SKKN SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán chia hết trên tập hợp các số nguyên

RẩN LUYN K NNG GII BI TON CHIA HT TRấN TP HP S NGUYấN PHN I: M U PHN II: NI DUNG CHUYấN A: TểM TT Lí THUYT I NH NGHA PHẫP CHIA Cho hai s nguyờn a v b ú b ta luụn tỡm c hai s nguyờn q v r nht cho: a = bq + r Vi r b Trong ú: a l s b chia, b l s chia, q l thng, r l s d Khi a chia cho b cú th xy cỏc s d: r {0; 1; 2; ; b } c bit: r = thỡ a = bq, ú ta núi a chia ht cho b hay b chia ht a hoc a l bi ca b hoc b l c ca a Ký hiu: ab hay b\ a Vy: a b Cú s nguyờn q cho a = bq II CC TNH CHT Vi a a a Nu a b v b c a c Vi a a Nu a, b > v a b ; b a a = b Nu a b v c bt k ac b Nu a b (a) (b) Vi a a (1) Nu a b v c b a c b Nu a + b c v a c b c 10 Nu a b v n > an bn 11 Nu ac b v (a, b) =1 c b 12 Nu a b, c b v m, n bt k thỡ: am + cn b 13 Nu a b v c d ac bd 14 Tớch n s nguyờn liờn tip chia ht cho n! III MT S DU HIU CHIA HT Gi N = anan1 a1a0 Du hiu chia ht cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 * N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} * N a0 a0{0; 5} * N (hoc 25) a1a0 (hoc 25) * N (hoc 125) a2 a1a0 (hoc 125) Du hiu chia ht cho v * N (hoc 9) a0+a1++an (hoc 9) Mt s du hiu khỏc * N 11 [(a0+a2+) - (a1+a3+)] 11 *N 101 [( a1a0 + a5a4 +) - ( a3a2 + a7a6 +)]101 * N (hoc 13) ( a2 a1a0 + a8 a7a6 +) - ( a5 a4a3 + a11a10a9 +) (hoc 13) * N 37 ( a2 a1a0 + a5 a4a3 +) 37 * N 19 ( a0+2an-1+22an-2++ 2na0) 19 IV NG D THC a nh ngha: Cho m l s nguyờn dng Nu hai s nguyờn a v b cho cựng s d chia cho m thỡ ta núi a ng d vi b theo modun m Ký hiu: a b (mod m) Vy: a b (mod m) a - b m b Cỏc tớnh cht Vi a a a (mod m) Nu a b (mod m) b a (mod m) Nu a b (mod m), b c (mod m) a c (mod m) Nu a b (mod m) v c d (mod m) a+c b+d (mod m) Nu a b (mod m) v c d (mod m) ac bd (mod m) a b (mod m) d d a b Nu a b (mod m), d > v d UC (a, b, m) (mod m) d d Nu a b (mod m), d UC (a, b) v (d, m) =1 V MT S NH Lí nh lý Euler Nu m l s nguyờn dng, (m) l s cỏc s nguyờn dng nh hn m v nguyờn t cựng vi m, (a, m) = Thỡ a(m) (mod m) Cụng thc tớnh (m) Phõn tớch m tha s nguyờn t m = p11 p22 pkk vi pi p; i N* Thỡ (m) = m(1 - 1 )(1 ) (1 ) p1` p2 pk nh lý Fermat Nu p l s nguyờn t v a khụng chia ht cho p thỡ ap-1 (mod p) nh lý Wilson Nu p l s nguyờn t thỡ ( p - 1)! + (mod p) B: CC PHNG PHP GII CC BI TON CHIA HT I PHNG PHP 1: DNG NH NGHA CHIA HT Vớ d 1: Chng t rng s cú dng aaaaaa bao gi cng chia ht cho Gii: aaaaaa = a.111111 = a 7.15873 chia ht cho Vớ d 2: Chng t rng s cú dng abcabc bao gi cng chia ht cho 11, chia ht cho v chia ht cho 13 Gii: Ta cú : abcabc = abc000 abc = abc (1000+1) = abc 1001 = abc 11.7.13 nờn abcabc chia ht cho 11, chia ht cho v chia ht cho 13 Vớ d 3: Chng minh rng, nu ly mt s cú ch s cng vi s gm ch s y vit theo th t ngc li, ta luụn c mt s chia ht cho 11 Gii: Gi s ú l ab v ba Ta cú: ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b) chia ht cho 11 Vớ d 4: CMR: a Tng ca s t nhiờn liờn tip l mt s chia ht cho b Tng ca s t nhiờn liờn tip l mt s khụng chia ht cho Gii: a Gi s t nhiờn liờn tip l n, n +1, n + Vi n l sú t nhiờn Tng ca s ú l : n + (n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) b Gi s t nhiờn liờn tip l : n, n+1, n+2, n+3 Tng ca s ú l: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)= 4n + = 4n + + = 4(n+1)+2 khụng chia ht cho Vy tng ca s t nhiờn liờn tip khụng chia ht cho *Giỏo viờn cht li: Tng ca n s t nhiờn liờn tip cha chc ó chia ht cho n Nh vy gp nhng bi toỏn chng minh mt tng, mt hiu hoc mt tớch chia ht cho mt s m cỏc tng, hiu, tớch ú cú th phõn tớch c thnh tớch cỏc tha s, ta thng s dng cỏc tớnh cht ca phộp chia ht BI TP TNG T Bi 1: Chng t rng vi mi s t nhiờn n thỡ tớch (n + 3).(n +6) chia ht cho Bi 2: CMR: a) Tớch ca s t nhiờn liờn tip chia ht cho b) Tớch ca s t nhiờn liờn tip chia ht cho Bi 3: a Tỡm tt c cỏc s x,y s 34 x5 y chia ht cho 36 b Tỡm cỏc ch s x, y 21xy chia ht cho 3, 4, Bi 4: Cho cỏc ch s 0, a, b Hóy vit tt c cỏc s cú ch s to bi s trờn Chng minh rng tng tt c cỏc s ú chia ht 211 Bi 5: chng minh (1980a + 1995b) chia ht cho 15 vi a, b l s t nhiờn Bi 6: Chng minh rng tớch ca s chn liờn tip luụn chia ht cho Bi 7: a) Cho A = +22 +23 + +260 Chng minh rng : A3; A7; A 15 b) Cho B = + 33 + 35 + + 31991 Chng minh: B chia ht cho 13 v B chia ht cho 41 Bi 8: Cho a - b chia ht cho Chng minh cỏc biu thc sau chia ht cho a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b HNG DN-P S Bi 1: Vi mi s t nhiờn n ta cú th vit hoc n=2k hoc n=2k+1 Vi k l s t nhiờn Vi n= 2k ta cú : ( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia ht cho Vi n= 2k +1 ta cú: (n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia ht cho Vy vi mi n N thỡ (n+3)(n+6) chia ht cho Bi 2: a) Gi s t nhiờn liờn tip l n, n+1, n+2 Tớch ca s t nhiờn liờn tip l : n.(n+1).(n+2) Mi s t nhiờn chia cho cú th nhn mt cỏc s d 0; 1; Nu r = thỡ n chia ht cho n.(n + 1).(n+ 2) chia ht cho Nu r = thỡ n = k + (k l s t nhiờn) n+2 = 3k +1 + = (3k +3) chia ht cho n.(n+1).(n+2) chia ht cho Nu r = thỡ n = 3k+ (k l s t nhiờn) n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia ht cho n.(n+1).(n+2) chia ht cho Túm li, n.(n+1).(n+2) chia ht cho vi mi n l s t nhiờn b) Chng minh tng t ta cú: n.(n+1).(n+2).(n+3) chia ht cho vi mi n l s t nhiờn Sau gii bi tp ny, giỏo viờn yờu cu hc sinh nờu bi ny dng tng quỏt *Giỏo viờn khc sõu cho hc sinh: Tớch ca n s t nhiờn liờn tip luụn chia ht cho n Nhn xột: Phng phỏp ny thng c s dng chng minh mt biu thc cú cha bin chia ht cho cỏc s t nhiờn cú mt ch s Khi chng minh mt biu thc chia ht cho cỏc s t nhiờn ln hn 10 ta khụng s dng phng phỏp ny vỡ phi xột nhiu trng hp Bi 3: Gii: Vỡ (4;9) = nờn 34 x5 y chia ht cho 36 34 x5 y chia ht cho v 34 x5 y chia ht cho Ta cú: 34 x5 y chia ht cho 5y chia ht cho y2;6 34 x5 y chia ht cho ( 3+4+x+5+y) chia ht cho (12+x+y) chia ht cho Vỡ x,y l cỏc ch s nờn x+y 6;15 Nu y = thỡ x = hoc x = 13 >9 (loi) Nu y = thỡ x = hoc x = Vy cỏc s phi tỡm l: 34452; 34056; 34956 b) Ta cú : 21xy y 0;5 Nu y = thỡ 21xy khụng chia ht cho Nu y = thỡ 21xy chia ht cho x0 x 0; 2; ; ; (1) 21x0 (2 + + x + 0) (3+ x) x 0; 3; 6; (2) Kt hp (1) v ( 2) x 0; Vy cỏc s cn tỡm l: 2100 ; 2160 Bi 4: Gii : Tt c cỏc s cú ch s to bi ch s 0, a, b l: a0b; ab0; ba0; b0a Tng ca cỏc s ú l: a0b ab0 ba0 b0a = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia ht cho 211 (Cỏc bi cũn li hc bn c t gii) II PHNG PHP 2: S DNG TNH CHT, DU HIU CHIA HT Vớ d 1: Tỡm cỏc ch s a, b cho a56b 45 Gii: Ta thy 45 = 5.9 m (5 ; 9) = a56b 45 a56b v Xột a56b b {0 ; 5} Nu b = ta cú s a56b a + + + a + 11 a = Nu b = ta cú s a56b a + + + a + 16 a = Vy: a = v b = ta cú s 7560 a = v b = ta cú s 2565 Vớ d 2: Bit tng cỏc ch s ca s l khụng i nhõn s ú vi Chng minh rng s ú chia ht cho Gii: Gi s ó cho l a Ta cú a v 5a chia cho cựng cú s d 5a - a 4a m (4 ; 9) = a (pcm) Vớ d 3: CMR s 111 111 81 81 số Gii: Ta thy: 111111111 Cú 111 111 = 111111111(1072 + 1063 + + 109 + 1) 81 số M tng 1072 + 1063 + + 109 + cú tng cỏc ch s bng 1072 + 1063 + + 109 + Vy: 111 111 81 (pcm) 81 số BI TP TNG T Bi 1: Tỡm cỏc ch s x, y cho : a 34x5y v ; b 2x78 17 Bi 2: Cho s N = dcba CMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 vi b chn c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bi 3: Tỡm tt c cỏc s cú ch s cho mi s gp ln tớch cỏc ch s ca s ú Bi 4: Vit liờn tip tt c cỏc s cú ch s t 19 n 80 ta c s A = 1920217980 Hi s A cú chia ht cho 1980 khụng ? Vỡ sao? Bi 5: Tng ca 46 s t nhiờn liờn tip cú chia ht cho 46 khụng? Vỡ sao? Bi 6: Chng t rng s 11 11 22 22 l tớch ca s t nhiờn liờn tip 100 số 100 số Bi 7: CMR: Tng lp phng ca s nguyờn liờn tip luụn chia ht cho Bi 8: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 vi n chn, n4 Bi 9: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Vi n N Bi 10: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Vi n Z Bi 11: CMR: Vi n l thỡ a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bi 12: Vi p l s nguyờn t p > CMR : p2 - 24 Bi 13:CM: Trong 1900 s t nhiờn liờn tip cú s cú tng cỏc ch s chia ht cho 27 HNG DN - P S Bi 1: a x = v y = x = v y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bi 2: a N4 ab 10b + a4 8b + (2b + a) a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 vi b chn c Cú 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 m (1000, 29) =1 ; dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bi 3: Gi ab l s cú ch s: Theo bi ta cú: ab = 10a + b = 2ab (1) ab b {0; 2; 4; 6; 8} Thay vo (1) a = 3; b = 6 Bi 4: Ta cú 1980 = 22.32.5.11 Vỡ ch s tn cựng ca a l 80 v A v Tng cỏc s hng l 1+(2+3++7).10+8 = 279 Tng cỏc s hng chn 9+(0+1++9).6+0 = 279 Cú 279 + 279 = 558 A 279 - 279 = 11 A 11 (Cỏc bi cũn li hc bn c t gii) III PHNG PHP 3: PHN TCH THNH NHN T Gi s chng minh An k Ta cú th phõn tớch An cha tha s k hoc phõn tớch thnh cỏc tha s m cỏc tha s ú chia ht cho cỏc tha s ca k Vớ d 1: CMR: 36n - 26n 35 Vi n N Gii: Ta cú 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26) M = (33 + 23) (33 - 23) M = 35.19M 35 Vy 36n - 26n 35 Vi n N Vớ d 2: CMR: Vi n l s t nhiờn chn thỡ biu thc A = 20n + 16n - 3n - 232 Gii: Ta thy 232 = 17.19 m (17;19) = ta chng minh A 17 v A 19 ta cú A = (20n - 3n) + (16n - 1) cú 20n - 3n = (20 - 3)M 17M 16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n chn) A 17 (1) Ta cú: A = (20n - 1) + (16n - 3n) Ta cú: 20n - = (20 - 1)p = 19p 19 Ta cú: 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chn) A 19 (2) T (1) v (2) A 232 Vớ d 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Vi n >1 Gii: Vi n = nn - n2 + n - = v (n - 1)2 = (2 - 1)2 = nn - n2 + n - (n - 1)2 Vi n > t A = nn - n2 + n - ta cú A = (nn - n2) + (n - 1)= n2(nn-2 - 1) + (n - 1) = n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + + 1) + (n - 1)= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + +( n2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1)2M (n - 1)2 Vy A (n - 1)2 (PCM) BI TP TNG T Bi 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2 ; b mn(m4 - n4) 30 Bi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 vi n chn n N, n Bi 3: Cho a v b l s chớnh phng l liờn tip CMR: (a - 1) (b - 1) 192 Bi 4: CMR: Vi p l s nguyờn t p > thỡ p4 - 240 Bi 5: Cho s nguyờn dng a, b, c v tho a2 = b2 + c2 CMR: abc 60 Bi 6: Chng minh rng tn ti vụ s s t nhiờn n 4n2 + v ch n khụng chia ht cho 13 Bi 7: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n thỡ: n4 + 6n3 +11n2 + 6n 24 Bi 8: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n thỡ: n3(n2 -7)2 -36n 5040 Bi 9: a) Tỡm s nguyờn dng n : n5 + n3 +1 b) Tỡm s t nhiờn n : n5 + n3 +1 HNG DN - P S Bi 1: a 32n +1 + 2n +2 = 3.32n + 4.2n = 3.9n + 4.2n = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30 Bi 2: Cú 72 = 9.8 m (8, 9) = v n = 2k (k N) Ta cú: 32k + 63 A(n) v 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 A(n) T ú A(n) 72 Bi 3: t a = (2k - 1)2; b = (2k + 1)2 (k N) Ta cú (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 v (a - 1) (b - 1) 192 (Cỏc bi cũn li hc bn c t gii) IV PHNG PHP 4: XẫT TP HP S D TRONG PHẫP CHIA Cho hai s nguyờn bt k a v b (b0) Tn ti mt v ch mt cp s nguyờn q v r cho : a = b.q + r vi r < b v lỳc ú ta xột tng s d r Vớ d 1: CMR: Vi n N Thỡ A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia ht cho Gii Ta thy tha s n v 7n + l s chn Vi n N A(n) Ta chng minh A(n) Ly n chia cho ta c n = 3k + r (k N) Vi r {0; 1; 2} Vi r = n = 3k n A(n) Vi r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) Vi r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) vi n m (2, 3) = Vy A(n) vi n N Vớ d 2: CMR: Nu n thỡ A(n) = 32n + 3n + 13 Vi n N Gii Vỡ n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + *Ta thy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13 *Ta thy 33k - = (33 - 1)N = 26N 13 Xột : vi r = 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 13 32n + 3n + 13 vi r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + 13 Vy vi n thỡ A(n) = 32n + 3n + 13 Vi n N Vớ d 3: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n 2n - Gii Ly n chia cho ta cú n = 3k + r (k N); r {0; 1; 2} Vi r = n = 3k ta cú 2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M vi r =1 n = 3k + ta cú: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + m 23k - 2n - chia cho d vi r = n = 3k + ta cú : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + m 23k - 2n - chia cho d Vy 23k - n = 3k (k N) BI TP TNG T Bi 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) Vi n Z Bi 2: CMR: Nu (n, 6) =1 thỡ n2 - 24 Vi n Z Bi 3: Tỡm s t nhiờn n 22n + 2n + Bi 4: Cho s t nhiờn m, n tho 24m4 + = n2 CMR: mn Bi 5: Chng minh rng ch s tn cựng ca cỏc s t nhiờn n v n5 l nh Bi 6: a) Cho n>2 v n nguyờn t cựng vi Chng minh rng: n2-124 b) Cho n l v nguyờn t cựng vi Chng minh rng: n4-148 c) Cho n l v n nguyờn t cựng vi Chng minh rng: n4-180 Bi 7: Cho a v b l hai s t nhiờn khụng chia ht cho CMR: a42 - b4249 Bi 8: Cho a v b l hai s nguyờn t ln hn CMR: (a2-1)(b2-1)(a6 b6 ) 580608 Bi 9: Tỡm s d ca phộp chia : Sn=1n+2n+3n+4n cho Bi 10: Chng minh rng : 52n + 5n + 31 vi mi n khụng chia ht cho HNG DN - P S Bi 1: + A(n) + Ly n chia cho n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) Bi 2: Vỡ (n, 6) =1 n = 6k + r (k N) Vi r {1} r = n2 - 24 Bi 3: Xột n = 3k + r (k N) Vi r {0; 1; 2} Ta cú: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + Lm tng t VD2 Bi 4: Cú 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1) Khi m mn Khi m thỡ (m, 5) = m4 - ( Mi ly thựa bc cú c s l s nguyờn t cựng vi u cú ch s tn cựng l hoc 6) (Hoc vỡ m5 - m m (m4 - 1) m4 - 5) n2 n5 Vy mn (Cỏc bi cũn li hc bn c t gii) V PHNG PHP 5: BIN I BIU THC CN CHNG MINH V DNG TNG Gi s chng minh A(n) k ta bin i A(n) v dng tng ca nhiu hng t v chng minh mi hng t u chia ht cho k 10 Bc 2: Gi s (1) ỳng vi n = k tc l CM: A(k) P vi k a Ta CM (1) ỳng vi n = k + tc l phi CM: A(k+1) P Bc 3: Kt lun A(n) P vi n a Vớ d 1: Chng minh A(n) = 16n - 15n - 225 vi n N* Gii: Vi n = A(n) = 225 225 vy n = ỳng Gi s n = k ngha l A(k) = 16k - 15k - 225 Ta phi CM: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 Tht vy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = 16k - 15k - + 15.15m = A(k) + 225m M A(k) 225 (gi thit quy np) v 225m 225 Vy A(n) 225 Vớ d 2: CMR: vi n N* v n l s t nhiờn l ta cú m2 2n n Gii: Vi n = m2 - = (m + 1)(m - 1) (vỡ m - 1; m + l s chn liờn tip nờn tớch ca chỳng chia ht cho 8) Gi s vi n = k ta cú m2 2k ta phi chng minh: m2 2k Tht vy m2 2k m2 2k 2.q (q Z ) m2 2k 2.q k k k k k cú m2 m2 k k q 2k 4.q 2k 3.q = 2k (2k q q) 2k k 2 Vy m2 2n vi n Vớ d 3: Tớnh tng: Sn=13 + 23 + 33 + + n3 Gii: S1 = 13 = 12 S2 = 13 + 23 =(1+2)2 S3 = 13 + 23 + 33 = (1+2+3)2 Gi s Sk =13 + 23 + 33 + + k3 = (1+2+3++k)2 (1) Ta phi chng minh: Sk+1=13 + 23 + 33 + + k3 +(k+1)3 = [1+2+3++k+(k + 1)]2 (2) n Ta cú: 1+2+3++k = k (k 1) T (1) Sk (3) Cng vo hai v ca (3) vi (k+1)3 ta cú: Sk + (k+1)3 = [ Sk+1 = [ (k 1) (k 1)(k 2) ] (k2+4k+4) = [ ] 2 k (k 1) ] + (k+1)3 Sk+1 = [1+2+3++k+(k + 1)]2 Vy (2) ó c chng minh Kt lun: Sn=13 + 23 + 33 + + n3 = (1+2+3++n)2 13 BI TP TNG T Bi 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 29 vi n Bi 2: CMR: 42n+2 - 15 Bi 3: Chng minh rng vi n N* s 23 + 3n n x Bi 4:CMR:Nu (x+ ) nguyờn thỡ (xn+ ) cng l mt s nguyờn vi mi s nguyờn n xn Bi 5: CMR s c thnh lp bi 3n ch s ging thỡ chia ht cho 3n vi n l s nguyờn dng Bi 6: Cho n N CMR 16n - 15n - 225 Bi 7: Chng minh rng tn ti mt s cú 2005 ch s m cỏch vit thp phõn ca nú ch gm cỏc ch s 1;2 v s ny chia ht cho 22005 Bi 8:Chng minh rng vi k nguyờn dng v a l s nguyờn t ln hn thỡ a4k-1240 HNG DN - P S Bi 1: Tng t vớ d Bi 2: Tng t vớ d Bi 3: Vi n=1 thỡ 23 + = 23 + = 31 n Gi s vi n=k ta cú 23 + 3k k Vi n=k+1 ta cú : 23 + =( 23 )3 +1 = ( 23 + 1)( 22.3 - 23 + ) k k1 k k k Theo gi thit quy np : 23 + 3k suy 23 = m.3k - ( mZ+) k k Do ú ( 22.3 - 23 + ) = (m.3k - )2 - (m.3k - ) +1 = m2 32.k - 2.m.3k+1 + = 3n vi n N* Suy 23 + = m.3k 3n = m.n 3k+1 3k+1 (m, n N* ) Vy theo nguyờn lý quy np ta cú iu phi chng minh k k k1 Bi 4: t Sn= xn + (x khỏc khụng v n thuc Z) Ta ch cn chng minh Sn nguyờn xn vi n thuc N( nu n õm thỡ t n = -m ) Khi n=0, ta cú S0=2 Z Khi n=1, ta cú S1= x+ Z theo gi thit x Gi s Sn nguyờn vi n= 0,1,2,3,4, , (k-1),k Ta chng minh Sn nguyờn vi n=k+1 ngha l ta chng minh: Sk+1= xk+1+ x k Z 1 1 )(x+ )=( xk+1+ k ) + xk-1+ k k x x x x Sk.S = Sk+1 +Sk-1 Sk+1 = Sk.S - Sk-1 Ta cú: (xk+ M S, Sk-1 , Sk nguyờn nờn Sk+1 cng nguyờn Vy ta cú iu phi chng minh 14 (Cỏc bi cũn li bn c t gii) VII PHNG PHP 7: S DNG NG D THC Gii bi toỏn da vo ng d thc ch yu l s dng nh lý Euler v nh lý Fermat v nh lý Wilson Vớ d 1: CMR: 22225555 + 55552222 Gii: Cú 2222 - (mod 7) v 5555 (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7) Li cú: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222 = - 42222 (43333 - 1) = - 42222 43 Vỡ 43 = 64 (mod 7) 43 1111 1111 (mod 7) 22225555 + 55552222 (mod 7) Vy 22225555 + 55552222 Vớ d 2: CMR: 32 23 22 vi n N Gii: Theo nh lý Fermat ta cú: 310 (mod 11) v 210 (mod 11) Ta tỡm d phộp chia l 24n+1 v 34n+1 cho 10 Cú 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) Cú 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N) Ta cú : 32 23 310 q 210 k 9.310 q 8.210 k mod(11) n1 n1 32 n1 n1 23 n1 n1 (mod11) 24 n1 n1 Ta cú: 23 310 q 210 k = 32.310q + 23.210k + 1+0+1 (mod 2) (mod 2) m (2, 11) = Vy 32 23 22 vi n N Vớ d 3: CMR: 22 11 vi n N Gii : Ta cú: 24 (mod) 24n+1 (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N) 22 210q2 Theo nh lý Fermat ta cú: 210 (mod 11) 210q (mod 11) 22 210 q 4+7 (mod 11) (mod 11) Vy 22 11 vi n N (PCM) BI TP TNG T Bi 1: CMR 22 19 vi n N Bi 2: CMR vi n ta cú: 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 22n-1 38 n1 n1 n1 n1 n1 n1 n Bi 3: Cho n>3 v n l s t nhiờn Chng minh rng: 2n =10a+b (03 v n l s t nhiờn Chng minh rng: 2n =10a+b (0 theo tớnh cht thỡ 1414 144k cú ch s tn cựng l c) Ta cú 567 - chia ht cho => 567 = 4k + (k thuc N) => 45 = 44k + = 44k.4, theo tớnh cht 1d, 44k cú ch s tn cựng l nờn 45 cú ch s tn cựng l Bi 2: Nhn xột : Mi ly tha S u cú s m chia cho thỡ d (cỏc ly tha u cú dng n4(n - 2) + 1, n thuc {2, 3, , 2004}) Theo tớnh cht, mi ly tha S v cỏc c s tng ng u cú ch s tn cựng ging nhau, bng ch s tn cựng ca tng : (2 + + + 9) + 199.(1 + + + 9) + + + + = 200(1 + + + 9) + = 9009 Vy ch s tn cựng ca tng S l Bi 3: Nhn xột : Mi ly tha T u cú s m chia cho thỡ d (cỏc ly tha u cú dng n4(n - 2) + 3, n thuc {2, 3, , 2004}) Theo tớnh cht thỡ 23 cú ch s tn cựng l ; 37 cú ch s tn cựng l ; 411 cú ch s tn cựng l ; Nh vy, tng T cú ch s tn cựng bng ch s tn cựng ca tng : (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vy ch s tn cựng ca tng T l Bi 4: 19952000 tn cựng bi ch s nờn chia ht cho Vỡ vy, ta t l liu n2 + n + cú chia ht cho khụng ? Ta cú n2 + n = n(n + 1), l tớch ca hai s t nhiờn liờn tip nờn ch s tn cựng ca 9 14 67 67 21 n2 + n ch cú th l ; ; => n2 + n + ch cú th tn cựng l ; ; 7=>n2+n+1 khụng chia htcho Vy khụng tn ti s t nhiờn n cho n2 + n + chia ht cho 19952000 (Cỏc bi cũn li bn c t gii) III: CLN V BCNN Gi (a, b) = d nờn a=md , b=nd ; thỡ [a, b] = mnd (*) v ab = (a, b).[a, b] (**) Bi 1: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16 Bi 2: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = Bi 3: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60 Bi 4: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = Bi 5: Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140 Bi 6: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a + b = 128 v (a, b) = 16 Bi 7: Tỡm a, b bit a + b = 42 v [a, b] = 72 Bi 8: Tỡm a, b bit a - b = 7, [a, b] = 140 Bi 9: Tỡm hai s a, b bit 7a = 11b v (a, b) = 45 Bi 10: Tỡm hai s bit tng ca chỳng bng 448, CLN ca chỳng bng 16 v chỳng cú cỏc ch s hng n v ging Bi 11: Cho hai s t nhiờn a v b Tỡm tt c cỏc s t nhiờn c cho ba s, tớch ca hai s luụn chia ht cho s cũn li HNG DN GII Bi 1: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16 Gii: Do vai trũ ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b Do (a, b) =16 nờn a = 16m; b = 16n (m n a b) vi m, n thuc Z+;(m, n)= Theo nh ngha BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = , n = 15 hoc m = 3, n = => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80 Chỳ ý : Ta cú th ỏp dng cụng thc gii bi toỏn ny: ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy mn = 15 Bi 2: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = Gii : Lp lun nh bi 1, gi s a b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = ; m n Vỡ vy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tng ng mn = tng ng m = 1, n = hoc m = 2, n = tng ng vi a = 6, b = 36 hoc l a = 12, b = 18 Bi 3: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 180, [a, b] = 60 Gii : T ab = (a, b).[a, b] => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = Tỡm c (a, b) = 3, bi toỏn c a v dng bi toỏn Kt qu : a = 3, b = 60 hoc a = 12, b = 15 Chỳ ý : Ta cú th tớnh (a, b) mt cỏch trc tip t nh ngha CLN, BCNN: Theo (*) ta cú ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = Bi 4: Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = Gii : Theo (*) ta cú (a, b) = => a = 5m ; b = 5n vi m, n thuc Z+ ; (m, n) = Vỡ vy : a/b= m/n=2,6=>m/n = 13/5 m = 13 v n = hay a = 65 v b = 25 Chỳ ý : phõn s tng ng vi 2,6 phi chn l phõn s ti gin (m, n) = 22 (Cỏc bi cũn li bn c t gii) IV S NGUYấN T Bi 1: Phõn tớch cỏc s sau tha s nguyờn t: 10200 Bi 2: Tỡm xem 72 cú bao nhiờu c s? Lit kờ cỏc c s ú ? Bi 3: Cho mt s N phõn tớch tha s nguyờn t cú dng: N=2x.5y bit N cú 15 c s Nhng nu em chia cho thỡ c mt s ch cũn c s Tỡm s N ? Bi Tỡm xem 72 cú bao nhiờu c s? Lit kờ cỏc c s ú ? Bi Tỡm s nh nht cú 15 c s ? Bi Cho mt s N phõn tớch tha s nguyờn t cú dng N=2x.3y.Nu em chi N cho thỡ c mt s cú 10 c s.Nu em chia N cho thỡ c mt s cú c s.Tỡm s N? Bi Mt s cú ch s ging ch cú hai c s l nhng s nguyờn t Hóy tớnh s ú v cỏc c s nguyờn t ca nú ? Bi Tỡm tt c cỏc s nguyờn t p v q cho cỏc s 7p+q v pq+11 cng l s nguyờn t Bi Chng t rng vi mi s t nhiờn n khỏc thỡ s: 11 11 hợ p số n chữ số n chữ số Bi 10 Tỡm tng tt c cỏc s cú ba ch s m mi s l tớch ca s nguyờn t khỏc HNG DN-P S Bi 1: Gii: HD: 10200 = 23.3.52.17 Bi 2: Gii: p dng nh lý v tỡm c s ca mt s ta lm nh sau: Phõn tớch 72 tha s nguyờn t: 72 = 23 32 = Vy s c ca 72 l: n = ( 1) + = (3 + 1) (2 + 1) = 12 Giỏ tr cỏc c s dú l: P = (1 + a + a2 +.+ a ) + b + b2 b Ta cú P = (1 + + 22 + 23).(1 + + 32) = (1 + + + 8).(1 + + ) = + + + + + 18 + + 12 + 36 + + 24 + 72 Vy cỏc c s l 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 24, 36, 72 v Bi 3: Theo bi ta cú: N = 2x.5y Gi n l c ca N n = (x + 1)(y + 1) = 15 => xy + x + y = 14 (1) Vỡ N chia cho thỡ s c cũn li l nờn ta cú: Gi n, l c ca N N 2x y 2x y = = = 2x-3.5 y v n, = (x - + 1).(y + 1) = 8 23 => (x - 2)(y + 1) = => xy + x - 2y - = => xy + x - 2y = Tr tng v ca (1) v (2) cho ta cú : xy + x + y = 14 xy + x - 2y = 3y = (2) y=2 Thay y = vo (2) ta cú : 2x + x - = => 3x = 12 => x = 23 Do ú N = 2x.5y = 24.52 = 16.25 = 400 Bi Tỡm xem 72 cú bao nhiờu c s? Lit kờ cỏc c s ú ? Gii: p dng nh lý v tỡm c s ca mt s ta lm nh sau: + Phõn tớch 72 tha s nguyờn t: 72 = 23 32 = + Vy s c ca 72 l: n = ( 1) + = (3 + 1) (2 + 1) = 12 + Giỏ tr cỏc c s dú l : P = (1 + a + a2 +.+ a ) + b + b2 b Ta cú P = (1 + + 22 + 23).(1 + + 32) = (1 + + + 8).(1 + + ) = + + + + + 18 + + 12 + 36 + + 24 + 72 Vy cỏc c s l 1, 2, 3, 4, 6, 8,9, 12, 18, 24, 36, 72 (Cỏc bi cũn li bn c t gii) V: PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Bi 1: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: xy + x - 2y = (1) Bi 2: Tỡm cỏc nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 4x + 5y = 65 Bi 3: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: 3x + 17y = 159 Bi 4: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: 2x + 13y = 156 Bi 5: Chng minh rng khụng tn ti cỏc s nguyờn x, y cho 2x2 + y2 = 2007 Bi 6: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: 4x2 + 4x + y2 = 24 Bi 7: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: xy2 + 2xy + x - 216y = Bi 8: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: x2 + y2 +z2 = 1980 Bi 9: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh: + x2 + x3 + x4 = y4 Bi 10: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh:17(xyzt+xy+xt+zt+1)=54(yzt+ y+t) HNG DN-P S Bi 1: Gii: Ta cú : (1) y(x-2) = -x + Vỡ x = khụng phi l nghim phng trỡnh nờn : x Ta thy y l s nguyờn nờn x - phi l c ca y = -1 + x2 x2 Nờn x = x = hoc x = T ú ta cú nghim : (x ;y) l (1 ;-2) v (3 ;0) 65 y y Bi 2: Gii: 4x + 5y = 65 x = 16 y 4 y Ta phi cú : = t Z y = 4t +1 v x = 15 5t 15 5t 0 T t 0;1; cm Ta cú x>0 ; y>0 4t t Z t Z (1) y = Bi 3: Gii: Vỡ 3x v 159 u chia ht cho Do ú 17y chia ht cho M 17 v nguyờn t cựng nhau, nờn y t y = 3t (t Z) x 53 17t y 3t => 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 Do ú : (t Z) Th li, ta thy x, y nghim ỳng phng trỡnh 24 x 53 17t y 3t Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh : (t Z) Bi 4: Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh : 2x + 13y = 156 x 13t x 78 13t (nu phỏt hin x 13) hoc (nu phỏt hin y y 12 2t y 2t (ỏp s : 2) Bi 5: Gii : Ta cú 2x2 2, 2007 nờn y2 l y = 2k + Ta cú 2x2 + 4k2 + 4k = 2006 Vỡ 2006 chia d nờn 2x2 tc x l, x = 2h + T ú 2(2h + 1)2 + 4k2 + 4k = 2006 8h2 + 8h + 4k2 + 4k = 2004 Sứ 2004 m 8h2 + 8h + 4k2 + 4k Vụ lớ Vy khụng tn ti cỏc s nguyờn x, y tha 2x2 + y2 = 2007 (Cỏc bi cũn li bn c t gii) VI : MT S BI TON Cể NI DUNG PHC TP Bi 1: Tỡm s t nhiờn a cho mnh sau õy cú mnh ỳng v mnh sai : 1.(a+51) l s chớnh phng; 2.Ch s tn cựng ca a l 1; 3.(a-38) l s chớnh phng Bi 2: Tỡm s t nhiờn a cho mnh sau õy cú mnh ỳng v mnh sai : a ; a 23 ; (a+7) l s chớnh phng ; (a-10) l s chớnh phng Bi 3: Tỡm s t nhiờn a v b cho mnh sau õy cú mnh ỳng v mnh sai : a + ; a = 2b +5 ; a + b ; (a+b) l s nguyờn t Bi 4: Tỡm s thc a cho mnh sau õy cú mnh ỳng v m/ sai a l s nguyờn ; a2 - 4a l s nguyờn õm ; a + l s nguyờn dng a Bi 5: Trong mt gii u búng chuyn cú i búng thi u vũng trũn vi Chng minh rng vo bt c lỳc no cng cú i ú tng cp ó u vi ri hoc cha u vi trn no ? Bi 6: Mt lp hc cú 40 ngi v ngh hố Bit rng mi em cú a ch ớt nht 20 bn v nu A cú a ch ca B thỡ B cng cú a ch ca A Chỳng minh rng bt c hai em no lp cng cú th nhn tin cho ? Bi 7: Trong mt mng phng cho 2005 im v ba im bt k bao gi cng tỡm c hai im cú khoóng cỏch gia chỳng nh hn Chng minh rng tn ti mt hỡnh trũn cú bỏn kớnh bng cha khụng ớt hn 1003 im ú D GII THIU MT S THI HC SINH GII CC CP Bi 1: Chng minh rng biu thc A (23n1 2n )(n5 n) 30 vi n l s t nhiờn ( thi chn hc sinh gii toỏn TP HCM NM 1988-1989) Bi 2: Cho n l s nguyờn Chng minh rng n(n 2)(25n2 1) 24 ( thi chn hc sinh gii toỏn TP HCM NM 2005-2006) Bi 3: Chng minh rng vi mi x l s nguyờn l thỡ: ( x3 3x x 21) ( thi chn hc sinh gii toỏn TP HCM NM 2004-2005) 25 Bi : Cho P (a b)(b c)(c a) abc vi a,b,c l cỏc s nguyờn Chng minh rng nu : a+b+c chia ht cho thỡ P chia ht cho ( thi vo lp 10 trng THPT Chu Vn An TP H NI NM 2005-2006) Bi 5: Chng minh rng luụn tn ti s cú dng 2002 2002 2002 2002 m s ú luụn chia ht cho 2003 ( thi vo lp 10 trng chuyờn Toỏn - Tin i Hc Vinh 2002-2003) Bi 6: Tỡm ch s tn cựng ca tng S 21 35 49 5022001 ( thi vo lp 10 trng chuyờn Toỏn - Tin i Hc Vinh 2002-2003) Bi 7: Chng minh 20032 chia ht cho 1001.2003 ( thi vo lp 10 trng THPT chuyờn H Tnh 2003-2004) Bi 8: Cho s nguyờn k: a) Chng minh k2+3k+5 chia ht cho 11 v ch k=11t+4 vi t l s nguyờn b) Chng minh k2+3k+5 khụng chia ht cho 121 ( thi vo lp 10 trng chuyờn Toỏn - Tin i Hc Quc Gia TP HCM 1997- 1998) TI LIU THAM KHO 400 bi toỏn chn lc -V Dng Thy - Trng Cụng Thnh - Nguyn Ngc m S hc - Nguyn V Thanh 255 bi toỏn s hc chn lc - S GD H Tõy 1993 Toỏn chn lc cp II - Lờ Hi Chõu Chuyờn s hc - Vừ i Mau Bi s hc v i s - T sỏch HSP - Nh xut bn GD 1985 Thc hnh gii toỏn cp II - Trung tõm nghiờn cu o to bi dng giỏo viờn 250 bi toỏn s hc i s - Vừ i Mau - Lờ Tt Hựng - V Th Nhn Cỏc vụ nh toỏn cỏc nc - Nh xut bn Hi phũng 10 Chuyờn bi dng gii toỏn - inh V Nhõn - Vừ Th i Nng 11 S hc b chỳa ca toỏn hc - Hong Chỳng 12 Chuyờn bi dng s hc 9-Nguyn c Tn- Nguyn Anh Hong-ng ỳc Trng-Nguyn ỳc Hũa 13 23 Chuyờn gii 1001 bi toỏn s cp v 2-Nguyn Vn Vnh 14 Tuyn 250 bi toỏn Bi dng hc sinh gii cp II Phn s hc-Vừ i Mau 26 27 ... = nờn 34 x5 y chia ht cho 36 34 x5 y chia ht cho v 34 x5 y chia ht cho Ta cú: 34 x5 y chia ht cho 5y chia ht cho y2;6 34 x5 y chia ht cho ( 3+4+x+5+y) chia ht cho (12+x+y) chia ht cho Vỡ... Thỡ (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia ht cho d => 8m + ht cho d Mt khỏc, t (*) ta cú : m2 chia ht cho d2 => m chia ht cho d T 8m + chia ht cho d v m chia ht cho d ta cú chia ht cho d => d = Vy m -... rng s cú dng aaaaaa bao gi cng chia ht cho Gii: aaaaaa = a.111111 = a 7.15873 chia ht cho Vớ d 2: Chng t rng s cú dng abcabc bao gi cng chia ht cho 11, chia ht cho v chia ht cho 13 Gii: Ta cú :