Các phương pháp giải bài toán chia hết

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA Cho số nguyên a b b  ta tìm hai số nguyên q r cho: a = bq + r Với  r  b Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b xẩy  b số dư r  {0; 1; 2; …;  b} Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a  b  Có số nguyên q cho a = bq II CÁC TÍNH CHẤT Với  a   a  a Nếu a  b b  c  a  c Với  a    a Nếu a, b > a  b ; b  a  a = b Nếu a  b c  ac  b Nếu a  b  (a)  (b) Với  a  a  (1) Nếu a  b c  b  a  c  b Nếu a  b cb  a  c  b 10 Nếu a + b  c a  c  b  c 11 Nếu a  b n >  an  bn 12 Nếu ac  b (a, b) =1  c  b 13 Nếu a  b, c  b m, n am + cn  b 14 Nếu a  b c  d  ac  bd 15 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Dấu hiệu chia hết cho 2: Gọi N = a n a n  a a Một số chia hết cho  chữ số tận chữ số chẵn  N   a0   a0{0; 2; 4; 6; 8} Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho  chữ số tận  N   a0   a0{0; 5} Dấu hiệu chia hết cho 25: Một số chia hết cho (hoặc 25)  số tạo chữ số tận chia hết cho 25  N  (hoặc 25)  a a  (hoặc 25) Dấu hiệu chia hết cho 125: Một số chia hết cho (hoặc 125)  số tạo chữ số tận chia hết cho 125  N  (hoặc 125)  a 2a1a0  (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho (hoặc 9)  tổng chữ số chia hết cho (hoặc 9)  N  (hoặc 9)  a0+a1+…+an  (hoặc 9) * Chú ý: số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11  hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho  N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11 Một số dấu hiệu khác:  N  101  [( a a + a a +…) - ( a a + a a +…)]101  N  (hoặc 13)  [( a a a + a a a +…) - [( a a a + a 11 a 10 a +…) 11 (hoặc 13)  N  37  ( a a a + a a a +…)  37 n  N  19  ( a0+2an-1+2 an-2+…+ a0)  19 IV ĐỒNG DƯ THỨC a Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Ký hiệu: a  b (modun) Vậy: a  b (modun)  a - b  m b Các tính chất Với  a  a  a (modun) Nếu a  b (modun)  b  a (modun) Nếu a  b (modun), b  c (modun)  a  c (modun) Nếu a  b (modun) c  d (modun)  a+c  b+d (modun) Nếu a  b (modun) c  d (modun)  ac  bd (modun) Nếu a  b (modun), d  Uc (a, b) (d, m) =1  Nếu a  b (modun), d > d  Uc (a, b, m)  a b  (modun) d d a b  (modun d d m ) d V MỘT SỐ ĐỊNH LÝ Định lý Euler Nếu m số nguyên dương (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m, (a, m) = Thì a(m)  (modun) Công thức tính (m) Phân tích m thừa số nguyên tố m = p11 p22 … pkk với pi  p; i  N* Thì (m) = m(1 - 1 )(1 ) … (1 ) p1` p2 pk Định lý Fermat Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1  (modp) Định lý Wilson Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! +  (modp)