Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình n biến, áp dụng maple trong tính toán

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự giúp đỡ và dạy dỗ tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến thức khoa học mới,

MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành Giải tích

HÀ NỘI – 2014

MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành Giải tích

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa Toán - Trường đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự giúp đỡ và dạy dỗ tận tình của các thầy cô, em đã tiếp thu được nhiều kiến thức khoa học mới, tích lũy được nhiều kinh nghiệm, phương pháp học tập và bước đầu được làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Để hoàn thành khóa luận này, em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ và tận tình dạy dỗ của các thầy cô trong khoa Toán trong bốn năm học vừa qua

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian, nên bản khóa luận này khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Lệ Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Khuất Văn Ninh và sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán Ngoài ra, em còn tham khảo thêm một số tài liệu đã trình bày trong phần Tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định đề tài: “Phương pháp lặp đơn giải hệ

phương trình n biến và áp dụng Maple trong tính toán” không có sự trùng

lặp với đề tài của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Lệ Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Sai số 7

1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 7

1.1.2 Sai số thu gọn 8

1.1.3.Chữ số chắc 9

1.1.4 Sai số tính toán 9

1.1.5 Bài toán ngược của bài toán sai số 11

1.1.6 Xấp xỉ ban đầu 12

1.2 Không gian Metric 12

1.2.1 Không gian Metric 12

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian Metric 13

1.2.3 Ánh xạ co, nguyên lí Banach về ánh xạ co 14

1.3 Không gian định chuẩn và không gian Banach 16

1.4 Hệ phương trình n biến 18

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN 20

2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 20

2.1.1 Bài toán 20

2.1.2 Sự hội tụ 22

2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 23

2.1.4 Các ví dụ 24

2.2 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình tuyến tính 31

2.2.1 Bài toán 31

2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm, định lí Cramer 31

2.2.3 Cơ sở lí thuyết 33

2.2.4 Thuật toán 35

2.2.5 Các ví dụ 36

Chương 3 ÁP DỤNG MAPLE TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN 43

3.1 Các bước giải hệ phương trình Đại số tuyến tính trên Maple 43

3.2 Các bước giải hệ phương trình phi tuyến trên Maple 43

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

MỞ ĐẦU

Trong Toán học hiện đại, Giải tích số là một môn học quan trọng Môn này được phát triển cùng với sự phát triển của máy tính điện tử Ngày nay, Giải tích số đã thâm nhập sâu vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học công nghệ, kỹ thuật và kinh tế

Giải tích số là một lĩnh vực Toán học rất rộng Nó nghiên cứu sai số, giải gần đúng một lớp các bài toán, phương trình và hệ phương trình Đặc biệt, Giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô phỏng bằng ngôn ngữ toán học

Trong thực tế (đo đạc ruộng đất, thiên văn, ) có nhiều bài toán dẫn đến

giải hệ phương trình n biến dạng F(x)=b.Trong nghiên cứu khoa học, ta thường xuyên phải giải các hệ phương trình n biến Tuy nhiên, chỉ trong một

số trường hợp đặc biệt ta mới có cách tìm nghiệm đúng của hệ phương trình

đó, các trường hợp còn lại nói chung khó có thể giải được bằng các biến đổi đại số Do đó, các nhà khoa học đã đưa ra nhiều phương pháp để giải gần đúng chúng từ việc áp dụng nguyên lí ánh xạ co Phương pháp được sử dụng phổ biến nhất là các phương pháp lặp, trong đó có phương pháp lặp đơn Khi

nghiên cứu phương pháp lặp này, người ta phải nghiên cứu: Khi nào F là ánh

xạ co? để từ đó hệ phương trình n biến có nghiệm và nghiệm đó sẽ tìm được

bằng xấp xỉ

Với lòng say mê Giải tích số ngay từ đầu khi được làm quen với môn

học này, em mạnh dạn chọn đề tài “Phương pháp lặp đơn giải hệ phương

trình n biến , áp dụng Maple trong tính toán ” để hoàn thành khóa luận tốt

nghiệp bậc đại học Trong đề tài, em có đưa ra phương pháp giải hệ phương

trình n biến và nhiều ví dụ với mục đích minh họa rõ hơn lí thuyết, một số ví

dụ em có đưa đoạn chương trình trên Pascal nhằm kiểm tra ngay kết quả của

ví dụ đó, góp phần làm cho kiến thức của chương thêm phong phú Đặc biệt

trong chương 3, em giới thiệu việc giải hệ phương trình n biến thông qua

Maple - một phần mềm có khả năng tính toán tuyệt vời Chỉ bằng những lệnh đơn giản chúng ta sẽ giải được những hệ phương trình mà bình thường phải mất khá nhiều thời gian và công sức mới giải được

Rất mong việc nghiên cứu sâu đề tài này góp phần bổ sung thêm những

kiến thức trong bộ môn Giải tích số, đồng thời qua đó vận dụng vào dạy hệ

phương trình n biến trong chương trình dạy ở trường trung học phổ thông,

giải toán trên máy tính, cũng như giải quyết nhiều bài toán trong thực tiễn Khóa luận được chia làm 3 phần:

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình n biến

Chương 3: Áp dụng Maple trong việc giải hệ phương trình n biến

Phần 3: Kết luận

NỘI DUNG Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Sai số

1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Gọi A là đại lượng đúng, có giá trị gần đúng là a Ta có các định nghĩa

Định nghĩa 1.3 Số a nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi là sai số

tuyệt đối của số gần đúng a

Khi đó : A a  a

Định nghĩa 1.4 Số a a

a

   được gọi là sai số tương đối của a

Ví dụ 1.1 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB và CD ta thu được:

b

Kết luận:

Phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD mặc dù chúng

có cùng sai số tuyệt đối    a b 0,01m

Sai số thu gọn là sai số sinh ra khi thu gọn một số

Cho số thập phân a có dạng tổng quát:



    

Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0” nếu nó kẹp giữa hai

chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng đƣợc giữ lại

n y

cộng đại số, khi ta thu gọn x i nên giữ lại một hoặc hai chữ số bên phải hàng

y i

Sai số của các phép tính nhân

Cho 1

1

x x p y

  1 (phép lấy lũy thừa) thì yx ,do đó độ chính xác giảm

 0  1 (phép khai căn) thì yx , do đó độ chính xác tăng

   1 (phép nghịch đảo) thì yx , do đó độ chính xác không đổi

1.1.5 Bài toán ngược của bài toán sai số

Đại lượng y được tính theo công thức y=f( x 1 , x 2 , , x n ) Yêu cầu đặt ra

là cần tính x i như thế nào để  y , với 0là số cho trước

Bất đẳng thức trên sẽ thỏa mãn nếu

'

x i

n f x i

Việc tìm nghiệm xấp xỉ ban đầu xo cho nghiệm r của phương trình trên thường có hai cách Cách thứ nhất, dự đoán dựa trên những thông tin về hàm f

có được Cách thứ hai, vẽ đồ thị ,tìm điểm xosao cho f xo 0 Ngoài hai cách trên ta cũng có thể tìm xo dựa vào định lí sau:

Nếu f(x) là một hàm thực liên tục trên a b a b,   , có f a f b   0

thì tồn tại ít nhất một nghiệm r của f(x) trong khoảng

1.2 Không gian Metric

1.2.1 Không gian Metric

Định nghĩa 1.7 Một tập X được gọi là một không gian metric nếu:

a) Với mỗi cặp phần tử x,y của X đều có xác định, theo một quy tắc nào

đó, một số thực x y, , gọi là “khoảng cách giữa x và y”

b) Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau đây:

 x y, >0 nếu x y; x y, =0 nếu xy

 x y, y x,  với mọi x,y ( tính đối xứng )

 x y, x z, z y,  với mọi x, y, z ( bất đẳng thức tam giác )

Hàm số x y,  gọi là metric của không gian

Ví dụ 1.6

 Một tập M bất kì của đường thẳng , độ dài đoạn nối x và y :

   , là một không gian metric

 Trên một tập bất kì X, nếu ta định nghĩa x y, 1 khi x y và

x x, 

 =0 thì cũng được một metric (metric rời rạc)

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian Metric

Trong không gian metric, nhờ có khoảng cách, nên có thể định nghĩa khái niệm giới hạn

Một dãy điểm , , ,

1 2 3

x x x của một không gian metric X hội tụ tới điểm x

của không gian đó nếu limnx n,x0 Ta viết

x nx hoặc lim x n x

Điểm x gọi là giới hạn của dãy  xn

Chú ý: Nếu một dãy  xn hội tụ tới x thì mọi dãy con xn

Ta có hai tính chất quan trọng sau đây:

 Nếu x nx và x nx' thì xx', nghĩa là giới hạn của một dãy điểm, nếu có, là duy nhất

 Nếu x nx , và y ny thìx n,y nx y, , nghĩa là khoảng cách x y,  là một hàm liên tục đối với x và y

Lưu ý: Không gian metric (X,d) được gọi là không gian đầy nếu mọi dãy

cơ bản trong nó đều hội tụ

 , n 

Điều này tương đương với i n ii1,2, ,k Vậy sự hội tụ trong

k là hội tụ theo tọa độ

chính là hội tụ đều trong giải tích

1.2.3 Ánh xạ co, nguyên lí Banach về ánh xạ co

Định nghĩa 1.8 Cho một không gian metric X bất kì Một ánh xạ P từ

X vào bản thân nó gọi là ánh xạ co, nếu có một số  1 sao cho, nếu Px là phần tử ứng với x trong ánh xạ P, ta có:

Điểm bất động trong ánh xạ là những điểm mà ảnh của nó trùng với

chính nó (trong một phép ánh xạ từ X vào chính nó có thể có), hay là những điểm x sao cho Px = x

Định lí 1 1 (Nguyên lí Banach về ánh xạ co)

Mọi ánh xạ co P từ một không gian metric đủ X vào bản thân nó đều có

một điểm bất động duy nhất

Vì  1 nên x n m,x 0 khi m n, , tức là  xn là một dãy cơ

bản trong X, và vì X đủ ( theo giả thiết ) nên xn phải dần tới một giới hạn x

Với  1 điều này chỉ xảy ra nếu x y, 0 tức là x = y

1.3 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.9 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định

chuẩn ) là một không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực hay trường số phức ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu

(đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau:

a)  x X x 0, x   0 x  (kí hiệu phần tử không của X)

b)  x X  Px  x

c) x y, X x  y x  y (bất đẳng thức tam giác)

Số x gọi là chuẩn của vecto x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn

là X Các tiên đề a), b), c) gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định lí 1.2 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vecto bất kì là

,

x yX ta đặt:

d x y  x y

Khi đó d là một metric trên X Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là

không gian metric

Định nghĩa 1.10 Dãy điểm  xn của không gian định chuẩn X gọi là hội

tụ tới điểm x X , nếu lim x n x 0

Kí hiệu: lim x n x

n  hay x nx n 

Từ định nghĩa suy ra một số tính chất đơn giản sau:

a) Chuẩn là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x

b) Nếu dãy điểm  xn hội tụ tới x trong không gian định chuẩn X, thì dãy

chuẩn  xn bị chặn

c) Nếu dãy điểm  xn hội tụ tới x, dãy điểm  yn hội tụ tới y trong không gian định chuẩn X, dãy số  n hội tụ tới , thì :

x ny n x y n n n x x n

Định nghĩa 1.11 Dãy điểm  xn của không gian định chuẩn X gọi là

dãy cơ bản, nếu :

lim 0

Định nghĩa 1.12 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,

nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.8 Đối với số thực bất kì x ta đặt:

x  x (1.2) Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.2) cho một chuẩn trên Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là 1 1là không gian Banach

Ví dụ 1.9 Cho không gian vecto

l là không gian Banach

Ví dụ 1.10 Cho không gian vecto

f x

b b b bn

Để cách trình bày được đơn giản, trong phần tiếp theo ta chỉ xét cách

giải hệ phương trình n biến dạng (1.8), phương pháp và kết quả có thể suy

rộng cho hệ (1.7)

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH N BIẾN

Những phương pháp lặp là những phương pháp giải gần đúng hệ phương

trình n biến Những phương pháp này chỉ cho nghiệm gần đúng của hệ dù các

bước trung gian ta tính đúng hoàn toàn, nhưng ta có thể tìm nghiệm gần đúng

Ở đây f i và các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai được giả thiết

là liên tục và giới nội

Áp dụng đối với những hệ có dạng (2.1) đã được đưa về dạng sau đây:

Để có được điều kiện hội tụ của phương pháp lặp, ta đưa vào trong

không gian vecto p - chiều một chuẩn nào đó (chẳng hạn chuẩn lập phương,

chuẩn cầu) Ký hiệu :SS x o, x p: x x o 

Định lí 2.1 Giả sử đối với phương trình (2.3) các điều kiện sau được

2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn

Để cách trình bày được đơn giản, ta chỉ xét hệ gồm hai phương trình, hai ẩn số, phương pháp và kết quả có thể suy rộng cho hệ gồm nhiều phương trình và nhiều ẩn số

Xét hệ gồm hai phương trình, hai ẩn số:

k x

Xây dựng chương trình trong pascal

Program lap don giai he phi tuyen;

142( , , )

24

Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

x y z, ,   2,000; 1,000; 0,5000  

Xây dựng chương trình trong pascal

Program lap don giai he phi tuyen;

2.2 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình tuyến tính

2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm, định lí Cramer

 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm:

Gọi det A i là định thức suy ra từ định thức det A bằng cách thay đổi cột i

bởi vế phải

Nếu det A=0 ta nói ma trận A suy biến và hệ (2.14) suy biến Khi đó hệ

phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

A i

A

 

Số điều kiện của ma trận

d i

 

inf0

Ước lượng (2.15) chứng tỏ rằng sai số tương đối của nghiệm có thể bằng

tích của số điều kiện xấu của ma trận A với sai số của vế phải

Từ đó suy ra rằng với ma trận A điều kiện xấu thì nghiệm của nó thay đổi nhiều so với những thay đổi nhỏ ở hệ số và số hạng tự do

Như vậy, vấn đề giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng số với ma trận điều kiện xấu và vế phải cho gần đúng là một bài toán khó của toán học tính toán

2.2.3 Cơ sở lí thuyết

Bản chất của phương pháp lặp đơn là vận dụng nguyên lí ánh xạ co, đưa

hệ Ax=b về hệ phương trình tương đương có dạng:

xBx g (2.16) Trong đó:

k   B k k ,k=1,2,…

Trong đó, B là một trong các chuẩn 1; 2;  được tính tương ứng

theo chuẩn của vecto x

Theo giả thiết q B <1T là ánh xạ co

Theo nguyên lí ánh xạ co thì T có điểm bất động duy nhất xx*

k  đƣợc đánh gía:

*

11

Đánh giá thuật toán

Phương pháp lặp đơn ưu việt hơn các phương pháp khác vì nó có thể khống chế được sai số nên sẽ cho kết quả tương đối chính xác đối với những bài toán có số liệu vào không chính xác, số lượng phương trình và số ẩn lớn

0, 22 0,09 0, 44 0,752j

13

0,13 0,02 0, 42 0,573j

1

ax 0,53;0,75;0,57 0,75 1

b j

b j

b j

Xây dựng chương trình trên pascal

Program lap don giai he ĐSTT;