Các phương pháp giải bài toán chia hết

22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS ĐhFPT tuyển sinh năm 2018 Xét tuyển thẳng môn HB 21 điểm vào hệ quy Đăng ký tư vấn Trường ĐH FPT tuyển sinh Đại học FPT tuyển sinh 2018 hệ quy Đăng ký tư vấn ngay! daihoc.fpt.edu.vn daihoc.fpt.edu.vn MỤC LỤC Phần Lời mở đầu Phần Nội dung Chương Tổng quan phép chia hết tập hợp số nguyên 1.1 Phép chia hết 1.2 Phép chia có dƣ 1.3 Một số kiến thức liên quan Chương Các phương pháp giải toán chia hết 11 2.1 Phƣơng pháp sử dụng tính chất phép chia hết phép chia có dƣ 11 2.1.1.Phƣơng pháp sử dụng tính chất chia hết 11 2.1.2 Phƣơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết 13 2.1.3 Phƣơng pháp sử dụng định lý phép chia có dƣ 17 2.2 Phƣơng pháp đồng dƣ 20 Tải 2.3 Phƣơng phápđầy dùngđủ đẳng thức 27 https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 1/43 22/2/2018 Các phương pháp giải tốn chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text 2.4 Một số phƣơng pháp khác 31 2.4.1 Phƣơng pháp tuần hoàn 31 2.4.2 Phƣơng pháp quy nạp 34 2.4.3 Phƣơng pháp phản chứng 37 2.4.4 Phƣơng pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet 39 Chương Áp dụng phương pháp giải toán chia hết 42 Phần Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 82 Phần Lời mở đầu LỜI MỞ ĐẦU Bertrand Russell, nhà toán học xuất sắc ngƣời Anh viết : “Toán học nắm giữ không thật mà vẻ đẹp tối thượng, vẻ đẹp lạnh lùng mộc mạc tác phẩm điêu khắc, tinh khiết hoàn hảo tuyệt vời, có nghệ thuật vĩ đại ” Quả thật nhƣ vậy, toán học làm cho ngƣời học, ngƣời nghiên cứu phải thích thú, phải ngƣỡng mộ trƣớc vẻ đẹp khoa học, tự nhiên Và điều góp phần làm nên vẻ đẹp phép chia hết Phép chia hết không điểm bắt đầu, nguồn nhiều nội dung khác thú vị tốn học, mà thân chứa đựng tính chất đẹp đẽ, mối quan hệ phong phú, tính chất tƣởng nhƣ đơn giản nhƣng lại phức tạp, đôi lúc tƣởng nhƣ phức tạp lại thành đơn giản Là giáo viên dạy toán cấp trung học sở, phép chia hết ln song hành giảng tốn qua khối lớp, từ lớp đến lớp 9, đặc biệt khối lớp học số học khối lớp Phép chia hết có vai trò quan trọng, nhƣ tơi nói, ln tính chất mở đầu, gốc, cơng cụ để phát triển số học nói riêng tốn học nói chung Bởi có vai trò quan trọng, tính chất biến hóa, đa dạng phong phú mà phép chia hết đƣợc sử dụng nhiều đề kiểm tra, đề thi thƣờng xuyên, đề thi học sinh giỏi nƣớc quốc tế, đề thi vào lớp 10, vào khối lớp chuyên, , đó, phƣơng pháp để giải tốn chia hết ln vấn đề đƣợc quan tâm, nghiên cứu Để giúp cho thân học sinh thấy đƣợc vẻ đẹp, điều kì diệu toán học, nhƣ cung cấp cho em phƣơng pháp để giải đƣợc tốn chia hết, tơi chọn đề tài: Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS Nội dung khóa luận bao gồm vấn đề sau đây: - Tổng quan phép chia hết tập hợp số nguyên - Trình bày phƣơng pháp giải toán chia hết - Các tốn áp dụng chƣơng trình THCS cách giải theo phƣơng pháp trình bày Mặc dù cố gắng nhƣng kiến thức hạn chế, thời gian khơng nhiều nên làm luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp Tải đƣợc đầy đủý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 2/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Oanh Phần Nội dung Chƣơng Tổng quan phép chia hết tập hợp số nguyên 1.1 Phép chia hết 1.1.1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b, b ≠ Nếu có số nguyên k cho a = bk ta nói a chia hết cho b Kí hiệu a b (a chia hết cho b) b│a (b chia hết a) Khi đó, a đƣợc gọi bội b b đƣợc gọi ƣớc a 1.1.2 Các tính chất chia hết : với a, b Z, b ≠ Nếu a b b c a c (tính chất bắc cầu) Nếu a b am b (m Z) Nếu a i m a +a ++a n m (tính chất chia hết tổng) Nếu a m b m a + b m Nếu ab Nếu a c (b, c) = a c i m i với i = 1, 2, , n a a a n m m m n Tải Đặc biệt, nếubản a đầy b ađủ n https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 3/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text b n 1.2 Phép chia có dƣ 1.2.1 Định nghĩa: Giả sử a, b hai số nguyên b > Ta nói a chia cho số b có thƣơng q số dƣ r, a biểu diễn đẳng thức a = b.q + r, r < b 1.2.2 Định lý phép chia có dƣ: Giả sử a, b hai số nguyên b>0 Khi chọn đƣợc số nguyên q r cho r < b a = bq + r Các số q, r xác định theo điều kiện Chứng minh: * Sự tồn tại: Chọn số tự nhiên c cho |a|< bc xét dãy số: -cb, (-c + 1)b, (-c + 2)b, , -2b, -b, 0b, , (c - 1)b, cb Với b > dãy tăng, có số đầu -cb < a, số cuối cb > a (do |a|< c) Nhƣ dãy có số bé a, kí hiệu qb, số lớn a, kí hiệu (q+1)b Ta có: qb a < (q+1)b, nhƣ ta chọn đƣợc thƣơng q Kí hiệu r a - bq a = bq + r Khi đó: qb bq + r < (q+1)b hay r < b Vậy thƣơng q số dƣ r tìm đƣợc * Tính nhất: Giả sử a biểu diễn đƣợc cách: a=b + với < b; a = b + với < b Trừ vế tƣơng ứng hai đẳng thức, ta có: ( ) + = suy = ( ) (1) (*) Giả sử Tảigiảbản , ta sử đầy đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 4/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text > Mặt khác, < , nên b mâu thuẫn với (*) Vậy = , b ≠ nên từ (1) suy = Vậy dạng biểu diễn phép chia có dƣ 1.3 Một số kiến thức liên quan 1.3.1 Số nguyên tố Hợp số 1.3.1.1 Định nghĩa: Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ƣớc 1.3.1.2 Những tính chất số ngun tố: Cho p số nguyên tố Khi với số nguyên a a chia hết cho p a nguyên tố với p Nếu tích ab hai số tự nhiên chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p b chia hết cho p 1.3.1.3 Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều ƣớc 1.3.2 Ƣớc chung lớn Bội chung nhỏ 1.3.2.1 Ƣớc chung lớn Định nghĩa: Số nguyên d đƣợc gọi ƣớc chung số nguyên a ,a , ,a n ƣớc số Ƣớc chung d số nguyên a ,a , ,a n đƣợc gọi ƣớc chung lớn (ƢCLN) d bội ƣớc chung a ,a , ,a n Kí hiệu: Với d > ta kí hiệu d = ƢCLN(a ,a , ,a n ) hay Tải đầy đủ d = (a https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 5/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text ,a , ,a n ) Một số tính chất: Tập hợp ƣớc chung , , , trùng với tập hợp ƣớc ƢCLN số Nếu d ƢCLN số a ,a , ,a n tồn số nguyên , , , cho: d = x a +x a + +x n a n 10 Đặc biệt, (a ,a , ,a n ) = tồn số nguyên x ,x , ,x n cho: = x a +x a + +x n a n Tải đầy đủ Khi đó, số a https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 6/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text ,a , ,a n đƣợc gọi số nguyên tố 1.3.2.3 Bội chung nhỏ Định nghĩa: Số nguyên m đƣợc gọi bội chung số nguyên a ,a , ,a n chia hết cho số nguyên Bội chung m số nguyên a ,a , ,a n đƣợc gọi bội chung nhỏ số (BCNN) ƣớc bội chung a ,a , ,a n Với m > 0, ta kí hiệu: m = BCNN(a ,a , ,a n ) hay m = [a ,a , ,a n ] Để tìm BCNN số, ta sử dụng cơng thức: a, b = ab (a, b) Bội chung nhỏ nhiều số đƣợc tính theo cơng thức: [a ,a , ,a n ]=[ a ,a , ,a n ,a n Thích Chia sẻ Tải đầy đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 7/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text ] đƣợc xác định nhờ tính chất: m = [a ,a , ,a n ] m a , m a , , m a n = 1.3.3 Định lý số học Mỗi số tự nhiên lớn phân tích đƣợc thành tích thừa số ngun tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số Sự phân tích a = p 1 p 2 p n n đó, p , p, , p n số nguyên tố khác nhau, , , n số nguyên dƣơng, gọi phân tích tiêu chuẩn a 11 Chƣơng Các phƣơng pháp giải tốn chia hết 2.1 Phƣơng pháp sử dụng tính chất phép chia hết phép chia có dƣ 2.1.1 Phƣơng pháp sử dụng tính chất chia hết Phần lớn tốn chia hết chƣơng trình THCS phải dùng tính chất chia hết, sau tơi xin trình bày số tốn điển hình thƣờng gặp Ví dụ Tìm số ngun n để: a) 3n + n + b) n + 2n - Giải: a) 3n + Tải nbản + đầy 3(n đủ + 2) + n + Vì 3(n + 2) n + nên n+2 suy n + Ƣ(3) = { 1; 3} https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 8/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text n+2 -3 -1 n -5 -3 -1 Vậy n {-5; -3; -1; 0} b) n + 2n - suy 2.(n+7) 2n - 2n + 14 2n - 2n - + 15 2n - Vì 2n - 2n - nên 15 2n - suy 2n - Ƣ(15) = { 1; 3; 5; 15} 12 2n-1 -15 -5 -3 -1 15 n -7 -2 -1 Vậy n {-7; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 8} Ví dụ (Đề thi APMOPS 2013) Tổng 10 số nguyên dƣơng, giống nhau, 1001 Nếu d ƣớc chung lớn 10 số đó, tìm giá trị lớn d Giải: Đặt 10 số nguyên dƣơng a ,a , ,a 10 a i = d k i với i = 1, 2, , 10, k i N* Ta có: a +a + +a 10 =d k +k + +k 10 đầy = 1001 Tải = 7.11.13 Vì k đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 9/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text +k + +k 10 10 nên giá trị nhỏ tổng 11 (ta lấy k =k = =k ,k 10 = 2) Khi d = 7.13 = 91 Vậy giá trị lớn d 91 Ví dụ Cho a, b, n số tự nhiên khác Biết a n Chứng minh a + 98b 49 Giải: Vì a n mà số nguyên tố nên a suy a 49 Vì 98 49 suy 98.b 49 Từ ta có a + 98b 49 Ví dụ (Thi vơ địch Hung-ga-ri năm 1894) Chứng minh x,y số nguyên 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Giải: Vì 4.(2x + 3y) + (9x + 5y) = 17(x + y) 17 nên: Nếu 2x + 3y 17 4.(2x + 3y) 17 suy 9x + 5y 17 Nếu 9x + 5y 17 suy 4.(2x + 3y) 17 mà (4, 17) = nên 2x + 3y 17 13 Vậy 2x + 3y 17 9x + 5y 17 2.1.2 Phƣơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết Từ kỉ XVI, nhà toán học Pascal (1623-1662) nêu dấu hiệu chia hết hệ thập phân, ngày ngƣời ta dựa vào dấu hiệu để phát biểu dấu hiệu chia hết cho số 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 11; 13; 25; 101; 125; Dấu hiệu chia hết Pascal: Giả sử số tự nhiên T viết hệ thập phân có dạng: T=a s a s a a Tải đầy đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 10/43 22/2/2018 Các phương pháp giải tốn chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text Z, r ,r ,r < 3) Có khả năng: * Khả 1: Trong số có số có số dƣ (cùng dƣ 0, dƣ 1, dƣ 2) + Trƣờng hợp 1: r =r =r = Khi đó, a +a +a = 3q + 3q + 3q = 3(q +q +q ) + Trƣờng hợp 2: r =r =r = Khi đó, a +a +a = 3q +1 + 3q +1 + 3q +1 = Tải đầy đủ q https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 29/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text +q +q + 3 + Trƣờng hợp 3: r =r =r = Khi đó, a +a +a = 3q +2 + 3q +2 + 3q +2 = q +q +q + Vậy tổng số chia hết cho * Khả 2: số khơng có số có số dƣ giống nhau, theo nguyên lý Dirichlet, chia số cho có trƣờng hợp số dƣ (dƣ 0, dƣ 1, dƣ 2) Khi tổng số chia hết cho a +a +a = (3q ) + (3q + 1) + (3q + 2) = 3(q +q Tải đầy đủ +q https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 30/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text )+ 3 Vậy khả xảy số ln có số mà tổng chúng chia hết cho Ví dụ 2: Tìm số nguyên p biết p, p + 2, p + 10 số nguyên tố Giải: p = p + 10 = 12 khơng số nguyên tố nên p = không thỏa mãn 19 p = p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố nên p = thỏa mãn Xét số nguyên p > 3, p chia cho có trƣờng hợp số dƣ: dƣ 1, dƣ 2, dƣ + Trƣờng hợp 1: p = 3.k (k Z) p = 3k nên p hợp số (loại) + Trƣờng hợp 2: p = 3k + (k Z) Khi đó, p + = 3k + + = 3k + 3 nên p+2 hợp số (loại) + Trƣờng hợp 3: p = 3k + (k Z) Khi đó, p + 10 = 3k + + 10 = 3k + 12 nên p + 10 hợp số (loại) Vậy p = số nguyên thỏa mãn điều kiện đề Ví dụ 3: Có hay khơng số tự nhiên n để n + 10 2014 Giải: Giả sử có số tự nhiên n có trƣờng hợp xảy ra: + Trƣờng hợp 1: n chẵn , n = 2k (k N) Khi đó: n +1=3 2k +1=9 k + (mod 8) nên n + suy n + 10 2014 (vô lý) + Trƣờng hợp 2: n lẻ, n = 2k + (k N) Khi đó: n+1 + = 3.3 2k + = 3.9 k + (mod 8) nên n+1 +1 suy n+1 + 10 2014 (vơ lý) Vậy khơng có số tự nhiên n để n + 10 2014 Ví dụ 4: (Thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa năm 2014-2015) Chứng minh rằng: p số nguyên tố lớn (p+1)(p-1) 24 Giải: Ta có 24 = 3.8 Vì p số ngun tố lớn nên p số lẻ, p + p - hai số chẵn liên tiếp, suy (p + 1)(p - 1) (1) Đặt p = 3k + r, (k N); p số nguyên tố nên r =1; 20 Tải đầy đủ +Trƣờng hợp 1: r =1 p = 3k + 1, (p + 1)(p - 1)= (3k + 2).3k https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 31/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text +Trƣờng hợp 2: r =2 p = 3k + 2, (p + 1)(p - 1)=(3k + 3).(3k+1) Vậy (p + 1)(p - 1) (2) Vì (3, 8) = , từ (1) (2) ta có (p+1).(p-1) 3.8 hay (p+1)(p-1) 24 2.2 Phƣơng pháp đồng dƣ Đây phƣơng pháp đƣợc sử dụng nhiều hiệu toán số học đặc biệt toán chia hết 2.2.1 Định nghĩa: Cho số nguyên m > Nếu số nguyên a b chia cho m có số dƣ ta nói a đồng dƣ với b theo modun m kí hiệu a b (mod m) Nếu a b không đồng dƣ với theo modun m ta viết a b (mod m) Ví dụ: 20 (mod 3); 25 (mod 3) 2.2.2 Các điều kiện tƣơng đƣơng định nghĩa: 1) a b đồng dƣ với theo modun m 2) a - b chia hết cho m 3) tồn số nguyên t cho a = b + mt Chứng minh: 1) 2) Vì a b (mod m) nên p,q, r Z cho: a = mp + r; b = mq + r, đó, a - b = m(p - q) m 2) 3) Vì a - b m suy cho: a - b = mt hay a = b + mt 3) 1) Giả sử có số nguyên t cho a = b + mt Gọi r số dƣ phép chia a cho m, ta có a = mp + r (p, r Z, r < m) Khi đó, b + mt = mp + r b = (p - t)m + r Vậy a b có số dƣ chia cho m, a 21 b (mod m) 2.2.3 Các tính chất: 1) Tính chất phản xạ: a a (mod m) 2) Tính chất đối xứng: a b (mod m) suy b a (mod m) 3) Tính chất bắc cầu: a b (mod m) b c (mod m) suy a c (mod m) 4) Có thể nhân hai vế modun đồng dƣ thức với số nguyên dƣơng: a b (mod m) suy ka kb (mod km), với k nguyên dƣơng 5) Có thể cộng trừ vế nhiều đồng dƣ thức có modun với nhau: a i b i (mod m), i = 1,2, ,k suy a a a a k b b b b k (mod m) 6) Có thể nhân vế nhiều đồng dƣ thức có modun với nhau: a i b i (mod m), i=1,2, ,k suy a a Tải đầy đủ a https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 32/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text a k b b b b k (mod m) Đặc biệt: + nhân vế đồng dƣ thức với số nguyên: a b (mod m) suy ka kb (mod m), k nguyên + nhân vế đồng dƣ thức lên lũy thừa: a b (mod m) suy a k b k (mod m), k nguyên dƣơng 7) Nếu hai số đồng dƣ với theo nhiều modun chúng đồng dƣ với theo modun BCNN modun a b (mod m i ) , i=1, 2, , k a b (mod[m ,m , ,m k ]) Đặc biệt, (mi, mj) = 1, i, j=1, 2, , k a b (mod m i ) tƣơng đƣơng với a b (mod m m m k ) 8) a b (mod m) suy ƢC(a, m) = ƢC(b, m) Đặc biệt, a b (mod m) suy (a, m) = (b, m) 9) Có thể chia vế modun đồng dƣ cho ƣớc chung dƣơng chúng: 22 a a k b (mod m) , k ƢC(a, b, m), k > suy b k (mod m k ) Đặc biệt, ac bc (mod m) suy a b (mod m (c,m) ) ac bc (mod m), (c, m) = suy a b (mod m) Chứng minh: 1) Vì a - a = m nên a a (mod m) 2) a b (mod m) suy a - b m hay b - a m suy b a (mod m) 3) a b (mod m) suy a - b m, b c (mod m) suy b - c m từ đó: (a - b) - (b - c) m hay a - c m suy a c (mod m) 4) a b (mod m) suy a = b + mt với t Z suy ka = kb + (km)t với k Z, k > hay ka kb (mod km) Tải đầy đủ 5) a i https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 33/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text b i mod m , i = 1,2, k nên t i Z cho a i =b i + mt i Cộng trừ vế đẳng thức, ta có: a a a a k =b b b b k + m.(t t t t k ) suy a a a a k b b b b k (mod m) 6) Vì a i b i (mod m), i = 1,2, ,k nên t i Z cho a i =b i + mt Tải đầy đủ i https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 34/43 22/2/2018 Các phương pháp giải tốn chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text Nhân vế đẳng thức, ta có: a a a a k =b b b b k + m.t suy a a a a k b b b b k (mod m) 7) a b (mod m i ), i=1,2, ,k suy (a - b) m i , i=1,2,.,k Do đó: (a - b) [m ,m , ,m k ] Vậy a b (mod[m ,m ,,m k ]) Ngƣợc lại, a b (mod[m ,m ,,m k ]) mà [m ,m ,,m k ] m i Tải đầy đủ nên a b (mod m https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 35/43 22/2/2018 Các phương pháp giải tốn chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text i ), i = 1,2, ,k 23 8) Gọi X tập hợp ƣớc chung a m Y tập hợp ƣớc chung b m Giả sử x X, ta chứng minh x Y Thật vậy, x X nên x ƢC(a,m) suy a x m x mà a b (mod m) nên a - b m, a - b x, a x nên b ta có m x, b x nên x ƢC(b, m), x Y, tức X Y Tƣơng tự, ta có Y X Vậy X = Y 9) k ƢC(a, b, m), k > suy a = ka ; b = kb ; m = km với a ,b ,m Z, m > Vì a b (mod m) nên a = b + mt (t Z), đó: ka = kb + km t hay a =b +m t tức a b x mod m a k b k (mod m k ) 2.2.5 Một số định lý 2.2.5.1 Định lý Fermat bé: Cho a số nguyên dƣơng p số nguyên tố Khi đó, ta ln có a p a (mod p) Đặc biệt, (a, p) = a p-1 Tảip).bản đầy đủ (mod Chứng minh: (ta chứng minh theo phƣơng pháp quy nạp) https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 36/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text + Với a = p-1 (mod p), định lý + Giả sử định lý với a >1, tức a p a (mod p), ta chứng minh định lý với a + 1, tức ta phải chứng minh (a+1) p a + (mod p) Thật vậy, Xét (a+1) p - (a+1) = (a p - a) + C p k a k p k=1 với C p k = p! k! p k ! Vì (a p - a) p C p k a k p k=1 p nên (a+1) p - (a+1) p 24 Theo nguyên lý quy nạp a p a (mod p) với a số nguyên dƣơng p số nguyên tố Ví dụ: (mod 7) ; 113 (mod 113) Chú ý: Ta dùng định lý Fermat bé để kiểm tra số có hợp số hay khơng, p hợp số có a p a (mod p) Tuy nhiên, chiều ngƣợc lại không đúng, nghĩa với a, p nguyên dƣơng mà có a p a (mod p) p chƣa số nguyên tố Ví dụ: Tải đầy đủ (mod 9) nhƣng không số nguyên tố https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 37/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text 2.2.5.2 Định lý Wilson Với số nguyên tố p (p-1)! -1 (mod p) Chứng minh: + Với p = (2 - 1)! -1 (mod 2), định lý + p = (3 - 1)! -1 (mod 3), định lý + p = (4 - 1)! -1 (mod 4), định lý + Ta chứng minh định lý với p ≥ Đặt S = {2, 3, , p-2} Vì p số nguyên tố nên s S tùy ý ln có phần tử nghịch đảo s' {1,2,3, ,p-1} theo modun p (số nguyên a gọi nghịch đảo số nguyên b theo modun m ab (mod m)) Hơn s' ≠ 1, s' ≠ p -1 nên s' S Rõ ràng s' ≠ s khơng s mod p Suy s - p s + p Điều xảy s + < p Do ta nhóm phần tử S thành p cặp phân biệt (s, s') cho ss' (mod m) Nhân vế đồng dƣ thức ta đƣợc (p - 2)! (mod p) suy (p - 1)! p - -1 (mod p) 25 Ví dụ: 4! -1 (mod 5); 6! -1 (mod 7); 10! -1 (mod 11) Chú ý: mệnh đề đảo định lý Wilson đúng, nghĩa là: Nếu (n-1)! -1 (mod n) với số nguyên n ≥ n số nguyên tố 2.2.5.3 Định lý Euler a) Hàm số Euler: * Định nghĩa: Với số nguyên dƣơng m bất kì, ta định nghĩa hàm số Euler = (m) số số nguyên dƣơng nhỏ m nguyên tố với m Ví dụ: (4)=2; = 6; (10) = * Tính chất: Với số nguyên tố p p = p Với số nguyên dƣơng m, n mà (m, n) = thì: m n = (m) (n) Nếu số ngun dƣơng m có dạng phân tích thành tích thừa số nguyên tố: m = p 1 p 2 p k k thì: Tải đầy đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 38/43 22/2/2018 Các phương pháp giải tốn chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text m = m 1 p 1 p 1 p k m số nguyên dƣơng d =m d|m * Ví dụ: 79 =78 79 số nguyên tố, 72 = 72 1 1 = 24 72 = 3 b) Định lý Euler: Cho m số nguyên dƣơng a số nguyên tố với m Khi đó: a m (mod m) Chứng minh: Xét tập hợp S tất số nguyên dƣơng nhỏ m nguyên tố với m S = {a Tải đầy đủ ,a https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 39/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text , ,a m } 26 Do (a, m) = nên (aa i , m) = i= 1,2, , (m) Do S = {aa , aa , , aa m } Vậy aa aa aa m a a a m mod m hay a m a a a m a a a m mod m Tải đầy đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 40/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text Vì (a i , m) = i= 1,2, , m nên a m mod m Ví dụ: (5, 14) = 1; = 4; 14 = Khi đó: 14 (mod ); (mod 14 ) Ví dụ Tìm số dƣ 204 chia cho 101 Giải: 204 =3 202 =3 101.2 = (3 101 ) Theo định lý Fermat bé, ta có 101 mod 101 Suy 204 3 (mod 101) hay 204 81 mod 101 Tải đầy đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 41/43 22/2/2018 Các phương pháp giải tốn chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text Vậy 204 chia cho 101 dƣ 81 Ví dụ Chứng minh 111 333 + 333 111 Giải: 111 -1 (mod 7) suy 111 333 -1 (mod 7) (1) 333 111 =3 111 111 111 Mà 3 mod suy 111 = (3 ) 37 mod 111 -1 (mod 7) suy 111 111 -1 (mod 7) Từ đó: 333 111 mod (2) Từ (1) (2) suy 111 333 + 333 111 1+1 mod hay 111 333 + 333 111 Ví dụ Chứng minh với n 2n+1 +5 n+2 31 Giải: Vì N Tải đầy đủ mod 31 https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 42/43 22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text suy 2n n mod 31 Lại có: mod 31 Tài liệu liên quan Một lớp phương pháp giải toán tối ưu nhiều mục tiêu Các phương pháp giải tốn hóa học hữa doc Các phương pháp giải toán qui hoạch tuyến tính ppsx Các phương pháp giải tốn hố học (cực hay) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT ppt PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT pptx Các phương pháp giải toán điện xoay chiều khóa luận tốt nghiệp Các phương pháp giải tốn cauchy phương trình vi phân thường phương pháp giải toán thời gian quãng đường dao động điều hòa SKKN số phương pháp giải toán chia hết lớp Tặng 1G tài liệu miễn phí Trọn tài liệu Tin học văn phòng từ Học Excel Online Tải đầy đủ https://text.123doc.org/document/2872572-cac-phuong-phap-giai-bai-toan-chia-het-va-ap-dung-trong-chuong-trinh-thcs.htm 43/43 ... chuẩn a 11 Chƣơng Các phƣơng pháp giải toán chia hết 2.1 Phƣơng pháp sử dụng tính chất phép chia hết phép chia có dƣ 2.1.1 Phƣơng pháp sử dụng tính chất chia hết Phần lớn tốn chia hết chƣơng trình... em phƣơng pháp để giải đƣợc tốn chia hết, tơi chọn đề tài: Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS Nội dung khóa luận bao gồm vấn đề sau đây: - Tổng quan phép chia hết tập...22/2/2018 Các phương pháp giải toán chia hết áp dụng chương trình THCS - Tài liệu text 2.4 Một số phƣơng pháp khác 31 2.4.1 Phƣơng pháp tuần hoàn 31 2.4.2 Phƣơng pháp quy nạp 34 2.4.3 Phƣơng pháp