Trang 1 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIBÁO CÁO NHÓMỨNG DỤNG CÁC BÀI TẬP VÀOBÀI TOÁN THỰC TẾ NHÓM: 5 MƠN HỌC: TỐN KĨ THUẬT Trang 3 Phạm Anh TúLý Minh TuệPhạm Thế Vũ* Tổ
lOMoARcPSD|39211872 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI BÁO CÁO NHÓM ỨNG DỤNG CÁC BÀI TẬP VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ NHÓM: 5 MÔN HỌC: TOÁN KĨ THUẬT Giáo viên hướng dẫn : NGUYỄN HỮU SÁU Số thành viên : 14 Lớp : 2021BS6004002 Khóa : 16 …, tháng… năm… Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí) Tiêu chí Sự Đưa ra Giao tiếp và Tổ chức Hoàn Tổng nhiệt ý kiến phối hợp và thành điểm Tên tình và ý cùng thành công được thành tham tưởng viên khác hướng việc hiệu đánh giá viên gia làm bài cùng giải dân cả quả bởi A công nhóm cho từng việc quyết vấn đề thành chung viên (TĐA) Nguyễn Xuân Thái Đặng Tuấn Thành Nguyễn Tiến Thành Lê Xuân Thảo Ong Thế Thiện Nguyễn Văn Thịnh Trần Ngọc Tiền Lê Văn Toàn Nguyễn Xuân Toàn Nguyễn Văn Trung Vũ Bảo Trung 2 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật Phạm Anh Tú Lý Minh Tuệ Phạm Thế Vũ * Tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân Tên thành viên TĐ= Tổng điểm Điểm trung bình Hệ số cá nhân được đánh giá bởi Lê Xuân Thảo = TĐ/(5xsố thành (dựa vào bảng Nguyễn Tiến Thành tất cả các thành viên) qui đổi) Lê Xuân Thảo viên trong nhóm Ong Thế Thiện Đặng Tuấn Thành Nguyễn Văn Thịnh Trần Ngọc Tiền Lê Văn Toàn Nguyễn Xuân Toàn Nguyễn Văn Trung Vũ bảo Trung Phạm Anh Tú Lý Minh Tu Phạm Thế Vũ * Bảng qui đổi hệ số cá nhân [5-6) Điểm trung bình [9;10] [8;9) [7;8) [6-7) 0.4 Hệ sô cá nhân 1.2 1 0.8 0.6 3 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Phần 1: Lời giới thiệu Phần 2: Nội Dung A Ứng dụng của phương trinh vi phân cấp 1 Bài toán về sự biến đổi của nhiệt Bài toán về sự phân rã hạt nhân Bài toán về sự gia tăng dân số……………………………………… … ….9 B Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 Ứng dụng trong bài toán giao động của lò xo Ứng dụng vào bài toán mạch điện RLC, măc nối tiếp………………………10 C Ứng dụng của hàm một biến phức………………………………………… 11 Các bài toán ứng dụng……………………………………………… …… 11 Phần 3: Tổng kết Phần 4: Tài liệu tham khảo 4 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật LỜI NÓI ĐẦU Chắc hẳn chúng ta không còn xa lạ gì với phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau) Sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết phương trình vi phân và những ứng dụng của chúng trong nhiều ngành khoa học đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các chuyên gia và người học trong các lĩnh vực đa ngành Điều này đã đặt lý thuyết phương trình vi phân ở vị trí đặc biệt trong toán học và khoa học ứng dụng Ngày nay, lý thuyết này được dạy ở nhiều cấp độ khác nhau trong hầu hết các trường đại học và viện nghiên cứu trên thế giới Hôm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu về ứng dụng của những phương trinh vi phân cấp 1 và cấp 2 Với phương trinh vi phân cấp 1 ta có thể giải quyết các vấn đề về sự biến đổi của nhiệt, sự phân rã các chất hay vấn đề về sự pha trộn các dung dịch và nhiều ứng đựng khác … Với phương trình vi phân cấp 2 ta có thể tìm hiểu sự dao động của lò xa và bài toán về mạch điện Với hàm một biến phức ta có thể tìm hiểu về các bài toán tính thặng dư , 5 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật Phần 1: Lời giới thiệu Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN HỮU SÁU Nhóm sinh viên thực hiện: NGUYỄN XUÂN THÁI : 2021603102 ĐẶNG TUẤN THÀNH : 2021600972 NGUYỄN TIẾN THÀNH : 2021601767 LÊ XUÂN THẢO : 2021603197 ONG THẾ THIỆN : 2021603719 NGUYỄN VĂN THỊNH : 2021604076 TRẦN NGỌC TIỀN : 2022600012 LÊ VĂN TOÀN : 2021603886 NGUYỄN XUÂN TOÀN : 2021607972 NGUYỄN VĂN TRUNG : 2021607601 VŨ BẢO TRUNG : 2021600201 PHẠM ANH TÚ : 2021608927 LÝ MINH TUỆ : 2021600439 PHẠM THẾ VŨ : 2021605864 Phần 2: Nội Dung A Ứng dụng của phương trinh vi phân cấp 1 6 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật Bài toán về sự biến đổi về nhiệt: Biết rằng tốc độ nguội dần hoặc nóng lên của vật tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ vật và nhiệt độ môi trường xung quanh Áp dụng quy luật đó giải bài toán sau: biết rằng trong 20 phút, vật nguội dần từ 200oC xuống 170oC Hỏi sau bao lâu nhiệt độ của vật là 80oC, nếu nhiệt độ môi trường xung quanh (không khí) là 30oC Giải: Kí hiệu T(t) là nhiệt độ của thanh kim loại tại thời điểm t Tốc độ biến thiên của nhiệt độ thanh kim loại là dT , tỉ lệ thuận với hiệu số nhiệt dt độ T của thanh và nhiệt độ môi trường xung quanh Te Tốc độ này là một đại lượng âm vì T giảm theo thời gian Ta có phương trình vi phân sau: dT = -k(T-30) (*) ( trong đó k>0 là hệ số tỉ lệ) dt T(0)=200,T(20)=170,Te=30 Giải phương trình (*) ta có: dT=-k(T-30)dt => dT T −30 =-kdt ∫ dT T −30 = −∫k dt ln|T −30|=-kt+C1(C1=const) T-30=Ce-kt (eC1=c=const) T=Ce-kt+30 (**) Với T(0)=200 => C=170 T(20)=170=>170e-20k+30=170 | | =>e-20k= 14 => K=−1 ln 1417 20 17 | | Vậy quy luật nguội dần của thanh kim loại là: T=170e( 1 ln 14 )t+30 20 17 | | Ta có : T=170e( 1 ln 14 )t+30=80 20 17 ¿>¿ t ≈ 126 p hú t Vậy sau 126 phút thì nhiệt độ của vật là 800C 7 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật Bài toán về sự phân rã của chất: Một mẫu phóng xạ có khối lượng ban đầu là R0=1mg.Sau 15,2 ngày khối lượng của mẫu giảm 93,75%.Tìm chu kì bán rã của chất phóng xạ,biết rằng tốc độ phân rã của một chất phóng xạ tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó Giải: Kí hiệu R(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t Tốc độ phân rã là : dR ,tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó dt Tốc độ này là một đaị lượng âm vì R giảm theo thời gian Theo điều kiện ban đầu của phương trình vi phân: Ta có: dR =-kR, (R>0,k>0) trong đó k là hệ số tỉ lệ (1) dt R(0)=R0=1 R(15,2)=1-0,9375=0,0625 Giải phương trình vi phân (1) ta được: dR =-kR => dR =-kdt dt R Tích phân 2 vế của phương trình ta được lnR= -kt +C1 (C1=const) (2) R=eC1e-kt, (C=eC1=const) Với R(0)=1,thay vào (2) ,được C=1 =>R(t)=e-kt (3) Với R(15,2) =0,0625, thay vào (3), được: e-15,2k=0,0625 k≈0,1824 Vậy quy luật phân rã của chất phóng xạ là: R(t)= e-0,1824t Gọi T là chu kì bán rã của chất phóng xạ, ta có: R(T)= R 0 = 1 2 2 => e-0,1824T=0,5 =>T≈3,8 Vậy chu kì bán rã của chất phóng xạ là 3,8 ngày Bài toán về sự gia tăng dân số Ví dụ:Tốc độ gia tăng dân số của thị trấn tỉ lệ thuận với số người dân ở đó tại thời điểm t Dân số ban đầu là 500, tăng 15% sau 10 năm Hỏi dân số sau 30 năm là bao nhiêu? Tốc độ gia tăng dân tại t=30 là bao nhiêu? Giải: 8 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật Gọi S(t) là hàm biểu thị dân số của thị trấn đó tại thời điểm t dS ( t ) => Tốc độ gia tăng dân số : dt Theo giả thiết: dS(t) dt =k S (t )=¿ dS (t) S (t) =k dt=¿∫ dS(t) S (t) =∫ k dt => ln( S (t )) = kt + C => S(t ) = ekt+C =C0ekt Mà ta có: S(0 )=500 => C0 = 500 => S(t ) = 500ekt Sau 10 năm dân số tăng 15% nên: S(10)=S (0 )+ 15% S (0 )=500+500.15 %=575 => 500.e10k=575=¿ k= ln (1,15) =¿ S (t )=500 e( 10 ln(1,15))t 10 Dân số sau 30 năm: S(30)=500 e( 10 ln (1,15)) 30=760 Vậy tốc độ gia tăng dân số tai t = 30 : kt ln (1,15 ) ( 10 ln (1,15)) 30 ( ) ( ) dS(30) = dS(t ) dt dt t=30 =( C0 k e )t=30=500 10 e ¿ 10,63(người /năm) B Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 trong giao động của lò xo VD: Một lò xo khối lượng 1.5kg có độ dài tự nhiên 0.6m Người ta cần một lực 27N để kéo dãn nó ra một độ dài là 0.85m Nếu lò xo được kéo dãn tới độ dài 0.8m và sau được thả ra với vận tốc ban đầu là 0, hãy tìm vị trí vật thể tại thời điểm t bất kỳ? Giải: Từ định luật Hooke, lực cần thiết để kéo giãn lò xo là: k.0,25=27 ⇒k =108 Ta có phương trình: 1,5 x ' ' +108 x=0 (1) Phương trình đặc trưng của (1): 1.5 λ2+108=0 ⇒ λ=±6 √2 ⅈ Nghiệm tổng quát của phương trình này là: 9 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật x (t )=c1 cos (6 √2 t )+ c2 sin (6 √2t ) (2) ⇒ x' (t )=−6 √2 c1 sin (6 √2t )+6 √2 c2 cos (6 √2 t) (3) Vì x (0)=0,25 ; x ' (0)=0 thay vào (2), (3) ta có: c1= 1 , c2=0 4 ⇒ x (t)= 1 ⋅ cos(6 √2 t) 4 Vậy vị trí vật thể tại thời điểm t bất kỳ là: x (t )= 1 cos (6 √2 t ) 4 Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 vào bài toán mạch điện VD:Xét mạch điện như hình 4 có điều kiện đầu vc(0) = 0, vc '(0) = 0 Với R = 12 ; L= 3H; C= 1 F; 12 vs = 15sin2t (V ) Tìm vc(t) Giải: Tại t= 0 đóng khóa k, phương trình vi phân mô tả mạch theo vc - Phương trình K2 vR+ vL+ vC= vs Ri + Li’ + vc= vs - Mặt khác i = CvC '; i’ = CvC' ' vC ' '+ R vC '+ vC = vs L LC LC Với R = 12 ; L= 3H; C= 1 F; vs = 15sin2t, ta được 12 vC ' '+ 4vc ' +4vc= 15sin2t (*) - Xét vế trái, phương trình thuần nhất: vC ' '+ 4vc ' +4vc= 0 10 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật - Phương trình đặc trưng ❑2 + 4 + 4 =0 ⟺ =❑1 = ❑2= -2 Phương trình tổng quát của (1) là vt= (c1+t c2) e−2t - Vế phải : Vì vs= 15sin2t nên chọn vp= c3 cos 2 t +c4 sin 2 t +, Từ đó ta được: vp '= -2c3sin2t + 2c4cos2t vp ' '= -4c3cos2t -4c4sin2t +, Thế vp, vp ',vp ' ' vào (*), ta được: (8c4)cos 2t + (-8c3)sin 2t = 15sin2t { { 8c4=0 c 3= −15 ⟺ 8 ⟺ −8 c3=15 c4 =0 ¿> v p=−15 cos 2t 8 - Nghiệm tổng quát vc(t) = vt+v p= (c1+t c2) e−2t−15 cos 2 t 8 +, Với điều kiện đầu {vc (0)=0v'(0) = 0 ⟺ { 0=c1− 158 {c1= 15 c 8 0=−2 c1+c2 ⟺ c2= 15 4 ⟹ vc=( 15 + 15 t ) e−2t−15 cos 2 t 84 8 C Ứng dụng hàm một biến phức vào bài toán tính thặng dư Ví Dụ : Tính I = ∮L ( z2+1)( z+3) z , L là đường tròn tâm |z|=2 2 ⅆz 11 Downloaded by mon hon (monmon1@gmail.com) lOMoARcPSD|39211872 Toán kỹ thuật Giải: Hàm f(z) = (z2+1)( z+3) z có 3 cực điểm là z= j , z= -j và z=-3 2 Trong hình tròn |z|