Luận văn thạc sĩ phương pháp lặp đơn và phương pháp newton kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến tính

2 -Phạm Anh Nghĩa LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài: “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trìn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN

LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC

• • •

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 _• • _• •

PHẠM ANH NGHĨA

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON - KANTOROVICH

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYỂN

Chuyền ngành: Toán Giải Tích

Mã sổ: 60 46 01 02

LUẬN VÃN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Phạm Anh Nghĩa

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy Tácgiả cũng trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Tác giả

2

-Phạm Anh Nghĩa

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với

đề tài: “ Phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovich giải

hệ phương trình phi tuyến” là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự

hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh

Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế thừa thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Tác giả

- 3

-MUC LUC

• •

Mở đầu 5

Chương 1 Một sổ kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co 7

1.1.1 Không gian metric 7

1.1.2 Nguyên lý ánh xạ co 18

1.2 Không gian Banach 20

1.3 Phép tính vi phân trong không gian Banach 23

Chương 2 Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 29

2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 29

2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến 29

2.1.2 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 37

2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 45

2.2.1 Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình toán tử phi tuyến 45

2.2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến trong Mn 51

2.3 Sự kết hợp của phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton -Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 56

Chương 3 ứng dụng 61

3.1 Giải hệ phương trình phi tuyến 61

4

-3.1.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phi tuyến 61

3.1.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 64

3.2 Lập trình trên Maple giải số hệ phương trình phi tuyến 75

Kết luân 88

Tài liêu tham khảo 89

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đè tài

Như chúng ta đã biết khi giải số phương trình vi phân, phương trình tích phân thường dẫn đến giải hệ phương trình phi tuyến; có nhiều vấn đề, nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kỹ thuật, kinh tế cũng có thể dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình Hệ phương trình thường có dạng tổng quát A.x = f (1), trong đó A là

Trong thực tế người ta khó tìm được nghiệm chính xác của hệ phương trình Vì vậy việc giải xấp xỉ hệ

phương trình (1) là một vấn đề được quan tâm nghiên cứu Có nhiều phương pháp giải xấp xỉ phương trình đã được

đề xuất và sử dụng như : Phương pháp lặp,phương pháp Newton và các mở rộng, phương pháp biến phân Người taxét đến những đặc thù của toán tử Ađể chọn phương pháp xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình Phương pháp lặp dựa trên nguyên lí ánh xạ CO Banach là phương pháp thường được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm củaphương trình và tìm nghiệm xấp xỉ thông qua phép lặp đơn Để sử dụng phương pháp này người ta phải đưa phương

trình (1) là điểm bất động của ánh xạ B Bước tiếp theo là tìm điểm bất động của ánh xạ đó Nguyên lí điểm bất động

cũng chỉ ra cách tìm xấp xỉ điểm bất động Phương pháp Newton và các mở rộng của nó như Newton - Raphson, Newton - Kantorovich cho ta cách tìm nghiệm xấp xỉ của một phương trình phi tuyến thông qua việc giải những phương trình tuyến tính Phương pháp Newton và các mở rộng có ưu điểm là bậc hội tụ cao, tuy nhiên phải biết thông tin về một hình cầu đủ nhỏ chứa nghiệm

6

-Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải

xấp xỉ hệ phương trình (1), nên em đã chọn đề tài : “ Phương pháp lặp đơn và

phương pháp Newton - Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến” để

thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiền cứu

Luận văn trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình đó là

phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich, sự kết họp của hai phương pháp đó trong giải phương trình trong tập số thực R và hệ phương trình

trình cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiền cứu

Nghiên cứu phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến

4 Đổi tượng và phạm vi nghiền cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến

- Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton -

Kantorovich, sự kết họp của hai phương pháp đó hệ phương trình phi tuyến

thể

5 Phương pháp nghiên cứu

- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số và áp dụng phần mem Maple trong tính toán và vẽ đồ thị

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ thống lại phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton - Kantorovichgiải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Áp dụng giải một số hệ phương trình phi tuyến cụ thể

7

-CHƯƠNGI

MÔT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BI

• •

1.1 Không gian metric, nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.1 Xét một tập họp X ± (|) cùng với một ánh xạ d:XxX -»R thoả

mãn các tiên đề sau đây:

Khi đó tập họp X cùng với ánh xạ d gọi là một không gian metric Ảnh xạ d gọi

là một metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x,y

Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric x = (x,d) Một tập con bất kỳ x0*ộ

cho

Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử bất kỳx,y EM ta đặt:

Từ tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập hợp số thực suy ra hệ thức (l.l.l)xác

(1.1.1) là metric tự nhiên trên M

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.2) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric Để kiểm tra

hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski:

9

-^>d(x,y)< d(x,z) + d(z,y)

Do đó hệ thức (1.1.2) thoả mãn tiên đề 3) về metric

- 1 0-

Euclide, còn metric (1.1.2) gọi là metric Euclide

Ví dụ 1.1.3.Ta ký hiệu l 2 là tập tất cả các số thực hoặc phức X = {xn}”°=i sao

n=l

d ( x ’y) = ÌẺI x n-yn|2 (1-1-4)

Nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1.4) hội tụ

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1.4) thoả mãn các tiên đề 1), 2) về metric

nguyên dương tuỳ ý ta có:

Do đó hệ thức (1.1.4)thoả mãn tiên đề 3) về metric.

hạn chiều

Ví dụ 1.1.4 Ta ký hiệu C[ b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên

đặt

v 7 aátáb 1 v 7 v 7 I

trên đoạn [a,b] Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a,b] Suy ra hệ

Dễ dàng thấy ánh xạ (1.1.5) thoả mãn các tiên đề về metric

- 1 2 -

[a,b] => d(x,y) = J|x(t)-y(t)| > 0

a b

d(x,y) = 0 <=> J|x(t)-y(t)| = 0

a

<=>|x(t)-y(t)| = 0 h.k.ntrên [a,b]

<=>x(t) = y(t) h.k.ntrên [a,b]

Vì tích phân Lebesgue của một hàm số không thay đổi khi ta thay đổi giá tri của hàm số đó trên tập có độ đo Lebesgue bằng 0, nên trong không gianL[a,b]

ta đồng nhất hai hàm số khi chúng chỉ khác nhau trên một tập có độ đo Lebesguebằng 0 Nhờ đó ánh xạ (1.1.6) thoả mãn tiên đề 1) về metric

Dựa vào các tính chất của tích phân Lebesgue dễ dàng suy ra ánh xạ (1.1.6) thoả mãn các tiên đề 2), 3) về metric Vì yậy ánh xạ (1.1.6) xác định một metric trên

Định nghĩa 1.1.3.Cho không gian metricX = (x,d),dãy điểm (x n }cX, điểm x0eX

Vs>0,3n0 eN*,Vn>n0 ,d(xn,x0)<£

X—»00

Ví dụ 1.1.6 Sự hội tụ của một dãy điểm Ịxn} trong không gian M1 là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.1.7 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides Mk tương đương với sự hội tụ theo toạ độ

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo metric Euclide của không gian M*

Ví dụ 1.1.8 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian b] tương đương

với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a,b]

Theo định nghĩa

Các bất đẳng thức (1.1.8) chứng tỏ dãy hàm số liên tục (x„ (t)) hội tụ đều tới

0,3n0 e N*, Vn > n0, V t e [a,b],|xn (t)- x(t)| < e Suy ra: max |xn (t) - X ( t ) | < s,

Ví dụ 1.1.9 Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian metric rời rạc X = (X,

d) tương đương với sự hội tụ của dãy dừng

Dãy điểm như thế gọi là dãy dừng

Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian metric X = (x, d), a e X , r > 0,

Tập hợp S(a,r) = jxeX:d(x,a)<rj được gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính r.Tập hợp S'(a,r) = jxeX:d(x,a)<rỊđược gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính r

Mỗi hình cầu mở S(a,r) được gọi là một lân cận của phần tử a trong X

Định nghĩa 1.1.5.Ơ10 hai không gian metric X^Xjdj) , Y = (Y,d2)

lân cận V x =s(x0,5)của điểm x0 trong X sao chof(Vx )cUy.

Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ f :X ->Y gọi là liên tục tại điểm x0 eXnếu với mọi

limf(x n )-f(x 0 ).

n-»00

Định nghĩa 1.1.7.Ảnh xạ f gọi là liên tục trên tập AcX nếu ánh xạ f liên tục

Định nghĩa 1.1.8 Ảnh xạ f gọi là liên tục đều trên tập AcX nếu Ve >0,

Định nghĩa 1.1.9.Một dãy điểm Ịx } trong không gian metric x = (x,d)gọi

( Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy)

Định nghĩa l.l.lO.Không gian metric x= (X,d) là một không gian đầy (hay

đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

x ( n ) _ x ( m )

chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

2n), ,x(

VE> 0,3n0 eN’,Vm,n>n0,d|x^,x^j<E hay ,|2J(X J^-xjm^) <e

Các bất đẳng thức (1.1.9) chứng tỏ, với mỗi j = I,2, ,k , dãy (x^j là dãy số thực

cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:

ũ-¥coJ J

Đặt x = (x p x 2 , ,x k ) , ta nhận được dãy |x (n) |cM kđã cho hội tụ theo toạ độ

Ví dụ 1.1.12 Không gian b] là không gian đầy

dãy cơ bản:

Các bất đẳng thức (1.1.10) chứng tỏ , với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc đoạn [a,b] ,

Ta nhận được hàm số *(í) xác định trên đoạn [a,b] Vì các đẳng thức

ta được:

Ví dụ 1.1.13 Không gian i 2 là không gian đầy.

2n), ,x (

theo định nghĩa dãy cơ bản :

< E , Vn > n0Mặt khác

Từ các bất đẳng thức (1.1.15), (1.1.16) suy ra:

Định lý 1.1.1.( Nguyên ỉỷ Banach về ánh xạ cò)

Mọi ánh xạ co A từ không gian metric đầy x = (X,d)vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm X* e X sao cho Ax* = X*; điểm X* là giới hạn của dãy {x n } được xây dựng bởi công thức:

d(x 2 , Xj) = d(Axj, Ax 0 ) < ad(Xj, x 0 ) = ad(Ax 0 , x 0 )

d(x 3 ,x 2 ) = d(Ax 2 , Axj) < ad(x 2 ,Xj) < a 2 d(Ax 0 ,x 0 )

d(x n + 1 ,x n ) - d(Ax n , Ax n j) < ad(x n ,x n j) < < a n d(Ax 0 ,x 0 ) ,vớin = 1,2,

Từ đó ta suy ra Vn,p = 1,2, ta có

d ( X n + p- X n)^ d ( X n+l’ x n) + d ( X n + 2> x n +1 ) + + d(Xn+p,Xn+p_j)

< (a11 +an+1 + + an+pl)d(Ax0,x0)

Do0< a<l =>d(x\y*) = 0 =>x* =y\

Vậy X* là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A

- 2 1 -

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 Cho X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường p (p là

tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện

1) A(Xj+x 2 ) = AXj+A X 2 , V XJ , X 2 eX

2) A (ax) = aA(x), Va eP , Vx E X

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất.

Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính Định

nghĩa 1.2.2.( Không gian định chuẩn)

||.||: X —> M xác định trên X (đọc là chuẩn), lấy giá trị trên

R: ||x|| E R, Vx E X , thoả mãn các điều kiện( tiên đề) sau đây

1) ||x|| >0 , Vx E X; ||x|| = 0<=> x = 0(kí hiệu phần tử không là 0 )

3) ||x + y|| < ||x|| + ||y|| Vx, y e X

được gọi là một chuẩn trên X, số ||x|| gọi là chuẩn của véc tơ X, các tiên đề

Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn ||.| được gọi là một không gian định

chuẩn( hay không gian tuyến tính định chuẩn)

Định lý 1.2.1 Cho X là không gian định chuẩn, đối với hai véc tơ bất kỳ X , y e

X, ta đặt d(x, y) = ||x - y|| Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.2.3.(»sv hội tụ trong không gian định chuẩn)

2 2

-k

j=l

n,m-»co

Định nghĩa 1.2.5.( Không gian Banach)

Ví du 1.2.1

Suy ra với mỗi 1 < j < k cố định , Ve > 0, 3M = M E N*, Vm,n>M j

Vậy với mỗi j cố định thì dãy Ịx^Ị là dãy cơ bản trong M nên nó hội tụ.

- 2 3 -

Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian tuyến tính X và II ,\\\\ là hai chuẩn cùng xác

p sao cho

maxlx.Lx = (x,,x,, ,x, ) e M k

1 1 I<j<k I J l ' ’

||x 0 ||< ||x||< Vk ||x|| 0 ,Vx e M k 1.3 Phép tính vỉ phân trong không gian Banach

Định nghĩa 1.3.l.( Không gian các toán tử)

tuyến tính liên tục từ X vào Y

2 4

1*1=1

Thì L(X,Y) là không gian định chuẩn

Định lý 1.3.1 Neu không gian Y là không gian Banach thì không gian L ( X , Y )

cũng là không gian Banach.

Banach, nên dãy đó phải dần đến một giới hạn

Thật yậy, A là toán tử tuyến tính;

Mặt khác với e> 0 cho trước, ta có thể chọn N đủ lớn để

||A B - A m || < E, Vn,m > N

Chorno00 tađược||A x-Ax||<e||x||,Vn>N => A n - A E L ( X , Y ) và ||A B - AJI < 8,

Vn > N,

Vậy dãy A n có giới hạn A E L ( X , Y ) Định lý được chứng minh.

Định nghĩa 1.3.2 ( Đạo hàm Fréchei)

Cho X,Y là hai không gian định chuẩn bầt kỳ, ánh xạ f :X —»Y được gọi là khả vi tại điểm X E Y nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A : X -» Y ( tức 3A E L ( X , Y )) sao cho:

f(x + h)-f(x) = A(h) + a(x,h), Vh E X

- 2 5 -

Như vậy df(x,h) = [f'(x)](h)

Định lý 1.3.2 {Tỉnh duy nhất của đạo hàm Fréchet)

Đạo hàm của một ánh xạ nếu có là duy nhất

Chứng minh.

Cho hai không gian định chuẩnX, Y bất kỳ

hay A = B.Định lí được chứng minh.

Định nghĩa 1.3.3 Cho X, Y, z là các không gian Banach thực.

2 6

-= go(f(x))

Định lý 1.3.3 Nếu f :X-»Y khả vi Fréchet tại xeX và g:Y->z khả vi Fréchettại y

= f(x)eY thì g°f khả vi Fréchet tại X và (g°f)'(x) = g'(y).f'(x) Định nghĩa

f :X 1 xX 2 x xX n ->Y Ta cố định x 0 =Ị X Ị’ ! X J , , X "Ị E X 1 X X 2 x xX n Với mọi X

= (x 1 ,x 2 , ,x n )eX 1 xX 2 x xX n Xét các ánh xạ f; :X; ->Y,i = l,2, ,n;

Nếu f; có đạo hàm Fréchet tại điểm X? thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng

thông thường

Ví dụ 1.3.1.Ánh xạ f :M—»M, Vx 0 el đạo hàm Fréchet f'(x 0 ) là đạo hàm theo

theo nghĩa thông thường và ta có:

fix Vhì = Va h fix ì = Í £fe>) Ể£fe>)

f ( x oX h ) 2j a i h i ’ f K) o ’ o ’■■■’ o

a

minh A(h) là toán tử tuyến tính bị chặn Thật yậy, do

Cho |h| ->■ 0 ta đươc: lim ïï 0 ^* 0 ’* 1 ^ < lim |h| = o

' llhll->0 h ||h||-»0MTheo định nghĩa đạo hàm và vi phân Fréchet, ta có:

3 0

-(2.1.4)

2.1 Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình phỉ tuyến

2.1.1 Phương pháp lặp đơn giải phương trình phỉ tuyến

• Giả sử X là một không gian Banach Xét phưong trình toán tử phi

tuyến:

X = A(x)

Định lý 2.1.1 ( Nguyên ỉỷ Banach về ánh xạ cò).

có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp đơn

(2.1.2)

một trong các côngthức: