Luận văn thạc sĩ phương pháp lặp đơn và phương pháp newton kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHẠM ANH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHẠM ANH NGHĨA PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN Chuyền ngành: Toán Giải Tích Mã sổ: 60 46 01 02 LUẬN VÃN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tác giả trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả -4 LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài: “ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” công trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, tác giả kế thừa thành quảkhoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả -5 MUC LUC •• MỞ ĐẦU Lý chọn đè tài Như biết giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi tuyến; có nhiều vấn đề, nhiều toán khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm hệ phương trình Hệ phương trình thường có dạng tổng quát A.x = f (1), A toán tử từ không gian định chuẩn Rn vào không gian định chuẩn Rn Trong thực tế người ta khó tìm nghiệm xác hệ phương trình Vì việc giải xấp xỉ hệ phương trình (1) vấn đề quan tâm nghiên cứu Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đề xuất sử dụng : Phương pháp lặp,phương pháp Newton mở rộng, phương pháp biến phân Người ta xét đến đặc thù toán tử Ađể chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ phương trình Phương pháp lặp dựa nguyên lí ánh xạ CO Banach phương pháp thường sử dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình tìm nghiệm xấp xỉ thông qua phép lặp đơn Để sử dụng phương pháp người ta phải đưa phương trình (1) dạng X = Bx hình cầu đóng toàn không gian Mn , cho nghiệm phương trình (1) điểm bất động ánh xạ B Bước tìm điểm bất động ánh xạ Nguyên lí điểm bất động cách tìm xấp xỉ điểm bất động Phương pháp Newton mở rộng Newton - Raphson, Newton - Kantorovich cho ta cách tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến thông qua việc giải phương trình tuyến tính Phương pháp Newton mở rộng có ưu điểm bậc hội tụ cao, nhiên phải biết thông tin hình cầu đủ nhỏ chứa nghiệm -7 Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu phương pháp giải xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” để thực luận văn Mục đích nghiền cứu Luận văn trình bày số phương pháp giải hệ phương trình phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, kết họp hai phương pháp giải phương trình tập số thực R hệ phương trình phi tuyến không gian Rn ứng dụng giải số phương trình hệ phương trình cụ thể Nhiệm vụ nghiền cứu Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Đổi tượng phạm vi nghiền cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến - Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, kết họp hai phương pháp hệ phương trình phi tuyến không gian Rn; ứng dụng vào giải phương trình hệ phương trình cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số áp dụng phần mem Maple tính toán vẽ đồ thị Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống lại phương pháp lặp đơn phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình hệ phương trình phi tuyến Áp dụng giải số hệ phương trình phi tuyến cụ thể CHƯƠNGI MÔT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BI •• -8 1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co l.l.l Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Xét tập họp X ± (|) với ánh xạ d:XxX -»R thoả mãn tiên đề sau đây: 1) d(x,y) > 0,(Vx,y E X) , d(x,y) = X = y 2) d(x,y) = d(y,x),(Vx,y E X) ( tiên đề đồng nhất); ( tiên đề đối xứng); 3) d(x,y)< d(x,z) + d(z,y),(Vx,y,z e x) ( tiên đề tam giác) Khi tập họp X với ánh xạ d gọi không gian metric Ảnh xạ d gọi metric X, số d(x,y) gọi khoảng cách hai phần tử x,y Các phần tử X gọi điểm; tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Không gian metric kí hiệu X = (x, d) Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric x = (x,d) Một tập x0*ộ tập họp X với metric d X lập thành không gian metric Không gian metric X0=(xo,d) gọi không gian metric không gian metric cho Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử bất kỳx,y EM ta đặt: d(x,y) = |x-y| (1.1.1) Từ tính chất giá trị tuyệt đối tập hợp số thực suy hệ thức (l.l.l)xác định metric M, không gian tương ứng ký hiệu M1 •Ta gọi metric (1.1.1) metric tự nhiên M -9 Ví dụ 1.1.2 Với hai phần tử X = (x ,x , ,x k ),y = (y1,y2, ,yk) thuộc không gian véc tơ thực k chiều M* ( k số nguyên dương đó) ta đặt: d ( x ’ y ) = ^ | È ( x j - y j )2 O-1-2) Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 1), 2) metric Để kiểm tra hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopski: Với 2k số thực apbj, (j = l,2, ,k) ta có k nr nr i>b njxJJx j=i V j=i V j=i (1.1.3) Thật yậy i i i k v = i=i L j=i ii-tt-2̱«W,+zixb'2 J i=i j=i i=i j=i f kVk>n = ix z>; -2 i>Ai V j=! AH V j=! i=i j=i V Từ suy bất đẳng thức (1.1.3) Với véc tơ x = (x1,x2, ,xk),y = (y1,y2, ,yk),z = (z1,z2, ,zk)thuộc K1 ta có : d(x’y) = È(xj-yj) = È[(xj-zj)+(zj-yj)] j=i j=i =Z(XJ - ZJ )2+2Ề (XJ - zi )(zi - yj) ■+■ ằ(zi - yj )2 j=i j=i j=i = d2 (x,z) + 2d(x,z)d(z,y) + d2 (z,y) = [d(x,z) + d(z,y)]2 ^>d(x,y)< d(x,z) + d(z,y) - Do hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) metric -79 Hình 3.1 Từ đồ thị hàm số hình 3.1, chọn xấp xỉ ban đầu u0 =(x,y)T = (l,2;l,5)T Ta có: ( ôy ) ôy r -11,16 l ổx ta cóf'(u0) =r y*-12x + Với f'(x) u0như trên, ^2xy2 2xy" ■det(f'(u0)) = (-11,16).5,184-5,32.(-4,224) = -35,38176 * f 5,184 01 -35,38176 f5,32"! Ta lại có f(u0) = -2,952 - Áp dụng thuật toán Newton - Kantorovich với công thức n+1 =UB-[f(uB)]_1.f(uB) U • Tìm nghiệm Ta có: u, =u0-[f'(u0)] ‘f(u0) ị 5,184 -5,32"! ị -2,952^ =>u, "l, 2" =>u, , 1.8 + '-6,20177^ " 0,9982" + 35,3817 7,14016 Tìm nghiệm u2 Ta có: r-8,2475 4,8561"! det(f' )) = -19,443 2,5336 3,8492 V (3,8492 -19,443 v2,5336 -8,2475 Lại có : f (uj) ■ í 0,9982 Ao,322 v-0,2645 , u2 =u1-[f,'(u1)] ‘f(uj ( 3,8492 -4,8561 19,443 2,5336 A- Tìm nghiệm u3 Ta có: (-1,9911 5,0048"! =»rf'(u,)T' =—L v )A v-l,9872 -22,0956 det(f'(u2)) = (4,0063 -5,0048"! V- (ỉ, 00037"! Lại có : '0,0055" ^ 0,006 ; f(u2) Vậy Jx* 1,00001 |y , u3 = u2-[f'(u2)] ‘f(u2) f f 4,0063 1,0003 -5,0048"! [2,001 • Lặp lại quá■trình ta có u 69; 22,0956 [ 1,9872 fo, 0,00 6J " 0055^ '1,00001 ị 1,000 [1,999 99 J nghiệm gần hệ phương trình cho là: Bài tập Giải hệ phương trình sau miền D = [0;2]x[0; l] : cos(x +0,4 y)+ X2 + y2 -1,6 Lời giải: =0 l,5 0,3 miền D = [0;2]X Dùng Maple vẽ đồ thị hàm số [0;l] hệ trục tọa độ hình 3.2 ■1 F(x,y) = cos(x2 + 0,4y) + X + y2 -1,6 G(x,y) = l,5x2 - 0,3 — > with(plot s); [an i m a t e , a n i m a t e d , c h a n g e c o o r d s , c o m p l e x p l o t , c o m p l e x p l o t d , r c p o l n o f t o r d m , a l c , o o c r o d n p t l o o u t r , p l c o o t o , r d c p o l n o t t o u d , s p c l y a l y i , n d d e i r s p p l l o a t y , d d , e n í s ĩ i e t l y d p p l l o o t t , , d í i ĩ e , l d i p m l p o l t i c d i , t p g l r o a t d , p l i o m t p , l i g c r i a t d p p l l o o t t 3 d d , t i p n l e o q t u a d l , , l l i i s s t t d c e o n n s t i p t l y o p t l , o t l , i s l t i c s o t n p l g o p t l , o t l , i s m t a p t l r o i t x p d l , o t l , o g o l d o e g p p l l o o t t , , p l a o r e l t a o r , p l p o o t i , n t p p o l l o y t g , o n p p o l i o n t t , p l p o o t l y d g , o n p p o l o o t t l d o , c u p s o , l y s h e e m d i r l a o p g l p o l t o , t , r e s p e l t o o t p , t i r o o n s a , r s s e e m t a o t p r t i i x o p n l s o t d , , s s p p h a e c r e e c p u l r o v t e , , s s u p r f b d e a p t l a o , t t e x t p l o t , t e x t p l o t d , t u ] > with(plot tools); [arc, e, arrow, rotate, circle, scale, cone, semitor cuboid, us, curve, sphere, cutin, stellate, cutout, tetrahed cylinder, ron, disk, torus, dodecah transfor edron, m, ellipse, translat ellipticA e] rc, >implicit hemisph plot({co ere, s(xA2+0 hexahed 4*y) ron, +xA2+yA hyperbo 2- la, 1.6=0,1 icosahed 5*xA2- ron, yA2/0.36 line, -1 octahed =0} ron, ,x=0 2,y pieslice, =0 point, ,numpoi polygon, nts=100 rectangl 0); Nhin vao thi hinh 3.2 ta chpn xap xi ban dau u0 = (x,y)T=(l,04;0,47)T Ta có f'(u) = d f Ị (x) ổfỊjx)' õx õỵ d f (x) gf 2(x) õx õỵ 2xỊl-sin(x2 + 0,4y)Ị -0,4sin(x2 + 0,4y) + 2y [...]... (s)]h(s)ds CHNGII PHNG PHP LP N V PHNG PHP NEWTON 3 1 KANTOROVICH GII Hấ PHNG TRèNH PHI TUYN 2.1 Phng phỏp lp n gii h phng trỡnh ph tuyn 2.1.1 Phng phỏp lp n gii phng trỡnh ph tuyn Gi s X l mt khụng gian Banach Xột phong trỡnh toỏn t phi tuyn: X = A(x) (2.1.1 Kớ hiu s(x0,r) = jx E X: ||x - x0|| < rj l hỡnh cu úng trong X vi tõm x0 v bỏn kớnh r Gi s toỏn t phi tuyn A tỏc ng trong X , ngha l A(X) E... EuclideRk Theo nh ngha dóy c bn, VE> 0,3n0 eN,Vm,n>n0,d|x^,x^j n0, d ^x^n\ x^j = max |x (t)-x (t)| < e =>|xn(t)-xm(t)|n0JVte[a,b] (1.1.10) Cỏc bt ng thc (1.1.10) chng t , vi mi t c nh tu ý thuc on [a,b] , dóy (xn (t)) l dóy s thc c bn, nờn phi tn ti gii hn - limxn(t) = x(t),te[a,b] n-ằ00 Ta nhn c hm s *(ớ) xỏc nh trờn on [a,b] Vỡ cỏc ng thc (1.1.10) khụng ph thuc t, nờn qua gii hn trong cỏc ng thc ny khi n-ằ00 ta c: |xn(t)-x(t)|n0,Vte[a,b]... n0,d(x(n),x(m) = ^|x(xkn) - xớm)) < ESuy ra k k n0,Vk = 1,2, A A j(4n)-4m)) n0,Vp-l,2, (1.1.12) (1.1.13) Cỏc bt ng thc (1.1.13) chng t, vi mi k c nh tu ý dóy (x(kn)) l dóy s c bn, nờn phi tn ti gii hn: lim(x(kn) ) = xk, k = 1,2, nằ00 V / - t x = (xpx2, ,xk, ) = (xk) Vỡ cỏc bt ng thc (1.1.12) khụng ph thuc vo p , nờn cú th cho qua gii hn trong cỏc bt ng thc ny khi m-ằ00 ta c: (1.1.14)... x tuyn tớnh l toỏn t tuyn tớnh Khi toỏn t A ch tho món iu kin 1) thỡ A gi l toỏn t cng tớnh, cũn khi toỏn t A ch tha món iu kin 2) thỡ A gi l toỏn t thun nht Khi Y = p thỡ toỏn t tuyn tớnh A thng gi l phim hm tuyn tớnh nh ngha 1.2.2.( Khụng gian nh chun) Gi s X l mt khụng gian tuyn tớnh trờn trng p (p = Rhoc p = c ), nh x ||.||: X > M xỏc nh trờn X (c l chun), ly giỏ tr trờn R: ||x|| E R, Vx E X , tho... HAnX - AmXH = ||(An - Am ) x|| ^ ||An - Am II' 1*1, Vx E X (1.3.1) ChonờnvixeX cho trc, ||Ax-Amx|| ->0 (n,m -> co) Vy dóy { A n x } l dóy c bn trong Y 5 m theo gi thit Y l khụng gian Banach, nờn dóy ú phi dn n mt gii hn Ta t Ax = limAnx v chng minh AEL(X,Y) Tht yy, A l toỏn t tuyn tớnh; Mt khỏc vi e> 0 cho trc, ta cú th chn N ln ||AB - Am|| < E, Vn,m > N Khi ú theo (1.3.1) ta Cể ||A X-A x||