Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính (2019)

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm; giải hệ bằng phương pháp khử Gauss; giải và biện luận hệ Cramer,... Mời các bạn cùng tham khảo.

10/11/2019 NỘI DUNG  Hệ phương trình, dạng ma trận, nghiệm Giải hệ phương pháp khử Gauss  Giải biện luận hệ Cramer Hệ phương trình  Ứng dụng HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 10/10/2019 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 10/10/2019 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận Dạng tổng qt a11x a12x a1n x n b1 a21x a 22x a 2n x n b2 am 1x am 2x amn x n bm a11 a12 a1n a21 a22 a2n am am amn aij gọi hệ số bj: hệ số tự A X 10/10/2019 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Dạng ma trận x1 x2 xn A X b1 b2 bm B 10/10/2019 MỘT SỐ KHÁI NIỆM  Nếu số phương trình số ẩn detA≠0  Hệ Crammer B  Nếu hệ số tự triệt tiêu  Hệ Ma trận A gọi ma trận hệ số X: ma trận cột ẩn số  Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có tập nghiệm B: ma trận hệ số tự hay cột tự  Ma trận hệ số bổ sung hay ma trận mở rộng Nghiệm phương trình số: x1, x 2, , x n c1, c2, , cn Sao cho thay vào phương trình hệ thỏa mãn 10/10/2019  a11 a12  a a22 A   A B    21    am1 am 10/10/2019 a1n b1   a2 n b2    amn bm  Augmented matrix 10/11/2019 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM VÍ DỤ Các hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng?  a11 a12  a a22 A   A B    21    am1 am x 2x a) x1 x 2x 2x 2x a1n b1   a2 n b2   r A  r  A   amn bm     a11 a12   a21 a22   0 x 4x x3 x4 4x 11x x 2x x 2x x 4x c) 3x 4x x x 2x 4x a1n b1   a2 n b2   r A  r  A   b  0   10/10/2019 x 2x b) 2x x x 7x VÍ DỤ 10/10/2019 HỆ CRAMER  Phương pháp ma trận nghịch đảo A.X B A 1.B X Phương pháp định thức Định lý Hệ Cramer với ma trận hệ số A có nghiệm nghiệm xác định bởi: xi=Di/D Trong D=detA Di định thức ma trận thu từ A cách thay cột thứ i cột hệ số tự xi 10/10/2019 HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC A a11 a12 a1n a21 a22 a2n ;B an an ann D1 10/10/2019 det A1 b1 b2 bn A1 det Ai det A Di D 10/10/2019 10 HỆ CRAMER – SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC b1 a12 a1n b2 a22 a2n bn an ann Vì detA khác nên tồn ma trận nghịch đảo A -1 Do đó: A.X B X A 1.B Ta có: b1 a12 a1n b2 a22 a2n bn an ann 11 10/10/2019 12 10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Cách Ta có: Giải hệ phương trình sau: Ta tính được: Giải Cách Ta có: Vậy nghiệm hệ là: Vậy hệ có nghiệm X  A1B  Nghiệm hệ (1,1,-2) 10/10/2019 13    18  1  1 1   18   1  12  18 12   18     18     36   2   12 6       10/10/2019 VÍ DỤ 14 SỐ NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT Tìm điều kiện để hệ sau hệ Cramer Tìm nghiệm hệ trường hợp Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình n ẩn i) Hệ pt có nghiệm ii) Hệ pt có vô số nghiệm r A r A iii) Hệ pt vô nghiệm r A r A iv) Hệ pt có nghiệm r A r A r A r A n n Trong trường hợp ii) hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào nr(A) tham số 10/10/2019 15 10/10/2019 PP KHỬ GAUSS - JORDAN 16 PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN - Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng để đưa ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang  - Ở dạng ta dễ dàng nhận biết hệ có nghiệm hay khơng việc giải tìm nghiệm đơn giản A Các phép biến đổi sơ cấp hàng? AB bdsc hang Ar Ar B - - 10/10/2019 17 10/10/2019 18 10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ  Giải biện luận hệ phương trình: Giải Ma trận hệ số bổ sung: 10/10/2019 19 10/10/2019 VÍ DỤ 20 BIỆN LUẬN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CRAMER Biện luận Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A ma trận vng Đặt: D i ) Nếu D det A ; D1 det A1 ; ; Dn det An hệ có nghiệm nhất: Di xi D ii ) Nếu D tồn Di hệ vô nghiệm ii ) Nếu D D1 Dn hệ vô nghiệm vô số nghiệm Ta giải tiếp phương pháp Gauss 10/10/2019 21 10/10/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Ta có: D det A D2 detA1 22 Giải biện luận hệ phương trình sau m 1 m 1 m 1 1 1 m 1 m D1 detA1 1 D3 det A3 m 1 m 1 m m 1 1 mx x a ) x mx x1 x2 x3 x3 mx m m2 ax y z b) x by z x 2by z Sinh viên tự làm tiếp 10/10/2019 23 10/10/2019 24 10/11/2019 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT TÍNH CHẤT Hệ có dạng: Hệ phương trình ln ln có nghiệm a11 x1  a12 x2   a1n xn  a x  a x   a x   21 22 2n n   am1 x1  am x2   amn xn  (0,0,…,0) nghiệm hệ, gọi nghiệm tầm thường Mọi tổ hợp tuyến tính nghiệm hệ nghiệm Do đó, hệ có nghiệm tầm thường có vô số nghiệm Hoặc dạng ma trận: A X  Ma trận mở rộng: A   A |   r A  r  A  Để thuận tiện ta xét biến đổi ma trận A   10/10/2019 Q Khi hệ có nghiệm tầm thường? Vơ số nghiệm? A 25 10/10/2019 26 VÍ DỤ VÍ DỤ Giải hệ phương trình Hệ cho tương đương với hệ: Giải Xét ma trận hệ số phương trình Tập nghiệm hệ là: Nghiệm sở (basic solutions): 8, 6,1,0  ;  7,5,0,1 10/10/2019 27 BÀI 28 BÀI Giải phương trình sau Cho hai ma trận:  3  A   4   1    10/10/2019  1 B   1  2 1    x 2x 2x a ) 2x 3x 6x x x 7x m x1 x x x 3x x x 2x b) 5x x x 7x x x 3x 10 Tìm ma trận nghịch đảo A Tìm X biết: X.A=3B 10/10/2019 29 10/10/2019 30 10/11/2019 BÀI BÀI Giải hệ phương trình sau 2x a ) 3x 4x y 3z 5y z 7y z 2x 4x c) 8x 3x 2x 3x 5x 3x Tìm m để ma trận sau khả nghịch x y z b) 2x 3y 4z 21 7x y 3z m  1  A  1 m   m  m  1   x3 x4 x 2x 3x 4x 12 11x 5x 10/10/2019 31 10/10/2019 BÀI BÀI Cho hệ phương trình tuyến tính Giải biện luận theo m x x x y mz my z a (m 1)y (m 1)z  x1  x2   a)  m x1  x2    x1  x2  b A) Tìm a, b để hệ có nghiệm mx3  2m   x3   m 3x3  m2  3m  y zm mx   b) 2 x  (m  1) y  (m  1) z  m   x y mz   B) Tìm a, b để hệ có nghiệm với m 10/10/2019 33 ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ 10/10/2019 34 GIẢI Cơng ty Honda có hai đại lý bán xe X Y Hai đại lý chuyên bán xe Dream II xe môtô Doanh số bán hàng tháng & đại lý ghi lại sau: Tháng Tháng 32 Dream II Môtô Dream II Môtô Đại lý X $ 18,000 $ 36,000 Đại lý X $ 72,000 $ 144,000 Đại lý Y $ 36,000 $0 Đại lý Y $ 90,000 $ 108,000 a/ Tính tốn doanh số tháng cho đại lý loại xe b/ Tính gia tăng doanh số từ tháng đến tháng Ta có: 90000 a) A  B   126000 180000  X 108000  Y 54000 b) B  A   54000 3600 c)5%.B    4500 108000  X 108000  Y 7200  X 5400  Y c/ Nếu tiền huê hồng Công ty Honda trả cho đại lý 5% doanh thu Tính tiền huê hồng đại lý cho loại xe nhận tháng 10/10/2019 35 10/10/2019 36 10/11/2019 VÍ DỤ ỨNG DỤNG MA TRẬN TRONG KINH TẾ  a/ Kích thước M, N M*N Số công lao động cho sản phẩm cho sau: cut 0.6 M  1.0 1.5 assemble 0.6 0.9 1.2  b/ Tính M*N giải thích kết package  Giải 0.2 product A 0.3 product B 0.4  product C 9 M N  14.1  B) Ta có: 19.8  A) 6   0.2     9$ 3    a11: chi phí lao động cho sản phẩm A nhà máy I Tiền lương tính theo giờ: a11   0.6 Factory Factory I II 6 N  8 3  cut 10  assemble  package 10/10/2019 0.6  Bảng kết M*N cho thấy chi phí lao động cho sản phẩm nhà máy 37 BÀI 10/10/2019 38 BÀI A) Giải phương trình: A) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm 3x  x x 2 4 0 3 2 18  x1  x2  x3    x1  ax2  3x3  2 x  3x  ax  3  B) Tìm ma trận nghịch đảo: 1  A  2 1  10/10/2019 11  product A 17.2  product B 24.1 product C B) Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất: 3  3   m 1    B   1 m   10 6    39 10/10/2019 40 ... NGHIỆM CỦA HỆ TỔNG QUÁT Tìm điều kiện để hệ sau hệ Cramer Tìm nghiệm hệ trường hợp Cho hệ phương trình A.X=B với m phương trình n ẩn i) Hệ pt có nghiệm ii) Hệ pt có vô số nghiệm r A r A iii) Hệ pt... 10/10/2019 Q Khi hệ có nghiệm tầm thường? Vơ số nghiệm? A 25 10/10/2019 26 VÍ DỤ VÍ DỤ Giải hệ phương trình Hệ cho tương đương với hệ: Giải Xét ma trận hệ số phương trình Tập nghiệm hệ là: Nghiệm... Cho hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số A ma trận vng Đặt: D i ) Nếu D det A ; D1 det A1 ; ; Dn det An hệ có nghiệm nhất: Di xi D ii ) Nếu D tồn Di hệ vô nghiệm ii ) Nếu D D1 Dn hệ vô