Các phương pháp giải bài toán chia hết và áp dụng trong chương trình THCS

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ OANH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT VÀ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - VŨ THỊ OANH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT VÀ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực luận văn, nhận đƣợc động viên, giúp đỡ góp ý chân thành thầy, cô, gia đình bạn bè đồng nghiệp, giúp đỡ ấy, hoàn thành tốt luận văn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn T.S Phạm Văn Quốc, khối chuyên toán, trƣờng Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, ngƣời dành nhiều thời gian nhiệt tình bảo, hƣớng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi gửi lời cảm ơn tới thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trƣờng Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ nhiều trình học tập, không mặt kiến thức mà mặt chuyên môn, phƣơng pháp Kiến thức sâu rộng, tận tụy, hăng say, lòng yêu nghề Thầy gƣơng sáng để học tập theo Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô Sermina môn Phƣơng pháp toán sơ cấp có ý kiến đóng góp quý báu để luận văn đƣợc hoàn chỉnh Ngoài ra, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện, giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn, biết ơn đến gia đình mình, ngƣời động viên, giúp đỡ trình dài, tạo điều kiện để có thể học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Oanh MỤC LỤC Phần Lời mở đầu Phần Nội dung Chương Tổng quan phép chia hết tập hợp số nguyên 1.1 Phép chia hết 1.2 Phép chia có dƣ 1.3 Một số kiến thức liên quan Chương Các phương pháp giải toán chia hết 11 2.1 Phƣơng pháp sử dụng tính chất phép chia hết phép chia có dƣ 11 2.1.1.Phƣơng pháp sử dụng tính chất chia hết 11 2.1.2 Phƣơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết 13 2.1.3 Phƣơng pháp sử dụng định lý phép chia có dƣ 17 2.2 Phƣơng pháp đồng dƣ 20 2.3 Phƣơng pháp dùng đẳng thức 27 2.4 Một số phƣơng pháp khác 31 2.4.1 Phƣơng pháp tuần hoàn 31 2.4.2 Phƣơng pháp quy nạp 34 2.4.3 Phƣơng pháp phản chứng 37 2.4.4 Phƣơng pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet 39 Chương Áp dụng phương pháp giải toán chia hết 42 Phần Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 82 Phần Lời mở đầu LỜI MỞ ĐẦU Bertrand Russell, nhà toán học xuất sắc ngƣời Anh viết : “Toán học nắm giữ không thật mà vẻ đẹp tối thượng, vẻ đẹp lạnh lùng mộc mạc tác phẩm điêu khắc, tinh khiết hoàn hảo tuyệt vời, có nghệ thuật vĩ đại ” Quả thật nhƣ vậy, toán học làm cho ngƣời học, ngƣời nghiên cứu phải thích thú, phải ngƣỡng mộ trƣớc vẻ đẹp khoa học, tự nhiên Và điều góp phần làm nên vẻ đẹp phép chia hết Phép chia hết không điểm bắt đầu, nguồn nhiều nội dung khác thú vị toán học, mà thân chứa đựng tính chất đẹp đẽ, mối quan hệ phong phú, tính chất tƣởng nhƣ đơn giản nhƣng lại phức tạp, đôi lúc tƣởng nhƣ phức tạp lại thành đơn giản Là giáo viên dạy toán cấp trung học sở, phép chia hết song hành giảng toán qua khối lớp, từ lớp đến lớp 9, đặc biệt khối lớp học số học khối lớp Phép chia hết có vai trò quan trọng, nhƣ nói, tính chất mở đầu, gốc, công cụ để phát triển số học nói riêng toán học nói chung Bởi có vai trò quan trọng, tính chất biến hóa, đa dạng phong phú mà phép chia hết đƣợc sử dụng nhiều đề kiểm tra, đề thi thƣờng xuyên, đề thi học sinh giỏi nƣớc quốc tế, đề thi vào lớp 10, vào khối lớp chuyên, , đó, phƣơng pháp để giải toán chia hết vấn đề đƣợc quan tâm, nghiên cứu Để giúp cho thân học sinh thấy đƣợc vẻ đẹp, điều kì diệu toán học, nhƣ cung cấp cho em phƣơng pháp để giải đƣợc toán chia hết, chọn đề tài: Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS Nội dung khóa luận bao gồm vấn đề sau đây: - Tổng quan phép chia hết tập hợp số nguyên - Trình bày phƣơng pháp giải toán chia hết - Các toán áp dụng chƣơng trình THCS cách giải theo phƣơng pháp trình bày Mặc dù cố gắng nhƣng kiến thức hạn chế, thời gian không nhiều nên làm luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đƣợc góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Oanh Phần Nội dung Chƣơng Tổng quan phépchia hết tập hợp số nguyên 1.1 Phép chia hết 1.1.1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b,b ≠ Nếu có số nguyên k cho a=bk ta nói a chia hết cho b Kí hiệu a ⋮ b (a chia hết cho b) b│a (b chia hết a) Khi đó, a đƣợc gọi bội b b đƣợc gọi ƣớc a 1.1.2 Các tính chất chia hết : vớia, b  Z, b ≠  Nếu a ⋮ b b⋮ c a ⋮ c (tính chất bắc cầu)  Nếu a ⋮ b am ⋮ b (mZ)  Nếu ai⋮ mthì a1+a2+ +an⋮ m (tính chất chia hết tổng)  Nếua⋮ m b⋮ m a+b⋮ m  Nếu ab ⋮ c (b,c)=1 a⋮ c  Nếu ai⋮ mi với i=1,2, ,n a1.a2 an⋮ m1.m2 mn Đặc biệt, a ⋮ b an⋮ bn 1.2 Phép chia có dư 1.2.1 Định nghĩa: Giả sử a, b hai số nguyên b>0 Ta nói a chia cho số b có thƣơng q số dƣ r, a biểu diễn đẳng thức a=b.q+r, 0r0 Khi chọn đƣợc số nguyên q r cho  r < b a = bq + r Các số q, r xác định theo điều kiện Chứng minh: * Sự tồn tại: Chọn số tự nhiên c cho |a|0 dãy tăng, có số đầu -cba (do |a|< c) Nhƣ dãy có số bé a, kí hiệu qb, số lớn a, kí hiệu (q+1)b Ta có: qb  a < (q+1)b, nhƣ ta chọn đƣợc thƣơng q Kí hiệu r a-bq a=bq+r Khi đó: qb  bq+r < (q+1)b hay  r < b Vậy thƣơng q số dƣ r tìm đƣợc * Tính nhất: Giả sử a biểu diễn đƣợc cách: a= b𝑞1 + 𝑟1 với 𝑟1 < b; a= b𝑞2 + 𝑟2 với 𝑟2 < b Trừ vế tƣơng ứng hai đẳng thức, ta có: (𝑞1 − 𝑞2 )𝑏 + 𝑟1 − 𝑟2 = suy 𝑟1 − 𝑟2 = −(𝑞1 − 𝑞2 )𝑏 (1) 𝑟1 − 𝑟2 ⋮ 𝑏 (*) Giả sử 𝑟1 ≠ 𝑟2 , ta giả sử 𝑟1 > 𝑟2 Mặt khác, 𝑟1 − 𝑟2 ≤ 𝑟1 < 𝑏, nên𝑟1 − 𝑟2 ⋮ b mâu thuẫn với (*) Vậy 𝑟1 = 𝑟2 , b ≠ nên từ (1) suy 𝑞1 = 𝑞2 Vậy dạng biểu diễn phép chia có dƣ Tài liệu tham khảo [1] Hà Nghĩa Anh- Nguyễn Thúy Mùi- Huỳnh Kì Tranh, (2012), Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán (Đề thi trƣờng chuyên, chọn toàn quốc), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Thị Vân Anh, (2012), Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 9, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Vũ Hữu Bình (chủ biên), (2012), Tài liệu chuyên toán THCS Toán 6,7,8,9, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Vũ Hữu Bình,(2002), Nâng cao phát triển Toán 6,7,8,9, NXB Giáo dục [5] Doãn Minh Cƣờng (chủ biên), (2013), Ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông chuyên môn Toán, NXB Giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Ngọc Đạm- Vũ Dƣơng Thụy, (2013), 10 chuyên đề toán dành cho học sinh THCS, NXB Giáo dục Việt Nam [7] Lê Hồng Đức (chủ biên), (2005), Tuyển chọn thi học sinh giỏi toán THCS, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), (2009), Các giảng số học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [10] Nguyễn Tiến Quang, (2001), Bài tập số học, NXB Giáo dục Việt Nam [11] Đặng Huy Ruận, (2005), Phương pháp giải toán chia hết, NXB Khoa học kĩ thuật [12] Nguyễn Đức Tấn, (1997), 351 Bài toán số học chọn lọc, NXB Giáo dục [13] Đỗ Đức Thái, (2000), Toán bồi dưỡng học sinh khiếu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [14] Tôn Thân (chủ biên), (2013), Các chuyên đề chọn lọc toán 6,7,8,9, NXB Giáo dục Việt Nam [15] Bùi Văn Tuyên, (2006), Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 6,7,8,9, NXB Giáo dục [16] Các tác giả, Tạp chí Toán học tuổi trẻ [17] Một số trang web mạng internet 10 ... em phƣơng pháp để giải đƣợc toán chia hết, chọn đề tài: Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS Nội dung khóa luận bao gồm vấn đề sau đây: - Tổng quan phép chia hết tập hợp... Phép chia hết 1.2 Phép chia có dƣ 1.3 Một số kiến thức liên quan Chương Các phương pháp giải toán chia hết 11 2.1 Phƣơng pháp sử dụng tính chất phép chia hết phép chia có dƣ 11 2.1.1.Phƣơng pháp. .. phƣơng pháp khác 31 2.4.1 Phƣơng pháp tuần hoàn 31 2.4.2 Phƣơng pháp quy nạp 34 2.4.3 Phƣơng pháp phản chứng 37 2.4.4 Phƣơng pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet 39 Chương Áp dụng phương pháp giải toán