Báo cáo nhóm ứng dụng các bài tập vào bài toán thực tế

Trang 1 BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIBÁO CÁO NHÓMỨNG DỤNG CÁC BÀI TẬP VÀOBÀI TOÁN THỰC TẾ NHÓM: 5 MƠN HỌC: TỐN KĨ THUẬT Trang 3 Phạm Anh TúLý Minh TuệPhạm Thế Vũ* Tổ

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

BÁO CÁO NHÓM

ỨNG DỤNG CÁC BÀI TẬP VÀO

BÀI TOÁN THỰC TẾ

NHÓM: 5

MÔN HỌC: TOÁN KĨ THUẬT

Giáo viên hướng dẫn : NGUYỄN HỮU SÁU

…, tháng… năm….



Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí)

Tiêu chí

Tên

thành

viên

Sự nhiệt tình tham gia công việc

Đưa ra

ý kiến

và ý tưởng làm bài

Giao tiếp và phối hợp cùng thành viên khác cùng giải quyết vấn đề chung

Tổ chức và hướng dân cả nhóm

Hoàn thành công việc hiệu quả

Tổng điểm được đánh giá bởi A cho từng thành viên (TĐA)

Nguyễn Xuân

Thái

Đặng Tuấn

Thành

Nguyễn Tiến

Thành

Lê Xuân

Thảo

Ong Thế

Thiện

Nguyễn Văn

Thịnh

Trần Ngọc

Tiền

Lê Văn Toàn

Nguyễn Xuân

Toàn

Nguyễn Văn

Trung

Vũ Bảo

Trung

Phạm Anh Tú

Lý Minh Tuệ

Phạm Thế Vũ

Tên thành viên TĐ= Tổng điểm

được đánh giá bởi tất cả các thành viên trong nhóm

Điểm trung bình

= TĐ/(5xsố thành viên)

Hệ số cá nhân (dựa vào bảng qui đổi)

Lê Xuân Thảo

Nguyễn Tiến Thành

Lê Xuân Thảo

Ong Thế Thiện

Đặng Tuấn Thành

Nguyễn Văn Thịnh

Trần Ngọc Tiền

Lê Văn Toàn

Nguyễn Xuân Toàn

Nguyễn Văn Trung

Vũ bảo Trung

Phạm Anh Tú

Lý Minh Tu

Phạm Thế Vũ

* Bảng qui đổi hệ số cá nhân

Điểm trung

Hệ sô cá

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Phần 1: Lời giới thiệu

Phần 2: Nội Dung

A Ứng dụng của phương trinh vi phân cấp 1

 Bài toán về sự biến đổi của nhiệt

Bài toán về sự phân rã hạt nhân

Bài toán về sự gia tăng dân số……… … ….9

B Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2

Ứng dụng trong bài toán giao động của lò xo

Ứng dụng vào bài toán mạch điện RLC, măc nối tiếp………10

C Ứng dụng của hàm một biến phức……… 11

Các bài toán ứng dụng……… …… 11

Phần 3: Tổng kết

Phần 4: Tài liệu tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU

Chắc hẳn chúng ta không còn xa lạ gì với phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau)

Sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết phương trình vi phân và những ứng dụng của chúng trong nhiều ngành khoa học đã và đang thu hút sự quan

tâm nghiên cứu của các chuyên gia và người học trong các lĩnh vực đa ngành

Điều này đã đặt lý thuyết phương trình vi phân ở vị trí đặc biệt trong toán học

và khoa học ứng dụng Ngày nay, lý thuyết này được dạy ở nhiều cấp độ khác

nhau trong hầu hết các trường đại học và viện nghiên cứu trên thế giới

Hôm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu về ứng dụng của những phương trinh vi phân cấp 1 và cấp 2

Với phương trinh vi phân cấp 1 ta có thể giải quyết các vấn đề về sự biến đổi của nhiệt, sự phân rã các chất hay vấn đề về sự pha trộn các dung dịch và nhiều ứng đựng khác …

Với phương trình vi phân cấp 2 ta có thể tìm hiểu sự dao động của lò xa và bài toán về mạch điện

Với hàm một biến phức ta có thể tìm hiểu về các bài toán tính thặng dư ,

Phần 1: Lời giới thiệu

Giáo viên hướng dẫn:

 NGUYỄN HỮU SÁU

Nhóm sinh viên thực hiện:

 NGUYỄN XUÂN THÁI : 2021603102

 ĐẶNG TUẤN THÀNH : 2021600972

 NGUYỄN TIẾN THÀNH : 2021601767

 LÊ XUÂN THẢO : 2021603197

 ONG THẾ THIỆN : 2021603719

 NGUYỄN VĂN THỊNH : 2021604076

 TRẦN NGỌC TIỀN : 2022600012

 NGUYỄN XUÂN TOÀN : 2021607972

 NGUYỄN VĂN TRUNG : 2021607601

 VŨ BẢO TRUNG : 2021600201

Phần 2: Nội Dung

A Ứng dụng của phương trinh vi phân cấp 1

 Bài toán về sự biến đổi về nhiệt:

Biết rằng tốc độ nguội dần hoặc nóng lên của vật tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ vật và nhiệt độ môi trường xung quanh Áp dụng quy luật đó giải bài toán sau: biết rằng trong 20 phút, vật nguội dần từ 200oC xuống 170oC Hỏi sau bao lâu nhiệt độ của vật là 80oC, nếu nhiệt độ môi trường xung quanh (không khí) là 30oC

Giải:

Kí hiệu T(t) là nhiệt độ của thanh kim loại tại thời điểm t

Tốc độ biến thiên của nhiệt độ thanh kim loại là dT dt , tỉ lệ thuận với hiệu số nhiệt

độ T của thanh và nhiệt độ môi trường xung quanh Te

Tốc độ này là một đại lượng âm vì T giảm theo thời gian

Ta có phương trình vi phân sau:dT

dt = -k(T-30) (*) ( trong đó k>0 là hệ số tỉ lệ) T(0)=200,T(20)=170,Te=30

Giải phương trình (*) ta có: dT=-k(T-30)dt =>T dT−30=-kdt

∫T dT−30 = −∫k dt

ln|T−30|=-kt+C1(C1=const)

 T-30=Ce-kt (eC1=c=const)

T=Ce-kt+30 (**)

Với T(0)=200 => C=170

T(20)=170=>170e-20k+30=170

=>e-20k=1417=> K=−120ln|14

17|

Vậy quy luật nguội dần của thanh kim loại là: T=170e( 1

20ln|14

17|)t+30

Ta có : T=170e( 1

20ln|14

17|)t+30=80 ¿>¿ t ≈ 126 p hú t

Vậy sau 126 phút thì nhiệt độ của vật là 800C

 Bài toán về sự phân rã của chất:

Một mẫu phóng xạ có khối lượng ban đầu là R0=1mg.Sau 15,2 ngày khối lượng của mẫu giảm 93,75%.Tìm chu kì bán rã của chất phóng xạ,biết rằng tốc độ phân rã của một chất phóng xạ tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó

Giải:

Kí hiệu R(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t

Tốc độ phân rã là :dR

dt ,tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó

Tốc độ này là một đaị lượng âm vì R giảm theo thời gian

Theo điều kiện ban đầu của phương trình vi phân:

Ta có:dR

dt =-kR, (R>0,k>0) trong đó k là hệ số tỉ lệ (1) R(0)=R0=1

R(15,2)=1-0,9375=0,0625

Giải phương trình vi phân (1) ta được: dR dt =-kR =>dR R =-kdt

Tích phân 2 vế của phương trình ta được lnR= -kt +C1 (C1=const) (2)

R=eC1e-kt, (C=eC1=const)

Với R(0)=1,thay vào (2) ,được C=1 =>R(t)=e-kt (3)

Với R(15,2) =0,0625, thay vào (3), được: e-15,2k=0,0625 k≈0,1824

Vậy quy luật phân rã của chất phóng xạ là: R(t)= e-0,1824t

Gọi T là chu kì bán rã của chất phóng xạ, ta có:

R(T)= R 02 =12

=> e-0,1824T=0,5 =>T≈3,8

Vậy chu kì bán rã của chất phóng xạ là 3,8 ngày

 Bài toán về sự gia tăng dân số

Ví dụ:Tốc độ gia tăng dân số của thị trấn tỉ lệ thuận với số người dân ở đó tại thời điểm t Dân số ban đầu là 500, tăng 15% sau 10 năm Hỏi dân số sau 30 năm là bao nhiêu? Tốc độ gia tăng dân tại t=30 là bao nhiêu?

Giải:

Gọi S(t) là hàm biểu thị dân số của thị trấn đó tại thời điểm t

=> Tốc độ gia tăng dân số : dS dt (t)

Theo giả thiết:

dS (t)

dt =k S(t)=¿dS (t)

S (t) =k dt=¿∫dS S (t) (t)=∫k dt

=> ln(S(t)) = kt + C => S(t) = e kt +C

=C0e kt

Mà ta có: S(0)=500

=> C0 = 500 => S(t) = 500e kt

Sau 10 năm dân số tăng 15% nên:

S(10)=S(0)+15%  S(0)=500+500.15 %=575

=> 500.e10k=575=¿k=ln(1,15)

10 =¿S(t)=500 e(ln ( 1,15 )

Dân số sau 30 năm:

S(30)=500 e(ln ( 1,15 )

=760 Vậy tốc độ gia tăng dân số tai t = 30 :

dS(30)

dt =(dS(t)

dt )t=30

=(C0k e kt)t=30 =500(ln(1,15)

¿ 10,63(người /năm)

B Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2

 Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 trong giao động của lò xo

VD: Một lò xo khối lượng 1.5kg có độ dài tự nhiên 0.6m Người ta cần một lực

27N để kéo dãn nó ra một độ dài là 0.85m Nếu lò xo được kéo dãn tới độ dài 0.8m và sau được thả ra với vận tốc ban đầu là 0, hãy tìm vị trí vật thể tại thời điểm t bất kỳ?

Giải:

Từ định luật Hooke, lực cần thiết để kéo giãn lò xo là:

k.0,25=27 ⇒k =108

Ta có phương trình:

Phương trình đặc trưng của (1):

1.5λ2+108=0 ⇒ λ=±6√2 ⅈ Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

x(t)=c1 cos ⁡(6√2t )+c2 sin⁡(6√2t) (2)

⇒ x '(t)=−6√2 c1 sin(6√2t)+6√2.c2 cos ⁡(6√2t) (3)

Vì x(0)=0,25 ; x ' (0)=0 thay vào (2), (3) ta có: c1=1

4, c2=0

⇒ x(t)=1

4⋅cos(6√2t) Vậy vị trí vật thể tại thời điểm t bất kỳ là:

x(t)=1

4cos(6√2t)

 Ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 vào bài toán mạch điện

VD:Xét mạch điện như hình 4 có điều kiện đầu v c(0) = 0, v c '(0) = 0

Với R = 12 ; L= 3H; C= 121 F;

vs = 15sin2t (V ) Tìm v

c(t)

Giải:

Tại t= 0 đóng khóa k, phương trình vi phân mô tả mạch theo v c

- Phương trình K2

v R+ v L+ v C= v s

Ri + Li’ + v c= v s

- Mặt khác i = Cv C '; i’ = Cv C ' '

v C ' '+R L v C '+ v C

LC = v s

LC

Với R = 12 ; L= 3H; C= 121 F; vs = 15sin2t, ta được

v C ' '+ 4v c ' +4v c= 15sin2t (*)

- Xét vế trái, phương trình thuần nhất:

v C ' '+ 4v c ' +4v c= 0

- Phương trình đặc trưng

❑2 + 4 + 4 =0 ⟺ =❑1 = ❑2= -2

 Phương trình tổng quát của (1) là

v t = (c1+t c2)e −2 t

- Vế phải :

Vì v s= 15sin2t nên chọn v p= c3cos 2t +c4sin 2t

+, Từ đó ta được:

v p '= -2c3sin2t + 2c4cos2t

v p ' '= -4c3cos2t -4c4sin2t

+, Thế v p, v p ',v p ' ' vào (*), ta được:

(8c4)cos 2t + (-8c3)sin 2t = 15sin2t

⟺{ 8c4=0

−8 c3 =15 ⟺{c3=−15

8

c4=0

¿>vp=−15

8 cos 2t

- Nghiệm tổng quát

v c(t) = v t +v p= (c1+t c2)e −2 t−15

8 cos 2t

+, Với điều kiện đầu

{v c(0)=0

v c ' (0)=0 ⟺ { 0=c1 −15

8

0=−2 c1+c2

⟺ {c1=15

8

c2=15 4

⟹v c =(15

8 +15

4 t )e −2 t−15

8 cos 2t

C Ứng dụng hàm một biến phức vào bài toán tính thặng dư

 Ví Dụ : Tính I = ∮

L

z2ⅆz

(z2+1)(z+3), L là đường tròn tâm |z|=2.

2 (z2+1)(z+3) có 3 cực điểm là z= j , z= -j và z=-3 Trong hình tròn |z|<2 có hai cực điểm là ± j , đều là các cực điểm đơn Tính thặng dư tại các điểm đó ta có :

Res [f(z); j] =lim

z → j

(z − j)f (z)= limz → j

z2

(z + j)+(z+3)=

J2

2j (z +3)=

1+ 3 j

20

Res [f(z); − j]=f1(− j)

f2(− j)=

z2

z+3

2z |z =− j

=1−3 j 20 Vậy

I= Res [f(z); j] + Res [f(z); − j] = 2πj(1+3 j20 +1−3 j20 )=πJ5

Phần 3: Tổng kết

Trong thực tế, khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc ở dạng hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số cần tìm xuất hiện trong phương trình đó

Phần 4: Tài liệu tham khảo

09_MAT101_Bai5_v2.3013101225.pdf (topica.edu.vn)

1e49ecae-3089-4928-8a43-058864bba2f6Calculus-K69-Chapter-5.pdf

(hnue.edu.vn)

Vi phân – Wikipedia tiếng Việt

https://thunhan.files.wordpress.com/2008/08/giao_trinh_ham_phuc.pdf