao ta cần ma trận nghịch đảo?

Bởi vì ma trận không thể chia và cũng không có khái niệm chia ma trận Vì vậy thay vì chia ma trận, ta có thể nhân với một ma trận nghịch đảo

Nghịch đảo của ma trận thường được sử dụng để tìm nghiệm của phương trình

2 Cách tìm ma trận nghịch đảo

2.1 Phương pháp 1

Với ma trận 2 x 2, ta có thể tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức đơn giản sau:

2.2 Phương pháp 2

Bước 1: Tính det A Nếu det A ≠ 0 thì tồn tại ma trận nghịch đảo và ngược lại nếu A=0 thì không tồn tại ma trận nghịch đảo

Bước 2: Áp dụng công thức tính ma trận nghịch đảo

với A là một ma trận, detA: định thức của A; CT là ma trận phụ hợp

3 Một số lưu ý khi tìm ma trận nghịch đảo

Một vài tính chất quan trọng của ma trận nghịch đảo được liệt kê dưới đây:

 A-1 là duy nhất

 (A-1)-1=A

 (A-1.B-1)=B-1.A-1

 X.A=B ⇒ X=B.A-1

 A.X=B ⇒ X=A-1.B

 A.X.B=C ⇒ X=A-1.C.B-1

B ỨNG DỤNG

I Ứng dụng của ma trận nghịch đảo

1 Ứng dụng bảo mật, mật mã thông tin, tin nhắn:

Bài toán: Cho ma trận

A = [1 1 1

3 5 4

4 1 3]

Và 1 sự tương ứng giữa các kí tự với các số như sau:

X S E D C I T V O N

Một người vợ có chồng ra tiền tuyến chống dịch Sau nhiều lần gọi điện, thấy chồng có vẻ vất vả và mệt nhọc, cô quyết định sẽ tạo bất ngờ cho chồng mình Để giữ bí mật, cô đã chuyển “hộp quà” thành 1 dãy số và viết thành ma trận B theo nguyên tắc từ trái qua phải với mỗi chữ số là 1 vị trí trên dòng B Sau khi tính D=A.B và chuyển D về dãy ta thu được dãy sau :

Hãy giúp người chồng giải mã thông tin trên

GIẢI

Do D có 3 cột mà dãy có 9 phần tử => D là ma trận 3×3:

=> D = [16 14 13

67 55 58

39 39 25]

Det(A) = |1 1 1

3 5 4

4 1 3| = 1.|5 4

1 3|−1.|3 4

4 3|+ 1.|3 5

4 1| = 1 =>∃ A-1 Tương tự ta có :

C11 = |5 4

1 3| = 11 C21 =- |1 1

1 3| = -2 C31 = |1 1

5 4| = -1

C 12= - |3 4

4 3| = 7 C22 = |1 1

4 3| = -1 C32 = - |1 1

3 4| = -1

C13 = |3 5

4 1| = -17 C23 = -|1 1

4 1| = 3 C33 = |1 1

3 5| = 2

=> C = |11 7 −17

−2 −1 3

−1 −1 2 |→ Ct = | 11 −2 −1

7 −1 −1

−17 3 2|

=> A-1 = 1

det(A) ×Ct = [ 11 −2 −1

7 −1 −1

−17 3 2 ]

Mà ta có: B = A−1.D

=> B = [ 11 −2 −1

7 −1 −1

−17 3 2 ]×[16 14 13

67 55 58

39 39 25]= [3 5 2

6 4 8

7 5 3]

Dãy số của ma trận là:

3 5 2 6 4 8 7 5 3

Dãy ký tự là:

Dòng mật khẩu là : DIỆT COVID

2 Kiểm tra tính toán số người:

Bài toán

Một nhóm cùng nhau đi du lịch Địa điểm là ở 2 nơi khác nhau và có khoảng cách khá xa Khi xuất phát đến địa điểm thứ nhất, họ di chuyển bằng tàu hỏa, chi phí là 2 triệu đồng/1 trẻ em, 4 triệu đồng/1 thanh thiếu niên, 6 triệu đồng/1 người lớn và tổng chi phí là 114 triệu VNĐ Khi đi tới địa điểm thứ 2, họ di chuyển bằng ô

tô với chi phí là 8 triệu đồng/1 trẻ em, 2 triệu đồng/ 1 thanh thiếu niên, 4 triệu đồng/1 người lớn, với tổng chi phí là 126 triệu VNĐ Khi về, họ đi bằng máy bay với chi phí 4 triệu đồng/ 1 trẻ em, 10 triệu đồng/ 1 thanh thiếu niên và 16 triệu đồng/

1 người lớn, với tổng chi phí là 128 triệu VNĐ Sử dụng ma trận nghịch đảo, hãy tìm số lượng trẻ em, thanh thiếu niên, người lớn trong số người tham gia

Bài giải

Gọi: x là số lượng trẻ em trong nhóm

y là số lượng thanh thiếu niên trong nhóm

z là số lượng người lớn trong nhóm

Theo giải thiết đề bài ra, ta có phương trình sau:

[2 4 6

8 2 4

4 10 16].[x1

x2

x3]= [114

126

282] (1)

A[2 4 6

8 2 4

4 10 16]; X[x1

x2

x3]; B[114

126

282];

Phương trình (1) trở thành A.X=B  X=A−1.111.01

Det(A)= 4.16+60.8+4.16-2.24-40.2-32.16= -32≠0

Nên tồn tại A−1  A−1= 1

det ⁡ ( A).A

A¿=[A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33]

A11=(−1)1+1det(M11¿=[ 2 4

10 16]=-8

A12= (−1) 1+2det(M12¿=−[8 4

4 16]= -112

A13=(−1) 1+3det(M13¿=[8 4

4 10]= 72 Tương tự: A21=-4 A31=4

A22=8 A32=40

A23=-4 A22=-28

−112 8 40

72 −4 −28]= [ 1

4

1 8

−1 8 7

2

−1 4

−5 4

−9 4

1 8

7

8 ]

→X=A−1.B=[ 1

4

1 8

−1 8 7

2

−1 4

−5 4

−9 4

1 8

7

8 ].[114

126

282]=[ 9

15

6]  {x1=9

x2=15

x3=6

VẬY: trong nhóm có 9 trẻ em; 15 thanh thiếu niên, 6 người lớn

II Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính

1 Sử dụng để làm bài toán về mạch điện

Bài toán:

Cho hệ như hình vẽ biết :

E1=40V ; E2=20V ; E3=20V

R1 =R2 =R3 =R4 =R5 = 4Ω

Tìm i1 , i2 , i3 , i4 ?

Bài giải

Áp dụng định luật kirchhoff 2 cho mạch điện ta được:

i1.R1+ (i1−i2).R2= E1

(i1−i2) R2−(i2−i3) R3=E2

(i3−i4) R4−(i2−i3) R3=E2

(i3−i4) R4−i4 R5=E3

Thay số

 8i1−4 i2=40

4i1−8 i2+4 i3=20

-4i1+8 i3−4 i4=20

4i3−8 i4=20

Biến đổi hệ số ma trận mở rộng:

4 −8 4 0

0 −4 8 −4

0 0 4 −8|40

20 20

20] (d1−2 d2) [8 −4 0 0

0 12 −8 0

0 −4 8 −4

0 0 4 −8|40

0 20

20]

(d2+3 d3¿ [8 −4 0 0

0 12 −8 0

0 0 16 −12

0 0 4 −8|40

0 60

20]

(d3−4 d4) [8 −4 0 0

0 12 −8 0

0 0 16 −12

0 0 0 20| 40

0 60

−20]

8i1−4 i2 =40 i1=6

12i2−8 i3=0  i2=2

16i3−12 i4=60 i3=3

20i4=−20 i4=−1

 Ta thu được nghiệm: (i1; i2; i3; i4¿=(6;2;3;1)

i4 mang dấu âm  i4 ngược chiều quy ước

2 Sử dụng để làm các bài toán về vật liệu kỹ thuật

Bài toán:

Cần 3 thành phần khác nhau A,B và C để sản xuất 1 lượng hợp chất hóa học

z nào đó A,B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa

A với tỉ lệ 1.4 g/cm3 với dung dịch chứa B với 4.2 g/cm3 và dung dịnh chứa C với

tỉ lệ 6.2 g/cm3 thì tạo ra 15.3 g hợp chất hóa học đó Nếu tỉ lệ của A,B,C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2.8, 3, 6 g/cm3 (trong khi thể tích là giống nhau), khi đó 20 g hợp chất hóa học đó được tạo ra Cuối cùng, nếu tỉ lệ tương ứng

là 0.7, 2.1, 7 g/cm3 thì sẽ tạo ra 13.2 g hợp chất Thể tích của dung dịch chứa A,B

và C là bao nhiêu ?

Bài giải

Gọi x,y,z tương ứng là thể tích (cm3) của phương án chứa A,B và C Khi đó 1,4x là khối lượng của A trong trường hợp đầu, 4,2y là khối lượng của B và 6,2 là khối lượng của C Cộng lại với nhau, ba khối lượng này sẽ tạo ra 15,3 g

Do đó ta có phương án 1 như sau:

1,4x + 4,2y + 6,2z = 15,3 (1)

Với phương án thứ 2 ta có trường hợp: 2,8x + 3y + 6z = 20 (2)

Với phương án thứ 3 ta có trường hợp: 0,7x + 2,1y + 7z = 13,2 (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có hệ phương trình tuyến tính: {¿ 1,4x

¿ 2,8x +

¿ 0,7x

Ma trận mở rộng là:

A= [1,4 4,2 6,2

2,8 3 6

0,7 2,1 7|15,3

20 13,2]

{−2 d1+d2

d1−2 d2  [1,4 4 , 2 6,2

0 −5,4 −6,4

0 0 −7,8| 15,3

−10,6

−11,1]

Ta có hệ phương trình: {1,6x +2,7 y +5,2 z=15,3

−5,4 y−6,4 z=−10,6

−7,8 z=−11,1

Ta có nghiệm: {x=3,797

y=0.276

z=1,423

Vậy thể tích của A, B, C lần lượt là 3,797; 0,276; 1,423

III KẾT LUẬN

Qua các ví dụ trên, ta đã thấy được ứng dụng thực tiễn của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính trong đa lĩnh vực: sản xuất, kinh tế, thông tin, kĩ thuật,….; giúp con người quản lý và xác định thông tin một cách chính xác, mang tính bảo mật cao,an toàn, hiệu quả

 Ma trận nghịch đảo:

 Giải mã ký tự, từ đó giúp bảo mật thông tin liên lạc

 Tìm giá bán của mỗi mặt hàng khi biết doanh thu và doanh số bán hàng, tiết kiệm thời gian, công sức của người lao động, cho ra con số chính xác nhất

 Hệ phương trình tuyến tính:

 Tìm các chỉ số kĩ thuật trong mạch điện: cường độ dòng điện, điện trở,

từ đó có thể tìm thêm công suất

 Xác định tỷ lệ pha trộn nguyên liệu để cho các sản phẩm đầu ra đảm bảo yêu cầu chất lượng, hiệu quả cao,đáp ứng tốt nhu cầu thực tiễn IV.TAI LIỆU THAM KHẢO

Giáo trình đại số tuyến tính