Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Ma trận; Các phép biến đổi sơ cấp; Hạng của ma trận; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 1: Ma trận Hệ phương trình tuyến tính /46 Nội dung Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp Hạng ma trận Hệ phương trình tuyến tính /46 Ma trận v  Định nghĩa ma trận: Ma trận cỡ mxn bảng số (thực phức) hình chữ nhật có m dòng n cột Cột j ⎡ a11 a1 j ⎢ ! ! ⎢ A = ⎢ ai1 aij ⎢ ! ! ⎢ ⎢⎣am1 amj a1n ⎤ ⎥ ! ⎥ ain ⎥ ⎥ ! ⎥ amn ⎥⎦ Dòng i /46 Ma trận Ví dụ 1 − A= 02 ( ) 2×3 A ma trận thực cỡ 2x3 gồm dòng cột Phần tử A: a11 = 1; a12 = 4; a13 = −2; a21 = 0; a22 = 2; a23 = Ví dụ ⎛1 + i 2⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ − i i ⎠2×2 /46 Ma trận Ma trận A có m dịng n cột thường ký hiệu A = (aij ) m×n Tập hợp tất ma trận cỡ mxn trường K (K R C) ký hiệu Mmxn(K) Định nghĩa ma trận khơng Ma trận có tất phần tử không gọi ma trận không, ký hiệu 0, (aij = với i j) ⎛ 0 0⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 0 0⎠ /46 Ma trận Phần tử khác không hàng kể từ bên trái gọi phần tử sở hàng Phần tử sở ⎛1 3⎞ ⎜0 2⎟ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ Không phần tử sở Dịng khơng có phần tử sở Định nghĩa ma trận dạng bậc thang Hàng khơng có phần tử sở (nếu tồn tại) nằm Phần tử sở hàng nằm bên phải (không cột) so với phần tử sở hàng /46 Ma trận ⎛2 ⎜ ⎜ A= ⎜0 ⎜ ⎝0 − 2⎞ ⎟ ⎟ Không ma trận bậc ⎟ −2 thang ⎟ 0 0 ⎠ 4×5 ⎛ 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ Không ma trận bậc thang /46 Ma trận Ví dụ ⎛1 ⎜ ⎜ A= ⎜0 ⎜ ⎝0 − ⎞ Là ma trận dạng ⎟ bậc thang ⎟ 0 −2 ⎟ ⎟ 0 0 ⎠ 4×5 ⎛ − 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ ⎠ Là ma trận dạng bậc thang /46 Ma trận Định nghĩa ma trận chuyển vị Chuyển vị A = (aij ) m×n ma trận T A = (aij ) n×m cỡ nXm thu từ A cách chuyển dịng thành cột Ví dụ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ T A = ⎜ −1 ⎟ ⎜ 9⎟ ⎝ ⎠3×2 ⎛ −1 3⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2×3 /46 Ma trận Định nghĩa ma trận vng Nếu số dịng cột ma trận A n, A gọi ma trận vng cấp n ⎛ − 1⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2×2 Tập hợp ma trận vng cấp n trường số K ký hiệu M n (K) 10 /46 Hệ phương trình tuyến tính ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢0 −3 3 ⎥ −2h + h ⎢ −1 3 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ → ⎢ − h +h ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 −3 −1 ⎥⎦ ⎢⎣1 −2 −1 ⎥⎦ 1 x y z ⎡1 0 ⎤ ⎢ ⎥ − h +h ⎯⎯⎯ → ⎢0 −3 3 ⎥ ⎢⎣0 −4 ⎥⎦ 2 x=1 y=-1 Z=0 31 /46 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa ẩn sở ẩn tự Ẩn sở ẩn tương ứng với cột chứa phần tử sở Ẩn tự tương ứng với cột khơng có phần tử sở ⎡1 1 ⎤ ⎢ 2 ⎥ BĐSC Dòng ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 −1⎥⎦ ⎡1 1 ⎤ ⎢0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 −6 −8⎥⎦ x1, x3, x4: ẩn sở x2: ẩn tự 32 /46 Định lý Kronecker Capelli Nếu r ( A |b) ≠ r ( A) , hệ AX = b vơ nghiệm Nếu r ( A |b) = r ( A) , hệ AX = b có nghiệm Nếu r ( A |b) = r= ( A)số ẩn, hệ AX = b có nghiệm Nếu r ( A |b) = r ( A) số nghiệm < số ẩn, hệ AX = b có vơ 33 /46 Hệ phương trình tuyến tính Sử dụng biến đổi sơ cấp hàng để giải hệ Lập ma trận mở rộng ∞ A = ( A | b) Dùng biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận mở rộng ma trận dạng bậc thang Kiểm tra hệ có nghiệm hay khơng Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang Giải hệ phương trình ngược từ lên, tìm ẩn xn, sau xn-1,… , x1 34 /46 Ví dụ Giải hệ phương trình sau với ma trận mở rộng cho trước ⎡1 −6 ⎤ a ⎢0 −7 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎡1 1 −3⎤ b ⎢0 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ ⎡1 −1 ⎤ c ⎢0 −2 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ ⎡1 1 ⎤ c ⎢0 −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 ⎥⎦ 35 /46 Ví dụ Giải hệ phương trình: ⎧ x + y + 2z = ⎪ ⎨− x − y + z = ⎪ x + y − z = −9 ⎩ 36 /46 Ví dụ Giải hệ phương trình y + z = ⎧ ⎪ ⎨3 x + y + z = −2 ⎪ x + y + 3z = ⎩ 37 /46 Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình x2 ⎧ ⎪ ⎨3 x1 − x2 ⎪3 x − x ⎩ ẩn sở: x1 , x2 , x5 − x3 + x4 + x5 = −5 + x3 − x4 + x5 = + 12 x3 − x4 + x5 = 15 ẩn tự do: ⎧ x1 ⎪x ⎪⎪ Nghiệm tổng quát: ⎨ x3 ⎪x ⎪ ⎪⎩ x5 38 x3 , x4 = −24 + 2α − 3β = −7 + 2α − β = = α β = /46 Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình biết ma trận mở rộng ⎡1 −1 1⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 1⎥⎦ 39 /46 Bài tập! Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm ⎤ ⎡1 1 ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ m m + 1⎥⎦ 40 /46 Bài tập! Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm ⎡1 ⎢2 ⎢ ⎢3 ⎢ −2 −1 ⎣ 1 ⎤ −1 ⎥ ⎥, ⎥ m m − 1⎥⎦ 41 /46 Định nghĩa hệ Hệ phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự b1, b2, …, bm Hệ tuyến tính ln ln có nghiệm khơngx1 = x2 = … = xn = Nghiệm gọi nghiệm tầm thường Hệ có nghiệm không r (A) = n = số ẩn 42 /46 Hệ AX = có nghiệm khơng tầm thường r(A) < n Hệ AX = 0, với A ma trận vng có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác 0) det(A) = 43 /46 Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình ⎧ x1 + x2 ⎪ ⎨2 x1 + x2 ⎪3x + x ⎩ + x3 + x4 = + x3 + x4 = + x3 + x4 = 44 /46 Bài tập! Giữa nghiệm hệ ⎧ x + 2y + ⎪ ⎨2 x + y + ⎪ x + 2y − ⎩ z = z = z = tìm nghiệm thỏa biểu thức y – xy = 2z 45 /46 ... gọi hệ số hệ phương trình b1, b2, …, bm gọi hệ số tự hệ phương trình 24 /46 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa hệ Hệ phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự b1, b2, …, bm Định nghĩa hệ không... không Hệ phương trình tuyến tính gọi khơng nhất hệ số tự b1, b2, …, bm khác Nghiệm hệ n số c1, c2, …, cn cho thay vào phương trình hệ ta đẳng thức 25 /46 Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình. .. gọi ma trận hệ số amn ⎟⎠ a1n b1 ⎞ a2 n b2 ⎟ gọi ma trận hệ ⎟ số mở rộng amn bm ⎟⎠ 29 /46 Hệ phương trình tuyến tính = ⎧x + y ⎪ Giải hệ phương trình: ⎨ x − y + z = ⎪ x − 2y − z = ⎩ Ma trận