Luận văn sư phạm Giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần 1.1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số 1.1.4 Sai số tính tốn 1.1.4.1 Biểu thức tổng quát sai số tính tốn 1.1.4.2 Sai số phép toán cộng trừ 1.1.4.3 Sai số phép toán nhân, chia 1.1.4.4 Sai số phép tính lũy thừa 1.1.4.4 Sai số phép logarit 1.1.5 Bài toán ngược sai số 1.2 Sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.2.1 Sai số tuyệt đối 1.2.2 Sai số tương đối 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.3.1 Chữ số có nghĩa 1.3.2 Chữ số đáng tin 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ 1.4 Sai số quy tròn 1.4.1 Hiện tượng quy tròn sai số quy tròn 1.4.2 Sai số quy tròn 1.5 Xấp xỉ ban đầu 1.6 Ma trận nghịch đảo 13 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội 1.7 Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến 15 1.7.1 Phương pháp chia đôi 15 1.7.1 Phương pháp dây cung 16 1.7.3 Phương pháp lặp đơn 17 1.7.4 Phương pháp tiếp tuyến 18 1.7.4.1 Mô tả phương pháp 19 1.7.4.2 Ước lượng sai số 19 Bài tập chương 21 Chương Tính gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến 22 2.1 Phương pháp lặp đơn 22 2.1.1 Phương pháp lặp đơn 22 2.1.1.1 Mô tả phương pháp 22 2.1.1.2 Sự hội tụ sai số 23 2.1.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 23 2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 26 2.2 Phương pháp lặp Seidel 28 2.2.1 Phương pháp lặp Seidel 28 2.2.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 29 2.2.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 31 2.3 Phương pháp lặp Newton - Raphson 34 Chương Bài tập vận dụng 39 Bài tập tự giải 52 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU Trong toán học đại, Giải tích số có bước tiến nhanh chóng khoảng nửa kỉ vừa qua với phát triển kì diệu tin học Ngày nay, với phát triển tin học, phạm vi ứng dụng Giải tích số ngày mở rộng Giải tích số lĩnh vực tốn học rộng Nó nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ hàm, giải gần lớp tốn, phương trình thường gặp… Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu phương pháp số giải gần toán thực tế mơ hình hóa ngơn ngữ tốn học Trong nghiên cứu khoa học toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất ) dẫn đến việc cần phải giải hệ phương trình phi tuyến tính Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm hệ phương trình đó, trường hợp cịn lại nói chung khó giải biến đổi đại số Nếu hệ phương trình suất phát từ tốn thực tế biểu thức fi (x1, x2,…, xn) = ; i = 1, 2, …, n hệ phương trình phi tuyến biết gần Vì việc giải hệ phương trình khơng thực được, mà nhiều khơng có ý nghĩa Đối với tốn việc xác định sai số vấn đề đáng quan tâm Vì vậy, từ thời Archimesdes, phương pháp giải gần xây dựng Nhiều phương pháp ( phương pháp Newton – Raphson, Phương pháp Euler, phương pháp Seidel … ) trở thành kinh điển sử dụng rộng rãi thực tế Vấn đề tìm gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính có ý nghĩa lí thuyết ứng dụng lớn Nó sở mơn Giải tích số Vì em lựa chọn đề tài “Giải gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính” để hồn thành khóa luận tốt nghiệp bậc đại học Trong đề GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội tài có đưa phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến tính hai ẩn ba ẩn với mục đích minh họa rõ lý thuyết giải hệ phương trình phi tuyến tính có điều kiện nghiên cứu sâu vấn đề mơn Giải tích số Đồng thời qua để vận dụng vào dạy hệ phương trình phi tuyến tính chương trình dạy trường trung học phổ thơng Khóa luận chia làm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Kiến thưc chuẩn bị Chương 2: Tính gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính Chương 3: Bài tập vận dụng Phần 3: Kết luận GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần số a* a không sai khác a nhiều Hiệu số ∆ = a* - a sai số thực a Nếu ∆ > a giá trị gần thiếu, ∆ < a giá trị gần thừa a* Vì a* nói chung khơng biết nên khơng biết ∆, nhiên thấy tồn ∆a  thoả mãn điều kiện: │a* - a│  ∆a (1.1.1) Số ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1.1) gọi sai số tuyệt đối a, δa= a sai số tương đối a Rõ ràng ∆a , δa nhỏ tốt a Ví dụ: Xét hai đoạn thẳng AB có độ dài a = 10m CD có độ dài b  1m với a  b  0,01m Khi ta có : a  0,01 0,01  10 2  103  b  10 Hiển nhiên ta thấy phép đo đoạn thẳng AB xác đo đoạn thẳng CD Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối 1.1.2 Làm tròn số sai số phép làm tròn Xét số thập phân a  có dạng tổng quát:  a    p 10 p   p 1.10 p 1    p s 10 p s  (1.1.2)   i  ,  i , s , p ,  p  0, i  p, p  s Nếu  p  s   a số nguyên,  p  s   k  k   a có phần lẻ gồm k chữ GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội số, s    a số thập phân vơ hạn tuần hồn Làm trịn số a bỏ số chữ số bên phải số a để số a gọn gần với số  Quy tắc làm tròn: Xét số a dạng (1.1.2) ta giữ lại đến bậc thứ i, phần bỏ  ta đặt: a =  ( αp 10p + …+ αi+1.10i +1 +  i 10i ) đó: i i          10 10  i  2l ; l   i  2 i=       10i    10i   2l  1; l   i  i 2 Ta kí hiệu sai số phép làm tròn  a , a  a   a , rõ ràng  a  10i Vì a*  a  a*  a  a  a   a   a , làm tròn sai số tuyệt đối tăng thêm  a 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Xét số a dạng (1.1.2) nghĩa viết dạng thập phân, chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số bị kẹp hai chữ số khác chữ số hàng giữ lại Ví dụ: Số a = 02,3040 chữ số khơng có nghĩa, cịn chữ số 3; 4; 0; 5; có nghĩa Số b = 0,023 chữ số 2; có nghĩa, cịn số bên trái khơng có nghĩa Xét số a dạng (1.1.2):   a    p 10 p   p 1.10 p 1    p s 10 p s , chữ số  i (1.1.2) số a chữ số nếu:  a  .10i , GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội  tham số cho trước Tham số  trọn để cho chữ số vốn sau làm tròn chữ số chắc, rõ ràng là chữ số ai1 chữ số 1.1.4 Sai số tính tốn 1.1.4.1 Biểu thức tổng qt sai số tính tốn Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y  f  x1, x2 , , xn  Kí hiệu:     x*  x1*, x2*, , xn* , y*  f x* giá trị đúng, x   x1, x2 , , xn  , y  f  x  giá trị gần , y* , xi  xi*  xi Giả sử f  x1, x2 , , xn  hàm số khả vi liên tục thì: n y  y  y*  f ( x1, x2 , , xn )  f ( x1* , x2* , , xn* )   f ' x xi  xi* , i i 1 với f ' x đạo hàm theo xi tính điểm trung gian i Vì f hàm khả vi liên tục xi bé nên: n y   f ' x  x1, x2 , , xn  xi i i 1 (1.1.3) Vậy: y  y n  ln f xi  y i 1 xi (1.1.4) 1.1.4.2 Sai số phép toán cộng trừ n n Nếu y   xi y ' x  , ta có: y   xi i i 1 i 1 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội n  Chú ý: Nếu tổng đại số y   xi bé giá trị tuyệt đối i 1 y lớn, phép tính xác Ta khắc phục cách tránh y cơng thức đưa đến hiệu hai số gần Hoặc là, lấy số với nhiều chữ số để hiệu chúng có thêm chữ số 1.1.4.3 Sai số phép toán nhân, chia p Giả sử y   xi i 1 q  x p i áp dụng (1.1.3) (1.1.4) Ta có: i 1  y   x    x p q y  y  y 1.1.4.4 Sai số phép tính lũy thừa Xét y  x (  R, x  0)  y  a  x  Nhận xét: Nếu   độ xác giảm đi,   độ xác tăng lên Nếu   1 (phép nghịch đảo) độ xác khơng đổi,   , k   (phép khai căn) độ xác tăng lên k 1.1.4.4 Sai số phép logarit Xét y= lnx, ta có  y   x 1.1.5 Bài toán ngược sai số Giả sử đại lượng y tính theo cơng thức: y  f  x1, x2 , , xn  yêu cầu đặt cần tính xi để y   , với  cho trước Theo biểu thức tổng qt sai số tính tốn, ta phải có: f xi   i 1 xi n y   GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Bất đẳng thức thỏa mãn xi   n f ' xi  Chú ý: Nếu biến xi vai trò “đều nhau” ta lấy xi   n f ' xi , y   1.2 Sai số tương đối sai số tuyệt đối 1.2.1 Sai số tuyệt đối Trong tính tốn ta thường số A mà biết số gần a Lúc ta nói “a xấp xỉ A “và viết “a  A “ Độ lệch h = A – a gọi sai số thực A Vì khơng biết A nên ta khơng biết h Tuy nhiên ta tìm số dương  a  h cho a   a  A  a   a Số  a bé mà ta xác định gọi sai số tuyệt đối a Nếu số xấp xỉ A có sai số tuyệt đối ∆a ta viết: A = a   a (1.2.1) ,với nghĩa a   a  A  a   a (1.2.2) 1.2.2 Sai số tương đối Tỷ số  a  a (1.2.3) gọi sai số tương đối a, ta suy a  a  a  a (1.2.4) Do (1.2.1) viết thành: A = a(1   a ) công thức (1.2.3) (1.2.4) cho ta mối liên hệ sai số tuyệt đối sai số tương đối 1.3 Cách viết số xấp xỉ 1.3.1 Chữ số có nghĩa Một số viết dạng thập phân gồm nhiều chữ số, ta kể chữ số khác tính từ trái sang phải chữ số có nghĩa Các chữ số bên trái khơng có nghĩa GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Ví dụ: Số 1,35 có chữ số 1; 3; có nghĩa Số 0,0310 chữ số 3; 1; có nghĩa, cịn hai chữ số bên trái khơng có nghĩa 1.3.2 Chữ số đáng tin Mọi số thập phân a viết dạng: a     s 10 s (1.3.1) αs số nguyên từ đến Ví dụ: Số 17,134 viết là: 17,134 1.101  7.100 1.101  3.102  4.103 tức a có dạng (1.3.1) với 1  1;   7;  1  1;  2  3;  3  Chữ số αs (1.3.1) chữ số a chữ số đáng tin (chữ số chắc)  a  0,5.10k , s  k ,  a  0,5.10k , s  k ta nói αs chữ số đáng nghi 1.3.3 Cách viết số xấp xỉ Cho a giá trị xấp xỉ A với giá trị tuyệt đối ∆a  Cách thứ nhất: Là viết kèm theo sai số tuyệt đối a   a  Cách thứ hai: Là viết chữ số đáng tin Nếu ta có số gần mà khơng cho sai số ln ngầm hiểu chữ số có nghĩa chữ số đáng tin Như chữ số khơng bên phải cho ta biết chữ số đáng tin 1.4 Sai số quy tròn 1.4.1 Hiện tượng quy tròn sai số quy tròn Trong tính tốn, gặp số có q nhiều chữ số đáng nghi, người ta thường bỏ vài chữ số cuối cho gọn Việc làm gọi quy tròn số Việc quy tròn số tạo sai số gọi sai số quy tròn hiệu số số quy tròn số chưa quy tròn Trị tuyệt đối hiệu GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Áp dụng phương pháp lặp đơn có cơng thức tổng qt: k    k  [y ] k   [ ] [ ]   x y  x k  1    k k      x y    k 1  y   Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = (0,5 ; 0,9) ta có kết sau đây: k x(k) y(k) 0,4975 0,983333333 0,497443055 0,99640277 0,498721561 0,998551213 … … … 22 0,499999997 0,999999997 23 0,499999998 0,999999998 24 0,499999999 0,999999999 25 0,499999999 0,999999999   x  xy  3x   b)  3x  xy  x    Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng:  2 x  xy    x  g1  x, y     3x  x  xy  y   y  g x, y   2  GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 40 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Ta có: g1 4 x  y  x ; g1 x  y g2 x  y   x ; g2  xy   y Có thể lấy lân cận Q = { (x, y) : 0,1 < x < 0,6 ; 1,0 < y < 1,6} Trong lân cận Q ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y Áp dụng phương pháp lặp đơn ta có cơng thức tổng quát:    k 1 x      k 1 y  2[x k  ]2  x k  y k    3[x k  ]2  x k   x k [y k  ]2  y k    Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = ( 0,5 ; 1,6) ta có kết sau đây: k x(k) y(k) 0,516666666 1,56125 0,507585648 1,536197715 0,504821844 1,521820419 … … … 10 0,500146184 1,500682248 11 0,500089363 1,500419152 12 0,500054638 1,500255091 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 41 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp c) Đại học Sư Phạm Hà Nội  2sin x  y  y     e x  x  y  y    Hướng dẫn: Đưa hệ dạng (2.1.2) ta được:  x    y  x  g1  x, y   e  y  y   g2  x, y    y  2sin x  y  Ta có: g1 e x  x ; g1  y   y g2  cos x  x ; g2  y   y Có thể lấy lân cận Q = { (x, y) :  0,1 < x < 0,3 ; 0,9 < y < 1,1} Trong lân cận Q ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y Áp dụng phương pháp lặp đơn có cơng thức tổng qt:   k   k k x   [y  ]2  y     k e   x    k     k 1 [y ]2  2sin[x k  ]  y  k    y  Với xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) )   0,2; 0,9  ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 42 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp k … 10 Đại học Sư Phạm Hà Nội k y  x  0,052850689 0,013563549 0,003413933 … 0,000012526 0,000003132 0,000000783 0,000000196 k 0,995754674 0,999534285 0,999881581 … 0,999999989 0,999999989 0,999999993 0,999999993   x  y  z  xy  xz  x  14   17 d)  y  z  xyz  y  yx      xy  yz  zx   Hướng dẫn: Đưa hệ dạng:  x  y  z  xy  xz 14  x  g1  x, y, z     17 y  z  xyz  xy    y  g  x, y, z      xy  zy  xz  z    z  g3  x, y, z    Ta có: g1 x  y  z  x ; g1  x  y  y ; g1 z  x  z g2  y  yz  x ; g2 y  xz  x  y ; g2 z  xy  z g3  y  z  x ; g3  x  z  y ; g3 x  y   z GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 43 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Có thể lấy lân cận Q = { (x, y, z) :  2,1 < x <  1,9 ;  1,1 < y <  0,9 ;  0,6 < z <  0,4} Trong lân cận Q ta có: g1 g1 g1   1 x y z g g g   1 x y z g3 g3 g3   1 x y z Áp dụng phương pháp lặp đơn ta có cơng thức tổng quát: k k k k k k k  k 1 [x  ]2  [y   ]2  4[z   ]2  x  y    x  z   14  x     k k k k k k k 17 [y   ]2  [z   ]2  x  y   z    x  y     k 1    y  k k k k          k  k  k    k 1  x y  z y  x z  z   z  Với xấp xỉ ban đầu (x(0) , y(0) , z(0)) = (  1,8 ;  0,8 ;  0,4) ta có kết sau đây: K x(k) y(k) z(k)  1,8850000000  1,0785000000  0,3750000000  2,0658915312  1,0542051406  0,4804150000  2,0326204844  1,0098608343  0,5251480574 … … … … 11  1,9998508224  1,0000862333  0,498269156 12  2,0000833086  1,0000895979  0,4999704132 13  2,0000567858  1,0000102248  0,5000366192 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 44 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Seidel 4 x  y  a)  4 x  10 xy   Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng:  4 x  y  3x   x g x y ,      x  10 xy  y    y  g  x , y   Ta có: g1 8 x   x ; g1 y  y g2 x  10 y  x ; g2 10 x   y Trong lân cận Q = { ( x, y ) : 0,1 < x < 0,6 ; 0,2 < y < 1,0 } ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y Áp dụng phương pháp lặp Seidel ta có cơng thức tổng qt: k  k  k   k 1 x y x    4[ ] [ ]   x     k k 1 k k   k 1 4[ x  ]2  10 x  y    y     y  Chọn xấp xỉ ban đầu : ( x(0) , y(0) ) = ( 0,0 ; 0,8 ) ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 45 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội k x(k) y(k) 0,213333333 0,911111111 0,42935967 0,669495027 0,332967898 0,582191356 … … … 21 0,25000038 0,500000166 22 0,250000182 0,500000059 23 0,25000008 0,500000016 11   x  x  y   b)   x2  y    Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng: 11  x2  y    x  g1  x, y       x  y  12 y   y  g x, y   2  12 Ta có: g1 x x g2  x  x g1  y g 5 y   y ; ; Trong lân cận Q = {(x , y) : 0,0 < x < 0,4 ; 0,1 < y < 0,5 } ta có: g1 g1  1 x y g g2  1 x y GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 46 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Áp dụng phương pháp lặp Seidel ta có cơng thức tổng qt:  k   k  11   k 1 [x ]  [y ]   x    k k k    [ x ]2  5[ y   ]2  12 y     k  y    12 Chọn xấp xỉ ban đầu ( x(0) , y(0) ) = ( 0,4 ; 0,4) ta có kết sau đây: k … 17 18 19 c) x(k) 0,2237500000 0,1885763672 0,1942433038 … 0,2469354951 0,2474874002 0,2479391370 y(k) 0,3604113281 0,3345744387 0,3160385440 … 0,2535023384 0,2528717391 0,2523555393  2  x  y  z  3xyz  z     x y  xyz  3x    y  y  xz  xy    Hướng dẫn: Ta đưa hệ dạng:  x y  xyz   x g x y z , ,   1   y  xz  xy    y  g  x, y , z     x2  y  3xyz  z  z    z  g  x, y , z    GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 47 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Ta có: g1 xy  yz  x g2 z  y  x g3 x  yz  x ; ; ; g1 x  xz  y g2 y  x  y g3 y  3xz  y g1  xy  z g x  z g3 3xy   z  z ; ; ; Có thể lấy lân cận Q = { (x, y, z) :  0,4 < x < 0,4 ; 0,2 < y < 0,7 ; 0,7 < z < 1,3} Trong lân cận Q ta có: g1 g1 g1   1 x y z g g g   1 x y z g3 g3 g3   1 x y z Áp dụng phương pháp lặp Seidel có cơng thức tổng quát: k  k  k  k  k   k 1 [x ]2 y  x y z  x   g1  x, y, z     k 1 k k   k 1  k  [y ]2  x z  x  y     k 1    g2  x, y, z   y    k k k k 1   2    k 1  k 1  k  y z  z    2[z   ]2  [x ]  [y ]  3x   k 1  g3  x, y, z   z  Với xấp xỉ ban đầu (x(0) , y(0) , z(0)) = (0,4 ; 0,4 ; 1,3), ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 48 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội k x(k) y(k) z(k)  0,0480000000 0,4334000000 1,1235453400 0,0081239640 0,4717211380 1,0499631406  0,0013308612 0,4858756361 1,0221684198 0,0000001686 0,4995732165 1,0003174870  0,0000000281 0,4997866923 1,0001231732 10 0,0000000047 0,4998933701 1,0000438106 Bài 3: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Newton -Raphson 2 xy   a)   x  y   Hướng dẫn: Ta có: 2 y 2x   x 1 J  x   Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (2 ,  1) ta có kết sau đây: k x(k) y(k) 1,5000000000  2,0000000000 1,9500000000 1,6000000000 1,1711108093 0,9488321564 1,6986324211 0,8842972564 1,6980482312 0,8833674542 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 49 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội  x2  y2   b)   x  x  y   Hướng dẫn: Ta có:  2x y   x  1 J  x   Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (  , 1) ta có kết sau đây: k x(k) y(k)  0,2647058824 1,0588235294  0,0308556993 1,0079775645  0,0005323908 1,0001455620  0,0000001646 1,0000000460 0,0000000000 1,0000000000 0,0000000000 1,0000000000 2cos x  sin y  y  3x   c)  2  sin x  cos y  y  x   Hướng dẫn: Ta có:  2sin x  J  x    cos x  x cos y  y   10 y  sin y  Theo (2.3.5) với xấp xỉ ban đầu (x(0), y(0)) = (0,025 ; 0,025) ta có kết sau đây: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 50 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội x(k) k y(k)  0,0666208666  0,2152796608  0,0301055263  0,0950471856  0,0115176774  0,0367025102  0,0000106468  0,0000340276  0,0000000065  0,0000000207  0,0000000000  0,0000000000 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 51 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài :Giải hệ sau phương pháp lặp đơn  2x  y2  y x  a)  2  y  2x  x   y  y   x  x3  y x   b)  x2 y  y     1 y   y  y  3xz  0,2  c)  x  x  yz  0,1   z  x  xy  0,3 Bài 2: Giải hệ phương trình sau bàng phương pháp lặp Seidel  x  y 1 a)  5 y  xy   x  cos y  0,82 b)  sinx  y  Bài 3: Giải hệ sau phương pháp lặp Newton - Raphson  x2  y2  a)  2  x  x y  y  13   cos x  0,4 y  x  y  1,6   b)  y2 1,5 x  1  0,36  GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 52 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số phương pháp lặp tính gần nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính Phương pháp lặp đơn, phương pháp lặp Seidel, phương pháp lặp Newton - Raphson, tác giả đưa số ví dụ minh họa số tập điển hình để áp dụng Qua đó, để nói nghành giải tích số có vai trị quan trọng toán học nghành khoa học khác Tuy nhiên, thời gian có hạn, số vấn đề em nêu khóa luận mặt nội dung chưa sâu sắc Mặc dù có nhiều cố gắng tìm tịi nghiên cứu thời gian có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn chỉnh GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 53 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996), Giải Tích Số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Anh Bảo – Nguyễn Văn Khải – Phạm Văn Kiều – Ngơ Xn Sơn (2002), Giải Tích Số, Nhà xuất Đại học Sư Phạm Khuất Văn Ninh – Nguyễn Văn Khải – Nguyễn Minh Chương – Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tường (2001), Giải Tích Số, Nhà xuất Giáo dục Tạ Văn Đĩnh (1998), Phương Pháp Tính, Nhà xuất Giáo dục Hồng Xn Huấn (2004), Các Phương Pháp Số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 54 SV: Nguyễn Thị Kim Dung ... GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 21 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội Chương TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Cho hệ phương trình phi tuyến:  f1  x1... Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn 26 2.2 Phương pháp lặp Seidel 28 2.2.1 Phương pháp lặp Seidel 28 2.2.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn 29 2.2.3 Cách giải. .. 0,1676303489 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 25 SV: Nguyễn Thị Kim Dung Khóa luận tốt nghiệp Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.1.3 Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn Cho hệ phương trình phi tuyến ba ẩn:  f x