Phương pháp NewTon - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Trần Thị Phương Lan PHƯƠNG PHÁP NEWTON - RAPHSON GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội - 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội Trước hết, tác giả xin bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng hướng dẫn bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc suốt trình tác giả học tập nghiên cứu luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội toàn thể thầy cô giáo trường quan tâm dành cho tác giả điều kiện tốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, tạo điều kiện Ban Giám Hiệu Trường THPT Tam Đảo, THPT Phúc Yên Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp xác đáng thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học nghiên cứu với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1.3 Chữ số 1.4 Sai số tính tốn 1.5 Sai số phương pháp tính tốn 1.2 Sai số thu gọn 1.6 Xấp xỉ ban đầu 10 1.7 Ma trận nghịch đảo 13 1.8 Các định luật hóa học áp dụng cho hệ dung dịch chất điện li 16 1.8.1 Định luật hợp thức 16 1.8.2 Định luật bảo toàn vật chất 18 1.8.3 Định luật tác dụng khối lượng 20 Chương Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến 23 2.1 Cơ sở lí thuyết 23 2.1.1 Phương pháp lặp Newton-Raphson 23 2.1.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp Newton - Raphson 24 2.2 Ví dụ áp dụng 26 Chương Ứng dụng phương pháp Newton - Raphson 32 3.1 Giải hệ phi tuyến ẩn 32 3.2 Giải hệ phi tuyến ẩn 40 3.3 Tính cân hệ oxi hóa- khử phức tạp 46 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học cơng nghệ thưc tế có nhiều toán chuyển thành toán giải hệ phương trình fi (x1 , x2 , , xn ) = (i = 1, 2, , n) (1) Tuy nhiên, số trường hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm hệ phương trình đó, trường hợp cịn lại phải tìm cách giải gần Nếu hệ phương trình xuất phát từ tốn thực tế biểu thức fi (x1 , x2 , , xn )(i = 1, n) hệ (1) thường biết gần Vì việc giải hệ phương trình khơng thực mà nhiều khơng có ý nghĩa Đối với lớp tốn việc xác định sai số vấn đề đáng quan tâm Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến phương pháp có lời giải hay, áp dụng cho hệ, đặc biệt hệ phức tạp phương pháp tỏ ưu việt Hơn nữa, lựa chọn xấp xỉ ban đầu tốt phương pháp cho kết nhanh xác Qua nghiên cứu phương pháp thấy hiểu biết kiến thức giải tích phổ thông cách rõ ràng, sâu sắc trước nhiều Đồng thời thấy phần ứng dụng ưu việt nghành hóa học phân tích tính cân hệ oxi hóa - khử phức tạp Vì với mong muốn tìm hiểu sâu sắc phương pháp mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến " Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến Sau vận dụng phương pháp giải số hệ phương trình phi tuyến ẩn, ẩn, tính tốn cân hệ oxi hóa khử phức tạp Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải hệ phi tuyến phương pháp Newton - Raphson - Tính tốn cân hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton Raphson Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến - Tính cân hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson Luận văn chia làm chương ( phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo ) Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến Chương 3: Ứng dụng phương pháp Newton - Raphson Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải gần lý thuyết giải tích số - Phương pháp phân tích định tính định lượng hóa học Những đóng góp đề tài - Tính cân hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong tính tốn, ta thường phải làm việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần a∗ , a không sai khác a∗ nhiều Đại lượng ∆a = |a − a∗ | gọi sai số thật a Nói chung khơng biết a∗ nên ta ∆a Tuy nhiên ta tìm ∆a ≥ 0, gọi sai số tuyệt đối a, thỏa mãn điều kiện: |a − a∗ | ≤ ∆a (1.1) hay a − ∆a ≤ a∗ ≤ a + ∆a Đương nhiên ∆a thỏa mãn điều kiện ( 1.1) nhỏ tốt Hai số gần có sai số tuyệt đối có mức độ xác khác độ lớn chúng khác nhau, số bé có độ xác Để biểu diễn xác điều người ta dùng khái niệm sai số tương đối, kí hiệu δa xác định sau: δa = ∆a |a| Ví dụ 1.1 Giả sử a∗ = π, a = 3, 14 Do 3, 14 ≤ a∗ ≤ 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta lấy ∆a = 0, 01 Mặt khác, 3, 14 ≤ π ≤ 3, 141 = 3, 14 + 0, 001 coi ∆a = 0, 001 Ví dụ 1.2 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a = 10cm b = 1cm với ∆a = ∆b = 0, 01 Khi ta có δa = 0,01 10 = 0, 1% δb = 0,01 = 1% hay δa = 10δb Hiển nhiên phép đo a xác hẳn phép đo b ∆a = ∆b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.2 Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát sau: a = ±(βp 10p + βp−1 10p−1 + · · · + βp−s 10p−s ) ≤ βi ≤ 9(i = p − 1, p − s); βp > số nguyên Nếu p − s ≥ a số nguyên; p − s = −m(m ≥ 0) a có phần thập phân gồm m chữ số Nếu s = ∞, a số thập phân vô hạn Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số a ngắn gọn gần với a Quy tắc thu gọn: Giả sử a = βp 10p + · · · + βj 10j + · · · + βp−s 10p−s ta giữ lại đến số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ µ, ta đặt a = βp 10p + + βj+1 10j+1 + β˜j 10j β˜j = βj + nu 0, ì 10j < < 10j j nu < 0, ì 10j Nu = 0, ì 10j thỡ j = βj βj chẵn βj + βj lẻ Ví dụ 1.3 π ≈ 3, 141592 ≈ 3, 14159 ≈ 3, 1416 ≈ 3, 142 ≈ 3, 14 ≈ 3, ≈ Sai số thu gọn Γa thỏa mãn điều kiện: |a − a| ≤ Γa Vì a = βp 10p + + βj 10j + µ cịn a = βp 10p + · · · + βj+1 10j+1 + β˜j 10j , nên |a − a| = |(βj − β˜j )10j + à| < 0, ì 10j Sau thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên: |a − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ ∆a + Γa 1.3 Chữ số Chữ số có nghĩa chữ số khác " " "0", kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng giữ lại Ví dụ 1.4 a = 0,0030140 Ba chữ số " " đầu khơng có nghĩa Mọi chữ số có nghĩa βi a = ±(βp 10p + βp−1 10p−1 + · · · + βp−s 10p−s ) gọi chữ số chắc, ∆a ≤ ω × 10i ω tham số cho trước Tham số ω chọn để chữ số vốn sau thu gọn chữ số Giả sử chữ số cuối a trước thu gọn βi Để βi+1 chữ số trước chắc, phải có ∆a + Γa ≤ ω × 10i+1 Suy ω × 10i + 0, · 10i+1 ≤ ω × 10i+1 hay ω ≥ 95 Ta gọi chữ số theo nghĩa hẹp (rộng) ω = 0, 5(ω = 1) Khi viết số gần đúng, nên giữ lại hai chữ số khơng để tính tốn, sai số tác động đến chữ số khơng thơi 1.4 Sai số tính tốn Khi giải tốn ta phải thực phép tính thơng thường ln ln phải làm trịn kết trung gian Sai số tạo tất lần làm trịn gọi sai số tính tốn Trong tính tốn ta thường gặp bốn loại sai số sau: 44  1, 600000  J(x0 ) =   0, 400000 1, 600000 3, 200000 3, 000000   −0, 750000   0, 000000 0, 355556 1, 20000 Det J(x0 ) = −2, 666667  [J(x0 )]−1 0, 900000   −1, 200000 =− 2, 666667  −0, 088889  3, 600000 −3, 466668 4, 800000  2, 400000   −0, 711110 3, 200000   −0, 050000    f (x0 ) =  0, 006944   0, 000000 x1 = x0 − [J(x0 )]−1 · f (x0 ) Do Suy       0, −0, 007501 0, 792499        +  0, 010001  =  1, 610000  x1 =  1,       −1, 0, 009999 −1, 490000 • Tìm nghiệm x2 :  1, 584998  J(x1 ) =   0, 3962495 1, 584998 3, 220000 2, 980000   −0, 745000   0, 000000 0, 357778 1, 220000 Det J(x1 ) = −2, 610933  [J(x1 )]−1 0, 908900   −1, 180824 =− 2, 610933  −0, 083529  3, 635600 −4, 723294 3, 169996  0, 000055    f (x1 ) =  0, 000050   0, 000155 −3, 465078   −2, 361647   −0.708846 45 x2 = x1 − [J(x1 )]−1 · f (x1 ) Do Suy       0, 792499 −0, 000117 0, 792382        −  0, 000025  =  1, 610025  x2 =  1, 610000       −1, 490000 0, 000017 −1, 489983 • Lặp lại q trình ta  0, 792382     x3 =  1, 610025   −1, 489983 • Vậy nghiệm phương trình   0, 792382   x = 1, 610025    y −1, 489983 b, Ta có  2x  J(x) =   4x 6x 2y 2y −4 Lấy điểm xuất phát x0 = (0, 5; 0, 5; 0, 5)  1  J(x0 ) =  2 −4 2z   −4   2z   −4   Det J(x0 ) = −40  [J(x0 )]−1 −15 −5  =−  −14 −2 40  −11   −0, 25    f (x0 ) =   1, 25  −1, 00 −5     −1 46 x1 = x0 − [J(x0 )]−1 · f (x0 ) Do Suy      −15 −5 −5 −0, 25 0,        ·  1, 25   + −14 x1 =  −2 0,      40  −11 −1 −1, 00 0,       0, 0, 375 0, 875            = + = 0, 5  0, 000  0, 500 0, −0, 125 0, 375  Thay giá trị x = x1 , y = y , z = z vào (3.2 ), ta tính [J(x1 )]−1 , f (x1 ) Từ suy x2 , bước tiến hành tương tự, ta có kết sau: k x y z 0,5 0,5 0,5 0,875 0,5 0,375 0,78981660232 0,49662162162 0,36993243243 0,78521044344 0,49661139301 0,36992283079 0,78519693318 0,49661139294 0,36992283075 3.3 0,7851963306 0,49661139294 0,36992283075 Tính cân hệ oxi hóa- khử phức tạp Trong hóa học phân tích, để kết luận dự đốn giải thích tượng xảy dung dịch, người ta thường phải tính nồng độ cân cấu tử tham gia phản ứng Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến tính tốn cân cho hệ - đặc biệt hệ phức tạp dung dịch, lựa chọn xấp xỉ ban đầu tốt phương pháp cho kết nhanh, xác Bài tốn1: Trộn 100ml dung dịch chứa FeCl3 0,02M với 100ml dung dịch bão hòa H2 S ( có độ tan 0,1 M ) Cho biết tượng tính cân dung dịch 47 Giải • Tính nồng độ ban đầu chất: 0, 02.100 = 0, 01M 100 + 100 0, 1.100 = = 0, 05M 100 + 100 CFe3+ = CH2 S • Cân oxi hóa khử: Fe3+ + 1e H2 S Fe2+ K1 = 1012,9 K2 = 10−5,7 2H+ + S ↓+ 2e 2Fe3+ + H2 S 2Fe2+ + 2H+ + S ↓ C0 0,01 0,05 0 C 0,045 0,01 0,01 K = 1020,1 • Thành phần giới hạn: Thành phần giới hạn chất là: Fe2+ : 0, 01 H2 S : 0, 045 H+ : 0, 01 Từ thành phần giới hạn kiểm tra khả kết tủa FeS cho thấy: CS2− K1 K2 CH2 S 10−19,92 0, 045 = = CH2 + 0, 012 ( K1 , K2 số phân ly H2 S theo nấc ) CFe2+ · CS2− = 10−19,27 < KS (FeS) = 10−17,2 Vậy khơng có kết tủa FeS tạo thành 48 • Các cân xảy dung dịch: Fe2+ + H2 O FeOH+ + H+ lg∗ β11 = −5, 92 H2 S H+ +HS− lgK1 = −7 H2 O H+ +OH− lgW = −14 H2 S 2H+ +S2− lg(K1 K2 ) = −19, 92 2Fe2+ + S+2H+ 2Fe3+ +H2 S lgK−1 = −20, 2Fe2+ + S+2H2 O Fe2 (OH)4+ +H2 S lg(K−1 ·∗ β22 ) = −2, 95 2Fe2+ + S+2H2 O 2FeOH2+ +H2 S lg(K−1 ·∗ β21 ) = −4, 44 • Thiết lập hệ phương trình tính: Chọn mức không Fe2+ , H2 S, H+ , H2 O Ta kí hiệu: [Fe2+ ] = x, [ H2 S] = y, [ H+ ] = z; Áp dụng định luật tác dụng khối lượng cho cân ( bỏ qua ảnh hưởng lực ion ) ta có: W 10−14 = [H+ ] z ∗β 2+ 10−5,92 x 11 [Fe ] + [FeOH ] = = [H+ ] z K1 [H2 S] 10−7 y [HS− ] = = [H+ ] z K1 K2 [H2 S] 10−19,92 y 2− = [S ] = [H+ ]2 z2 √ √ −1 [Fe2+ ][H+ ] K 10−20,1 xz [Fe3+ ] = = √ y [H2 S] √ [Fe2+ ] K−1 ·∗ β21 10−4,44 x 2+ [FeOH ] = = √ y [H2 S] [OH− ] = [Fe2 (OH)4+ ] = K−1 ·∗ β22 [Fe2+ ]2 10−2,95 x2 = [H2 S] y • Dựa vào điều kiện Proton ta có: 49 − [H ] = CH+ + [OH ] + [FeOH+ ] + [HS− ] + 2[S2− ] − [Fe3+ ] + hay: 10−14 10−5,92 x 10−7 y 10−19,92 y z = z0 + + + +2· − z z z z2 √ 10−20,1 xz √ y (3.3) • Áp dụng định luật bảo toàn nồng độ ban đầu ta có: CFe2+ = [Fe2+ ] + [FeOH+ ] + [Fe3+ ] + [FeOH2+ ] + 2[Fe2 (OH)4+ ] hay: 10−5,92 x x0 = x + + z √ 10−20,1 xz + √ y √ 10−4,44 x 10−2,95 x2 +2 √ y y (3.4) 1 Và CH2 S = [H2 S] + [HS− ] + [S2− ] − [Fe3+ ] − [FeOH2+ ] − [Fe2 (OH)4+ ] 2 hay: √ √ 10−7 y 10−19,92 y 10−4,44 x 10−20,1 xz 10−2,95 x2 y0 = y + + − − − (3.5) √ √ z z2 y y y Từ phương trình ( 3.3), ( 3.4), ( 3.5) ta thu hệ phương trình ẩn số:  √ −20,1 xz 10−7 y 10−19,92 y 10−14 10−5,92 x 10√  z + + + + · − −z =0  z z z z y        √ √ −5,92 −2,95 −20,1 −4,44 x + 10 z x + 10√y xz + 10√y x + 10 y x − x0 =0       √ √   −4,44 x −20,1 xz y 10√ 10√ 10−2,95 x2  y + 10−7 y + 10−19,92 − · − · − − y0 = z z y y y Như việc giải hệ phương trình tiến hành tính lặp đồng thời với ẩn [Fe2+ ] = x, [ H2 S] = y, [ H+ ] = z Lấy nghiệm xấp xỉ ban đầu (x0 , y0 , z0 ) = (0, 01; 0, 045; 0, 01) • Kết tính lặp đồng thời ẩn số hệ ghi tóm tắt bảng sau: Số lần tính x y z 0,009719 0,045140 0,010002 0,009719 0,045140 0,010002 50 Từ kết ta có: [Fe2+ ] = 0,009719 Suy [S2− ] = [ H2 S] = 0,045140 [ H+ ] = 0,010002 K1 K2 [H2 S] 10−19,92 0, 045140 = = 0, 542485 · 10−17 + 2 [H ] 0, 010002 Nên [Fe2+ ] · [S2− ] = 0, 009719 · 0, 542485 · 10−17 = 5, 272412 · 10−20 < KS (FeS) = 10−17,2 Vậy dự đốn ban đầu đúng, khơng có kết tủa FeS tạo thành Bài tốn 2: Tính cân dung dịch chứa Hg(NO3 )2 0,01M tiếp xúc với thủy ngân kim loại Giải • Cân oxi hóa khử: 2Hg - 2e K1 = 10−26,62 Hg2+ 2Hg2+ + 2e Hg22+ Hg + 2Hg2+ Hay Hg + Hg2+ K = 1031,08 2Hg22+ K = 104,46 Hg22+ K = 102,23 • Thành phần giới hạn: Thành phần giới hạn chất thành phần ban đầu: Hg2+ : 0, 01 H2 O 51 • Các cân xảy dung dịch: 2Hg22+ Hg + 2Hg2+ Hg2+ +H2 O HgOH+ H+ Hg + 2Hg2+ +2H2 O Hg2+ +2H2 O H2 O lgK = 4, 46 2Hg2 OH+ + 2H+ lg(β12 · K) = −5, 54 Hg(OH)2 +2H+ H+ +OH− Hg2+ +3H2 O lg∗ β11 = −3, 65 + Hg(OH)− +3H lg∗ β21 = −7, 79 lgW = −14 lg∗ β31 = −22, 57 • Thiết lập hệ phương trình tính: Chọn mức khơng Hg2+ , H2 O Ta kí hiệu: [Hg2+ ] = x, [ H+ ] = y; Áp dụng định luật tác dụng khối lượng cho cân ( bỏ qua ảnh hưởng lực ion ) ta có: 10−14 W [OH ] = + = [H ] y ∗ β11 [Hg2+ ] 10−3,65 x + = [HgOH ] = [H+ ] y ∗ 2+ β21 [Hg ] 10−7,79 x = [Hg(OH)2 ] = [H+ ]2 y2 ∗ β 31 [Hg2+ ] 10−22,57 x − [Hg(OH)3 ] = = [H+ ]3 y3 √ ∗ β · K[Hg2+ ] 12 10−5,54 x + [Hg2 OH ] = = [H+ ] y √ [Hg22+ ] = K[Hg2+ ] = 102,23 x − • Dựa vào điều kiện Proton ta có: + [H+ ] = [OH− ] + [HgOH+ ] + 2[Hg(OH)2 ] + 3[Hg(OH)− ] + [Hg2 OH ] hay: √ √ 10−14 10−3,65 x 10−5,54 x 10−22,57 x 10−5,54 x y= + +2 +3 + y y y y3 y (3.6) 52 • Áp dụng định luật bảo tồn nồng độ ban đầu ta có: CHg2+ = [Hg2+ ] + [Hg22+ ] + [HgOH+ ] + [Hg2 OH+ ] + [Hg(OH)2 ] + [Hg(OH)− 3] hay: 10−3,65 x x0 = x + 102,23 x + + y √ 10−5,54 x 10−7,79 x 10−22,57 x + + y y2 y3 (3.7) Từ phương trình ( 3.6), ( 3.7) ta thu hệ phương trình ẩn số:  √ √ −14 −3,65 x −5,54 x + 310−22,57 x +  10 10−5,54 xy − y 10 + 10 + =0  y y y y3     x + 102,23 x + 10−3,65 x + √10−5,54 x + 10−7,79 x + 10−22,57 x − x = 0 y y y2 y3 hay:     10−14 y + (10 −3,65 + √ 10−5,54 ) xy + −22,57 10 y3 x    (1 + 102,23 )x + (10−3,65 + √10−5,54 ) x + y √ + 10−5,54 x y 10−7,79 x y2 + −y 10−22,57 x y3 =0 − x0 = Việc giải hệ phương trình tiến hành tính lặp đồng thời với ẩn [Hg2+ ] = x, [ H+ ] =y Lấy nghiệm xấp xỉ ban đầu sau x0 = 0, 01; y0 = 10−3,65 · 0, 01 ; • Kết tính lặp đồng thời ẩn số hệ ghi tóm tắt bảng sau: Số lần tính x y 0,00004035 0,00134860 0,00004600 0,00012008 0,00004554 0,00020040 0,00004529 0,00027668 0,00004519 0,00030146 0,00004518 0,00030280 53 Từ kết ta có: [Hg2+ ] = 0,00004518 [ H+ ] = 0,00030280 Bài tốn 3: Tính cân hệ Fe(ClO4 )2 0,05M, Fe(ClO4 )3 0,05 M, HClO4 0,01 M, O2 1, 4.10−3 M Giải • Cân oxi hóa khử: Fe2+ O2 + 4e + 4H+ + 2H2 O 4Fe2+ + + 4H+ 4Fe3+ + 1, 4.10−3 0,01 0,05 C0 0,05 C K1 = 10−12,9 Fe3+ + 1e O2 4, 44.10−2 4, 40.10−3 - K2 = 1083 2H2 O K = 1031,4 5, 56.10−2 • Thành phần giới hạn: Thành phần giới hạn chất là: Fe3+ : 5, 56 · 10−2 M Fe2+ : 4, 44 · 10−2 M H+ : 4, 40 · 10−3 M • Các cân xảy dung dịch: Fe3+ + H2 O 2Fe3+ + H2 O H2 O FeOH2+ + H+ + Fe2 (OH)4+ +2H H+ +OH− Fe2+ + H2 O 4Fe3+ +2H2 O FeOH+ +H+ 4Fe2+ +O2 +4H+ lg∗ β11 = −2, 17 lg∗ β12 = −2, 85 lgW = −14 lg∗ β21 = −5, 92 lgK−1 = −3, 14 54 • Thiết lập hệ phương trình tính: Chọn mức khơng Fe2+ , Fe3+ , H+ , H2 O Ta kí hiệu: [Fe2+ ] = y, [ Fe3+ ] = x, [ H+ ] = z; Áp dụng định luật tác dụng khối lượng cho cân ( bỏ qua ảnh hưởng lực ion ) ta có: W 10−14 [OH ] = + = [H ] z ∗ β11 [Fe3+ ] 10−2,17 x 2+ [FeOH ] = = [H+ ] z ∗ 10−2,85 x2 β12 [Fe3+ ]2 [Fe2 (OH)4+ ] = = [H+ ]2 z2 ∗ β21 [Fe2+ ] 10−5,92 y + = [FeOH ] = [H+ ] z −1 3+ −31,4 K [Fe ] 10 x [O2 ] = + 2+ = [H ] [Fe ] y4z4 − • Dựa vào điều kiện Proton ta có: + [H+ ] = z0 + [OH− ] + [FeOH2+ ] + 2[Fe2 (OH)4+ ] + [FeOH ] + 4[O2 ] hay: 10−14 10−2,17 x 10−2,85 x2 10−5,922 y 10−31,4 x4 z = z0 + + +2· + +4 z z z2 z y4z4 (3.8) • Áp dụng định luật bảo toàn nồng độ ban đầu ta có: CFe3+ = [Fe3+ ] + [FeOH2+ ] + 2[Fe2 (OH)4+ ] + 4[O2 ] hay: 10−2,17 x 10−2,85 x2 10−31,4 x4 x0 = x + +2· +4 z z2 y4z4 Và CFe2+ = [Fe2+ ] + [FeOH+ ] − 4[O2 ] (3.9) (3.10) 55 hay: 10−31,4 x4 10−5,92 y −4 y0 = y + z y4z4 (3.11) Từ phương trình ( 3.8), ( 3.9), ( 3.11) ta thu hệ phương trình ẩn số:  10−5,92 y 10−14 10−2,17 x 10−2,85 x2 10−31,4 x4  z + + + + + −z =0  z z z z y4 z4       √ −2,17 −31,4 −2,85 x + 10 z x + 10 z x + 10 y4 z x − x0 =0        −5,92 −31,4  y + 10 z y − 10 y4 z x − y0 =0 Như việc giải hệ phương trình tiến hành tính lặp đồng thời với ẩn [Fe3+ ] = x, [ Fe2+ ] = y, [ H+ ] = z Lấy nghiệm xấp xỉ ban đầu (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0556; 0, 0444; 0, 0044) • Kết tính lặp đồng thời ẩn số hệ ghi tóm tắt bảng sau: Số lần tính x y z 0,053400 0,044394 0,050155 0,044396 0,009849 0,045705 0,044397 0,014298 0,040806 0,044398 0,019196 0,037763 0,044398 0,022239 0,037164 0,044398 0,022839 0,037148 0,044398 0,022855 Từ kết ta có: [Fe3+ ] =0,037148 [ Fe2+ ] =0,044398 [ H+ ] =0,022855 0,00606 56 Như vậy, tốn hóa học qua số bước biến đổi đơn giản, dựa vào định luật bảo toàn Proton, định luật bảo toàn nồng độ ban đầu ta thu hệ phương trình phi tuyến, hệ giải phương pháp thông thường phức tạp Tuy nhiên giải hệ thuật toán Newton - Raphson kết hội tụ nhanh Điều tỏ tính ưu việt phương pháp Newton - Raphson KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp Newton - Raphson giải gần hệ phương trình phi tuyến, đưa số tốn hệ phương trình phi tuyến ẩn, hệ phương trình phi tuyến ẩn lời giải tốn Ngồi ra, luận văn cịn trình bày ứng dụng phương pháp Newton Raphson để tính thành phần cân số hệ oxi hóa - khử phức tạp, chương trình tính hệ viết theo ngơn ngữ lập trình Pascal Trong khn khổ thời gian có hạn, việc phát triển ứng dụng phương vào tốn lớn cịn bị hạn chế cần phát triển bước nghiên cứu Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh(1996), "Giải tích số", Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Nguyễn Thạc Cát, Từ Vọng Nghi, Đào Hữu Vinh (1980), "Cơ sở lí thuyết hóa học phân tích", Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Phạm Phú Chiêm, Nguyễn Bường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội [4] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Khuất Văn Ninh (2003), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Tinh Dung (1981), "Hóa học phân tích , phần Lí thuyết sở ( cân ion )", Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Tinh Dung (2005), "Hóa học phân tích Cân ion dung dịch", Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [7] Nguyễn Tinh Dung (1982), "Bài tập hóa học phân tích ", Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [8] Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Ngun, Lê Đình Thịnh (1996), "Bài tập phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [9] Tống Thị Son (1999), "Nâng cao hiệu việc đánh giá thành phần cân hệ oxi hóa - khử phức tạp theo điều kiện Proton", Luận văn tốt nghiệp khoa hóa học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội ... 2: Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến Chương 3: Ứng dụng phương pháp Newton - Raphson Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải gần lý thuyết giải tích số - Phương pháp. .. Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến Sau vận dụng phương pháp giải số hệ phương trình phi tuyến ẩn, ẩn, tính tốn cân hệ oxi hóa khử phức... cứu - Giải hệ phi tuyến phương pháp Newton - Raphson - Tính tốn cân hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton Raphson Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phương pháp