Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình n biến, áp dụng maple trong tính toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN THỊ LỆ HOA PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH N BIẾN, ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành Giải tích HÀ NỘI – 2014 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* TRẦN THỊ LỆ HOA PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH N BIẾN, ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học tập khoa Toán - Trƣờng đại học sƣ phạm Hà Nội 2, dƣới giúp đỡ dạy dỗ tận tình thầy cô, em tiếp thu đƣợc nhiều kiến thức khoa học mới, tích lũy đƣợc nhiều kinh nghiệm, phƣơng pháp học tập bƣớc đầu đƣợc làm quen với việc nghiên cứu khoa học Để hồn thành khóa luận này, em xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ tận tình dạy dỗ thầy khoa Tốn bốn năm học vừa qua Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, ngƣời giúp đỡ có nhiều ý kiến đóng góp quý báu thời gian em thực khóa luận Do hạn chế trình độ thời gian, nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Trần Thị Lệ Hoa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu em dƣới hƣớng dẫn PGS.TS.Khuất Văn Ninh giúp đỡ thầy khoa Tốn Ngồi ra, em tham khảo thêm số tài liệu trình bày phần Tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin khẳng định đề tài: “Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình n biến áp dụng Maple tính tốn” khơng có trùng lặp với đề tài tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Trần Thị Lệ Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sai số 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1.1.2 Sai số thu gọn 1.1.3.Chữ số 1.1.4 Sai số tính tốn 1.1.5 Bài toán ngược toán sai số 11 1.1.6 Xấp xỉ ban đầu 12 1.2 Không gian Metric 12 1.2.1 Không gian Metric 12 1.2.2 Sự hội tụ không gian Metric 13 1.2.3 Ánh xạ co, nguyên lí Banach ánh xạ co 14 1.3 Không gian định chuẩn không gian Banach 16 1.4 Hệ phƣơng trình n biến 18 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP LẶP ĐƠN GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH N BIẾN 20 2.1 Phƣơng pháp lặp đơn giải hệ phƣơng trình phi tuyến 20 2.1.1 Bài tốn 20 2.1.2 Sự hội tụ 22 2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 23 2.1.4 Các ví dụ 24 2.2 Phƣơng pháp lặp đơn giải hệ phƣơng trình tuyến tính 31 2.2.1 Bài tốn 31 2.2.2 Sự tồn nghiệm, định lí Cramer 31 2.2.3 Cơ sở lí thuyết 33 2.2.4 Thuật toán 35 2.2.5 Các ví dụ 36 Chƣơng ÁP DỤNG MAPLE TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH N BIẾN 43 3.1 Các bƣớc giải hệ phƣơng trình Đại số tuyến tính Maple 43 3.2 Các bƣớc giải hệ phƣơng trình phi tuyến Maple 43 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 MỞ ĐẦU Trong Toán học đại, Giải tích số mơn học quan trọng Môn đƣợc phát triển với phát triển máy tính điện tử Ngày nay, Giải tích số thâm nhập sâu vào hầu hết lĩnh vực khoa học công nghệ, kỹ thuật kinh tế Giải tích số lĩnh vực Tốn học rộng Nó nghiên cứu sai số, giải gần lớp tốn, phƣơng trình hệ phƣơng trình Đặc biệt, Giải tích số chuyên nghiên cứu phƣơng pháp số giải gần toán thực tế đƣợc mơ ngơn ngữ tốn học Trong thực tế (đo đạc ruộng đất, thiên văn, ) có nhiều tốn dẫn đến giải hệ phƣơng trình n biến dạng F(x)=b.Trong nghiên cứu khoa học, ta thƣờng xuyên phải giải hệ phƣơng trình n biến Tuy nhiên, số trƣờng hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm hệ phƣơng trình đó, trƣờng hợp lại nói chung khó giải đƣợc biến đổi đại số Do đó, nhà khoa học đƣa nhiều phƣơng pháp để giải gần chúng từ việc áp dụng nguyên lí ánh xạ co Phƣơng pháp đƣợc sử dụng phổ biến phƣơng pháp lặp, có phƣơng pháp lặp đơn Khi nghiên cứu phƣơng pháp lặp này, ngƣời ta phải nghiên cứu: Khi F ánh xạ co? để từ hệ phƣơng trình n biến có nghiệm nghiệm tìm đƣợc xấp xỉ Với lòng say mê Giải tích số từ đầu đƣợc làm quen với môn học này, em mạnh dạn chọn đề tài “Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình n biến , áp dụng Maple tính tốn ” để hồn thành khóa luận tốt nghiệp bậc đại học Trong đề tài, em có đƣa phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình n biến nhiều ví dụ với mục đích minh họa rõ lí thuyết, số ví dụ em có đƣa đoạn chƣơng trình Pascal nhằm kiểm tra kết ví dụ đó, góp phần làm cho kiến thức chƣơng thêm phong phú Đặc biệt chƣơng 3, em giới thiệu việc giải hệ phƣơng trình n biến thơng qua Maple - phần mềm có khả tính tốn tuyệt vời Chỉ lệnh đơn giản giải đƣợc hệ phƣơng trình mà bình thƣờng phải nhiều thời gian cơng sức giải đƣợc Rất mong việc nghiên cứu sâu đề tài góp phần bổ sung thêm kiến thức mơn Giải tích số, đồng thời qua vận dụng vào dạy hệ phƣơng trình n biến chƣơng trình dạy trƣờng trung học phổ thơng, giải tốn máy tính, nhƣ giải nhiều tốn thực tiễn Khóa luận đƣợc chia làm phần: Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chƣơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Phƣơng pháp lặp đơn giải hệ phƣơng trình n biến Chƣơng 3: Áp dụng Maple việc giải hệ phƣơng trình n biến Phần 3: Kết luận NỘI DUNG Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sai số 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Gọi A đại lƣợng đúng, có giá trị gần a Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Số a đƣợc gọi số gần A a sai khác với A không nhiều Kí hiệu: a  A Định nghĩa 1.2 Đại lƣợng   a  A đƣợc gọi sai số thực a Nói chung, ta khơng biết A nên khơng biết  Nhƣng ta ƣớc lƣợng sai số thực a số dƣơng a  cho: a  A  a (1.1) Định nghĩa 1.3 Số a nhỏ thỏa mãn điều kiện (1.1) gọi sai số tuyệt đối số gần a Khi : A  a  a Định nghĩa 1.4 Số  a  a đƣợc gọi sai số tƣơng đối a a Ví dụ 1.1 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB CD ta thu đƣợc: a  100m  0,01m , b  10m  0,01m Ta có: a  0,01  0,0001% 100 b  0,01  0,001% 10 Kết luận: Phép đo đoạn thẳng AB xác đoạn thẳng CD chúng có sai số tuyệt đối a  b  0,01m Nhận xét 1.1  Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối số gần a số A không  Độ xác phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối 1.1.2 Sai số thu gọn Sai số thu gọn sai số sinh thu gọn số Cho số thập phân a có dạng tổng quát: a    a 10k  a 10k 1   a 10k t  k 1 k t  k  Trong đó:  , t  , k  ,0   9, a  0, i  k 1, k  t k  Nếu:  k  t  a số nguyên  k  t  m  m   a có phần lẻ gồm m chữ số  s   a số thập phân vơ hạn Ví dụ 1.2 221,19  2.103  2.102 1.101 1.101  9.102 Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để đƣợc số a ngắn gọn gần với a Quy tắc thu gọn Giả sử a  a 10k  a 10k 1   a j10 j  a 10k t k k 1 k t Thu gọn a đến số hạng thứ j, ta đƣợc số a : a  a 10k   a 10 j1  a j10 j j1 k eqn5 : =6.1818 x1 + 1818 x2 + 3141 x3 + 1415 x4 + 1516 x5 + 2141 x6= 7.1818 [>eqn6:=0.1818*x1+7.1818*x2+0.2141*x3+0.1815*x4+0.15 26*x5+0.3114*x6=8.2435; eqn6 : = 1818 x1 + 7.1818 x2 + 2141 x3 + 1815 x4 + 1526 x5 + 3114 x6 = 8.2435 Bƣớc 2: Giải hệ phƣơng trình theo ẩn x , x , x , x , x , x [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6},{x1,x2,x3,x4 ,x5,x6}); {x1 = 1.040935142, x5 = 5791900840, x4=.4737330448,x6 = 3673084229, x3 = 1.026602372, x2 = 1.050671924} Kết luận: Nghiệm xấp xỉ hệ phƣơng trình là: x  1,0409;1,0507;1,0266;0,4737;0,5792;0,3673 Ví dụ 3.3 Giải hệ đại số tuyến tính sau: 46 0,112x  0,832x  0,190x  0,986x  0,11x  0,12x  0,89x  0,15x  0,100x  0,44x  0,15x  0,76x 13 10 11 12  0,16 x  0,9 x  0,75x  0,66 x  0,56 x  0,93x  0,75x  0,14 x  0,23x  0,42 x 0,41x  0,88x 9 10 11 12  0,45x1  0,22 x2  0,83x3  0,96 x4  0,100 x5  0,80 x6  0,55x7  0,46 x8  0,22 x9  0,33x10  0,23x11  0,96 x12 7  0,78x1  0,92 x2  0,76 x3  0,42 x4  0,11x5  0,78x6  0,22 x7  0,48x8  0,32 x9  0,12 x10  0,13x11  0,72x12 15  0,22 x1  x2  x3  0,25x4  0,70 x5  0,14 x6  0,2 x7  0,15x8  0,19x9  0,35x10  0,18x11  0,55x12 10 0,11x  0,31x  0,3x  0,22 x  0,19 x  0,8x  0,26 x  0,21x  0,33x 0,55x 0,11x  x 8  10 11 12  0,100x1  0,87 x2  0,33x3  0,9 x4  x5  x6  0,25x7  0,91x8  0,15x9  0,11x10  0,5x11  x12 12 0,45x  0,2 x  0,8x  0,1x  0,05x  0,6 x  0,2 x 0,08 x 0,09 x 0,1x 0,12 x 001x 4  10 11 12 0,8x  0,9 x  0,12 x  0,08x  0,09 x 9 x  0,8x 9 x 8x  0,1x  0,01x  0,2 x 20  10 11 12 0,12 x  0,9 x  0,05x  0,8x  0,4 x  0,9 x 0,01x 0,8x 9 x  0,11x  0,12 x  0,1x 14  10 11 12 0,9 x  x  x  x  x  0,01x  0,8x  0,09 x  x  x  x  0,1x  23 10 11 12  0,14 x  0,12 x  0,13x  0,15x  0,9 x  0,8x  0,7 x  0,8x  0,9 x  0,15x  0,16 x  0,11x 18  10 11 12 Giải Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ: [>eqn1:=0.112*x1+0.832*x2+0.190*x3+0.986*x4+0.11*x5+ 0.12*x6+0.89*x7+0.15*x8+0.100*x9+0.44*x10+0.15*x11+0 76*x12=13; eqn1 := 112 x1 + 832 x2 + 190 x3 + 986 x4 + 11 x5 + 12 x6+ 89 x7 + 15 x8 + 100 x9 + 44 x10 + 15 x11 + 76 x12 = 13 [>eqn2:=0.16*x1+0.9*x2+0.75*x3+0.66*x4+0.56*x5+0.93* x6+0.75*x7+0.14*x8+0.23*x9+0.42*x10+0.41*x11+0.88*x1 2=9; 47 eqn2 := 16 x1 + x2 + 75 x3 + 66 x4 + 56 x5 + 93 x6 + 75 x7+ 14 x8 + 23 x9 + 42 x10 + 41 x11 + 88 x12 = [>eqn3:=0.45*x1+0.22*x2+0.83*x3+0.96*x4+0.100*x5+0.80 *x6+0.55*x7+0.46*x8+0.22*x9+0.33*x10+0.23*x11+0.96*x1 2=7; eqn3 := 45 x1 + 22 x2 + 83 x3 + 96 x4 + 100 x5 + 80 x6 + 55 x7 + 46 x8 + 22 x9 + 33 x10 + 23 x11 + 96 x12 = [>eqn4:=0.78*x1+0.92*x2+0.76*x3+0.42*x4+0.11*x5+0.78* x6+0.22*x7+0.48*x8+0.32*x9+0.12*x10+0.13*x11+0.72*x12 =15; eqn4 := 78 x1 + 92 x2 + 76 x3 + 42 x4 + 11 x5 + 78 x6 + 22 x7+ 48 x8 + 32 x9 + 12 x10 + 13 x11 + 72 x12 = 15 [>eqn5:=0.22*x1+x2+x3+0.25*x4+0.70*x5+0.14*x6+0.2*x7 +0.15*x8+0.19*x9+0.35*x10+0.18*x11+0.55*x12=10; eqn5 := 22 x1 + x2 + x3 + 25 x4 + 70 x5 + 14 x6 + x7 + 15 x8 + 19 x9 + 35 x10 + 18 x11 + 55 x12 = 10 [>eqn6:=0.11*x1+0.31*x2+0.3*x3+0.22*x4+0.19*x5+0.8*x 6+0.26*x7+0.21*x8+0.33*x9+0.55*x10+0.11*x11+x12=8; eqn6 := 11 x1 + 31 x2 + x3 + 22 x4 + 19 x5 + x6 + 26 x7+ 21 x8 + 33 x9 + 55 x10 + 11 x11 + x12 = [>eqn7:=0.100*x1+0.87*x2+0.33*x3+0.9*x4+x5+x6+0.25*x 7+0.91*x8+0.15*x9+0.11*x10+0.5*x11+x12=12; 48 eqn7 := 100 x1 + 87 x2 + 33 x3 + x4 + x5 + x6 + 25 x7 + 91 x8+ 15 x9 + 11 x10 + x11 + x12 = 12 [>eqn8:=0.45*x1+0.2*x2+0.8*x3+0.1*x4+0.05*x5+0.6*x6+ 0.2*x7+0.08*x8+0.09*x9+0.1*x10+0.12*x11+0.01*x12=4; eqn8 := 45 x1 + x2 + x3 + x4 + 05 x5 + x6 + x7+ 08 x8 + 09 x9 + x10 + 12 x11 + 01 x12 = [>eqn9:=0.8*x1+0.9*x2+0.12*x3+0.08*x4+0.09*x5+9*x6+0 8*x7+9*x8+8*x9+0.1*x10+0.01*x11+0.2*x12=20; eqn9 := x1 + x2 + 12 x3 + 08 x4 + 09 x5 + x6 + x7+ x8 + x9 + x10 + 01 x11 + x12 = 20 [>eqn10:=0.12*x1+0.9*x2+0.05*x3+0.8*x4+0.4*x5+0.9*x6 +0.01*x7+0.8*x8+9*x9+0.11*x10+0.12*x11+0.1*x12=14; eqn10 := 12 x1 + x2 + 05 x3 + x4 + x5 + x6 + 01 x7+ x8 + x9 + 11 x10 + 12 x11 + x12 = 14 [>eqn11:=0.9*x1+x2+x3+x4+x5+0.11*x6+0.8*x7+0.09*x8+x 9+x10+x11+0.1*x12=23; eqn11 := x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + 11 x6 + x7 + 09 x8 + x9+ x10 + x11 + x12 = 23 [>eqn12:=0.14*x1+0.12*x2+0.13*x3+0.15*x4+0.9*x5+0.8* x6+0.7*x7+0.8*x8+0.9*x9+0.15*x10+0.16*x11+0.11*x12=1 8; 49 eqn12 := 14 x1 + 12 x2 + 13 x3 + 15 x4 + x5 + x6 + x7+ x8 + x9 + 15 x10 + 16 x11 + 11 x12 = 18 [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8,eqn 9,eqn10,eqn11,eqn12},{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10 ,x11,x12}); {x4 = 8.336563896, x2 = 4.326485109, x3 = 11.66429953,x1 = 23.17284499, x11 = -30.21922840, x7 = 1.529905093, x10 = 11.48513077, x5 = 19.43050581, x8 = -4.911195861, x9 = -.4643319330, x12 = 3.961737631, x6 = 4.798828176} Kết luận: Nghiệm xấp xỉ hệ phƣơng trình là: x*  (23,1728;4,3265; 11,6643;8,3366;19,4305;4,7988;1,5299; 4,9112; 0,4643;11,4851; 30,2192; 3,9617) 3.2 Các bước giải hệ phương trình phi tuyến Maple Thơng thƣờng để giải hệ phƣơng trình phi tuyến ta làm theo bƣớc sau đây: Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ Chẳng hạn ta dùng lệnh sau đây: [>eqn1:=; [>eqn2:=; … Bƣớc 2: Giải hệ phƣơng trình theo ẩn, ta dùng lệnh fsolve: [>fsolve({eqn1,eqn2,eqn3…},{x,y,z,…},{x= ,y= ,z= }); Trong đó: 50 Lệnh x= ,y= ,… lệnh nhập khoảng xác định nghiệm Ta dùng lệnh fsolve (giải) có đáp số Ta bƣớc đầu kiểm tra đƣợc nghiệm xấp xỉ toán (với hệ hai ẩn) việc sử dụng chức vẽ đồ thị Maple qua bƣớc sau: Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ, ta thƣờng dùng lệnh sau: [>eqn1:=; [>eqn2:=; Bƣớc 2: Nạp gói chức chuyên dụng cho vẽ đồ thị lệnh: [>with(plots); Khi thực lệnh ta thấy xuất thống kê chức chuyên dụng Việc nạp lệnh bắt buộc trƣớc vẽ đồ thị Nếu khơng, chƣơng trình khơng làm việc chuẩn xác Bƣớc 3: Vẽ đồ thị lệnh implicitplot: [>implicitplot({eqn1,eqn2},x=a b,y=c d); Trong đó: Lệnh x=a b,y=c d lệnh nhập khoảng xác định nghiệm Lƣu ý: Các tính tốn xấp xỉ thƣờng cho ta hình ảnh gần với thực tế Khi cho độ xác cao hình ảnh trung thực, nhƣng thời gian tính tốn lâu, ngƣời ta chọn chế độ mặc định độ xác “vừa phải” Ví dụ 3.4 Cho hệ phương trình phi tuyến sau: 51  x2  x2  x   2  2 x  x2    Giải Ta đƣa hệ dạng sau:     x1  g1 x1, x2  x2  x2   x  g x , x  2 x  2    Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ: [>g1:=x1=sqrt(x2^2-2*x2); g1: x1  x22  x2 [>g2:=x2=sqrt(-2*x1+6); g 2: x2  2 x1  Bƣớc 2: Nhập khoảng xác định nghiệm, sau giải hệ phƣơng trình theo hai ẩn x1,x2 [>fsolve({g1,g2},{x1,x2},{x1=-3 3,x2=-3 3}); {(x1=0.625204094,x2=2.179355825),(x1=2.109511920 ,x2=-1.334532188)} Vẽ đồ thị: Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ: [>eqn1:=x1^2-x2^2+2*x2=0; eqn1: x2  x2  x  2 [>eqn2:=2*x1+x2^2-6=0; eqn2: x  x2   Bƣớc 2: Nạp gói chức chuyên dụng cho vẽ đồ thị lệnh [> with(plots); 52 [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d,conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot,coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot ,implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d ,loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] Bƣớc 3: Vẽ đồ thị [>implicitplot({eqn1,eqn2},x1=-3 3,x2=-3 3); Ta đƣợc hình vẽ sau, hình 3.1 53 Hình 3.1 Nhận xét: - Từ đồ thị trên, ta thấy kiểm tra đƣợc nghiệm hệ vừa giải xác - Chọn hình vẽ, kích chuột phải ta tùy chọn phong phú Mỗi khả tùy chọn đƣợc cho dƣới dạng đẳng thức với vế trái tên vế phải giá trị cụ thể Cụ thể là: 54 Tùy chọn copy cho phép chép đồ thị để chèn vào văn cần dùng Tùy chọn style cho phép ta biểu diễn đồ thị line (đƣờng) hay point (điểm)… Trong tùy chọn có nhiều tùy chọn khác nhƣ : symbol để chọn cách biểu diễn điểm dƣới dạng: circle (vòng tròn), cross (gạch chéo), box(hộp vuông),…,Line Stype (kiểu đƣờng), Line Witdh (độ dày mỏng đƣờng…) Tùy chọn projection cho tỷ lệ co giãn trục tọa độ đƣợc xác định, với giá trị unconstrained (không bị buộc) constrained (bị buộc, tức trục phải có độ dài đơn vị)… Ví dụ 3.5 Cho hệ phương trình phi tuyến sau:  x3  y3 12 x     3   x  y 12 y   Giải Ta đƣa hệ dạng sau:  x3  y3  x  g  x, y     12   x3  y3 y  g x , y      12  Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ: [>g1:=x=1/12*x^3+1/12*y^3+1/4; g1:= x = 1/12 x3 + 1/12 y3 + 1/4 [>g2:=y=1/12*x^3-1/12*y^3+1/6; 55 g2:= y = 1/12 x3 - 1/12 y3 + 1/6 Bƣớc 2: Nhập khoảng xác định nghiệm, sau giải hệ phƣơng trình theo hai ẩn x,y [> fsolve({g1,g2},{x,y},{x=0 1,y=0 1}); {x = 2517215124, y = 1676034895} Vẽ đồ thị Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ: [> e1:=x^3+y^3-12*x+3=0; e1 := x3 + y3 - 12x + = [> e2:=x^3-y^3-12*y+2=0; e2:= x3 - y3 - 12y + = Bƣớc 2: Nạp gói chức chuyên dụng cho vẽ đồ thị lệnh: [> with(plots); [animate, animate3d, changecoords, complexplot, complexplot3d, conformal, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, cylinderplot, densityplot, display, display3d, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pareto, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot] Bƣớc 3: Vẽ đồ thị: [> implicitplot({e1,e2},x=0 1,y=0 1); Ta đƣợc hình vẽ sau, hình 3.2 56 Hình 3.2 Ví dụ 3.6 Cho hệ phi tuyến sau:   x  y  z  xy  xz  x 14   17  2 0  y  z  xyz  xy  y     xy  xz  yz   Giải Ta đƣa hệ dạng sau: 57  x2  y  z  xy  xz 14  x  g ( x, y, z )    17 y  z  xyz  xy    y  g ( x, y, z )     xy  xz  yz  z    z  g3( x, y, z )   Bƣớc 1: Vào lệnh xác định phƣơng trình hệ: [>g1:=x=(x^2-y^2+4*z^2-2*x*y-2*x*z-14)/8; g1 = x = 1/8 x2 - 1/8 y2 + 1/2 z2 - 1/4 xy 1/4 xz - 7/4 [> g2:=y=(y^2+z^2-x*y*z-x*y-17/4)/4; g2:=y= 1/4 y2 + 1/4 z2 - 1/4 xyz - 1/4 xy – 17/16 [> g3:=z=(-x*y+x*z+y*z+1/2)/4; g3:= z = - 1/4 xy + 1/4 xz + 1/4 yz + 1/8 Bƣớc 2: Nhập khoảng xác định nghiệm, sau giải hệ phƣơng trình theo hai ẩn x,y,z [>fsolve({g1,g2,g3},{x,y,z},{x=-2.1 -1.9,y=-1.1 0.9,z=-1.1 -0.4}); {y=-1.,z =-.5000000000,x =-2.000000000} Kết luận: Nghiệm xấp xỉ hệ phƣơng trình là: x*   2,0000; 1,0000; 0,5000  58 KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận với đề tài: “Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình n biến áp dụng Maple tính tốn” Nội dung khóa luận đƣợc đề cập tới : Những kiến thức bổ trợ sai số, không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, nguyên lí ánh xạ co hệ phƣơng trình n biến Phƣơng pháp lặp đơn giải hệ phƣơng trình n biến Áp dụng Maple giải hệ phƣơng trình n biến Việc nghiên cứu sâu đề tài “Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình n biến áp dụng Maple tính tốn” góp phần bổ sung thêm kiến thức mơn Giải tích số, thuộc chuyên ngành Giải tích, chuyên ngành quan trọng Toán học 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Quốc Bảo (1994), Giáo trình phương pháp tính, tập 2, trƣờng ĐHSP Hà Nội 2, Hà Nội Nguyễn Minh Chƣơng, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tƣờng (2001), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật Hà Nội Tạ Văn Đĩnh (2011), Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Phan Văn Hạp - Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính thuật tốn, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội Quách Tuấn Ngọc (2001), Ngôn ngữ lập trình Pascal, nhà xuất thống kê Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội B.Tài liệu tiếng Anh 10 J.M Ortega, W C Rheinboldt (1970), Iterative solution of Nonlinear Equations n several Variables, University of Maryland, College Park, Mary land 60 ... đƣợc đ n gi n, ph n ta xét cách giải hệ phƣơng trình n bi n dạng (1.8), phƣơng pháp kết suy rộng cho hệ (1.7) 19 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP LẶP Đ N GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH N BI N Những phƣơng pháp lặp phƣơng... phƣơng pháp giải g n hệ phƣơng trình n bi n Những phƣơng pháp cho nghiệm g n hệ dù bƣớc trung gian ta tính h n t n, nhƣng ta tìm nghiệm g n với độ xác tùy ý 2.1 Phƣơng pháp lặp đ n giải hệ phƣơng trình. .. đƣa nhiều phƣơng pháp để giải g n chúng từ việc áp dụng nguy n lí ánh xạ co Phƣơng pháp đƣợc sử dụng phổ bi n phƣơng pháp lặp, có phƣơng pháp lặp đ n Khi nghi n cứu phƣơng pháp lặp n y, ngƣời