Phương pháp lặp đơn giải gần đúng phương trình

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ✖✖✖✖✖ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ✣❒◆ ●■❷■ ●❺◆ ✣Ĩ◆● P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ tỹ ữợ ❞➝♥✿ ▲➊ ❍❷■ ❚❘❯◆● ✣➔ ◆➤♥❣✱ ✵✺✴✷✵✶✺ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ❚❙✳ ▲➯ ❍↔✐ ❚r✉♥❣ ❙❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ự ữợ sỹ ữợ sỹ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ ✱ ✤➳♥ ♥❛② ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ❝õ❛ ❡♠ ✤➣ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤✳ ❊♠ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❍✐➺✉ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ P❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❍å❝ ✣➔ ◆➤♥❣✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ✤➣ t↕♦ ❝ì ❤ë✐ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ ❡♠ ✤÷đ❝ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳ ❈❤ó♥❣ ❡♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ tr÷í♥❣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❞↕②✱ tr✉②➲♥ ✤↕t ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ ❡♠ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ tự qỵ tr sốt tớ ✈ø❛ q✉❛✳ ❳✐♥ ❝↔♠ ì♥ sü ❣✐ó♣ ✤ï✱ ❝❤✐❛ s➫ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜↕♥ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤ó♥❣ ❡♠ ❧➔♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❝❤ó♥❣ ❡♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ t❤➛② ▲➯ ❍↔✐ ❚r✉♥❣ ✲ ♥❣÷í✐ trỹ t ữợ ú ổ q t ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ❝❤➾ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔②✳ ❚✉② ✤➣ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣ s♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✈➝♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ 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✳✳✳ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝✿ |x2 − x1 | ≤ q |x1 − x0 | |x3 − x2 | ≤ q |x2 − x1 | ≤ q |x1 − x0 | |xn − xn−1 | ≤ q n−1 |x1 − x0 | ❚❤❛② ✈➔♦ ✭✷✳✼✮ t❛ ✤÷đ❝✿ |xn − x¯| ≤ qn q · q n−1 |xn − xn−1 | = |x1 − x0 | 1−q 1−q ✶✼ ✭✷✳✽✮ ❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ ❝❤♦ t❛ t❤➜② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❤ë✐ tö ❝➔♥❣ ♥❤❛♥❤ ♥➳✉ ε q ❝➔♥❣ ❜➨✳ ❚ø ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ t❛ ❝ơ♥❣ s✉② r❛ r➡♥❣✿ ✤➸ ✤↕t ✤ë ①➜♣ ①➾ ✭♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ s❛✐ ❦❤→❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ❦❤æ♥❣ q✉→ ♣❤↔✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ Nε ε✱ |xn − x¯| < t ữợ tr õ )/ln q + Nε > ln( |xε(1−q) −x0 | ❚ø ✭✷✳✽✮ t❛ ❝â t❤➸ ❦➳t ❧✉➟♥✿ ◆➳✉ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö t❤➻ ❦❤✐ ♥ ✤õ ❧ỵ♥ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ xn ✈➔ xn−1 ①➜♣ ①➾ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t➼♥❤ t♦→♥ t❛ s➩ ❞ø♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➦♣ ❦❤✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❧✐➯♥ t✐➳♣ xn−1 , xn , ✱ ✤↕t ✤ë ①➜♣ ①➾ t❤❡♦ ②➯✉ ❝➛✉✳ ✷✳✸ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ✣❒◆ ✣➮■ ❱❰■ ❍➏ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ●✐↔ sû t❛ ❝➛♥ ❣✐↔✐ ❤➺ ♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥ ➞♥ f (x) = 0, ✈ỵ✐ x = (x1 , x2 , , xn )✱ f = (f1 , f2 , , fn )✳ ✣➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤✐➸♠ M = (a1 ; a2 ; ; an ) t❛ ✤÷❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➲ ❞↕♥❣✿ x = g(x), ✈ỵ✐ x = (x1 , x2 , , xn ), g = (g1 , g2 , , gn ), s❛♦ ❝❤♦ q = sup g (x) ∞ x∈M ❑❤✐ ✤â✱ t❤❛② ✈➻ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿   f1 (x) = 0,     f (x) = 0,      f (x) = 0, ✭✷✳✾✮ n ✈ỵ✐ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤✐➸♠ (a1 ; a2 ; ; an ) t❛ ①➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s❛✉✿   x1 = g1 (x),     x = g (x), 2      x = g (x), n n ❱➼ ❞ö✱ ①➨t ❤➺ ✷ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ ✶✽ ✭✷✳✶✵✮ f (x, y) = 0, g(x, y) = 0, t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤✐➸♠ (a1 ; a2 ), t❛ t✐➳♥ ❤➔♥❤ ①➨t ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ x = g1 (x, y), y = g2 (x, y) õ ổ tự ữủ t ữợ ❞↕♥❣✿ xn = g1 (xn−1 ; yn−1 ), yn = g2 (xn−1 ; yn−1 ), ✈ỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ x = a1 ✈➔ ✭✷✳✶✶✮ y = a2 ✳ ✷✳✹ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ◆●❍■➏▼ ●❺◆ ✣Ĩ◆● ❈Õ❆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱❰■ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ✣❒◆ ❱➼ ❞ư ✷✳✸✳ ❙û ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✤ì♥ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ x5 − 40x + = 0, ✈ỵ✐ x ∈ [0; 1] f (x) = x5 − 40x + 3✱ ✈ỵ✐ x ∈ [0; 1] ❉♦ f (0) = ✈➔ f (0.5) = (0.5) − 40 · 0.5 + ≈ −16, 9688 =⇒ f (0) · f (0.5) < =⇒ x0 = 0✳ ❈â ➼t ♥❤➜t ✸ ❝→❝❤ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✈➲ ❤➔♠ g(x)✿ ❚❛ ❝â✿ ❛✳ g1 (x) = x5 +3 40 ❜✳ g2 (x) = −3 x4 −40 ❝✳ g3 (x) = √ 40x − ❚❛ ❧➛♥ ❧÷đt ①➨t tø♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ❛✳ g1 = x4 ❜✳ g2 = (x4 −40) ❝✳ g3 = 8(40x − 3)−4/5 =⇒ g3 (x) =⇒ max g1 (x) = 12x3 =⇒ g3 (x) = = 0.125 =✿ q1 12 392 ≈ 0.00789 =✿q2 ✶✾ ❚❛ t❤➜②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ ✷ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❧➔ ♣❤➙♥ ❦➻✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❞♦ q2 < q1 ✈➔ q2 = 0.00789 g1 , g2 ❧➔ ❤ë✐ tö✱ ❝á♥ g3 ♥➯♥ t❛ ❝❤å♥ ❤➔♠ g2 ❧➔ ❤➔♠ ❧➦♣✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ x0 = 0✳ g(x) = −3 (x4 −40)2 ợ õ t q ữủ s ố ữợ ✵✳✵✼✺✵✵✵✶ g(x) = −3 x4 −40 ✵✳✵✼✺ ✵✳✵✼✺✵✵✵✶ ✵✳✵✼✺✵✵✵✶ ❇↔♥❣ ✷✳✷✿ ❈→❝ ❣✐→ trà ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ g(x) = −3 x4 −40 ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✷✳✸✮ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ s❛✐ sè ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❧➔✿ ❱➼ ❞ư ✷✳✹✳ q 0.00789 |xn − xn−1 | = |x3 − x2 | ≈ 1−q − 0.00789 ❙û ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✤ì♥ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ √ 3x − x − = 0, ✈ỵ✐ x ∈ [2; 3] ✈➔ t➼♥❤ s❛✐ sè t÷ì♥❣ ù♥❣✳ √ f (x) = 3x − x − 5✱ ✈ỵ✐ x ∈ [2; 3]✳ √ ❉♦ f (2) = · − 2 − ≈ −1.181 < √ f (2.5) = · 2.5 − 2.5 − ≈ 0.257 > =⇒ f (2) · f (2.5) < =⇒ ❝❤å♥ x0 = 2✳ ❈â ➼t ♥❤➜t ✷ ❝→❝❤ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❤➔♠ f (x) ✈➲ ❞↕♥❣ ❚❛ ❝â ❛✳ g1 (x) = ❜✳ g2 (x) = ❤➔♠ √ x+5 3x−5 ❚❛ ❧➛♥ ❧÷đt ①➨t tø♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ 12 ·x −7 =⇒ g1 (x) ≈ 0.0454 =: q < ❛✳ g1 (x) = ❜✳ g2 (x) = 4(3x − 5)7 =⇒ g2 (x) ✷✵ g(x)✿ ❚❛ t❤➜②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤➙♥ ❦➻✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❝❤å♥ g(x) = √ x0 = 2✳ ❧➔ ❤ë✐ tö✱ ❝á♥ x+5 ❧➔ ❤➔♠ ❧➦♣✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ g1 g(x) = g2 ❧➔ √ x+5 ✱ ✈ỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❜↔♥❣ s ố ữợ ✷ ✷✳✸✾✸✻✼ ✷✳✹✶✵✶✾ ✷✳✹✶✵✽✷ ✷✳✹✶✵✽✺ g(x) = √ x+5 ✷✳✸✾✸✻✼ ✷✳✹✶✵✶✾ ✷✳✹✶✵✽✷ ✷✳✹✶✵✽✺ ✷✳✹✶✵✽✺ ❇↔♥❣ ✷✳✸✿ ❈→❝ ❣✐→ trà ♥❣❤➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ g(x) = √ x+5 ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✷✳✸✮ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✽✮ t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ s❛✐ sè ❝õ❛ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❧➔✿ ❱➼ ❞ư ✷✳✺✳ q 0.0454 |xn − xn−1 | = |x5 − x4 | ≈ 1−q − 0.0454 ❙û ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✤ì♥ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿ x − y + 1.3 ln x = y − 2x + − x1 = 0, ð ❧➙♥ ❝➟♥ ✤✐➸♠ ✭✸✳✹❀✷✳✷✮ ✈➔ t➼♥❤ s❛✐ sè t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❚❛ ✤÷❛ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿   x = (y+5)x−1 √  y = x + 1.3 ln x, ❳➨t tr➯♥ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t [3; 4] × [2; 2.6] t❛ t❤➜② ❣✐→ trà ❤➔♠ g1 (x, y) := x(5+y)−1 t❤✉ë❝ ✤♦↕♥ ❬✸❀ ✹❪ √ g2 (x, y) := x + 1.3 ln x t❤✉ë❝ ✤♦↕♥ ❬✷❀ ✷✳✻❪✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ tr➯♥ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t [3; 4] × [2; 2.6] ❝â✿ max( (g1 )x + (g2 )y ) √ √ 2(5 + y) 2x = max( + ) x(5 + y) − x(5 + y) − ✷✶ < 0.6 + 0.32 = 0.92; x + 1.3 √ + |0|) < 0.42 2x x + 1.3 ln x max( (g2 )x + (g2 )y ) = max( ❱➟② ❤➺ sè q = 0.92 < 1✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧➦♣ ✤ì♥ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❱ỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜❛♥ ✤➛✉ x0 = 3.4✱ y0 = 2.2✳ ❙û ❞ư♥❣ ♣❤➨♣ ❧➦♣ ✭✷✳✶✶✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ú ữỡ tr s ữợ ❧➔✿ tt ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽ ✾ ✶✵ x ✸✳✹ ✸✳✹✷✻✸✼ ✸✳✹✹✽✻✻ ✸✳✹✻✷✸✺ ✸✳✹✼✶✷✶ ✸✳✹✼✻✽✽ ✸✳✹✽✵✺✶ ✸✳✹✽✷✽✸ ✸✳✹✽✹✸✷ ✸✳✹✽✺✸✼ x= x(5+y)−1 ✸✳✹✷✻✸✼ ✸✳✹✹✽✻✻ ✸✳✹✻✷✸✺ ✸✳✹✼✶✷✶ ✸✳✹✼✻✽✽ ✸✳✹✽✵✺✶ ✸✳✹✽✷✽✸ ✸✳✹✽✹✸✷ ✸✳✹✽✺✸✼ ✸✳✹✽✺✽✼ y y= √ ✷✳✷ ✷✳✷✸✹✵✸ ✷✳✷✹✷✶✼ ✷✳✷✹✾✵✶ ✷✳✷✺✸✶✾ ✷✳✷✺✺✾ ✷✳✷✺✼✻✷ ✷✳✷✺✽✼✸ ✷✳✷✺✾✹✸ ✷✳✷✺✾✽✽ x + 1.3 ln x ✷✳✷✸✹✵✸ ✷✳✷✹✷✶✼ ✷✳✷✹✾✵✶ ✷✳✷✺✸✶✾ ✷✳✷✺✺✾ ✷✳✷✺✼✻✷ ✷✳✷✺✽✼✸ ✷✳✷✺✾✹✸ ✷✳✷✺✾✽✽ ✷✳✷✻✵✶✼ ❇↔♥❣ ✷✳✹✿ ❈→❝ ❣✐→ trà ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❙û ❞ư♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ t❛ t➻♠ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧➔✿ x = 3.48695, y = 2.26068 =⇒ |xn − x¯| = |x10 − x¯| = |3.48587 − 3.48695| = 0.00108 =⇒ |yn − y¯| = |y10 − y¯| = |2.26017 − 2.26068| = 0.00051 ✷✷ ❈❤÷ì♥❣ ✸ Ù◆● ❉Ư◆● P❍❺◆ ▼➋▼ ▼❆❚❍❊▼❆❚■❈❆ ❈❍❖ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➄P ✣❒◆ ✸✳✶ ●■❰■ ❚❍■➏❯ ❱➋ P❍❺◆ ▼➋▼ ▼❆❚❍❊▼❆❚■❈❆ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ ❧➔ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➟♣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ❤ñ♣ ♥❤➜t ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❦ÿ t❤✉➟t✳ ▲➔ ổ ỳ ỹ tr ỵ ỷ ỵ ❞ú ❧✐➺✉ t÷đ♥❣ tr÷♥❣✳ ❚❤➳ ❤➺ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤â ❧➔ ▼❛❝s②♠❛✱ ❘❡❞✉❝❡ ✳✳✳ r❛ ✤í✐ tø ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✻✵ ❝õ❛ ❚❑ ❳❳✳ ❈→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ♥➔② ũ t t ỵ ❧÷đ♥❣ ❝❛♦✳ ◆❤÷đ❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❝❤õ ②➳✉ ✤÷đ❝ ữợ tr t ợ t t❤❡♦ ❧➔ ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ▼❛♣❧❡✱ ▼❛t❤❧❛❜✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛✱ ✳✳✳ ❈→❝ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ♥➔② ❝â ÷✉ ✤✐➸♠ ❧➔ ❝❤↕② ♥❤❛♥❤ ❤ì♥ ✈➔ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ❜ë ♥❤ỵ ♥❤ä ❤ì♥✱ ❝❤↕② ❤♦➔♥ ❤↔♦ tr➯♥ ♠→② t➼♥❤ ❝→ ♥❤➙♥✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú t➼♥❤ t♦→♥ ❧♦↕✐ ♥➔②✱ ♥é✐ ❜➟t ❧➯♥ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ ✈ỵ✐ ÷✉ ❞✐➸♠ ✈÷đt trë✐ ✈ỵ✐ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t❤➙♥ t❤✐➺♥✱ ✈➲ ỗ t s t ỷ ỵ ❞ú ❧✐➺✉ ❦❤æ♥❣ t❤✉❛ ❦➨♠ ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❧➟♣ tr➻♥❤ ❦❤→❝✳ ◆❤í ❦❤↔ ♥➠♥❣ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❤â❛ ✈➔ ♠ỉ 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❝✳ g3 (x) = √ g(x)✿ 40x − ❚❛ ❧➛♥ ❧÷đt ①➨t tø♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ❛✳ g1 = x4 ❜✳ g3 = 12x3 (x4 −40) ❝✳ g3 = 8(40x − 3)−4/5 =⇒ sup g3 (x) =⇒ max g1 (x) = =⇒ g3 (x) = = 0.125 12 392 ≈ 0.00789✳ ❚❛ t❤➜②✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✭✷✳✸✮ ❝❤♦ ✷ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❧➔ ♣❤➙♥ ❦➻✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❞♦ q2 < q1 ✈➔ q2 = 0.00789 g1 , g2 ❧➔ ❤ë✐ tö✱ ❝á♥ g3 ♥➯♥ t❛ ❝❤å♥ ❤➔♠ g2 ❧➔ ❤➔♠ ❧➦♣✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ♥❤÷đ❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ❧➔✿ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤♦ t❛ ❤➔♠ g(x) ♣❤ù❝ t↕♣ t❤➻ ✈✐➺❝ t➻♠ ❤➔♠ g (x) ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ sup g (x) ❧➔ r➜t ❦❤â ❦❤➠♥ ✈➔ ỳ s sõt ữ ợ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ❤➔♠ t❤➸ ①↔② r ỗ t ỗ t ❤➔♠ g (x)✳ g(x) ❝â ❑❤✐ ✤â✱ q ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝➟♥ tr➯♥ ❝õ❛ g (x)✳ ✣➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ g(x) t❤❡♦ ✈➼ ❞ư ✷✳✸ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈â ➼t ♥❤➜t ❤❛✐ ❝→❝❤ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✈➲ ❤➔♠ ❛✳ g1 (x) = x5 +3 40 ❜✳ g2 (x) = −3 x4 40 õ ỗ t g1 (x) g(x)✿ t❛ ❞ò♥❣ ❝➙✉ ❧➺♥❤✿ g[x− ] = x5 + 40 Plot[Abs[g [x]], {x, 0, 1}] ✈➔ ♥❤➜♥ tê ❤đ♣ ♣❤➼♠ s❤✐❢t ✈➔ ❡♥t❡r t❛ s➩ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ữ tr ứ ỗ t t t q1 > 0.07 ♥➯♥ ❝â t❤➸ ❧➜② ✷✳✸ ✷✺ q1 = 0.125 ữ tr ỗ t ❤➔♠ g1 (x) g2 (x) = ❱ỵ✐ −3 x4 −40 t ỗ t g2 (x) tữỡ tỹ ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ỗ t g2 (x) ứ ỗ t❤à t❛ t❤➜② q2 > 0.004 =⇒ ❝â t❤➸ ❧➜② q2 = 0.00789 ♥❤÷ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ư ✷✳✸ ❚❛ ❝ơ♥❣ t ữủ ỗ t g3 (x) g3 (x) ♥❤÷ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✭✸✳✸✮ q2 < q1 < q3 g2 ữợ x0 ❉♦ sup g3 (x) ✈ỵ✐ q = 0.00789 t❛ ữủ ợ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ t❛② t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿ ❉♦ f (0) = ✈➔ f (0.5) = (0.5)5 − 40 · 0.5 + ≈ −16, 9688 ✷✻ ❍➻♥❤ ỗ t g3 (x) = f (0) à f (0.5) < =⇒ x0 = 0✳ ❚❤æ♥❣ q✉❛ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ t❛ ❝ơ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ ✤✐➸♠ ❝→❝❤ ỗ t g(x) x0 ợ g[x− ] = x4−3 −40 Plot[g[x], {x, 0, 1}] ✈➔ ♥❤➜♥ tê ❤đ♣ ♣❤➼♠ s❤✐❢t ✈➔ ❡♥t❡r t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ t q ữ ỗ t g(x) ứ ỗ t t t ú ữỡ tr x0 = ữợ x [0; 0.0751]✳ ❱➻ ✈➟② ❝❤å♥ ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ✤ì♥ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ú ữỡ tr tổ q tự ữợ ❧➦♣ ❝ư t❤➸✳ ✷✼ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤➾ ✈ỵ✐ ♠ët t❤➟t t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❣✐→ trà ♥❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ✈➔ s số õ ự ợ tứ ữợ t❤➸ ♠ët ❝→❝❤ ♥❤❛♥❤ ❝❤â♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✭✸✳✺✮✳ ❍➻♥❤ ✸✳✺✿ ◆❣❤✐➺♠ ❣➛♥ ✤ó♥❣ ✈➔ s❛✐ sè t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤❡♦ 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