Phương pháp newton và phương pháp newton raphson giải phương trình n biến và áp dụng mapple trong tính toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******* NGUYỄN THỊ PHƢỢNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƢƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON GIẢI PHƢƠNG TRÌNH N BIẾN VÀ ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2014 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******* NGUYỄN THỊ PHƢỢNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƢƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON GIẢI PHƢƠNG TRÌNH N BIẾN VÀ ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, ngƣời quan tâm, động viên, tận tình hƣớng dẫn em q trình làm khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Giải tích, khoa Tốn, trƣờng ĐHSP Hà Nội ngƣời thân, bạn bè học động viên tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên thực Nguyễn Thị Phượng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành dƣới hƣớng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh với cố gắng thân Trong q trình nghiên cứu em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên thực Nguyễn Thị Phượng MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số gần sai số 1.2 Sai số tƣơng đối sai số tuyệt đối 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.4 Xấp xỉ ban đầu 1.5 Ma trận nghịch đảo 12 1.6 Các định lí liên quan 15 CHƢƠNG II PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ PHƢƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH N BIẾN 16 2.1 Phƣơng pháp Newton 16 2.2 Ví dụ 18 2.3 Phƣơng pháp Newton-Raphson 21 2.4 Cách giải phƣơng trình n biến phƣơng pháp Newton Raphson 23 2.5 Bài tập vận dụng 37 CHƢƠNG III ÁP DỤNG MAPLE VÀO TÍNH TỐN 41 3.1 Cơ sở lí thuyết 41 3.2 Áp dụng Maple vào giải phƣơng trình hệ phƣơng trình 43 3.3 Bài tập áp dụng 57 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong khoa học cơng nghệ thực tế có nhiều toán đƣợc chuyển thành toán giải hệ phƣơng trình : fi  x1, x2 ,, xn    i  1,2,, n  Tuy nhiên, số trƣờng hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm hệ phƣơng trình đó, trƣờng hợp lại phải tìm cách giải gần Một phƣơng pháp tìm nghiệm gần phƣơng trình Phƣơng pháp Newton Newton-Raphson Phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton - Raphson giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp có lời giải hay, áp dụng cho hệ, đặc biệt hệ phức tạp phƣơng pháp tỏ ƣu việt Hơn nữa, lựa chọn xấp xỉ ban đầu tốt phƣơng pháp cho kết nhanh xác Phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton Raphson công cụ hữu hiệu để giải gần hệ phƣơng trình, tốn xấp xỉ, hàm số tối ƣu Trong khóa luận có đƣa thuật toán đƣợc viết phần mềm Maple với mục đích minh họa rõ lý thuyết giải hệ phƣơng trình có điều kiện nghiên cứu sâu vấn đề nhƣ mơn giải tích số Maple phần mềm để dễ dàng giải tốn khó phức tạp Vì với mong muốn tìm hiểu sâu phƣơng pháp chọn đề tài: “Phƣơng pháp Newton Phƣơng pháp NewtonRaphson giải phƣơng trình n biến áp dụng Maple tính tốn” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton - Raphson giải hệ phƣơng trình n biến Sau ứng dụng Maple vào tính tốn Nhiệm vụ nghiên cứu Giải hệ phƣơng trình n biến bẳng phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton - Raphson Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton – Raphson vào giải hệ phƣơng trình n biến Áp dụng Maple vào tính tốn Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp giải gần lý thuyết giải tích số Khóa luận đƣợc chia làm phần: Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Phần 3: Kết luận Phần nội dung gồm chƣơng: Chƣơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chƣơng 2: Phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton Raphson vào giải phƣơng trình n biến Chƣơng 3: Áp dụng Maple vào tính tốn NỘI DUNG CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần số a* nhƣ a không sai khác a* nhiều, hiệu số a   a  a*  sai số thực a , a  a giá trị gần thiếu, a  a giá trị gần thừa a* Vì a* nói chung khơng biết nên khơng biết a , nhiên thấy tồn a thỏa mãn điều kiện: a*  a  a (1.1) Số a thỏa mãn điều kiện (1.1) đƣợc gọi sai số tuyệt đối a , a   sai số tƣơng đối a Rõ ràng a ,  a nhỏ, tốt a Ví dụ Xét hai đoạn thẳng AB có số đo a  100m đoạn thẳng CD có số đo b  10m với a  b  0,01m Khi ta có:  a  b  0,01 100 0,01 10 Vậy  b  10 a phép đo đoạn thẳng AB xác đo đoạn thẳng CD Nhƣ độ xác phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối 1.1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn số Xét số thập phân a có dạng tộng quát nhƣ sau: a    p10 p   p110 p1   p s10 ps  (1.2)  i  9, i , s  , p  ,  p  0, (i  p, p  s) Nếu  p  s   a số nguyên,  p  s   k (k  0) a có phần lẻ gồm k chữ số, s   a số thập phân vơ hạn tuần hồn Làm tròn số a bỏ số chữ số bên phải số a để đƣợc số a gọn gần với số a Qui tắc làm tròn: Xét số a dạng (1.2) ta giữ lại đến bậc thứ i , phần bỏ  ta đặt:  a    p10 p   p110 p1  i 110i 1  i 10i  đó:   i     0.5  10i  i  2l , l   i :  i  i 1    0.5  10  i  2l  1, l  Ta kí hiệu sai số phép làm tròn a , nhƣ a  a  a rõ ràng a  10i a*  a  a*  a  a  a  a  a Do làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm a 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét chữ số a dạng (1.2) nghĩa đƣợc viết dƣới dạng thập phân, chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số bị kẹp hai chữ số khác chữ số hàng đƣợc giữ lại Ví dụ Số a  02,3040 chữ số khơng có nghĩa, chữ số 3; 4; 0; 5; có nghĩa Số b  0,023 chữ số 2; có nghĩa, số bên trái khơng có nghĩa Xét số a dạng (1.2) : a    p 10 p   p1.10 p1   ps 10 ps  chữ số  i số a chữ số : a  .10i ,  tham số cho trƣớc Tham số  đƣợc chọn để cho chữ số vốn sau làm tròn chữ số chắc, rõ ràng  i chữ số  i 1 chữ số 1.1.4 Sai số tính tốn 1.1.4.1 Biểu thức tổng qt sai số tính tốn Các số vốn có sai số thêm sai số thu gọn nên tính tốn xuất sai số tính tốn Giả sử phải tìm đại lƣợng y theo công thức: y  f  x1, x2 ,, xn  Gọi x*   x1* , x2* ,, xn*  , y*  f  x*  giá trị x   x1, x2 ,, xn  , y  f  x  giá trị gần y * Giả sử f  x1, x2 ,, xn  hàm số khả vi liên tục thì: y  y  y*  f  x1, x2 ,, xn   f  x1* , x2* ,, xn*    f x' i x i  x*i n i 1 với f x'i đạo hàm theo xi tính điểm trung gian Vì f hàm khả vi liên tục, xi bé, ta coi: n y   f x'i  x1 , x2 ,, xn  xi (1.3) i 1 Vậy  y  y n   | ln f | xi y i 1 xi (1.4) Sau sai số phép tính bản: 1.1.4.2 Sai số phép tính cộng, trừ n n Giả sử tính : y  xi ta có y  1(i  1,2, , n) nên y  xi i 1 ' xi i 1 [> plot(x^9+x-10,x=1 2); Hình Cơng thức lặp Newton: xn1  xn  f  xn  với n  0, 1, 2, f '  xn  xn9  xn  10 , n  1,2 Hay xn1  xn  xn8  Chọn xấp xỉ ban đầu x0  x1  x0  f  x0   1,781344902 f   x0  x2  x1  f  x1   1,592631378 f   x1  x3  x2  f  x2   1,438653785 f   x2  x4  x3  f  x3   1,331291548 f   x3  45 x5  x4  f  x4   1,281547657 f   x4  x6  x5  f  x5   1,272435766 f   x5  x7  x6  f  x6   1,272170196 f   x6  x8  x7  f  x7   1,272169977 f   x7  Sau bƣớc lặp ta có nghiệm phƣơng trình cho khoảng  0;2  là: x*  1,272216997 Bài Giải phƣơng trình x2  e x   phƣơng pháp Newton với độ xác 1010 Sau ta dùng Maple vẽ đồ thị hàm số y  x y  e x  đoạn  2;2 nhƣ hình dƣới đây: > with(plottools); > plot ([x^2,exp(x)+1],x=-2 2); Hình 46 Cơng thức lặp Newton: xn1  xn  f  xn  ; n  1,2 f '  xn  xn2  e xn  ; n  1,2 Hay xn1  xn  xn  e xn Chọn xấp xỉ ban đầu x0  1 x1  x0  f  x0   1,155362403 f   x0  x2  x1  f  x1   1,147776181 f   x1  x3  x2  f  x2   1,147757632 f   x2  x4  x3  f  x3   1,147757632 f   x3  Sau bƣớc lặp ta có nghiệm phƣơng trình cho với sai số x*  1,1477757632  x3  y   Bài Giải hệ phƣơng trình  miền xy  y    D   3;3   3;3  F  x, y   x  y   Dùng Maple vẽ đồ thị hàm  miền D G x , y  xy  y      hệ trục tọa độ nhƣ hình > with(plots); > with(plottools); > implicitplot ({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},x=-3 3,y=-3 3); 47 Hình Nhìn vào đồ thị ta chọn xấp xỉ ban đầu  x0 ; y0   1,2;1,7  6x2 Ta có J  x, y   y 8,64 3,40 2 y ; J 1,2;1,7    97,91 4,91 9,40 3xy   0,434 3,40 x  1,2   1,2  0,0349  1,2349  0,1956 9,40 97,91    y  1,7  8,64 0,434  1,7  0,0390  1,6610  97,91 4,91 0,1956  9,1498 3,322 J 1,2349; 1,6610    99,59 4,5825 9,2209   x2  1,2349  99,59    y  1,6610   99,59  0,0075 3,322  1,2349  0,0006  1,2343 0,002 9,2209 9,1498 0,0075  1,6610  0,0005  1,6615 4,5825 0,002 48  F  x2 , y2   0,0003 Ta có  G x , y  0,0001   2  Sau bƣớc lặp ta thấy F  x2 , y2 ,G  x2 , y2  xấp xỉ tới nên  x  1,2343 nghiệm gần hệ phƣơng trình cho là:  y  1,6615   xy   Bài Giải hệ phƣơng trình  sau miền x  y   D  1, 2  0,1  F  x, y   xy  Dùng Maple vẽ đồ thị hàm  miền D G x , y  x  y     hệ trục tọa độ nhƣ hình > with(plottools); > implicitplot ({2*x*y-3=0,x^2-y-2=0},x=1 2,y=0 1); Hình 49 Ta có J  x   2y 2y x 1 Chọn xấp xỉ ban đầu  x0 ; y0   1,5; 0,9  áp dụng cơng thức ta có kết quả: k xk yk 1,5000000000 2,000000000 1,9500000000 1,6000000000 1,7311108093 0,9488321564 1,6989324211 0,8842972564 1,6980482312 0,8833674542  x  1,6980482312 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm   y  0,8833674542  x2  y  z   Bài Giải hệ phƣơng trình  x  y  3z  miền  x2  y  z   D  0;1  0;1  0;1  F  x, y , z   x  y  z   Dùng Maple vẽ đồ thị hàm  E  x, y, z   x  y  3z  G  x, y , z   x  y  z  miền D  0;1   0;1   0;1 hệ trục tọa độ nhƣ hình > with(plots); > with(plottools); > implicitplot3d ({x^2+y^2+z^2-1=0,x^2+2*y^2-3*z=0, x^2-2*y+z=0},x=0 1,y=0 1,z=0 1); 50 Hình Ta chọn điểm ban đầu x 0  0,5    0,5   0,5     x  y  z  1  2x y 2z    Ta có f  x    x  y  3z  J  x    x y 3   x 2   x2  y  z       0,52  0,52  0,52  1  0,25    f ( x  )   0,52  2.0,52  3.0,5    0,75   0,52  2.0,5  0,5   0,25      1 1  J ( x  )  1 3  1 2    51 Ta tính định thức ma trận nghịch đảo nhờ phần mền Maple nhƣ sau: > J0 := matrix(3, 3, [1, 1, 1, 1, 2, -3, 1, -2, 1]); 1 1  J : 1 3   1 2  > det(J0); 12 > N1 := inverse(J0); 1 3  N1:  3 1      Vậy J 1 x 0  12   1  3   12  1 3   3    3 Ta tính nghiệm x1 nhƣ sau: > F0:=matrix(3,1,[-0.25, -0.75, -0.25]);  0.25 F :  0.75    0.25 >T1:= multiply(N1, F0); 52  12   1  3  1   12   0.3750000000   T 1:     0.1250000000  >X0:=matrix(3,1,[0.5,0.5,0.5]); 0.5 X : 0.5   0.5 >X0-T1; X  T1 >X1:= evalm(X0-T1); 0.8750000000   X 1:  0.5   0.3750000000  1   0,5   1  x    0,5    3  0,5     1   3   f x   12   0,25   0,875     0,75    0,5      0,25   0,375     12   0,8752  0,52  0,3752  1  0,15625      0,8752  2.0,52  3.0,375    0,140625   0,8752  2.0,5  0,375   0,140625        J x 1 1,75 0,75   1,75 3  1,75 2   >J1:=matrix(3,3,[1.75,1,0.75,1.75,2,-3,1.75,-2,1]); 1.75 0.75 J 1: 1.75 3    1.75 2  53 >det(J1); 19.2500 >N2:= inverse(J1); 0.2337662338  0.2077922078 0.1298701299 N : 0.3636363636 0.02272727273 0.3409090909    0.3636363636 0.2727272727 0.09090909091   Vậy J 1 x  0,2337662338   0,2077922078 0,1298701299   0,3636363636 0,02272727273 0,3409090909   0,3636363636 0,2727272727 0,09090909091    >F1:=matrix(3,1,[0.15625, 0.140625, 0.140625]);  0.15625  F1: 0.140625   0.140625 >T1:= multiply(N2,F1);  0.08360389612  T 1: 0.00568181817     0.00568181818  >X1-T1; X  T1 >X2:= evalm(%); 0.7913961039  X : 0.4943181818   0.3693181818 Ta có nghiệm: x  2  0,875    0,5    0,375    54 0,2337662338  0,15625   0,2077922078 0,1298701299    0,3636363636 0,02272727273 0,3409090909   0,140625   0,3636363636 0,2727272727 0,09090909091 0,140625      0,7913961039    0,4943181818   0,3693181818      f x  0,79139610392  0,49431818182  0,36931818182  1     0,79139610392  2.0,49431818182  3.0,3693181818   0,79139610392  2.0,4943181818  0,3693181818     0,0070541775    0,0070541775   0,0069896114    1,5827922078 0,9886363636 0,7386363636   J x   1,5827922078 1,9772727272 3  1,5827922078  2     >J2:=matrix(3,3,[1.5827922078,0.9886363636,0.7386363636,1.5827922078,1.9772727272, -3,1,5827922078,-2,1]); 1.5827922078 0.9886363636 0.7386363636   J : 1.5827922078 1.9772727272 3   1.5827922078  2 >det(J2); 17.27622601 >N3:=inverse(J2); 0.2562130540  0.2328475716 0.1427342459 N 3: 0.3664671224 0.02394529492 0.3425218275    0.3643849228 0.2738092420 0.09057568077  55 Ta có   J 1 x 0,2562130540   0,2328475716 0,1427342459   0,3664671224 0,02394529492 0,3425218275   0,3643849228 0,2738092420 0,09057568077    >F2:= matrix(3, 1,[0.0070541775,0.0070541775,0.0069896114]);  0.0070541775 F :  0.0070541775   0.0069896114  >T2:= multiply(N3, F2);  0.004440250490  T :  0.000022115298    0.0000058481191 >X2-T2; X T2 >X3:= evalm(%);  0.7869558534  X 3:  0.4942960665    0.3693123337  x  3  0,7913961039    0,4943181818    0,3693181818    0,2562130540  0,0070541775   0,2328475716 0,1427342459    0,3664671224 0,02394529492 0,3425218275   0,0070541775   0,3643849228 0,2738092420 0,09057568077  0,0069896114     56  0,7869558534    0,4942960665   0,3693123337      f x  0,78695585342  0,49429606652  0,3693123337  1     0,78695585342  2.0,49429606652  3.0,3693123337   0,78695585342  2.0,4942960665  0,3693123337     0,0000197163    0,0000197167   0,0000197159    Vậy sau bƣớc lặp ta có nghiệm gần hệ phƣơng trình  x  0,7869558534   y  0,4942960665  z  0,3693123337  3.3 Bài tập áp dụng Bài Giải phƣơng trình ( x  1)3  e x  phƣơng pháp Newton với sai số tuyệt đối không vƣợt   0,5.105 cos  x  0,4 y   x  y  1,6   Bài Giải hệ phƣơng trình  y2 1,5 x  1   0,36  phƣơng pháp Newton - Raphson miền D  0;2   0;1  x3  y  z    Bài Giải hệ phƣơng trình  x  y  z    x  y   Newton -Raphson 57 phƣơng pháp KẾT LUẬN Khóa luận trình bày phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton - Raphson áp dụng Maple vào giải phƣơng trình n biến Tác giả đƣa số ví dụ minh họa để áp dụng đồng thời đƣa chƣơng trình viết ngơn ngữ lập trình PASCAL để giải tốn Đồng thời áp dụng chƣơng trình MAPLE vào việc giải gần hệ phƣơng trình n biến Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhƣng khả thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong đƣợc bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài đƣợc hoàn chỉnh 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng việt Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chƣơng, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tƣờng (2001), Giải tích số, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Hùng (2011), Giải tích số, Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội Nguyễn Minh Chƣơng, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy Tốn học Maple, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội B Tài liệu tiếng anh J.M.Ortega and W.C.Rheinboldt (1970), Iterative solution of nonlinear equations in several variables,University of Maryland College Park, Maryland Academic Press New York and London 59 ... g n Một phƣơng pháp tìm nghiệm g n phƣơng trình Phƣơng pháp Newton Newton -Raphson Phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton - Raphson giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp có lời giải hay, áp dụng cho hệ,... cứu Nghi n cứu cách có hệ thống ki n thức phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton - Raphson giải hệ phƣơng trình n bi n Sau ứng dụng Maple vào tính t n Nhiệm vụ nghi n cứu Giải hệ phƣơng trình n bi n. .. bi n bẳng phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton - Raphson Đối tƣợng phạm vi nghi n cứu Nghi n cứu cách có hệ thống ki n thức phƣơng pháp Newton phƣơng pháp Newton – Raphson vào giải hệ phƣơng trình