Báo cáo nhóm ứng dụng thực tế của hệ phương trình tuyến tính và ma trận nghịch đảo

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA KHOA HỌC CƠ BẢN---***---BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNHTUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOSinh viên thực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

-*** -BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Sinh viên thực hiện: : 1 Dương Văn Lộc

2 Phan Xuân Quang Linh

3 Nguyễn Viết Linh

4 Nguyễn Hoàng Long

5 Vũ Tuấn Minh

6 Lăng Nhật Minh

7 Nguyễn Phương Nam

8 Nguyễn Cao Nam

9 Bùi Văn Nghiêm

Tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân

Tên thành viên

TĐ = Tổng điểm được đánh giá bởi các thành viên trong nhóm

Điểm trung bình

= TĐ/(5*số thành viên)

Hệ số cá nhân (Dựa vào hệ quy

Đưa ra ý kiến và ý tưởng

Giao tiếp, phối hợp tốt với các thành viên

Tổ chức và hướng dẫn

cả nhóm

Hoàn thành và làm việc hiệu quả

Tổng điểm được đánh giá

Nguyễn Cao Nam

Bùi Văn Nghiêm

Trần Văn Nhã

Lê Văn Nhật

MỤC LỤC

L Ờ I NÓI ĐẦẦU 5

PHẦN 1: ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 6

1 Khái niệm ma trận 6

2 Định thức của ma trận 6

3 Các phép biến đổi ma trận 6

4 Định nghĩa ma trận nghịch đảo và điều kiện ma trận nghịch đảo 6

5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 6

5.1 Phương pháp ma trận phụ hợp 6

5.2 Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận 7

6 Ứng dụng của ma trân nghịch đảo 8

1 Trong Sản Xuất 8

2 Trong Bảo Mật 11

PHẦN 2: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14

1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 14

2 Các điều kiện về nghiệm của hệ phương trình 14

3 Các phương pháp giải hệ 14

a Phương pháp Gauss 14

b Phương pháp ma trận nghịch đảo 15

c Phương pháp Cramer 15

4 Ứng Dụng Của Hệ Phương Trình Tuyến Tính 15

4.1 Trong Lĩnh Vực Kinh Tế 15

4.2 Trong Giải Mạch Điện 19

PHẦN 3: KẾT LUẬN BÁO CÁO 21

PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

LỜI NÓI ĐẦU

Có thể nói đối với sinh viên học toán Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng

Trong đó không thể không nhắc đến ma trận nghịch đảo, hệ phương trình tuyến tính

và một số ứng dụng của nó Nó có rất nhiều ứng dụng không những trong nhiều ngành toán học khác nhau như: Đại sô, Hình học, Giải tích, lí thuyết trong phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng Qui hoạch tuyến tính và còn nhiều trong lĩnh vực khoa học khác Đặc biệt là ứng dụng vào những bài toán thực tế trong cuộcsống Chính vì thế sau đây nhóm chúng em đã xây dựng báo cáo về chủ đề tài : “ Một số ứng dụng thực tế của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính”.Nội dung bản báo cáo được thiết kế gồm 2 phần:

+ Ứng dụng của ma trận nghịch đảo: Gồm ứng dụng trong mật mã bảo mật thông tin, ứng dụng trong sản xuất, kinh tế, nông nghiếp,…

+ Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính: Gồm ứng dựng trong toán học, hóa học,…và ứng dụng trong kinh tế, sản xuất,…

Thông qua báo cáo về ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính , ta sẽ có cái nhìn tổng quan về môn học đại số tuyến tính và tính ứng dụng trong đời sống, từ đó thấy được vai trò quan trọng của nó trọng thực tiễn,trong các lĩnh vực khoa học, kinh tế, sản xuất,

-Nếu A = (aij)n x n (n) thì ta tính theo công thức sau:

Det A = a11*detM11 – a12*detM12 + a13detM13 - … + a1n*detM1n

3 Các phép biến đổi ma trận

-Đổi chỗ 2 dòng ( cột )

-Nhân 1 dòng (cột) với 1 số k

-Nhân 1 dòng (cột) với 1 số k sau đó cộng vào t lần dòng (cột) khác

*Ma trận bậc thang là ma trận thỏa mãn

+Những dòng bằng 0 (nếu có) luôn nằm dưới những dòng khác 0

+Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm bên trái cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới

4 Định nghĩa ma trận nghịch đảo và điều kiện ma trận nghịch đảo

-Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n Nghịch dảo của ma trận A (nếu có) là một ma trận vuông cấp n được kí hiệu là , sao cho: n

-Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả đảo là det A 0

5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

5.1 Phương pháp ma trận phụ hợp

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ta tiến hành theo 3 bước:

Bước 1: Tính det A

Bước 2: Tìm

Bước 3: Tìm ma trận nghịch đảo theo công thức =

5.2 Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận

Bài toán 1: Tìm ma trận X thỏa mãn AX = B biết det A

Nhân vào bên trái 2 vế phương trình => X =

Bài toán 2: Tìm ma trận X thỏa mãn XA = B biết det A

Nhân vào bên phải 2 vế phương trình => X =

6 Ứng dụng của ma trân nghịch đảo

1 Trong Sản Xuất

VD1 : Tập đoàn Vingroup sản xuất Điện thoại, Xe đạp điện, Ô tô và bán cho công

ty con D Để tạo ra một sản phẩm hoàn chỉnh thì cần qua 3 công đoạn: chuẩn bị, lắpráp , hoàn thiện Thời gian yêu cầu của mỗi công đoạn như sau:

Công đoạn Điện thoại Xe đạp điện Ô tô

*Gọi số điện thoại, xe đạp điện, ô tô lần lượt là: a , b , c (a,b,cN)

*Để công ty D có sản phẩm sớm nhất thì tập đoàn Vingroup phải sản xuất nhanh nhất

20 điện thoại , 80 xe đạp điện và 40 ô tô.

VÍ DỤ 2: Một nông trại sản xuất vịt giống Để đạt hiệu quả cao nhất thì tỉ lệ giữa vịt đực và vịt cái là 1:5 Một đàn vịt trưởng thành có 1200 con , trong đó tỉ lệ gà đực và gà cái là 10:6 Hòi cần chuyển bao nhiêu con vịt đực cho mục đích nuôi lấy thịt để đạt hiệu quả cao nhất?

Giải

*Gọi số vịt đực : x(con)

Vịt cái :y (con)

Số vịt đực cần chuyển cho mục địch lấy thịt : z (con)

*Để đạt hiệu quả cao nhất thì tỉ lệ vịt đực và vịt cái là 1:5

Ta chuyển B về dãy số ta được :

Vậy tên của nhóm đó là “NHÓM04!!!”

VD2: Cho ma trận A= và sự tương ứng giữa các ký tự và các số:

Một lễ hội bóng đá lớn nhất hành tinh được nhiều người theo dõi được tổ chức tại QATAR , tên của lễ hội đó được nhóm 4 mã hóa thành 1 dãy số và được viết vào matrận B theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính C=A.B và chuyển C về dãy số thì ta được: 1 2 3 0 1

Chuyển về dạng dãy số , ta được :

Vậy lễ hội bóng đá mà nhóm 4 nói tới là : “WORLD CUP"

PHẦN 2 : ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính

2 Các điều kiện về nghiệm của hệ phương trình

Nếu r(A) < r() thì hệ vô nghiệm

Nếu r(A) = r() thì hệ có nghiệm

Cụ thể: + r(A) = r() = số ẩn => Hệ có nghiệm duy nhất

+ r(A) = r() < số ẩn => Hệ có vô số nghiệm

3 Các phương pháp giải hệ

a Phương pháp Gauss

=> bậc thang => Hệ phương trình mới => Nghiệm

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: (I)

Hệ Cramer là hệ thỏa mãn điều kiện:

Tính chất: luôn có nghiệm duy nhất

Phương pháp: Tính det A, det Aj (j = ) (Aj = thay B vào cột j của A)

Hỏi giá tiền của mỗi mặt hàng là bao nhiêu?

Ta gọi giá tiền của Mũ, Kính, Áo lần lượt là a,b,c (a,b,c )

Theo đề bài ta có

Sp A Sp B Sp C Cắt 0.6h 1h 1.5h

Lắp ráp 0.6h 0.9h 1.2h

đóng gói 0.2h 0.3h 0.5h

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần là 380, 330 và 120 giờ công Hỏi nhà máy cần số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để hoạt động hết năng suất?

Giải Gọi x, y và z lần lượt là số sản phẩm A, B, C (cái) (x, y, z N)

Ta có: Thời gian để cắt sản phẩm mỗi tuần là: 0.6x + y + 1.5Z (giờ) (1)

Thời gian để lắp ráp sản phẩm mỗi tuần là: 0.6x + 0.9y + 1.2z (giờ) (2) Thời gian để đóng gói sản phẩm mỗi tuần là: 0.2x + 0.3y + 0.5z (giờ) (3)

Từ (1), (2)và (3): Để nhà máy hoạt động hết năng suất thì:

: (*)

A= det A= -0.006 0

D2-d1d2

D3 -d1 d3

Lại có hệ (*) là hệ vuông hệ (*) là hệ Cramer

4.2 Trong Giải Mạch Điện

VD1: Cho E1 = 18V, E2 = 21V, E3 = 27V, R1 = R2 = 6, R3 = R4 = R5 = 3 và mạch điện như hình vẽ Coi điện trở dây dẫn bằng 0 Tính cường độ i1, i2, i3 và i4





(i3 mang dấu âm có nghĩa là chiều i3 ngược với chiều đã chọn)

VD2: Cho mạch điện như hình vẽ:

Cho mạch điện như hình vẽ

Biết:E145 ,V E2 10 ,V E3 10 ,V

R R   R R R  

PHẦN 3: KẾT LUẬN BÁO CÁO

Qua bản báo cáo này, nhóm 4 đã đưa ra các ứng dụng của ma trận nghịch đảo cũng như hệ phương trình tuyến tính trong thực tế, đời sống Bằng cách áp dụng những kiến thức cơ bản đã được học cũng như nghiên cứu qua các tài liệu liên quan, các bài toán ví dụ đều được giải quyết một cách cụ thể và thuyết phục

Với việc nghiên cứu và tìm hiểu các ứng dụng thực tế, các thành viên trong nhóm

đã có thêm kiến thức về ma trận và hệ phương trình tuyến tính nói riêng cũng như môn đại số tuyến tính nói chung, biết cách áp dụng kiến thức đã học vào các vấn đề của đời sống, xã hội Nâng cao thêm vốn hiểu biết cho bản thân về tầm quan trọng của môn học cũng như biết cách áp dụng vào thực tiễn

Qua những kiến thức nền tảng đã thu nhận được trong sách vở cũng như áp dụng những điều đó vào thực tế, có thể rút ra kết luận: Ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính nói riêng đại diện cho môn học đại số tuyến tính nói chung được ápdụng ở nhiều lĩnh vực và có vai trò vô cùng hữu ích Nếu chúng ta thực sự am hiểu

về môn học, yêu thích môn học và hơn hết là có niềm đam mê bất tận với kiến thức thì ai ai trong chúng ta sẽ đều gặt hái được nhiều thành tựu to lớn, rút ngắn được thời gian học tập, làm việc cũng như giải quyết được rất nhiều vấn đề hóc búa xảy

ra xung quang cuộc sống chúng ta

PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO

https://www.studocu.com/vn/document/truong-dai-hoc-thuong-mai/toan-cao-tinh/19504137

5 https://qlht.haui.edu.vn/course/view.php?id=24365&section=5