Các phương pháp giải bài toán chia hết và áp dụng trong chương trình THCS

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- VŨ THỊ OANH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT VÀ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

VŨ THỊ OANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT

VÀ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

VŨ THỊ OANH

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT

VÀ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội – 2014

1

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện bản luận văn, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ và góp ý chân thành của các thầy, cô, gia đình và bạn bè đồng nghiệp, nếu không có những sự giúp đỡ ấy, tôi đã không thể hoàn thành tốt bản luận văn của mình

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn T.S Phạm Văn Quốc, khối chuyên toán, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, người đã dành nhiều thời gian nhiệt tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này

Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia

Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập, không chỉ về mặt kiến thức mà còn cả về mặt chuyên môn, phương pháp Kiến thức sâu rộng, sự tận tụy, hăng say, lòng yêu nghề của các Thầy luôn là tấm gương sáng để chúng tôi học tập theo

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong Sermina của bộ môn Phương pháp toán sơ cấp đã có những ý kiến đóng góp quý báu để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn

Ngoài ra, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho tôi

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn, sự biết ơn đến gia đình mình, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong một quá trình dài, tạo điều kiện để tôi

có thể có thể học tập và hoàn thành bản luận văn

Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014

Học viên

Vũ Thị Oanh

2

MỤC LỤC

Chương 1 Tổng quan về phép chia hết trên tập hợp số nguyên 7

Chương 2 Các phương pháp giải bài toán chia hết 11

2.1 Phương pháp sử dụng các tính chất của phép chia hết và

2.1.1.Phương pháp sử dụng các tính chất chia hết 11 2.1.2 Phương pháp sử dụng các dấu hiệu chia hết 13 2.1.3 Phương pháp sử dụng định lý phép chia có dư 17

2.4.4 Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet 39

Chương 3 Áp dụng các phương pháp giải bài toán chia hết 42

3 Phần 1

Lời mở đầu

4

LỜI MỞ ĐẦU

Bertrand Russell, một nhà toán học xuất sắc người Anh đã từng viết :

“Toán học nắm giữ không chỉ sự thật mà cả vẻ đẹp tối thượng, một vẻ đẹp

lạnh lùng và mộc mạc như của một tác phẩm điêu khắc, tinh khiết và hoàn hảo tuyệt vời, chỉ có ở nghệ thuật vĩ đại nhất ”

Quả thật là như vậy, toán học làm cho những người học, người nghiên cứu về nó phải thích thú, phải ngưỡng mộ trước vẻ đẹp của khoa học, của tự nhiên Và một trong những điều góp phần làm nên vẻ đẹp ấy là phép chia hết Phép chia hết không chỉ là điểm bắt đầu, là nguồn của rất nhiều nội dung khác thú vị trong toán học, mà bản thân nó cũng chứa đựng trong mình những tính chất đẹp đẽ, những mối quan hệ phong phú, những tính chất tưởng như đơn giản nhưng lại rất phức tạp, đôi lúc tưởng như rất phức tạp thì lại thành ra đơn giản

Là một giáo viên dạy toán cấp trung học cơ sở, phép chia hết luôn song hành cùng các bài giảng toán của tôi qua các khối lớp, từ lớp 6 đến lớp 9, đặc biệt là khối lớp 6 khi học về số học và khối lớp 8 Phép chia hết có một vai trò quan trọng, như trên tôi đã nói, nó luôn là tính chất mở đầu, là cái gốc, là công cụ để phát triển số học nói riêng và toán học nói chung

Bởi có vai trò quan trọng, tính chất biến hóa, đa dạng và phong phú mà phép chia hết luôn được sử dụng nhiều trong các đề kiểm tra, đề thi thường xuyên, các đề thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế, các đề thi vào lớp 10, vào các khối lớp chuyên, , do đó, các phương pháp để giải các bài toán chia hết luôn là vấn đề được quan tâm, nghiên cứu

Để giúp cho bản thân và học sinh của mình thấy được vẻ đẹp, những điều kì diệu của toán học, cũng như cung cấp cho các em các phương pháp để

có thể giải được các bài toán chia hết, tôi đã chọn đề tài: Các phương pháp

giải bài toán chia hết và áp dụng trong chương trình THCS

5

Nội dung của khóa luận bao gồm các vấn đề sau đây:

- Tổng quan về phép chia hết trên tập hợp số nguyên

- Trình bày các phương pháp giải toán chia hết

- Các bài toán áp dụng trong chương trình THCS và các cách giải theo các phương pháp đã trình bày

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do kiến thức còn hạn chế, thời gian không nhiều nên khi làm luận văn không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014

Học viên

Vũ Thị Oanh

6

Phần 2 Nội dung

7

Chương 1

Tổng quan về phépchia hết trên tập hợp số nguyên

1.1 Phép chia hết

1.1.1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên a và b,b ≠ 0 Nếu có số nguyên k

sao cho a=bk thì ta nói a chia hết cho b

Kí hiệu a ⋮ b (a chia hết cho b) hoặc b│a (b chia hết a)

Khi đó, a được gọi là bội của b và b được gọi là ước của a

1.1.2 Các tính chất chia hết : vớia, b  Z, b ≠ 0

 Nếu a ⋮ b và b⋮ c thì a ⋮ c (tính chất bắc cầu)

 Nếu a ⋮ b thì am ⋮ b (mZ)

 Nếu ai⋮ mthì a1+a2+ +an⋮ m (tính chất chia hết của tổng)

 Nếua⋮ m và b⋮ m thì a+b⋮ m

 Nếu ab ⋮ c và (b,c)=1 thì a⋮ c

 Nếu ai⋮ mi với i=1,2, ,n thì a1.a2 an⋮ m1.m2 mn.

Đặc biệt, nếu a ⋮ b thì an⋮ bn

1.2 Phép chia có dư

1.2.1 Định nghĩa: Giả sử a, b là hai số nguyên và b>0 Ta nói rằng a

chia cho số b có thương là q và số dư là r, nếu a có thể biểu diễn bằng đẳng thức a=b.q+r, trong đó 0r<b

1.2.2 Định lý về phép chia có dư:Giả sử a, b là hai số nguyên và b>0

Khi đó có thể chọn được các số nguyên q và r sao cho 0  r < b và

a = bq + r Các số q, r xác định theo điều kiện trên là duy nhất

Chứng minh:

8

* Sự tồn tại:

Chọn số tự nhiên c sao cho |a|<bc và xét dãy số:

-cb, (-c+1)b, (-c+2)b, , -2b, -b, 0b, , (c-1)b, cb

Với b>0 thì đây là một dãy tăng, có số đầu -cb<a, số cuối cb>a (do

|a|< c)

Như vậy trong dãy sẽ có một số bé hơn hoặc bằng a, kí hiệu qb, số tiếp theo lớn hơn hoặc bằng a, kí hiệu (q+1)b

Ta có: qb  a < (q+1)b, như vậy ta đã chọn được thương q

Kí hiệu r là a-bq thì a=bq+r

Khi đó: qb  bq+r < (q+1)b hay 0  r < b

Vậy thương q và số dư r đã tìm được

* Tính duy nhất:

Giả sử a có thể biểu diễn được bằng 2 cách:

a= b𝑞1 + 𝑟1với 0 𝑟1< b; a= b𝑞2 + 𝑟2với 0 𝑟2< b

Trừ 2 vế tương ứng của hai đẳng thức, ta có:

(𝑞1 − 𝑞2)𝑏 + 𝑟1 − 𝑟2 = 0 suy ra 𝑟1 − 𝑟2 = −(𝑞1 − 𝑞2)𝑏 (1) vậy 𝑟1 − 𝑟2 ⋮ 𝑏 (*)

Giả sử 𝑟1 ≠ 𝑟2, ta có thể giả sử 𝑟1 > 𝑟2

Mặt khác, 𝑟1 − 𝑟2 ≤ 𝑟1 < 𝑏, nên𝑟1 − 𝑟2 ⋮ b mâu thuẫn với (*) Vậy 𝑟1 = 𝑟2, b ≠ 0 nên từ (1) suy ra 𝑞1 = 𝑞2

Vậy dạng biểu diễn phép chia có dư là duy nhất

9

Tài liệu tham khảo

[1] Hà Nghĩa Anh- Nguyễn Thúy Mùi- Huỳnh Kì Tranh, (2012), Đề thi

tuyển sinh vào lớp 10 môn toán (Đề thi của các trường chuyên, chọn

trên toàn quốc), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[2] Trần Thị Vân Anh, (2012), Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 9,

NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[3] Vũ Hữu Bình (chủ biên), (2012), Tài liệu chuyên toán THCS Toán

6,7,8,9, NXB Giáo dục Việt Nam

[4] Vũ Hữu Bình,(2002), Nâng cao và phát triển Toán 6,7,8,9, NXB Giáo

dục

[5] Doãn Minh Cường (chủ biên), (2013), Ôn thi vào lớp 10 trung học phổ

thông chuyên môn Toán, NXB Giáo dục Việt Nam

[6] Nguyễn Ngọc Đạm- Vũ Dương Thụy, (2013), 10 chuyên đề toán dành

cho học sinh THCS, NXB Giáo dục Việt Nam

[7] Lê Hồng Đức (chủ biên), (2005), Tuyển chọn bài thi học sinh giỏi toán

THCS, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[8] Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), (2009), Các bài giảng về số học, NXB

Đại học Quốc gia Hà Nội

[9] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc,

NXB Giáo dục

[10] Nguyễn Tiến Quang, (2001), Bài tập số học, NXB Giáo dục Việt

Nam

[11] Đặng Huy Ruận, (2005), Phương pháp giải bài toán chia hết, NXB

Khoa học và kĩ thuật

[12] Nguyễn Đức Tấn, (1997), 351 Bài toán số học chọn lọc, NXB

Giáo dục

10

[13] Đỗ Đức Thái, (2000), Toán bồi dưỡng học sinh năng khiếu, NXB

Đại học Quốc gia Hà Nội

[14] Tôn Thân (chủ biên), (2013), Các chuyên đề chọn lọc toán 6,7,8,9,

NXB Giáo dục Việt Nam

[15] Bùi Văn Tuyên, (2006), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán

6,7,8,9, NXB Giáo dục

[16] Các tác giả, Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

[17] Một số trang web trên mạng internet