Luận văn sư phạm Giải gần đúng phương trình đại số

TR NGă IăH CăS ăPH MăHẨăN Iă2 KHOA TOÁN ************ TR NăHOẨIăANH GI IăG Nă ÚNGă PH NGăTRỊNHă IăS KHịAăLU NăT TăNGHI P CHUYÊN NGÀNH:ăGI IăTệCH Ng ih ng d n khoa h c : TS NGUY N V N HÙNG HẨăN Iă– 2010 L IăC Mă N Sau m t th i gian nghiên c u v i s h giáo TS Nguy năV năHùng, khoá lu n c a em đ ng d n t n tình c a th y c hồn thành Qua em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y giáo TSăNguy n V nă Hùng, ng i tr c ti p h ng d n đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian em th c hi n khoá lu n Em xin chân thành c m n th y, cô giáo khoa toán t o m i u ki n giúp đ em hồn thành khố lu n M c dù có nhi u c g ng nh ng h n ch v th i gian ki n th c nên ch c ch n khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u xót Em r t mong nh n đ c s giúp đ , đóng góp ý ki n c a th y b n sinh viên đ khố lu n c a em đ c hoàn thi n h n Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng L IăCAMă OAN Khoá lu n t t nghi p c a em hoàn thành d i s h ng d n c a th y giáo TS Nguy n V n Hùng v i s c g ng c a b n thân Trong q trình nghiên c u em có tham kh o m t s tài li u c a m t s tác gi (đã nêu m c tài li u tham kh o) Em xin cam đoan nh ng k t qu khoá lu n k t qu nghiên c u c a b n thân, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i, tháng n m 2010 SINH VI ÊN Tr năHoƠiăAnh Tr n Hồi Anh K32 CN Tốn M CăL C N i dung Trang M đ u N i dung Ch ng I : Ki n th c chu n b 1.1 S g n sai s 1.2 Sai s t đ i 1.3 Cách vi t s x p x 1.4 Sai phân Ch ng II: Gi i g n ph ng trình đ i s 2.1 Nghi m kho ng tách nghi m 11 11 2.2 Ph ng pháp đ th 15 2.3 Ph ng pháp chia đôi 17 2.4 Ph ng pháp l p 22 2.5 Ph ng pháp Newton 26 2.6 Ph ng pháp dây cung 32 Ch ng III: ng d ng 35 Tài li u tham kh o 50 K t lu n 51 Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng PH Nă1: M ă U Gi i tích s m t ngành khoa h c có t lâu nh ng t máy tính n t đ i ngành khoa h c phát tri n r t nhanh, nh m xây d ng nh ng thu t toán đ n gi n có hi u l c, gi i k t qu b ng s nh ng toán c a khoa h c k thu t máy tính Vì v y ngày v i vi c s d ng r ng rãi máy vi tính c quan, xí nghi p, ki n th c c a mơn h c “Gi i tích s ” tr nên h t s c c n thi t Gi i tích s m t l nh v c toán h c r t r ng, nghiên c u lý thuy t x p x hàm, gi i g n m t l p tốn, ph ng trình th ng g p c bi t gi i tích s chuyên nghiên c u ph ng pháp s gi i g n toán th c t đ c mơ hình hố b ng ngơn ng tốn h c có l i gi i g n cho b t k tốn c ng địi h i ph i có d ki n c a tốn sau xây d ng mơ hình tốn Ti p theo cơng vi c tìm thu t tốn h u hi u nh t cu i vi t ch ng trình đ máy tính tính tốn cho ta k t qu g n Khi gi i toán th c t ta đ u ph i làm vi c tr c ti p ho c gián ti p v i s li u ban đ u Chính v y, không tránh kh i sai s , r t nh nh ng nh h ng tr c ti p đ n k t qu tính tốn Vì v y c n s d ng thu t toán h u hi u đ gi m thi u s sai s đ ng th i ti n l i cho vi c l p trình ti t ki m s l ng phép tính, th i gian tính toán V n đ gi i g n ph ng trình đ i s có ý ngh a lý thuy t ng d ng r t l n, c s c a mơn “Gi i tích s ” Vì th em ch n đ tài cho khố lu n c a “Gi i g n ph ng trình đ i s ” Khố lu n đ c chia làm ph n: Ph n 1: M đ u Ph n 2: N i dung Ph n 3: K t lu n Tr n Hồi Anh K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng PH Nă2:ăN IăDUNG CH NGăI:ăKI NăTH CăCHU NăB 1.1.ăS ăG Nă ÚNGăVẨăSAIăS 1.1.1.ăS ăg năđúng Ta nói r ng a m t s g n c a a * n u nh a không sai khác a * nhi u, hi u s a  a *  a sai s th c s c a a , n u a  a giá tr g n thi u, n u a  a giá tr g n th a c a a * Vì r ng a * nói chung khơng bi t nên c ng khơng bi t  , nhiên có th th y t n t i a  tho mãn u ki n : a *  a  a 1.1.1 Khi : a đ a  c g i sai s t đ i c a a  sai s t a ng đ i c a a Rõ ràng a , a nh t t CHÚ Ý : N u xét đo n th ng AB có s đo a  100m đo n th ng CD có s đo b  10m v i a  b  0,01m Khi  a  0,01 0,01 ; b  100 10 V y b  10 a phép đo AB xác c a m t phép đo th ánh qua sai s t ng đ c ph n ng đ i 1.1.2.ăLƠmătrònăs ăvƠăsaiăs ăc aăphépălƠmătrònăs Xét m t s th p phân d ng t ng qt Tr n Hồi Anh K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng a    p 10 p   i 10i    ps 10 ps  1.1.2  Trong  j  ฀ , j, a p  0,0  a j  N u  p  s   a s nguyên N u p  s  k  k  0 a có ph n l g m k ch s N u s   a s th p phân vơ h n Làm trịn s a b s ch s bên ph i c a s a đ đ cs a g n h n g n v i s a Quy t c làm tròn : Xét s a d ng 1.1.2  ta s gi u l i đ n b c th i , ph n b  : a    p 10 p   i1.10i1   i 10i  Trong :  i i        tương đương 10 10  i  2l; l  ฀  i 2 i    tương đương   10i    10i   2l  1; l  ฀ i  i 1 2 Ta kí hi u sai s c a phép làm tròn  a , nh v y a  a  a , rõ ràng a  10i Vì a *  a  a *  a  a  a  a   a , làm trịn sai s t đ i t ng thêm  a Tr n Hoài Anh K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng 1.1.3.ăCh ăs ăcóăngh a,ăch ăs ăch c Xét s a d ng 1.1.2  ngh a đ c vi t d i d ng th p phân, ch s có ngh a m i ch s khác nh ng ch s b k p gi a hai s khác ho c nh ng ch s Xét s a hàng đ c gi l i d ng 1.1.2  a    p 10 p   i 10i    ps 10 ps  Ch s  j 1.1.2 c as a s ch c n u : a  .10 j ; tham s cho tr Tham s  s đ c c ch n đ cho m t ch s v n ch c sau làm trịn v n ch c, rõ ràng a i ch s ch c a i 1 c ng ch s ch c 1.1.4.ăSaiăs ătínhătốnă Gi s ph i tìm đ i l ng y theo công th c y  f  x1, x2 , , xn  G i x*   x1* , x2* , , xn*  ; y*  f  x*  giá tr x   x1, x2 , , xn  ; y  f  x giá tr g n y* , xi  xi*  xi Gi s f  x1, x2 , , xn  hàm s kh vi liên t c :  i xi  xi* y  y  y*  f  x1, x2 , , xn   f  x1* , x2* , , xn*    f x n i 1 V i f xi đ o hàm theo xi tính t i m trung gian Vì f kh vi liên t c , xi bé nên: Tr n Hoài Anh K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng n  i  x1 , x2 , , xn  xi 1.1.3 y   f x i 1 y n  V y y   ln f xi 1.1.4  y i 1 xi a Sai s c a phép toán c ng tr n n i 1 i 1 N u y   xi yxi  1, v y ta có : y   xi Chú ý r ng : N u t ng đ i s n y   xi bé v giá tr t đ i i 1 y l n, phép y tính s xác Ta kh c ph c b ng cách tránh công th c đ a đ n hi u qu c a hai s g n b Sai s c a phép toán nhân, chia n Gi s y x i 1 n x i 1 i Áp d ng 1.1.3 1.1.4  ta có p i  y   x1    xq y  y  y c Sai s c a phép tính l y th a Xét y  x   ฀ , x   ,  y    x Nh v y, N u   đ xác gi m N u   đ xác t ng lên Tr n Hồi Anh K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng N u   1( phép ngh ch đ o ) đ xác khơng đ i N u   ,k  ฀ * ( phép khai c n ) đ xác t ng lên k d Sai s c a phép tính logarit Xét y  ln x , ta có y   x 1.1.5.ăBƠiătốnăng Gi s đ i l căc aăsaiăs ng y đ c tính theo cơng th c : y  f  x1, x2 , , xn  Yêu c u đ t c n tính xi nh th đ y   , v i  cho tr c Theo bi u th c t ng qt c a sai s tính tốn ta ph i có : n y   i 1 f xi   xi B t đ ng th c s tho mãn n u xi   i n fx K t lu n : N u bi n xi có vai trị „đ u nhau‟ ta có th l y xi   i n f x , y   1.2 SAIăS ăTUY Tă I 1.2.1.ăSaiăs ătuy tăđ i Trong tính tốn , ng i ta th ng khơng bi t s A mà ch bi t s g n c a a Lúc ta nói „ a x p x A‟ vi t "a  A" đ l ch h  A a c g i sai s th c s c a a Tr n Hoài Anh K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng Ta có f  c3   0,303939819  t a4  0,8125; b4  0,875 Chia  a , b4  b ng m chia c4  0,8125  0,875  0,84375 Ta có f  c4   0,135573387  t a5  0,84375; b5  0,875 0,84375  0,875  0,859375 Chia  a5 , b5  b ng m chia c5  Ta có f  c5   0,044614732  t a6  0,859375; b6  0,875 Chia  a , b6  b ng m chia c6  0,859375  0,875  0,8671875 Ta có f  c6   0,002612356  t a7  0,859375; b7  0,8671875 Chia  a , b7  b ng m chia c7  0,859375  0,8671875  0,86328125 Ta có f  c7   0,021148454  t a8  0,86328125; b8  0,8671875 Tr n Hồi Anh 37 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng Chia  a8 , b8  b ng m chia 0,86328125  0,8671875  0,865234375 c8  Ta có f  c8   0,009304987  t a9  0,865234375; b9  0,8671875 Chia  a9 , b9  b ng m chia c9  0,865234375  0,8671875  0,866210937 Ta có f  c9   0,003355565  t a10  0,866210937; b10  0,8671875 Chia  a10 , b10  b ng m chia c10  0,8662109375  0,8671875  0,866648435 Ta có f  c10   0,000684241  V y nghi m c a ph BÀI 3: Gi i ph ng trình x*  c10  0,866648435 ng trình x4  x3  16 x   b ng ph ng pháp chia đôi v i n  10 Gi i t f  x  x4  x3  16 x  Ta có : Tr n Hồi Anh 38 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng f    7   suy f   f 1  f 1   V y 0,1 kho ng tách nghi m c a ph  B ng ph ng trình ng pháp chia đơi tìm nghi m c a ph Chia 0,1 b ng m chia c  ng trình 1  0,5 Ta có f  c   0,875  t a1  0; b1  0,5 Chia  a1, b1  b ng m chia c1   0,5  0,25 Ta có f  c1   3,0234375  t a  0,25; b2  0,5 Chia  a , b2  b ng m chia c2  0,25  0,5  0,375 Ta có f  c2   1,065917969  t a3  0,375; b3  0,5 Chia  a3 , b3  b ng m chia c3  0,375  0,5  0,4375 Ta có f  c3   0,094207763  t a  0,4375; b4  0,5 Tr n Hoài Anh 39 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng Chia  a , b4  b ng m chia c4  0,4375  0,5  0,46875 Ta có f  c4   0,390565872  t a5  0,4375; b5  0,46875 0,4375  0,46875  0,453125 Chia  a5 , b5  b ng m chia c5  Ta có f  c5   0,148241162  t a6  0,4375; b6  0,453125 Chia  a , b6  b ng m chia c6  0,4375  0,453125  0,4453125 Ta có f  c6   0,027034528  t a7  0,4375; b7  0,4453125 Chia  a , b7  b ng m chia c7  0,4375  0,4453125  0,44140625 Ta có f  c7   0,033581882  t a8  0,44140625; b8  0,4453125 Chia  a8 , b8  b ng m chia c8  0,44140625  0,4453125  0,443359375 Ta có f  c8   3,272527334.103  Tr n Hoài Anh 40 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng t a9  0,443359375; b9  0,4453125 Chia  a9 , b9  b ng m chia c9  0,443359375  0,4453125  0,4443359375 Ta có f  c9   0,0118812836  t a10  0,443359375; b10  0,4443359375 Chia  a10 , b10  b ng m chia c10  0,443359375  0,4443359375  0,4438476563 Ta có f  c10   4,304449469.103  V y nghi m c a ph BÀI 4: Gi i ph ng trình x*  c10  0,4438476563 ng trình x  lg x   b ng ph ng pháp l p v i n  Gi i t f  x  x  lg x  Ta có f 1  1   suy f 1 f    f    0,301029999 V y kho ng tách nghi m c a ph Tr n Hoài Anh ng trình 1,2 41 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p  B ng ph GVHD: TS Nguy n V n Hùng ng pháp l p gi i ph ng trình t f  x   x  lg x   tương đương x   lg x t   x   lg x Ch n x0  Ta có x1    x0   x2    x0   1,698970004 x3    x2   1,769814289 x4    x3   1,752072303 x5    x4   1,756447976 x6    x5   1,755364709 V y nghi m c a ph BÀI : Gi i ph ng trình x*  x6  1,755364709 ng trình x5  x  10  b ng ph ng pháp l p v i n  Gi i t f  x  x5  x  10 Ta có f 1  10   suy f 1 f    f    20  V y kho ng tách nghi m c a ph Tr n Hồi Anh ng trình 1,2 42 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p  B ng ph GVHD: TS Nguy n V n Hùng ng pháp l p gi i ph ng trình t f  x   x5  x  10  tương đương x5  x  10 tương đương x  x  10 t   x  x  10 Ch n x0  Ta có x1    x0   1,615394266 x2    x0   1,633077485 x3    x2   1,63357442 x4    x3   1,633588376 x5    x4   1,633588768 x6    x5   1,633588779 V y nghi m c a ph BÀI :Gi i ph ng trình x*  x6  1,633588779 ng trình x4  3x2  75 x  1000  b ng ph ng pháp Newton v i n6 Gi i t f  x  x4  3x2  75 x  1000 f   x  x3  x  75 Tr n Hoài Anh 43 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng Ta có f  10   1050  suy f  10  f  11  f  11  3453  ng trình  11, 10 V y kho ng tách nghi m c a ph  Áp d ng ph ng pháp Newton đ tìm nghi m c a ph ng trình Ch n x0  11 x1  x0  f  x0   10,33378352 f   x0  x2  x1  f  x1   10,26175129 f   x1  x3  x2  f  x2   10,26096447 f   x2  x4  x3  f  x3   10,26096438 f   x3  x5  x4  f  x4   10,26096434 f   x4  x6  x5  f  x5   10,26096433 f   x5  V y nghi m c a ph BÀI :Gi i ph ng trình x*  x6  10,26096433 ng trình 3x2  2e x  b ng ph ng pháp Newton v i n  Gi i Tr n Hoài Anh 44 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng Ta có 3x2  2e x  tương đương 3x2  2ex   t f  x  3x2  2e x  f   x  x  2e x Ta có f  1  0,264241117   suy f  1 f    f    4  ng trình  1,0 V y kho ng tách nghi m c a ph  Áp d ng ph ng pháp Newton đ tìm nghi m c a ph ng trình ch n x0  1 x1  x0  f  x0   0,960770401 f   x0  x2  x1  f  x1   0,960151199 f   x1  x3  x2  f  x2   0,960151048 f   x2  x4  x3  f  x3   0,942564027 f   x3  x5  x4  f  x4   0,960276634 f   x4  x6  x5  f  x5   0,960151055 f   x5  V y nghi m c a ph Tr n Hoài Anh ng trình x*  x6  0,960151055 45 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p x3 ng trình   x   b ng ph BÀI :Gi i ph b GVHD: TS Nguy n V n Hùng ng pháp dây cung v i cl p Gi i t f  x   x3  4x  Ta có    suy f   f 1  33  f 1  10  f  0  V y kho ng tách nghi m c a ph  Áp d ng ph ng trình 0,1 ng pháp dây cung v i b c l p ta có x0  a  ba f  a   0,8 f b  f  a  x1  x0  b  x0 f  x0   0,367816092 f  b   f  x0  x2  x1  b  x1 f  x1   0,305490136 f  b   f  x1  x3  x2  b  x2 f  x2   0, 297783768 f  b   f  x2  x4  x3  b  x3 f  x3   0, 296859439 f  b   f  x3  x5  x4  b  x4 f  x4   0, 296749006 f  b   f  x4  x6  x5  b  x5 f  x5   0, 296735819 f  b   f  x5  V y nghi m c a ph Tr n Hồi Anh ng trình x*  x6  0,296735819 46 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p BÀI :Gi i ph b GVHD: TS Nguy n V n Hùng ng trình 4 x3  3x   b ng ph ng pháp dây cung v i cl p Gi i t f  x  4 x3  3x  Ta có f  2   21  suy f  2  f  1  f  1  7  V y kho ng tách nghi m c a ph  Áp d ng ph x1  a  ng trình  2, 1 ng pháp dây cung v i b c l p ta có ba f  a   1,25 f b  f  a  x2  x1  b  x1 f  x1   1,288659794 f  b   f  x1  x3  x2  b  x2 f  x2   1,301853303 f  b   f  x2  x4  x3  b  x3 f  x3   1,305339465 f  b   f  x3  x5  x4  b  x4 f  x4   1,306183161 f  b   f  x4  x6  x5  b  x5 f  x5   1,306382643 f  b   f  x5  V y nghi m c a ph Tr n Hồi Anh ng trình x*  x6  1,306382643 47 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p BÀI 10 :Gi i ph b GVHD: TS Nguy n V n Hùng x3  x   b ng ph ng trình ng pháp dây cung v i cl p Gi i t f  x  x3  x 1 Ta có f    1   suy f   f 1  f 1    ng trình 0,1 V y kho ng tách nghi m c a ph  Áp d ng ph x1  a  ng pháp dây cung v i b c l p ta có ba f  a   0,75 f b   f  a  x2  x1  b  x1 f  x1   0,81764705 f  b   f  x1  x3  x2  b  x2 f  x2   0,817208925 f  b   f  x2  x4  x3  b  x3 f  x3   0,817685902 f  b   f  x3  x5  x4  b  x4 f  x4   0,817727666 f  b   f  x4  x6  x5  b  x5 f  x5   0,81773132 f  b   f  x5  V y nghi m c a ph Tr n Hồi Anh ng trình x*  x6  0,81773132 48 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng CÁC BÀI T P ÁP D NG Bài : B ng ph ng pháp đ th gi i ph ng trình xn  ax  b  Bài : Gi i ph ng trình b ng ph ng pháp đ th x2  x   Bài : Gi i ph ng trình b ng ph ng pháp chia đôi v i n  10 x5  12 x3  17 x  41  Bài : Gi i ph ng trình b ng ph ng pháp chia đơi v i n  10 x3  x   Bài : B ng ph ng pháp Newton gi i ph ng trình v i n  x.e x  Bài : Gi i ph ng trình b ng ph ng pháp Newton v i n  x2  e x  Bài : Gi i ph ng trình b ng ph ng pháp l p v i n  x2  e x  10  Bài : B ng ph ng pháp l p gi i ph ng trình v i n  x  ln x  Bài : Gi i ph ng trình sau b ng ph ng pháp dây cung v i n  x  5x   Bài 10 : Gi i ph ng trình b ng ph ng pháp dây cung v i n  7 x3  x   Tr n Hồi Anh 49 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng TẨIăLI UăTHAMăKH O Ph m K Anh (1996), Gi i tích s , Nhà xu t b n i h c Qu c gia Hà N i Ph m Ph Chiêm, Nguy n B ng (2000), Gi i tích s , Nhà xu t b n i h c Qu c gia Hà N i Nguy n Minh Ch ng, Khu t V n Ninh (2000), Gi i tích s , Nhà xu t b n giáo d c T V n D nh (1991), Ph ng pháp tính, Nhà xu t b n giáo d c ng Thu V (1996), Giáo trình ph ng pháp tính, Nhà xu t b n khoa h c k thu t Hà N i Tr n Hồi Anh 50 K32 CN Tốn Khóa lu n t t nghi p GVHD: TS Nguy n V n Hùng K TăLU N Trong lu n v n em trình bày đ ph c m t s ph ng trình đ i s ”và v n d ng ph ng pháp “Gi i g n ng pháp vào gi i toán c th Em gi i m u m t s ví d tìm nghi m g n c a ph đ i s đ t b n đ c có th v n d ng vào gi i t p t ng trình ng t m t cách d dàng M c dù c g ng h t s c nh ng th i gian có h n b c đ u làm quen v i nghiên c u khoa h c nên khố lu n c a em khơng tránh kh i nh ng thi u sót R t mong đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y cô b n sinh viên đ khoá lu n c a em đ Tr n Hoài Anh c hoàn ch nh h n 51 K32 CN Toán ... IăS TRÌNH 2.1.ăNGHI MăVẨăKHO NGăTÁCHăNGHI M 2.1.1 Nghi măth căc aăph Xét ph ng? ?trình? ?m t n ng trình m t n : f  x   2.1.1 Trong f m t hàm s cho tr Nghi m th c c a ph thay  vào x ng trình. .. a , b  m t kho ng tách nghi m c a ph ng trình  2.1.1 2.1.4.Víăd minhăho Cho ph ng trình f  x  x3  3x   Hãy tìm kho ng tách nghi m c a ph ng trình Gi i Tr n Hồi Anh 13 K32 CN Tốn Khóa... ng trình có m t nghi m th c nh t  , có kho ng tách V y ph nghi m 0,1 y 1/ 1/ x 2.2 PH NGăPHAPă ỌăTHI 2.2.1 Ph ngăphap Xét ph ng trình f  x   2.2.1 f ( x) hàm s liên t c Gi i ph ng trình