Trung đoàn TRẦN KHÁT CHÂN [ẨN PHỤ CĂN THỨC THPT PHẦN 9] - ĐẶT ẨN PHỤ CĂN BẬC BA ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG  xyz CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG HAI HAY NHIỀU ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (PHẦN THỨ 2)  ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ ĐỐI XỨNG – GẦN ĐỐI XỨNG (TIẾP THEO)  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA XUÂN 2015 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay không, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Những chàng trai sống chết trận Máu đổ xuống ông trời tuôn nước mắt, Ơn nhớ thân người giữ đất, Người trở ăn, sống, sao…” [Bình độ 400 – Nguyễn Mạnh Hùng; 1981] CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống không mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngoài phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (còn gọi phương trình vô tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu sắc Chương trình Toán Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác chạy dọc chiều dài chương trình Toán THPT Sự đa dạng hình thức lớp toán thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vô tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phép sử dụng ẩn phụ phương pháp nhằm mục đích đó, toán trở nên gọn gàng, sáng sủa giúp định hình hướng cách ổn định Đôi phương pháp tối ưu cho nhiều toán cồng kềnh Tiếp theo lý thuyết sử dụng ẩn phụ thức (các phần đến 8), phần mang tính kế thừa phát huy với phương châm chủ đạo dùng hai ẩn phụ đưa phương trình cho trước hệ phương trình, bao gồm hệ bản, hệ đối xứng gần đối xứng (tiếp theo), xoay quanh toán với bậc ba Đây phương án hữu tỷ hóa phương trình chứa căn, giảm thiểu đại phận cồng kềnh sai sót tính toán Kỹ đồng hành việc giải hệ phương trình hữu tỷ đồng bậc – đẳng cấp, hệ phương trình chứa quy đẳng cấp, ngày nâng cao kỹ giải phương trình – hệ phương trình cho bạn học sinh Lý tài liệu có sử dụng kiến thức hệ phương trình nên đòi hỏi tảng định bạn đọc, thiết nghĩ phù hợp với bạn học sinh lớp THCS ôn thi vào lớp 10 THPT đại trà, lớp 10 hệ THPT Chuyên, bạn chuẩn bị bước vào kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp dự thi kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán toàn quốc, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn trẻ yêu Toán khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Nắm vững phép biến đổi đại số (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức) Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Nắm vững kiến thức đa thức đồng bậc, thao tác với phương trình ẩn phụ Bước đầu thực hành giải biện luận toán phương trình bậc hai, bậc cao với tham số, giải hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2; hệ phương trình đồng bậc; hệ phương trình đa ẩn Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi toán phổ thông CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ II MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài toán Giải phương trình x3   x   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   y  y  x  Phương trình cho trở thành x3   y Ta có hệ phương trình   y  x  x  y  y  x  x  y   x  y   x  xy  y  1      x  y   x  xy  y   x  x  y  x  x     x    x  x  3     x   x  2x      x  xy  y     x  y   y  1 (Vô nghiệm)   Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3  x  x   x  (1) Xét hàm số f  t   t  t ; t   ta có f   t   3t   t   2 Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  Do 1  f  x   f   x   x  x   x  x     x    x  x  3   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3  x  x   x  Đặt x  t x   t thu phương trình x3  x  t  t   x  t   x  xt  t  1    2  x  xt  t   x   x 2  x  t  x  x     x    x  x  3    x  x       x  xt  t     x  t   t  1   Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 Nhận xét  Phương trình ban đầu có chứa thức bậc ba, lời giải sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại bậc ba Dạng tổng quát toán  mx  n   b  a a  mx  n   b biểu thức  thuộc dạng đơn giản, cụ thể a  1; b  6; mx  n  x Lời giải có ý tưởng, nhiên cách trình bày kiến thức sử dụng khác Với phép đặt ẩn phụ x   t lời giải sử dụng biến đổi đẳng thức túy để phân tích đa thức thành nhân tử, hệ cho ta hai trường hợp đẹp, có trường hợp vô nghiệm Lời giải độc đáo, ngắn gọn đầy bất ngờ, có sử dụng kiến thức đạo hàm tính đơn điệu hàm số thuộc phạm vi chương trình giải tích lớp 11 – 12 THPT, sử dụng kiến thức hàm số lớp THCS Về vấn đề này, tác giả xin trình bày Lý thuyết sử dụng đánh giá – bất đẳng thức – hàm số CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ Bài toán Giải phương trình x3   x   x   Lời giải Điều kiện x   Đặt x   y  x   y  y   x Ta thu hệ phương trình  x3   y  x3  y  y  x   x  y   x  xy  y      y   x Xét hai trường hợp   1  1   x  y  x3  x     x  1  x  x  1   x  1; ;  2      x  xy  y     x  y   y  2 (Vô nghiệm)   Kết luận phương trình cho có ba nghiệm kể Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3  x  x   x  (1) Xét hàm số f  t   t  2t , ta có f   t   3t   0, t    f  t  liên tục, đồng biến 2 Khi (1) trở thành f  x   f   2x 1  x  2x 1  1  1    x3  x     x  1  x  x  1   x  1; ;  2   Kết luận phương trình ban đầu có ba nghiệm kể Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3  x  x   x  (1) Xét hàm số f  t   t  2t ; t   Với t1  , t2  ; t1  t2 ta có 2 f  t1   f  t2  t13  t23   t1  t2   t1  t2   t1  t1t2  t2         t1  t2   t2   0, t1 , t2   t1  t2 t1  t2 t1  t2    2x 1 2x 1  f  x   f  2x 1 Do hàm số f  t  liên tục đồng biến  Khi (1) trở thành f  x   f  2x 1  f  x  f  Nếu x  x   f  x   f Nếu x  3  x 1 x  x  3  1  1   Suy x3  x     x  1  x  x  1   x  1; ;  2   Nhận xét Lời giải sử dụng kiến thức hàm số bậc trung học sở, kèm theo đánh giá Lưu ý lớp THCS em học sinh chưa học đạo hàm nên thao tác chứng minh tính đơn điệu hàm số bắt buộc phải làm theo định nghĩa, đảm bảo nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa, nâng cao lực Đôi vô tình làm tư đột phá, thân thương cách lạm dụng công cụ mạnh, thứ mang tính “mới lạ” chưa xứng với tầm với thực tế Tuổi nhỏ làm việc nhỏ, tùy theo sức mình! CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ Bài toán Giải phương trình x   3  x  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3   3  3x (*) Đặt  3x  y   3x  y Phương trình (*) trở thành x3   y Ta thu hệ phương trình x  y 2  3x  y  3x  y  y  x3   x  y   x  xy  y  3      x  xy  y   2  y  x  x  y  x3  3x     x  1  x     x  1; 2   x  xy  y     x  y   y  3 (Vô nghiệm)   Thử lại giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3   3  x  x3  3x   3x  3  3x Xét hàm số f  t   t  3t ; t   ta có f   t   3t   t   (*) Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  Do    f  x   f   2  3x  x   3x  x3  3x     x  1  x     x  1; 2 Thử lại giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Bài toán Giải phương trình x3  x   x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3   x    7 x   x  5 Đặt x   t thu phương trình x3  t  7 x  t (*) Đặt x  t  y  x  t  y Phương trình (*) trở thành x3  t  y Ta thu hệ phương trình  x3  t  y x  y  x3  y  y  x   x  y   x  xy  y        y  t  x  x  xy  y    1  21 1  21   x  y  x3  x   x  x3  x     x  1  x  x  5   x  1; ;  2     x  xy  y     x  y   y  7 (Vô nghiệm)   Thử lại giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu  1  21 1  21  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1; ;  2   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3  x  x   x  Xét hàm số f  t   t  7t ; t   Ta có f   t   3t   0t    (*) CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  Do  1  21 1  21  x   x  x   x3  x     x  1  x  x     x  1; ;  2    1  21 1  21  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  1; ;  2   (*)  f  x   f    x   Bài toán Giải phương trình x  x   x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  x  x   x    x   2.2 x    x   x  (*) Xét hàm số f  t   t  2t ; t   Với t1  , t2  ; t1  t2 ta có 2 f  t1   f  t2  t13  t23   t1  t2   t1  t2   t1  t1t2  t2         t1  t2   t22   0t1 , t2   t1  t2 t1  t2 t1  t2   Do hàm số f  t  liên tục đồng biến     f  x   f   x   x  x   8x3  x         x  1  x  x  1   x  1; ;  4       Thử lại giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận tập nghiệm S  1; ;  4   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x    x  1  2.2 x  x  Đặt x  t ; x   y ta thu hệ phương trình  t  x   y t  y  t  y  y  2t   t  y   t  yt  t        y  2t  x  t  yt  t       t  y  x  x   x3  x     x  1  x  x  1   x  1; ;  4      t  yt  y     t  y   y  2 (Vô nghiệm)   2     Thử lại giá trị thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận tập nghiệm S  1; ;  4   Bài toán Giải phương trình x3  x   3  x Lời giải Điều kiện x    x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ Phương trình cho tương đương với x3  x   3 3x   x   Đặt x  u;  x  v ta thu hệ phương trình u  x   3v  u  v  3v  3u   u  v   u  uv  v  3   v  x   3u Xét trường hợp xảy o u  v  x   x  x3  x     x  1  x  x     x    o u  uv  v     u  v   v  2 (Vô nghiệm)   Kết luận phương trình cho có nghiệm x  2 Bài toán Giải phương trình x  11x    3x  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  44 x  32  20  3x  x3  44 x  32  10 32  24 x   x   44 x  32  10 10.2 x  44 x  32 Đặt x  u; 32  24 x  v thu hệ phương trình u  44 x  32  10v  u  v3  10v  10u   u  v   u  uv  v  10    v  44 x  32  10u Xét hai trường hợp  u  v  x  32  24 x  x   3x  x3  3x   x 1   x  1  x  x       x  x  x      u  uv  v  10    u  v   v  10 (Vô nghiệm)   Kết luận phương trình đề có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  x    3x    3x 2 Xét hàm số f  t   2t  5t  f   t   6t   0, t   nên hàm số lien tục, đồng biến Khi thu f  x  f    3x  x   3x  x3  3x   x    x  1  x  x       x 1 x  x    Kết luận phương trình đề có nghiệm x  Nhận xét Đối với toán số 7, bạn dễ dàng nhận thấy sử dụng phương pháp đánh giá – hàm số, cách nhìn nhận bước thao tác trở nên dễ dàng Kỹ thuật bản, vấn đề liên quan tác giả xin trình bày sau Nếu sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ quy hệ phương trình, quy trình thực khó khăn chút CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ Các bạn ý dạng thức  mx  n   g  x   f  x  f  x  mx  n   g  x  Đây dạng biểu thức dạng bậc nhất, bậc không cao Rõ ràng biểu thức phía thường có dạng lũy thừa bậc ba “đẹp đẽ”sẽ thuận lợi cho chúng ta, toán lại 2x3 Có nhiều cách để biến đổi phá bỏ xấu xí này, cách nhân chia số đưa x3 ,8 x , 64 x3 ,81x3 , Tất nhiên chọn 8x3 đảm bảo cho gần “thánh giáo”, thực tế thành công mỉm cười Tùy theo hướng tư duy, để giải toán có nhiều phương án, có phương án hay, độc đáo, có phương án rủi ro thất bại cao Trong rủi có may, nhận sai lầm nghiêm trọng bứt phá ý tưởng trình giải, phản biện toán Thiết nghĩ, làm toán, dù lĩnh vực toán sơ cấp nhẹ nhàng, nhằm bước đầu tăng cường động não, tư duy, hoàn toàn không giống máy, lúc xác gọn gàng Sự đời thay đổi không ngừng, tính lộn xộn vô tổ chức khởi phát từ đó, mục tiêu xếp lại nó, vô khó, mà trước tiên giữ lấy nguyên bản, cơ, nhiệm vụ đấu tranh cho trường tồn giá trị ban đầu Bài toán Giải phương trình x  x   3 3x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho biến đổi x  3x   3x    3 x  (1) Xét hàm số f  t   4t  3t , t    f   t   12t   0, t   , suy hàm lien tục, đồng biến Phương trình (1) trở thành f  x  f   x   x  3 x   x3  3x     x  1  x  x      x  1  x     x  2; x  Kết luận phương trình cho có hai nghiệm kể Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho biến đổi x  18 x  16  3x    x   18 x  16  3 24 x  16   x   18 x  16  3 3.2 x  18 x  16 Đặt x  u; 24 x  16  v ta thu hệ phương trình u  18 x  16  3v  u  v  3v  3u   u  v   u  uv  v  3   v  18 x  16  3u Xét trường hợp  u  v  x  24 x  16  x  3x   x  3x     x  1  x  x      x  1  x     x  2; x     u  uv  v     u  v   v  3 (Loại)   Kết luận phương trình đề có hai nghiệm 2 Bài toán Giải phương trình x3  17 x  12  3 x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 10  x   612 x  432  36 3x    x   612 x  432  3.216 x  432   x   612 x  432  6.6 x  612 x  432 Đặt x  u; 3.216 x  432  v ta thu hệ phương trình u  612 x  432  6v  u  v3   v  u    u  v   u  uv  v     v  612 x  432  6u Xét hai khả xảy  u  v  x  3.216 x  432  x  3x   x  x     x  1  x  x      x  1  x     x  2; x     u  uv  v     u  v   v  6 (Vô nghiệm)   Kết luận phương trình đề có hai nghiệm Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x3  x   3x    3x  2 (1) Xét hàm số f  t   6t  t , t    f   t   18t   0, t   Suy hàm số lien tục, đồng biến Phương trình (1) trở thành f  x   f 3 x   x  3 x   x3  3x       x  1  x  x      x  1  x     x  2; x  Vậy toán ban đầu có hai nghiệm kể Nhận xét Hai toán lại lặp lại tương tự, để dễ dàng đưa hệ phương trình, bạn phải nhân thêm hệ số, ví 3 dụ toán nhân hai vế với số 36, cốt yếu tạo ta  6x  Cụ thể thu  x   612 x  432  36 3x  Sau bước đó, tác giả xin trình bày trình tách nghép sau  Để đưa hệ phương trình đối xứng loại 2, phía cần xuất biểu thức 612 x  432 , ý số tự 432 , suy thừa số đưa vào phải 63  2   432 Tất yếu lại thừa số  Lúc có  x   612 x  432  3.216 x  432 Tiếp tục tách ghép làm xuất biểu thức 612 x  432 , suy 6x  612 x  432  36 x  612 x  432 , hiển nhiên thành công với thừa số bên  x   612 x  432  6.6 x  612 x  432  Đặt x  u; 3.216 x  432  v ta có hệ phương trình với bước giải thông thường u  612 x  432  6v  u  v3   v  u    u  v   u  uv  v     v  612 x  432  6u Ngoài để phức tạp thêm chút, bạn tham khảo thêm toán sau Bài toán 10 Giải phương trình x  x  10  3 x  10  x   Lời giải CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 107 Đặt x   u; x5  x  x  3x  x   v ta thu hệ phương trình u   x3  x    x  1 v u  v   u  v3   x  1  v  u     4 u  uv  v  x   v   x  3x    x  1 u    u  uv  v  x     u  v   v  x  1 (Vô nghiệm)   x  x    u  v  u  v3   4  x  3x  3x   x  x  x  3x  x   x  x  x   x   x  x      x    3 x  x    x  x  x     x  1  x  x    Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x  2 11x  x3  x  x  3 Bài toán 145 Giải phương trình  x  x  x3  x  3x  5x  x  Lời giải Điều kiện x  x   Phương trình cho tương đương với  x   11x  x  x  x    x  x   x5  x  x  x  3x   x  3x  x    11x  x3  x  x     x  x   x5  x  x  x   11x  x  x  x    x  1   11x  x  x  x     x  x    x  x    x  1  11x  x  x  x  Đặt x   u; x5  x  x3  x  3x   v ta thu hệ phương trình u   11x  x3  x  x     x  x   v   4 v   11x  x  x  x     x  x   u u  v  u  v3   5x  x    v  u    2 u  uv  v  x  x   Xét trường hợp  x4  x2   x2  x    0  u  uv  v  x  x     u  v   v  x   4  2 2 2 x  1   x  1      u  v   v  4x    (Vô nghiệm)  4  3  u  v  u  v  x  3x  x   x  x  x  x  3x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 108  5x5  x  x3  x2  x   1  x  x  1  11x3  x  1  12 x  x  1  11x  x  1   x  1    x  1  x  11x3  12 x  11x     x  1    5 x  11x  12 x  11x   Nhận xét x  không nghiệm phương trình (1) Xét trường hợp x  11 1    x  11x  12      x    11 x    12  x x x  x   1 Đặt x   t ta có x   t  x   t  Thu x x x x  5t  11t     t   5t  1    x  1  x  x      5 x  x   Phương trình (1) vô nghiệm   Kết luận tập hợp nghiệm S  1 1 Nhận xét Đến toán số 145 tài liệu, số thứ tự thí dụ không nhỏ, tất nhiên hông nằm dạng thức sử dụng ẩn phụ chứa bậc ba đưa hệ phương trình đối xứng loại Sau tác giả độc giả điểm lại số cấp độ trải nghiệm 1  mx  n    ax  b   f  x  f  x  mx  n    ax  b   mx  n    ax  bx  c   f  x  f  x  mx  n    ax  bx  c   mx  n    ax  bx  cx  d   f  x  f  x  mx  n    ax3  bx  cx  d   mx  n    ax  bx3  cx  dx  e   f  x  f  x  mx  n    ax  bx3  cx  dx  e   mx  n    ax  bx  cx3  dx  ex  f   f  x  f  x  mx  n    ax5  bx  cx3  dx  ex  f  3 2 3 2  mx  nx  p    ax  b   f  x  f  x   mx  nx  p    ax  b   mx  nx  p    ax  bx  c   f  x  f  x   mx  nx  p    ax  bx  c   mx  nx  p    ax  bx  cx  d   f  x  f  x   mx  nx  p    ax  bx  mx  nx  p    ax  bx  cx  dx  e   f  x  f  x   mx  nx  p    ax 10  mx  nx  p    ax  bx  cx  dx  ex  f   f  x  f  x   mx  nx  p    ax  bx  cx  dx  ex  f  11  mx  nx  p    ax  bx  cx  dx  ex  fx  g   f  x  f  x   mx  nx  p    ax  bx  cx  dx  ex  fx  g  3 2 3 3  cx  d   bx  cx  dx  e  3 4 Trong đa thức f  x  tăng dần độ phức tạp theo thứ tự f  x   const  f  x   ax  b  f  x   ax  bx  c  f  x   ax  bx  c u  v Lưu ý sau đặt hai ẩn phụ u với v, ta thường quy tuyển phương trình  2 u  uv  v  f  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 109 Giả định u ẩn phụ gọn gàng (đa thức) v ẩn phụ phức tạp (căn thức) Trường hợp u  v bước đầu lồng ghép phương trình đại số bậc cao điển hình, cao phương trình đối xứng bậc 6, đòi hỏi bạn cần nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ thành thạo xử lý trọn vẹn toán đưa   1  u  v   v  f  x     2  Hơn u  uv  v  f  x        u  v   u  f  x       Thông qua quan sát, số bạn độc giả linh hoạt sử dụng hai phương án (1) (2) Để ý kỹ lưỡng thấy phương án (1) đơn giản phương án 2, bạn đừng có dại dột tung tóe v theo thức, không giải vấn đề gì, ta thường gặp may mắn  f  x   const    f  x   ax  bx  c  0, x     f  x   ax  bx  c  0, x   Việc đánh giá ước lượng biểu thức trình bày chi tiết thông qua thí dụ, trường hợp cuối khó khăn Phương án (2) xảy với nhiều toán, đặc thù phải “tung tóe, kết hợp tổng thể”, chí tinh tế hơn, thường gặp tình không xác định rõ ràng dấu f  x  , phần thức bậc ba không cần điều kiện xác định, không dùng đánh giá bản, bất đẳng thức, công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số, nói chung “hỏa lực” không thiếu Cụ thể bạn cần lập luận u  f  x   cách quy đẳng thức dùng công cụ hàm số (mặc dù tập số thực)  f  x   const  Các trường hợp thường gặp tương tự phương án (1),  f  x   ax  bx  c   f  x   ax  bx  c  Xây dựng điều cách chọn f  x  cho phương trình bậc hai ẩn x: u  f  x   vô nghiệm Hoặc bậc u  f  x   0, x   Nếu không lập luận u  f  x   0, x   có nghiệm thao tác giải toán phức tạp, không muốn nói vào ngõ cụt Nếu f  x  đa thức bậc ba kết hợp với u dạng nhị thức bậc u  f  x   có dạng thức bậc ba, tất yếu không tồn kiện u  f  x   0, x   Liệu f  x  có dạng đa thức bậc ba hay không ? Câu trả lời có, muốn có u  f  x   0, x   phải có u  mx  nx  p , nhằm tạo đa thức bậc bốn, quy hẳng đẳng thức thuận lợi Sau tác giả xin kết thúc tài liệu lớp toán với f  x  có dạng đa thức bậc ba, trước chuyển sang Lý thuyết sử dụng ẩn phụ phần 10, nâng cao phát triển mở rộng phần – Bài toán 146 Giải phương trình CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 110 x  3x5  3x  x3  x  x    x  1 x  x  x  x  x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  3x5  x  x   x3  x  x  1   x3  1 x5  x3  x  x   x  x  x  1   x  x    x3  x  x  1   x3  1  x3  1 x  x   x  x  x  Đặt x  x  u; x  x  x  x  x   v ta thu hệ phương trình u   x3  x  x  1   x3  1 v u  v   u  v   x3  1  v  u     3 3 u  uv  v  x   v   x  x  x  1   x  1 u   1  1  u  uv  v  x     u  v   v  x3     u  v    x  x3  x   x3   2  2  2 1  35 1    1     u  v   x  x  x  1     u  v   x  x    x  1 (Vô nghiệm)  48 2    2   u  v  u  v  x  3x  3x  x3  x5  x  x3  x  x   x  x5  x  x3  x  x   Xét x  không thỏa mãn phương trình Xét x  ; biến đổi 4 1    1  x3  x  x        x     x     x     x x x x   x   x  1 1 1 Đặt x   t  t  x   t  x3   x  x   x x x x x 1 Suy x   t  2; x3   t  3t Ta có phương trình x x t  3t   t    4t    t  4t  t     t  3 t  1 t          x  3x  1 x  x  1  x  1   x   ; ;1   Kết luận phương trình cho có ba nghiệm kể Bài toán 147 Giải phương trình x  x  x  x   1  x  x5  x  x  x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  3x  3x  x   x5  3x  x  x  1  1  x3  x  x  x  x  3x5  x  x  x    x  x    3x5  3x  x  x  1  1  x3  1  x  x  x   3x  3x  x  x  Đặt x  x  u; x  x  x  x   v ta thu hệ phương trình u   3x  3x  x  x  1  1  x  v u  v   u  v3  1  x3   v  u     3 u  uv  v   x  v   3x  3x  x  x  1  1  x  u o 1  1  u  uv  v  x3     u  v   u  x3     u  v    x  x3  x   x3   2  2  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 111 2  35 1  1     u  v   x  x  x     u  v   x  x    x  1 (Vô nghiệm)  48 2  2   3 5 o u  v  u  v  x  3x  x  x  x  x  x  x   x  x5  x  x  x  x   Nhận xét x  không thỏa mãn phương trình (1) Do x   x   1   x  1  x6  x5  x  x3  x  x  1   x  x  x  x5  x5  x  x  x3  x  x  x  x  x    x7    x   2 Rõ ràng (2) mâu thuẫn Suy phương trình (1) vô nghiệm Kết luận phương trình cho vô nghiệm Bài toán 148 Giải phương trình x  x5  20 x  26 x  16 x  x    x3  3x  1 3x  12 x3  15 x  x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  x  12 x  x3    x  x  18 x3  16 x  x  1   x3  3x  1  x  x  x3  x  x   x5  x  18 x  16 x  x    x  x     x5  x  18 x3  16 x  x  1   x3  3x  1  x  3x  1 x  x   x  x  18 x  16 x  x  Đặt x  x  u; 3x  12 x  15 x  x   v ta thu hệ phương trình u    x5  x  18 x  16 x  x  1   x3  3x  1 v   3 v    x  x  18 x  16 x  x  1   x  x  1 u u  v  u  v   x3  3x  1  v  u    2 u  uv  v  x  3x   1   u  uv  v  x  3x     u  v   u  x3  3x   2  2 1    u  v    x  x   x3  3x   2  2 8 1  1     u  v   x  x3  x     u  v   x  x    x  1 (Vô nghiệm) 3 2  2   3 4  u  v  u  v  x  x  12 x  x  3 x  12 x  15 x  x   x  x5  15 x  20 x3  15 x  x     x  1   x  1 Kết luận phương trình cho có nghiệm x  1 Bài toán 149 Giải phương trình x  x5  x  x3  x  x   2x  2x4  x2  x 1 x  4x 1  x   Lời giải Điều kiện x3  x   Phương trình cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 112 x  x5  x  x  x  x    x3  x  1 x5  x  x  x   x  3x  3x  x3   x5  3x  x  x  x  1   x3  x  1 x5  x  x3  x  x  x5  3x  x  x  x    x  x    x5  3x  x3  x  x  1   x3  x  1  x3  x  1 x  x   x  x  x3  x  x  Đặt x  x  u; x  x  x  x   v ta thu hệ phương trình u   x5  3x  x  x  x  1   x  x  1 v   3 v   x  3x  x  x  x  1   x  x  1 u u  v  u  v   x3  x  1  v  u    2 u  uv  v  x  x   o 1  u  uv  v  x  x     u  v   v  x3  x   2  2 2 2 19 1  1    u  v    x2  x   x3  x2     u  v   x4  x3  x2   2  2  2 5 1     u  v   x  x    x  1 (Vô nghiệm)  16 2   o u  v  u  v  x  x5  x  x3  x5  x  x  x   x  x5  x  x  x  x   (1) Nhận xét x  không thỏa mãn phương trình (1) Do x   x   1   x  1  x6  x5  x  x3  x  x  1   x  x  x  x5  x5  x  x  x3  x  x  x  x  x    x7    x   2 Rõ ràng (2) mâu thuẫn Suy phương trình (1) vô nghiệm Kết luận phương trình cho vô nghiệm Bài toán 150 Giải phương trình x  x5  41x  71x3  21x  24 x    3x3  17 x   3x5  12 x  x  15 x  x   x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x  x5  27 x  27 x  14 x  44 x3  21x  24 x  1   3x  17 x   3x5  26 x  51x3  x  18 x  14 x  44 x3  21x  24 x    x  3x   14 x  44 x3  21x  24 x  1   3x  17 x    3x3  17 x   x  3x   14 x  44 x3  21x  24 x  Đặt x  3x  u; 3x  12 x  x  15 x  x   v ta thu hệ phương trình CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 113 u  14 x  44 x3  21x  24 x  1   3x3  17 x   v   3 v  14 x  44 x  21x  24 x  1   x  17 x   u u  v  u  v   3x3  17 x    v  u    2 u  uv  v  x  17 x   Xét hai khả xảy 1   u  uv  v  3x  17 x     u  v   v  3x3  17 x   2  2 2 2 15 95 1  1    u  v    x  x   3x3  17 x    u  v   x  x3  x   2  2  2 1    u  v   x  x  5  x  6 (Vô nghiệm) 2   u  v  u  v  x  x  27 x  27 x3  x5  12 x  x3  15 x  x   x  x5  15 x  20 x3  15 x  x     x  1   x  1 Kết luận phương trình cho có nghiệm x  1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 114 Bài tập tương tự Giải phương trình sau tập hợp số thực  x  1  x   x  1  x  1 x  1  x  x  1  x  x  1   x  1 x  x  x3    x  1 x  x    x  1 x3  x  11x  10 x2  x   x5 x3  x  11x  14   x   x  x  x3  x   x  1 x   x  x3  12 x  12 x   3 x  x  1 x  8  x  3 x  13x   x   x3 x3  x  11x  12   x   x  x  10 x3  x  11x  14  x  1 x    x 7  11  x  1   x  8   x    x   x  1   x   12 x3  x  3x   2 x  x  1 x  1 13 x3  x  3x  10   x  10  x  11x  x3  x  16 x  3  3x  x   2x 1 x  13x  x  15  x 1 3x  14 16 x3  x  16 x   1  x  3x  x  1  17 x  x  16     3x  x  10 x  x  13x  x  18  x 1 3x  19 x  12 x  x    x   18 x  39 x  20 3x3  12 x  x   36 x  117 x   1 21 x  13x    1   3x  x  x  x 22 x  15 x  x    x   27 x  39 x  49 23 x3  x  x   x  14 x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 115 24 x  x  x   x  14 x  25  x  1  x  1  4 x  14 x  26 x3  29 x  x   17 x  14 x  27 3x  3x  14   x   x  x  13x  3x  3x  37 3  x  x  13 x  30 x6 x  17 29  3 x  x  x   x    70 28 30 x3  3x  x  3 x  3x  13x  31 x  x  x    x  1 32 x3  3x  3x   x  1 2   x  1 x3  x  11x   x3  x  3x  x  x3  x  x   2x  2x4  x2  x 1  x3 x3  x  x  10 3 34  x  3x  15 x  18 2 x  3x x  x  20 x  26 x3  16 x  x  35  3x  12 x3  15 x  x  x  3x  x  8x  6x 1 36  2x  x2  6  2x 1 33 37 x3  x  x  11   x  3x  x3  3x  15 x  19 38 x3  3x   x  1  x3  3x  x  x3  x  14 x  3  x  12 x  x  3x  x  x3  x  x  40  x  x  1  x  x  14  2x  39 41 x  15 x  11x   3x  11x  764  x  27 x  42 x  45 x  187  x4 43 x  x    3x  x  x3  x 44 x3  x  x   x  x  3x  17 x  11x  3 45  x  x  15 x  20 13  x 46 4 x  x  x    3x  x  x3  x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 116 1  47 x  x    x   x  3x  3x  x  48 x3  x  x    x  1 x  x  3x  49 x3  x   x  x  3x  50 x3  x  x    x  1 51 x3  x  x  11 3 x  3x  x  x  3x  10 x    x  1 52 x3  x  x    3x  x  3x3  x  x  53 x3  3x  10 x   x 3x3  x  x   3x  54 x3  x  x    x  x  x3  x  3x  x3  3x  x  3 55  2x  x2  x  2x  x x  x  17 56  x3  3x  19 x  x  3x  3x   x  x  32 x  16 57 x  x  x  17  x3  x  32 x  13  x 58 x  x  17 18 59 x  x  x  32   x  x 1  x   17 60 x3  x  3x    x  x   3x  3 x x  x2  x   61 x  x 1 x2  x  x 1 62   1 3 x x  3x  x  x  x  1  x  x   3 63  x  3x  x  10 x  x 1 64 x3  x    x  x  1 x3  3x  x  65 x3  x   x3  x  11x   x  1 3 66  x  x   x  x   x3  x  x  67  x  1   x  x  11x  x  x  10 68  x  x   x3  x  11  x3  x  11x  11 69 x3  x  11  x3  x  x  11 x2  2x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 117 Lời kết Bài toán số 150 toán cuối tài liệu Lý thuyết sử dụng ẩn phụ phần thứ 9, chủ đạo tập hợp hướng dẫn lớp toán sử dụng thức với phương trình chứa bậc ba đưa hệ phương trình Trong trình hoàn thiện toán bạn cần kết hợp phép thế, đặt ẩn phụ, kỹ thuật giải phương trình phép nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức nhẩm nghiệm phương trình bậc caotuy nhiên chút chia sẻ phần tác giả ! Mong muốn bạn độc giả ý kỹ lưỡng rút nhiều kinh nghiệm quý báu cho thân Tác giả chúc bạn học sinh, thầy cô giáo toàn thể bạn độc giả sức khỏe, vui vẻ, bình tĩnh, tự tin, bứt phá, đánh bật đề thi, đạt kết cao kỳ thi tương lai tới, chúc em học sinh lớp 12 THPT đạt điểm tối đa môn Toán kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 Tôi nhớ đọc tài liệu, Đại hội Cháu ngoan Bác Hồ Thành phố Hồ Chí Minh, năm 1977, có vị đại biểu Đoàn chủ tịch nói ‘Thành phố soi thấy tương lai sáng vầng trán cháu” Đó câu nói tiếng Nguyên Bí thư Thành ủy Thành phố Hồ Chí Minh, Cố Thủ tướng Chính phủ Nước Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam, đồng chí Sáu Dân – Võ Văn Kiệt Câu nói hàm súc chứa nhiều tâm tư nguyện vọng người chiến sĩ cộng sản kiên trung, vào sinh tử nhịp đập trái tim Tổ quốc suốt hai kháng chiến Thế hệ hậu sinh sinh lớn lên dải đất hình chữ S nhiều đau thương, chưa hàn gắn hết, người sục sôi dòng máu chảy không thay đổi được, từ bé đến lớn thừa hưởng chế độ y tế giáo dục để phát triển toàn diện, ân huệ cha mẹ, hệ trước, non sông ban tặng cho công dân Tư tưởng cá nhân tồn người, phân công xã hội tất yếu nảy sinh năng, thường vượt qua ngưỡng cửa tập thể, sâu dễ lầm đường lạc lối Dù quyền sống, quyền hưởng thụ, nhiều quyền khác bất di bất dịch, điều cần có mức độ, điều cần phù hợp đạo lý, giữ vững sắc truyền thống vốn có lâu đời nó, để nhìn vào nhận Thiết nghĩ sống tốt, hữu ích, đạo lý, khoan dung, không dẫm đạp đồng bào, diệt trừ ác độc, để an toàn thoải mái cần chiếm lĩnh khoa học, vững bước làm chủ tri thức, làm chủ tương lai, cần làm ốc vít, làm súng đại liên, chiến xa, tên lửa, tàu ngầm, tiêm kích, cường kích hoàn toàn xây dựng tường thành bảo vệ mẹ già, vợ dại, thơ trước dòm ngó ngoại bang Thế hệ trẻ cần nhiều thứ thật đấy, chưa mát thứ gì, cần có trách nhiệm giữ gìn sắc tâm xây dựng tổ quốc Việt Nam hòa bình, công chính, dân chủ, vững bền, giàu mạnh, sánh vai nước Xã hội Chủ nghĩa khu vực giới, đất nước Cu Ba, Liên Bang Nga, Cộng hòa Hồi giáo Iran, CHDCND Triều Tiên, hay CHND Trung Hoa láng giềng chẳng hạn Facebook Vị Xuyên – Ác Liệt Thủ đô Hà Nội, ngày 17 tháng 02 năm 2015 HẾT CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 118 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập toán hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng toán điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập 1;2;3;4 Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi môn Toán; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hoành Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 119 Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải toán Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Tam thức bậc hai ứng dụng Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 33 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng Đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 34 Ôn thi vào lớp 10 THPT Chuyên; Môn Toán Doãn Minh Cường – Trịnh Hoài Dương – Trần Văn Khải – Đỗ Thanh Sơn ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2013 35 Tài liệu chuyên toán THCS; Toán 9; Tập 1: Đại số Vũ Hữu Bình – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đàm Văn Nhỉ ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2012 36 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 37 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 38 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối đến khối 12 cấp 39 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 40 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 41 Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 42 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 43 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 120 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 9) _ 121 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN KHÁT CHÂN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ... toán phương trình bậc hai, bậc cao với tham số, giải hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2; hệ phương trình đồng bậc; hệ phương trình. .. dụng ẩn phụ thức (các phần đến 8), phần mang tính kế thừa phát huy với phương châm chủ đạo dùng hai ẩn phụ đưa phương trình cho trước hệ phương trình, bao gồm hệ bản, hệ đối xứng gần đối xứng. .. t   t  1   Vậy phương trình cho có nghiệm x  2 Nhận xét  Phương trình ban đầu có chứa thức bậc ba, lời giải sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại bậc ba Dạng tổng quát toán