Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘIKHOA KHOA HỌC CƠ BẢN---***---BÁO CÁO NHÓMHỌC PHẦN: ĐSTT BS6001ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNHTUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOSinh viên thực
lOMoARcPSD|39270902 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN *** BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Sinh viên thực hiện: : 1 Dương Văn Lộc 2 Phan Xuân Quang Linh Lớp 3 Nguyễn Viết Linh Giáo viên hướng dẫn 4 Nguyễn Hoàng Long 5 Vũ Tuấn Minh 6 Lăng Nhật Minh 7 Nguyễn Phương Nam 8 Nguyễn Cao Nam 9 Bùi Văn Nghiêm 10 Trần Văn Nhã 11 Lê Văn Nhật : 2022KHMT02 : Lê Thị Hồng Nhung Hanoi, tháng 11 năm 2022 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân Tên thành viên TĐ = Tổng điểm Điểm trung bình Hệ số cá nhân được đánh giá = TĐ/(5*số (Dựa vào hệ quy bởi các thành thành viên) viên trong nhóm đổi) Dương Văn Lộc Phan Xuân Quang Linh Nguyễn Viết Linh Nguyễn Hoàng Long Vũ Tuấn Minh Lăng Nhật Minh Nguyễn Phương Nam Nguyễn Cao Nam Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Bùi Văn Nghiêm Trần Văn Nhã Lê Văn Nhật Bảng quy đổi ra hệ số cá nhân Tiêu chí Sự nhiệt Đưa ra ý Giao tiếp, Tổ chức và Hoàn Tổng điểm Tên thành viên tình tham kiến và ý phối hợp hướng dẫn thành và được đánh gia công tốt với các cả nhóm làm việc tưởng thành viên hiệu quả giá việc Dương Văn Lộc Phan Xuân Quang Linh Nguyễn Viết Linh Nguyễn Hoàng Long Vũ Tuấn Minh Lăng Nhật Minh Nguyễn Phương Nam Nguyễn Cao Nam Bùi Văn Nghiêm Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Trần Văn Nhã Lê Văn Nhật Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦẦU 5 PHẦN 1: ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 6 1 Khái niệm ma trận 6 2 Định thức của ma trận 6 3 Các phép biến đổi ma trận .6 4 Định nghĩa ma trận nghịch đảo và điều kiện ma trận nghịch đảo .6 5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 6 5.1 Phương pháp ma trận phụ hợp 6 5.2 Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận 7 6 Ứng dụng của ma trân nghịch đảo .8 1 Trong Sản Xuất 8 2 Trong Bảo Mật .11 PHẦN 2: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .14 1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính .14 2 Các điều kiện về nghiệm của hệ phương trình 14 3 Các phương pháp giải hệ 14 a Phương pháp Gauss .14 b Phương pháp ma trận nghịch đảo 15 c Phương pháp Cramer .15 4 Ứng Dụng Của Hệ Phương Trình Tuyến Tính 15 4.1 Trong Lĩnh Vực Kinh Tế 15 4.2 Trong Giải Mạch Điện 19 PHẦN 3: KẾT LUẬN BÁO CÁO .21 PHẦN 4: TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 LỜI NÓI ĐẦU Có thể nói đối với sinh viên học toán Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng Trong đó không thể không nhắc đến ma trận nghịch đảo, hệ phương trình tuyến tính và một số ứng dụng của nó Nó có rất nhiều ứng dụng không những trong nhiều ngành toán học khác nhau như: Đại sô, Hình học, Giải tích, lí thuyết trong phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng Qui hoạch tuyến tính và còn nhiều trong lĩnh vực khoa học khác Đặc biệt là ứng dụng vào những bài toán thực tế trong cuộc sống Chính vì thế sau đây nhóm chúng em đã xây dựng báo cáo về chủ đề tài : “ Một số ứng dụng thực tế của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính” Nội dung bản báo cáo được thiết kế gồm 2 phần: + Ứng dụng của ma trận nghịch đảo: Gồm ứng dụng trong mật mã bảo mật thông tin, ứng dụng trong sản xuất, kinh tế, nông nghiếp,… + Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính: Gồm ứng dựng trong toán học, hóa học,…và ứng dụng trong kinh tế, sản xuất,… Thông qua báo cáo về ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính , ta sẽ có cái nhìn tổng quan về môn học đại số tuyến tính và tính ứng dụng trong đời sống, từ đó thấy được vai trò quan trọng của nó trọng thực tiễn,trong các lĩnh vực khoa học, kinh tế, sản xuất, Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 PHẦN 1: ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1 Khái niệm ma trận Ma trận là 1 bảng gồm m x n số xếp thành m dòng và n cột = (aij)m x n aij là phần tử thuộc dòng i cột j 2 Định thức của ma trận Định thức của 1 ma trận vuông là 1 số được kí hiệu là det A và được tính như sau -Nếu A = thì det A = a11 -Nếu A = thì det A = = a11*a22 – a21*a12 -Nếu A = (aij)n x n (n) thì ta tính theo công thức sau: Det A = a11*detM11 – a12*detM12 + a13detM13 - … + a1n*detM1n 3 Các phép biến đổi ma trận -Đổi chỗ 2 dòng ( cột ) -Nhân 1 dòng (cột) với 1 số k -Nhân 1 dòng (cột) với 1 số k sau đó cộng vào t lần dòng (cột) khác *Ma trận bậc thang là ma trận thỏa mãn +Những dòng bằng 0 (nếu có) luôn nằm dưới những dòng khác 0 +Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm bên trái cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới 4 Định nghĩa ma trận nghịch đảo và điều kiện ma trận nghịch đảo -Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n Nghịch dảo của ma trận A (nếu có) là một ma trận vuông cấp n được kí hiệu là , sao cho: n -Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả đảo là det A 0 5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 5.1 Phương pháp ma trận phụ hợp Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ta tiến hành theo 3 bước: Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Bước 1: Tính det A Bước 2: Tìm Bước 3: Tìm ma trận nghịch đảo theo công thức = 5.2 Ứng dụng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận Bài toán 1: Tìm ma trận X thỏa mãn AX = B biết det A Nhân vào bên trái 2 vế phương trình => X = Bài toán 2: Tìm ma trận X thỏa mãn XA = B biết det A Nhân vào bên phải 2 vế phương trình => X = Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 6 Ứng dụng của ma trân nghịch đảo 1 Trong Sản Xuất VD1 : Tập đoàn Vingroup sản xuất Điện thoại, Xe đạp điện, Ô tô và bán cho công ty con D Để tạo ra một sản phẩm hoàn chỉnh thì cần qua 3 công đoạn: chuẩn bị, lắp ráp , hoàn thiện Thời gian yêu cầu của mỗi công đoạn như sau: Công đoạn Điện thoại Xe đạp điện Ô tô Chuẩn bị 3(h) 5(h) 7,5(h) Lắp ráp 3(h) 4,5(h) 6(h) Hoàn thiện 1(h) 1,5(h) 2,5(h) Biết thời gian nhanh nhất cho công đoạn: chuẩn bị , lắp ráp , hoàn thiện lần lượt là: 760 , 660 , 240 (h) Vậy để công ty con D có các sản phẩm sớm nhất thì số lượng các sản phẩm mà tập đoàn Vingroup cần sản xuất là bao nhiêu? GIẢI *Gọi số điện thoại, xe đạp điện, ô tô lần lượt là: a , b , c (a,b,cN) *Để công ty D có sản phẩm sớm nhất thì tập đoàn Vingroup phải sản xuất nhanh nhất Ta có hệ phương trình : A= X= B= *Ta có: A.X=B X=.B (Do detA= ( ) Mà A* A11= = A21== A12= = A22= =0 A13= =0 A23= = A31= = A32= = A33= = A*= Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 = *Ta có: X== = Vậy để công ty con có được sản phẩm sớm nhất thì tập đoàn Vingroup cần sản xuất: 20 điện thoại , 80 xe đạp điện và 40 ô tô VÍ DỤ 2: Một nông trại sản xuất vịt giống Để đạt hiệu quả cao nhất thì tỉ lệ giữa vịt đực và vịt cái là 1:5 Một đàn vịt trưởng thành có 1200 con , trong đó tỉ lệ gà đực và gà cái là 10:6 Hòi cần chuyển bao nhiêu con vịt đực cho mục đích nuôi lấy thịt để đạt hiệu quả cao nhất? Giải *Gọi số vịt đực : x(con) Vịt cái :y (con) Số vịt đực cần chuyển cho mục địch lấy thịt : z (con) *Để đạt hiệu quả cao nhất thì tỉ lệ vịt đực và vịt cái là 1:5 *Tổng số vịt là 1200 *Tỉ lệ vịt đực và vịt cái là 10:6 (3) Từ (1)(2)(3),ta có hệ phương trình: *Ta có: A= ; X= ; B= A.X = B X=.B ( do detA = 80 ( ) Mà = A* A21= = 5 A11= = 50 A22= = -5 A12= = 30 A23= = 6 A13= = 44 A31= = 0 A32= = 0 A33= = -16 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 A*= = *Ta có: X= = = Vậy ta cần chuyển 660 con vịt đực sang mục đích lấy thịt để đạt hiệu quả cao nhất 2 Trong Bảo Mật VD1: Cho ma trận A= và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số: 3 1 4 2 5 6 ! 0 H 4 Ó N Cô giáo giao bài tập về nhà cho lớp , trong đó có 1 nhóm xuất sắc đạt điểm tuyệt đối Tên của nhóm đó được cô mã hóa thành 1 dãy số, và được viết vào ma trận B theo nguyên tắc : lần lượt từ trái sang phải , mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính H=A.B và chuyển H về dãy số thì ta được 1 -3 0 10 2 7 10 7 8 Hỏi tên của nhóm đó là gì? GIẢI *Theo đề bài: H=A.B B=.H (Do detA=1 ) *Vì là mà trận cỡ 3x3 Ma trận H phải có 3 cột Mà dãy số của H có 9 phần tử H= *Ta có ma trận nghịch đảo : =A* A11= = -4 A21= = 3 A12= = -8 A22= = 6 A13= = -7 A23= = 5 A31= = -2 A32= = -5 A33= = -4 A*= = = Ta có: B=.H B= = Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Ta chuyển B về dãy số ta được : 6 4 5 2 1 2 3 3 3 N H Ó M 0 2 ! ! ! Vậy tên của nhóm đó là “NHÓM04!!!” VD2: Cho ma trận A= và sự tương ứng giữa các ký tự và các số: -27 -23 -12 -10 -2 1 4 16 19 D L O W P R - C U Một lễ hội bóng đá lớn nhất hành tinh được nhiều người theo dõi được tổ chức tại QATAR , tên của lễ hội đó được nhóm 4 mã hóa thành 1 dãy số và được viết vào ma trận B theo nguyên tắc lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dòng của B Sau khi tính C=A.B và chuyển C về dãy số thì ta được: 1 2 3 0 1 4 5 6 0 Vậy tên của lễ hội bóng đá đó là gì? GIẢI *Ta có: C=A.B B=.C (Do detA= -1 (0) ) *Vì là ma trận cỡ 3x3 Ma trận C phải có 3 cột Mà C lại có 9 phần từ C là ma trận cỡ 3x3 C= *Ta có ma trận nghịch đảo A* A11= = 5 A21= =-4 A12= = 8 A22= = -7 A13= = -6 A23= = 5 A31= = 1 A32= =3 A33= = -2 A*= = = *Ta có : B=.C= = Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Chuyển về dạng dãy số , ta được : -10 -12 1 -23 -27 4 16 19 -2 W O R L D - C U P Vậy lễ hội bóng đá mà nhóm 4 nói tới là : “WORLD CUP" Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 PHẦN 2: ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính Dạng tổng quát: Ma trận hệ số: A = (aij)m x n Ma trận ẩn: X = Ma trận vế phải: B = Ma trận hệ số đầy đủ: = Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính: AX = B 2 Các điều kiện về nghiệm của hệ phương trình Nếu r(A) < r() thì hệ vô nghiệm Nếu r(A) = r() thì hệ có nghiệm Cụ thể: + r(A) = r() = số ẩn => Hệ có nghiệm duy nhất + r(A) = r() < số ẩn => Hệ có vô số nghiệm 3 Các phương pháp giải hệ a Phương pháp Gauss => bậc thang => Hệ phương trình mới => Nghiệm Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: (I) Ta có: Hệ (I) Vậy hệ đã cho có nghiệm (x1, x2, x3) = (1,1,1) b Phương pháp ma trận nghịch đảo Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Bước 1: Viết A, B, X Dạng ma trận của hệ: AX = B Bước 2: Tính det A => X = Bước 3: Tìm và suy ra nghiệm c Phương pháp Cramer Hệ Cramer là hệ thỏa mãn điều kiện: Tính chất: luôn có nghiệm duy nhất Phương pháp: Tính det A, det Aj (j = ) (Aj = thay B vào cột j của A) Nghiệm là 4 Ứng Dụng Của Hệ Phương Trình Tuyến Tính 4.1 Trong Lĩnh Vực Kinh Tế VD1: Một cửa hàng quần áo mở cửa hàng kinh doanh 3 mặt hàng: mũ, kính, áo Biết trong 3 năm đầu cửa hàng thống kê số lượng sản phẩm bán ra như sau Mặt hàng Năm 1 Năm 2 Năm 3 Mũ 200 200 240 Kính 400 800 800 Áo 400 400 800 Biết doanh thu của : Năm 1: 45.000.000 (VNĐ) Năm 2: 60.000.000 (VNĐ) Năm 3: 85.200.000 (VNĐ) Hỏi giá tiền của mỗi mặt hàng là bao nhiêu? Ta gọi giá tiền của Mũ, Kính, Áo lần lượt là a,b,c (a,b,c ) Theo đề bài ta có Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) Ta có ma trận bổ sung lOMoARcPSD|39270902 D2-d1d2 D3 -d1 d3 Vậy giá tiền của 1 chiếc mũ là 30.000(VNĐ) 1 chiếc kính là 37.500(VNĐ) 1 chiếc áo là 60.000(VNĐ) VD2 : Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B và C Mỗi sản phẩm phải trải qua 3 công đoạn cắt, lắp ráp, và đóng gói, với thời gian yêu cầu của mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng sau Sp A Sp B Sp C Cắt 0.6h 1h 1.5h Lắp ráp 0.6h 0.9h 1.2h đóng gói 0.2h 0.3h 0.5h Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần là 380, 330 và 120 giờ công Hỏi nhà máy cần số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để hoạt động hết năng suất? Giải Gọi x, y và z lần lượt là số sản phẩm A, B, C (cái) (x, y, z N) Ta có: Thời gian để cắt sản phẩm mỗi tuần là: 0.6x + y + 1.5Z (giờ) (1) Thời gian để lắp ráp sản phẩm mỗi tuần là: 0.6x + 0.9y + 1.2z (giờ) (2) Thời gian để đóng gói sản phẩm mỗi tuần là: 0.2x + 0.3y + 0.5z (giờ) (3) Từ (1), (2)và (3): Để nhà máy hoạt động hết năng suất thì: : (*) A= det A= -0.006 0 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Lại có hệ (*) là hệ vuông hệ (*) là hệ Cramer detA1= = -0.3 detA2= = -1.2 detA3= =-0.6 : (thỏa mãn đk) Vậy số lượng sản phẩm A, B, C cần sản xuất lần lượt là 50, 200,100 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 4.2 Trong Giải Mạch Điện VD1: Cho E1 = 18V, E2 = 21V, E3 = 27V, R1 = R2 = 6, R3 = R4 = R5 = 3 và mạch điện như hình vẽ Coi điện trở dây dẫn bằng 0 Tính cường độ i1, i2, i3 và i4 Áp dụng định luật Kihhoff 1 và 2 ta có: Xét = (i3 mang dấu âm có nghĩa là chiều i3 ngược với chiều đã chọn) VD2: Cho mạch điện như hình vẽ: Cho mạch điện như hình vẽ Biết: E1 45V , E2 10V , E3 10V , R1 R2 3; R3 R4 R5 5 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Tìm các dòng điện i1, i2, i3, i4.(bằng PP Gauss) Lời giải Áp dụng định luật Kirckoff I và II cho mạch điện ta có Vòng 1: () – + = 0 Vòng 2: () + - () = 0 Vòng 3: () – - () = 0 Vòng 4: + - () = 0 Ta có ma trận phụ hợp : Xét D2 + d3 d3 D1+2d2d D3 +d4 d4 Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com) lOMoARcPSD|39270902 Vậy cường độ dòng điện đi qua mạch lần lượt là: 10(A) ,5 (A) , 4(A) , 1(A) Downloaded by SAU DO (saudinh3@gmail.com)