Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - GV. Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 do GV. Ngô Quang Minh biên soạn trình bày về hệ phương trình tuyến tính với những nội dung chính bao gồm định nghĩa; định lý Crocneker – Capelli; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i  1, ., n ) m phương trình:   a11x  a12x  .  a1n x n  b1    a 21x  a 22x  .  a 2n x n  b2 (I )      a x  am 2x  .  amn x n  bm    m1 đó, hệ số aij  ¡ (i  1, ., n; j  1, ., m ) , gọi hệ phương trình tuyến tính. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình:   x  x  2x  4x     2x  x  4x  3   2x  7x  5.    Hệ phương trình viết lại dạng ma trận:   1 1 4x         x    2    3  x    0 7 0    x    (1; 1; 1; 1) nghiệm hệ. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX  B , với A ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có: AX  B  X  A1B. VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp ma trận:   2x  y  z      y  3z    2x  y  z  1.    Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính a   11 . a1n    Đặt: A   . . .   aij  , mn   am . amn   B  b1 . bm  T  X  x . x n  T ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự ma trận cột ẩn. Khi đó, hệ (I ) trở thành AX  B .  • Bộ số   1 . n  T    1; .; n gọi nghiệm (I ) A  B .  Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX  B . Gọi ma trận a   11 a12 . a1n b1    mở rộng A  A B   . . . . . .   am am . amn bm  Định lý Hệ AX  B có nghiệm r (A)  r (A).   Trong trường hợp hệ AX  B có nghiệm thì: § Nếu r (A)  n : kết luận hệ có nghiệm nhất; § Nếu r (A)  n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n  r tham số. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 1 1            Giải. A  0   A   3.       2 1  1 Hệ phương trình  X  A1B x  1 1   x  3                     y    3    y    .            1 z  1 z  1 x  3,    Vậy hệ cho có nghiệm  y  6,   z  1.    10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ AX  B , với A ma trận vuông cấp n . • Bước 1. Tính định thức: a11 . a1 j   det A  . . . an . anj a11 . b1 . a1n an . bn . ann  j  . . . . . a1n . . , . ann . , j  1, n Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bước 2. Kết luận: § Nếu   hệ có nghiệm nhất:  x j  j , j  1, n .  § Nếu    j  0, j  1, n hệ có vô số nghiệm (ta thay tham số vào hệ tính trực tiếp). § Nếu    j  0, j  1, n hệ vô nghiệm. (thay cột thứ j  cột tự do). Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 5. Giải hệ phương trình sau định thức:   2x  y  z     y  3z     2x  y  z  1.    Giải. Ta có: 1   4, Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2  1 1 1 Vậy x  1  1 1   24 , 3   3, y   4 . 1 2   6, z  3   1.  12 , Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  (m  1)x  y  m  VD 6. Hệ phương trình    x  (m  1)y    có nghiệm khi: A. m  2 ; B. m  2  m  ; C. m  ; D. m  2 . m 1 Giải. Ta có:    m(m  2) m 1 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • m  2 : Hệ  x  y   hệ có vô số nghiệm.  x  y  • m  : Hệ    hệ vô nghiệm.   x y    Vậy với m  hệ có nghiệm  C .     m  2  m  . 10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX  B .   • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B dạng bậc thang PBĐSC dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối lên trên. Chú ý. Trong trình thực bước 1, nếu: § có dòng tỉ lệ xóa dòng; § có dòng xóa dòng đó;   § có dòng dạng .0 b , b  hệ vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:   5x  2x  5x  3x     4x  x  3x  2x    2x  7x  x =  1.    5   3      2  Giải. Ta có: A B  4   2 1 1   Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính   x  4y  5z  1    VD 9. Tìm nghiệm hệ 2x  7y  11z  .   3x  11y  6z     A. ; B. Hệ có vô số nghiệm; Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 7. Giải hệ sau phương pháp Gauss:  2x  y  z    y  3z     2x  y  z  1.  Giải. Ta có:   2 1  2 1        d3 d d1   A B  0 3     0 3  .     0 2 2 1 1     2x  y  z  x  3       Hệ   y  3z   y  .     z  1 2z  2         Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 5  3       0 13 5 7    0 39 15 11 d2 5d2 4d1 d 5d3 2d1 5   3          0 13 5 7.   0 10  0 d d 3d2 Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1 1 1 1      Giải. Ta có: 2 11   0 1 21 .       3 11 6  0 1 21    x  15  79    x  4y  5z  1   Hệ    y   4  21  D .   y  21z    z ¡    10/13/2012 Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  3x  y  2z  VD 10. Tìm nghiệm hệ  .   2x  y  2z       3       Giải. Ta có:   . 2 2  0 10 15  x  3x  y  2z     Hệ    y   2  B . y  2z     z    ¡  Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 11. Giá trị tham số m để hệ phương trình   x  2y  (7  m )z    tuyến tính  2x  4y  5z    3x  6y  mz     có vô số nghiệm là: A. m  1; B. m  1; C. m  7 ; D. m  . Giải. Ta có: 1 2  m  1  m       c3 c4   2 5  A B  2 5 1         m 3 3 3 m    Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1 2  m  1 2  m           0 3 2m  19  0 3 2m  19.       0 3 4m  21 0 0 2m   Hệ có vô số nghiệm  r (A)  r (A)   m  1. …………………………………………………………………