CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0 r b Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. Khi a chia cho b có thể xẩy ra b số dư r {0; 1; 2; …; b} Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a b Có số nguyên q sao cho a = bq II. CÁC TÍNH CHẤT 1. Với a 0 a a 2. Nếu a b và b c a c 3. Với a 0 0 a 4. Nếu a, b > 0 và a b ; b a a = b 5. Nếu a b và c bất kỳ ac b 6. Nếu a b (a) (b) 7. Với a a (1) 8. Nếu a b và c b a c b 9. Nếu a b và cb a c b 10. Nếu a + b c và a c b c 11. Nếu a b và n > 0 a n b n 12. Nếu ac b và (a, b) =1 c b 13. Nếu a b, c b và m, n bất kỳ am + cn b 14. Nếu a b và c d ac bd 15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = n n 1 1 0 a a a a 1. Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn. N 2 a 0 2 a 0 {0; 2; 4; 6; 8} 2. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. N 5 a 0 5 a 0 {0; 5} 3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25: Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25. N 4 (hoặc 25) 01 aa 4 (hoặc 25) 4. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125: Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125. N 8 (hoặc 125) 01 aaa 2 8 (hoặc 125) 5. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9). N 3 (hoặc 9) a 0 +a 1 +…+a n 3 (hoặc 9) * Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu. 6. Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho N 11 [(a 0 +a 1 +…) - (a 1 +a 3 +…)] 11 7. Một số dấu hiệu khác: N 101 [( 01 aa + 45 aa +…) - ( 23 aa + 67 aa +…)]101 N 7 (hoặc 13) [( 01 aaa 2 + 67 aaa 8 +…) - [( 34 aaa 5 + 910 aaa 11 +…) 11 (hoặc 13) N 37 ( 01 aaa 2 + 34 aaa 5 +…) 37 N 19 ( a 0 +2a n-1 +2 2 a n-2 +…+ 2 n a 0 ) 19 IV. ĐỒNG DƯ THỨC a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m. Ký hiệu: a b (modun) Vậy: a b (modun) a - b m b. Các tính chất 1. Với a a a (modun) 2. Nếu a b (modun) b a (modun) 3. Nếu a b (modun), b c (modun) a c (modun) 4. Nếu a b (modun) và c d (modun) a+c b+d (modun) 5. Nếu a b (modun) và c d (modun) ac bd (modun) 6. Nếu a b (modun), d Uc (a, b) và (d, m) =1 d b d a (modun) 7. Nếu a b (modun), d > 0 và d Uc (a, b, m) d b d a (modun d m ) V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ 1. Định lý Euler Nếu m là 1 số nguyên dương (m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1 Thì a (m) 1 (modun) Công thức tính (m) Phân tích m ra thừa số nguyên tố m = p 1 1 p 2 2 … p k k với p i p; i N * Thì (m) = m(1 - `1 1 p )(1 - 2 1 p ) … (1 - k p 1 ) 2. Định lý Fermat Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì a p-1 1 (modp) 3. Định lý Wilson Nếu p là số nguyên tố thì ( P - 1)! + 1 0 (modp) . CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9). N 3 (hoặc 9) a 0 +a 1 +…+a n 3 (hoặc 9) * Chú ý: một số chia hết cho. 8} 2. Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. N 5 a 0 5 a 0 {0; 5} 3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25: Một số chia hết cho 4 (hoặc