PHƯƠNG PHÁP lặp đơn và PHƯƠNG PHÁP JACOBI GIẢI gần ĐÚNG hệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

TRƯ NG ĐẠI HOC BÁCH KHOA HÀ N I VI N TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HOC ———————o0o——————– BÁO CÁO MÔN HOC CHỦ ĐE 11: PHƯƠNG PHÁP L P ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP JACOBI GIẢI GAN ĐÚNG H PHƯƠNG TRÌNH TUYEN TÍNH Giảng viên hướng dan: TS: Hà Thị Ngoc Yen Sinh viên: Nguyen Thị Ngoc Lan MSSV: 20185372 HÀ N I, 1/2022 Mnc lnc L i nói đau ii Kien thfíc chuan bị iii 1.1 Chuȁn ma tr n vec tơ iii 1.2 Giới hạn dãy véc tơ iv 1.3 Sự khơng őn định h phương trình đại so tuyen tính iv Phương pháp l p đơn v 2.1 Bài toán v 2.2 Ý tưởng phương pháp v 2.3 Sự h®i tụ phương pháp vi 2.4 Công thác sai so vi 2.5 Thu t toán .vii 2.6 Ví dụ viii Phương pháp Jacobi xi 3.1 Ma tr n chéo tr®i hàng ma tr n chéo tr®i c®t xi 3.2 N®i dung phương pháp xii 3.3 Công thác sai so xiii 3.4 Thu t toán xiv 3.5 Ví dụ xvi ii L i nói đau Giải tích so m®t mơn hoc nghiên cáu phương pháp giải gan toán thực te mơ hình hóa bang ngơn ngǎ tốn hoc Đe có lời giải cho bat kỳ toán can phải có dư ki n tốn, xây dựng mơ hình tốn, tìm thu t tốn hi u nhat cuoi xây dụng chương trình máy tính cho tiet ki m thời gian b® nhớ Tuy nhiên thời gian xả lý so li u không tránh khỏi sai so dù rat nhỏ ảnh hưởng trực tiep đen trình tính tốn Chính v y phải sả dụng thu t toán hǎu hi u đe giảm thieu sai so đong thời thu n lợi cho công vi c l p trình tiet ki m so lượng phép tính thời gian tính tốn Phương pháp so có ý nghĩa rat lớn đại so tuyen tính, đ c bi t đoi với vi c giải h phương trình tuyen tính Khi so phương trình lớn, phương pháp truyen thong g p nhieu khó khăn, khơng the giải m®t cách xác mà có the đưa lời giải gan cho m®t tốn Qua báo cáo này, em xin trình bày m®t phương pháp giải gan h phương trình tuyen tính: “Phương pháp l p đơn l p Jacobi” Bài báo cáo gom n®i dung: Kien thác chuȁn bị Phương pháp l p đơn gom n®i dung phương pháp, cơng thác sai so, thu t toán Phương pháp Jacobi gom n®i dung phương pháp, cơng thác sai so, thu t tốn Em xin trân thành cảm ơn Hà Thị Ngoc Yen t n tình hướng dan giúp em hoàn thành báo báo Chương Kien thfíc chuan bị 1.1 a Chuan ma tr n vec tơ Chuan ma tr n nh ngha 1.1.1 Chun ca ma trắn cap m ì n: A = (aij) m®t so thực khơng âm kí hi u thóa mãn đieu ki n sau: ǁAǁ > (với ǁAǁ = ⇔ A = ) ǁαAǁ = |α| ǁAǁ , α so thực bat kì ǁA + Bǁ ≤ ǁAǁ + ǁBǁ Trong phạm vi báo cáo, ta chon hai loại chuȁn thường dùng sau: Chuȁn c®t: m Σ ǁAǁ1 = max ǁAǁ∞ = max Chuȁn hàng:  1≤j≤n i=1 |aij | n Σ |aij | 1≤i≤m −2 j=1  Ví dn Cho A =    −1  , ta tính chuȁn A theo đ nh nghĩa sau: ǁAǁ1 = max (5 + + 2; + + 1; + + 7) = max (8; 7; 11) = 11 ǁAǁ∞ = max (5 + + 1; + + 3; + + 7) = max (8; 8; 10) = 10 Giải tích so b Phương pháp l¾p đơn l¾p Jacobi Chuan véc tơ Vecto ma tr n có n hàng c®t, đoi với vecto x = (x1, x2, , xn)T ta có hai chuȁn sau: ǁxǁ1 = Σ n |xi | i= ǁxǁ∞ = max |xi | i 1.2 Gi i hạn dãy véc tơ Định lí 1.2.1 Xét dãy vecto (X (n) )n∞ với X (n) ∈ n Dãy vecto goi h®i tự ve vecto X n → +∞ neu chí neu ă Xn X ă n → +∞ (h®i tự theo chuȁn) Định lí 1.2.2 Đe dãy vecto (X (n) )n∞ h®i tự ve vecto X n → +∞ đieu ki n can đủ nhũng dãy (x(n)) h®i tự ve xk ,∀k = 1, 2, , n (h®i tự theo k toa đ®) } } 1} Ví dn Xét ba dãy 1k ; 2k+k ; ta m®t dãy vecto h®i tự đen 2 k v = 0; ; 1.3 Sf khơng on định h phương trình đại so tuyen tính Định nghĩa 1.3.1 Đoi với mői h PTTT, neu m®t thay đői nhó h so dȁn đen thay đői lớn nghi m h khơng őn đ nh Ngược lại h őn đ nh ( 2x + y = có nghi m x = 0.5, y = Ví dn Cho h 2x + 1.01y = 2.01 ( H 2x + y = 2.01x + 1y = 2.05 có nghi m x = 5, y = −8 Nh n xét 1.3.2 Xét h AX = b , A ma tr¾n vng Ta goi so đieu ki n ca ă ma trắn khụng suy bien A l Cond (A) = Aă A1 Nguyen Th Ngoc Lan 20185372 v Cond (A) gan với 1: H őn đ nh Cond (A) lớn: h không őn đ nh Neu A suy bien Cond (A) xem vô hạn Nguyen Th Ngoc Lan 20185372 vi Chương Phương pháp l p đơn 2.1 1.1 Chuan cua ma tr n vec tơ .iii 1.2 Gi i hạn cua dãy véc tơ iv 1.3 Sfi khơng on định cua h phương trình đại so tuyen tính iv Bài tốn Giải h phương trình tuyen tính Ax = b Trong A ∈ Rn×n, b ∈ Rn 2.2 (2.1) Ý tư ng phương pháp Đưa phương trình (2.1) ve dạng x = Bx + d = φ (x) (2.2) Trong ma tr n B vecto d xây dựng tà A b Đe thực hi n phép l p, ta chon m®t vecto ban đau x0 sau tính xi, i = 1, 2, theo công thác l p sau: x1 = φ x0 = Bx0 + d = 1x = φ x k k−1 k−1 Bx x =+ φ dx = Bx +d Vecto xk goi vecto l p thá k vi i (2.3) vi ii Giải tích so 2.3 Phương pháp l¾p đơn l¾p Jacobi Sf h i tn phương pháp Định lí 2.3.1 Neu phộp lắp (2.3) hđi t, tỳc ton ti x cho x∗ = lim xk k→∞ x nghi m (2.2) (như v¾y nghi m 2.1) ∗ Cháng minh: Tà xk = φ xk−1 , với lưu ý hàm φ (x) liên tục, ta có: lim xk = lim φ xk−1 = φ n→∞ n→∞ 2.4 lim n→∞ xk−1 ⇒ x∗ = φ (x∗) Cơng thfíc sai so Định lí 2.4.1 Neu ǁBǁ ≤ q < với m®t chuȁn đó, (2.3) h®i tự đen nghi m nhat phương trình theo hai đánh giá: k Cơng thúc tiờn nghi ăxk xă q ăx1 x0ă m: 1q Cụng thỳc hắu nghi m: ăxk xă q q ă xk xk1ă Chỏng minh: * Cháng minh h có nghi m nhat: Xét h thuan nhat ( d = 0) x = Bx: Ta có ǁxǁ = ǁBxǁ ≤ ǁBǁ ǁxǁ Theo giả thiet: ǁBǁ ≤ q < ⇒ ǁxǁ ≤ ǁBǁ ǁxǁ ≤ q ǁxǁ ⇒ (1 − q) ǁxǁ ≤ Đieu xảy ǁxǁ = Như v y h thuan nhat x = Bx có nghi m tam thường, nên h thuan nhat (2.2) có nghi m nhat, goi nghi m x∗ x∗ = Bx∗ + d * Cháng minh h®i tụ Ta có x∗ = φ (x∗) nên: Nguyen Th Ngoc Lan 20185372 ix Giải tích so Phng phỏp lắp n v lắp Jacobi ăxk xă = xk1 (x)ă ă =ă Bxk1 + d (Bx + d) ă = ăăB xk1 x ă Nguyen Th Ngoc Lan 20185372 x Chng Phương pháp Jacobi 3.1 2.1 Bài toán v 2.2 Ý tư ng phương pháp v 2.3 Sfi h i tự cua phương pháp vi 2.4 Cơng thfíc sai so vi 2.5 Thu t toán vii 2.6 Ví dự viii Ma tr n chéo tr i hàng ma tr n chéo tr ict Định nghĩa 3.1.1 Ma tr¾n A = (aij)n c goi l ma trắn chộo trđi hng neu giá tr tuyet đoi phan tủ nam đường chéo lớn tőng tr t đoi phan tủ lại nam hàng, túc: |aii | > n j=Σ1 ,j=/ |aij | (3.1) i Ma tr¾n A = (aij)n goi ma trắn chộo trđi hng neu giỏ tr tuyet oi ca phan tủ nam đường chéo lớn tőng tr t đoi phan tủ lại nam hàng, túc: |aii | > n i=Σ1,i =/ j xi |aij | (3.2) Giải tích so 3.2 Phương pháp l¾p đơn l¾p Jacobi N i dung phương pháp Đưa h phương trình Ax = b ve dạng x = Bx + d a A ma tr n chéo tr i hàng Đ t D = diag (aii) ; T = D−1 = diag i Ta viet lại h phương trình dạng:     a11 a12  a1n a21 a22 a2n  x Nhân vào hai ve ma tr n T ta có: 1/a22   1/a11    1/ann  1 b b2   1/a22 a1n a12 a11  a11 1/ann   b     x  n b1 a11     a2 a2n x2 b2 22  a2 ⇒   1 x   x2        x an1 an2 ann  0 =  a11 a12 a1n a21  a22  a2n  0  x =  n   Nguyen Th Ngoc Lan 20185372 xvi a22 bn ann b   x2   b    =       an1 an2 ann  1/a11  1   n xn bn Giải tích so a.n1 ann Phương pháp l¾p đơn l¾p Jacobi     Viet gon lại ta có: TAx = Tb Tách ma tr n TA thành ma tr n đơn vị c®ng với phan cịn lại: TA = I +(TA − I) ⇒ x = (I − TA) x + Tb = Bx + d Suy  − aa12 11 − − B=  a2 a1n a1 − 1 a2       ,d = b1 a11 b2 a22 a2n − an1 − ann2 n n    abnn n Σ ij Tà đieu ki n (3.1) ta rút ket lu n ǁB ǁ∞ = max n < Suy i=1,n j=1,j Nguyen Th Ngoc Lan 20185372 an2 ann xvii i i a ton q: ǁBǁ ≤ q < b A ma tr n chéo tr i c t Nhân ma tr n T tà bên phải, ta có: ATDx = b ⇔ ATy = b (với y = Dx ) AT = I + (AT − I) ⇒ y = (I − AT ) y + b = B1y + b V y ta nh n h phương trình y = B1y + b (3.3) Trong đó:    1 a12 a − a22 − an1n n − B =  a21 a11 − b   ,b=     b2 a2n  bn  ki n (3.2): Tà đieu ǁB1ǁ1 n Σ a i − an − an = max < j  a11 a22 j=1,n j=1,j i y1 Chú ý: neu y ∗ = y ∗ , y ∗ , , yn∗ nghi m h (3.3) x∗ = yn ∗ nghi m h phương trình ban đau 3.3 Cơng thfíc sai so Cách 1: Tính y, suy x ăyk yk1ă Theo pp l p đơn, công thác sai so y : ¨ yk ǁB1ǁ ∗ y ¨− − ǁB ǁ Ta li cú ă xk x ă = ă Ty k Ty ă T ăyk y ă Suy ra: ăxk xă T B1 ăyk yk1ă B ǁ1 Cách 2: xây dựng công thác l p cho x Ta có: ∗ , y2 ∗ , , a1 a2 an n y = B1 y + b ⇔ Ty = TB DTy + Tb ⇔ x = TB Dx + Tb TB D = T (I − AT ) D = I − TA = B ⇒ x = Bx + d Sai so: Ta cú: yk ă y ă B1 1B1 ¨yk − yk−1¨ Ta lại có: ¨yk − yk−1¨ = ¨D xk − xk−1 ¨ ≤ ǁDǁ ¨xk − xk−1¨ ăxk xă T ăyk yă Nh n xột: T B1D 1B ăxk xk1ă Cụng thỏc l p trng hp ma tr n A chéo tr®i c®t giong với cơng thác l p trường hợp ma tr n A chéo tr®i hàng Tuy nhiên h so co hai trường hợp khác Đoi với trường hợp ma tr n chéo tr®i hàng, moi phép tính nam khơng gian chuȁn ǁ.ǁ∞ Đoi với trường hợp ma tr n chéo tr®i c®t, moi phép tính nam khơng gian chuȁn ǁ.ǁ1 3.4 a Thu t tốn Gói A: Kiem tra tính chéo tr i input: ma tr n A output: kt(A) Bước 1: m = [] = sum(abs(aij) for j = to n Bước 2: if (2abs(aii)> m[i] for all i ∈ (1, n)): return kt(A)= else: m = sum(abs(aij)) for i = to n for all i ∈ (1, n): If 2abs(ajj) > m[j]): return kt(A) = else: return kt(A) = -1 b Gói B: tính chuan input: kt(A), B, x output: chuan(B), chuan(x) If kt(A)=0: chuan(B) := chuan_vc(B) chuan(v) := chuan_vc(v) If kt(A)=1: chuan(B) := chuan_1(B) chuan(v) := chuan_1(v) c Gói C: xác định ma tr n B vecto d Input: A, b Output: B, d Bước 1: Xác định B for i=1 to n for j=1 to n if i==j: bij:=0 else: bij:=-(aij)/(aii) Bước 2: xác định d for i=1 to n: d[i] := b[i]/aii d Gói D: gói l p trình e Chương trình Input: A, b, e Output: x* kiem tra A If kt(A) == -1: ket lu n: ma tr n A khơng chéo tr®i Else: If kt(A) == 0: Sả dụng gói C, tính B,d Eps:=e(1-chuan(B))/chuan(B) If kt(A) == 1: Tính chuanB1 chuanT, chuanD Sả dụng gói C, tính B, d Eps := e*(1-chuanB1)/( chuanB1*chuanT*chuanD) Sả dụng gói l p tính lapdon(B,d,eps) 3.5 Ví dn Ví dụ 3: Áp dụng phương pháp l p đơn giải h phương trình Ax=b Trong đó:       10 10  , b =  12   với sai 1so e1 = 10 10e-10  A= Hướng dan sả dụng chương trình: Nh p dǎ li u tà file input file input ma tr n cap n x (n+1) Trong n c®t đau bieu dien ma tr n A, c®t cuoi bieu dien vecto b output: Chương trình chạy trường hợp A ma tr n chéo tr®i c®t với so bước       10  l p 26, chuan(B1) = 0.6 c®t Khi A = 10  , b =  12   1 10 output: Chương trình chạy trường hợp A ma tr n chéo tr®i hàng với so bước l p 17, chuan(B) = 0.4      Khi A= output: 20 10  10 10  , b =  12    Chương trình chạy trường hợp A ma tr n chéo tr®i    2.4 2.4   10 10  , b =  12   1 10 Khi A=  output: Khi chuan(B) ho c chuan(B1) gan 1, so bước l p tăn lên ... ? ?Phương pháp l p đơn l p Jacobi? ?? Bài báo cáo gom n®i dung: Kien thác chuȁn bị Phương pháp l p đơn gom n®i dung phương pháp, cơng thác sai so, thu t tốn Phương pháp Jacobi gom n®i dung phương pháp, ... l p trình tiet ki m so lượng phép tính thời gian tính tốn Phương pháp so có ý nghĩa rat lớn đại so tuyen tính, đ c bi t đoi với vi c giải h phương trình tuyen tính Khi so phương trình lớn, phương. .. phương pháp truyen thong g p nhieu khó khăn, khơng the giải m®t cách xác mà có the đưa lời giải gan cho m®t tốn Qua báo cáo này, em xin trình bày m®t phương pháp giải gan h phương trình tuyen tính: