Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1 - Bài 1: Đại cương về hệ phương trình tuyến tính và không gian vectơ n chiều cung cấp kiến thức hệ phương trình tuyến tính; không gian vectơ n chiều. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết hơn kiến thức.
Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính không gian vectơ n chiều PHẦN I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ KHƠNG GIAN VECTƠ BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ KHƠNG GIAN VECTƠ N CHIỀU Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau: Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn Đọc tài liệu: Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung Hệ phương trình tuyến tính; Khơng gian vectơ n chiều Mục tiêu Sinh viên nắm khái niệm hệ phương trình tuyến tính, nắm phương pháp giải kết định tính hệ phương trình tuyến tính; Nắm khái niệm vectơ n chiều, không gian vectơ n chiều khái niệm liên quan; Tính tốn thành thạo phép tốn tuyến tính vectơ TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Tình dẫn nhập Tính cơng lao động nhân viên Bảng chấm công nhân viên tháng năm 2014 phận lễ tân khách sạn cho sau: Làm thêm Ngày công làm thực Công ngày thường Công ngày nghỉ Công ngày lễ Mai Hải Anh 21 0,5 0,5 1,5 Hoàng Thu Hương 18 0,5 Ngô Phương Hoa 20 0,5 Nguyễn Quỳnh Trang 21 1,5 0,5 Họ tên Tính tổng số lượng ngày công làm thực tế, tổng số ngày công làm thêm vào ngày thường, ngày nghỉ ngày lễ tháng phận lễ tân TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều 1.1 Hệ phương trình tuyến tính 1.1.1 Các khái niệm 1.1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số x1, x2,…, xn có dạng tổng quát sau: a11x1 a12 x a ln x n b1 a x a x a x b 21 22 2n n a m1x1 a m x a mn x n b m (1.1) Trong aij bi số cho trước: số aij hệ số ẩn xj phương trình thứ i bi gọi số hạng tự phương trình thứ i (i = 1, … , m; j = 1, 2, … , n) 1.1.1.2 Ma trận hệ số ma trận mở rộng Hệ phương trình (1.1) cho tương ứng hai bảng số sau: a11 a A 21 a m1 a12 a1n a 22 a 2n a m2 a mn a11 a A 21 a m1 a12 a1n b1 a 22 a 2n b a m2 a mn b m Định nghĩa: Bảng số A gọi ma trận hệ số bảng số A gọi ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính (1.1) Các khái niêm ma trận trình bày phần Từ “ma trận” dùng để bảng số xếp theo hàng theo cột Ma trận hệ số A có m dịng n cột Ma trận mở rộng có m dòng n + cột (ma trận A có thêm cột thứ n + số hạng tự do, n cột cịn lại cột ma trận A) Một hệ phương trình tuyến tính xác định biết ma trận mở rộng Ví dụ 1: x1 + 2x + 3x + 4x = Cho hệ phương trình: 2x1 3x 4x =0 2x 2x + 5x = (1.2) Ma trận hệ số ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính cho là: 1 A = 2 0 4 3 4 0 , A = 2 5 1 3 0 7 4 0 2 3 Ví dụ 2: Hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng: 3 A= 2 4 1 2 0 3x 4x + 5x + 2x = hệ phương trình: 2x1 + x + 3x 2x = TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều 1.1.1.3 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa: Nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1.1) n số thực có thứ tự (α1, α2, … , αn) mà gán x1 = α1, x2 = α2,…, xn = αn vào tất phương trình hệ ta đẳng thức Nghiệm hệ phương trình (1.1) viết ba dạng sau: α1 α 1 , , , n ; ; αn x1 = α1 x = α 2 x n = α n Chẳng hạn, số thực có thứ tự (1, −2, 2, 1) nghiệm hệ phương trình (1.2): gán x1 = 1, x2 = −2, x3 = 2, x4 = vế trái phương trình thứ 7, vế trái phương trình thứ hai vế trái phương trình thứ ba −3 Giải hệ phương trình tuyến tính có nghĩa tìm tập hợp tất nghiệm hệ phương trình 1.1.1.4 Hệ tương đương phép biển đổi tương đương Định nghĩa: Hai hệ phương trình tuyến tính với ẩn số gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm, tức nghiệm hệ đồng thời nghiệm hệ ngược lại (hoặc hai hệ vô nghiệm) Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp sơ cấp ta thường phải biến đổi hệ phương trình thành hệ tương đương đơn giản Định nghĩa: Một phép biến đổi biến hệ phương trình tuyến tính thành hệ tương đương gọi phép biến đổi tương đương 1.1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biển đổi sau hệ phương trình tuyến tính gọi phép biển đổi sơ cấp 1) Đổi chỗ cho hai phương trình hệ 2) Nhân hai vế phương trình với số α ≠ 3) Biến đổi phương trình hệ cách lấy hai vế phương trình nhân với số k cộng vào hai vế tương ứng phương trình khác Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp phép biển đổi tương đương 1.1.2 Hệ tam giác hệ hình thang Ý tưởng chung phương pháp sơ cấp để tìm nghiệm hệ phương trình khử dần ẩn số để quy việc giải phương trình ẩn số Việc khử dần ẩn số hệ phương trình tuyến tính dẫn đến hai dạng (nếu hệ có nghiệm) Theo dạng vế trái ta gọi hệ phương trình hệ tam giác hệ hình thang TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều 1.1.2.1 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác Hệ phương trình dạng tam giác hệ có dạng sau: a11x1 a12 x a ln x n b1 a 22 x a 2n x n b a nn x n b n (1.3) tất hệ số a11, a22,…, ann khác Đây hệ phương trình có số phương trình số ẩn theo thứ tự từ xuống, ẩn số dần (aij = i > j) Phương trình cuối hệ cịn lại ẩn số Từ phương trình cuối hệ phương trình (1.3) ta xác định được: xn bn n a nn tiếp theo, thay xn = αn vào phương trình phía ta lại có phương trình ẩn số xn – , từ xác định xn – = αn – , lặp lại trình theo trình tự từ lên ta xn – = αn – 2, … , x1 = α1 Hệ phương trình (1.3) có nghiệm nhất: (α1, α2, …, αn) Ví dụ: Giải hệ phương trình ẩn số 2x1 + x x = x 3x = 7x = Giải: Hệ phương trình cho có dạng tam giác Từ phương trình thứ ba ta tìm x3 = −1 Thay x3 = −1 vào phương trình thứ hai ta có: −x2 + = x2 = Tiếp theo, thay x3 = −1 x2 = vào phương trình thứ ta được: 2x1 + + = x1 = Hệ cho có nghiệm nhất: (1, 2, −1) 1.1.2.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang Hệ phương trình dạng hình thang có đặc điểm giống hệ tam giác phương trình hệ khuyết dần ẩn số theo thứ tự từ xuống, hệ hình thang có số phương trình nhỏ số ẩn, phương trình cuối có nhiều ẩn: a11x1 a12 x a1m x m a1n x n b1 a 22 x a 2m x m a 2n x n b a mm x m a mn x n b m (m < n; aii ≠ TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 (1.4) i = 1, 2, … , m) Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính không gian vectơ n chiều Ở dạng (1.4) ta gọi m ẩn số đầu x1, x2, … , xm ẩn ẩn cịn lại ẩn tự Gán cho ẩn tự giá trị tùy ý xm + = αm + 1, … , xn = αnvà chuyển số hạng chứa chúng sang vế phải ta hệ tam giác ẩn chính: b1 a1 m 1 m 1 a1n n a11x1 a12 x a1m a 22 x a 2m x m b a m 1 m 1 a 2n n a mm x m b m a m m 1 m 1 a mn n Theo phương pháp giải hệ tam giác ta xác định x1,…, xm theo αm Nghiệm hệ (1.4) có dạng: x1 c11 m 1 c1 n-m n d1 x m c m 1 m 1 c m n-m n d m m 1 x m 1 x n n + 1,…, αn (1.5) Hệ hình thang (1.4) có vơ số nghiệm Nghiệm viết dạng (1.5), với (αm+1,… , α n) n – m số gọi nghiệm tổng quát Mỗi số thực (αm+1,… , αn) gán cho ẩn tự cho tương ứng nghiệm hệ (1.4), gọi nghiệm riêng Ví dụ: Giải hệ phương trình x1 + 2x + 4x + 6x x = x 2x + x + 4x = 2x + 2x 3x = Giải: Đây hệ hình thang với ẩn x1, x2, x3 ẩn tự x4, x5 Chuyển số hạng chứa ẩn tự sang vế phải gán x4 = α, x5 = β, ta hệ sau: x1 + 2x + 4x = 6α + β x 2x = α 4β 2x = 2α + 3β + Theo quy tắc giải hệ tam giác ta tìm được: x3 = −α + β + 2, x2 = −3α – β + 4, x1 = α − 3β – 19 Nghiệm tổng quát hệ phương trình là: (4α − 3β –19, −3α – β + 4, − α + β + 2, α, β) Mỗi hai số (α, β) cho tương ứng nghiệm riêng Chẳng hạn, với α = 0, β = ta có nghiệm riêng: (− 19, 4, 2, 0, 0) TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều 1.1.3 Phương pháp khử ẩn liên tiếp Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính cách khử dần ẩn số để đưa dạng tam giác dạng hình thang gọi phương pháp khử ẩn liên tiếp, hay phương pháp Gauss Dưới chúng tơi trình bày tổng qt phương pháp Xét hệ phương trình tuyến tính (1.1) Khơng làm tính tổng quát ta giả sử a11 ≠ (nếu khơng ta đổi chỗ phương trình lại thứ tự ẩn số để có điều đó) Trước hết ta khử ẩn x1 phương trình từ phương trình thứ hai trở xuống cách cộng vào hai vế phương trình thứ i ( i = 2, … , m) tích vế a i1 Chú ý phép biển đổi sơ tương ứng phương trình thứ với số a11 cấp phép biển đổi tương đương, sau m – phép biển đổi ta hệ tương đương: a11x1 a12 x a1n x n b1 a '22 x a '2n x n b '2 ' a m2 x a 'mn x n b'm (1.6) Trong đó: a 'ij a ij a i1 a a1j , bi' bi il b1 (i 2, , m; j 2, , n) a11 a11 Trong hệ (1.6) có khả xuất phương trình với vế trái đồng (nếu hệ (1.1) có phương trình có vế trái tỷ lệ với vế trái phương trình thứ nhất): 0.x1 + 0.x2 + … + 0.xn = b (1.7) Nếu b = phương trình (1.7) đẳng thức với số gán cho x1, x2,…, xn, ta loại bỏ phương trình khỏi hệ Nếu b≠0 phương trình (1.7) đẳng thức sai với số gán cho x1, x2,… , xn hệ vơ nghiệm Tiếp theo, cách tương tự, ta lại khử ẩn x2, phương trình từ phương trình thứ ba trở xuống hệ (1.6) (nếu có), sau lại khử ẩn x3, phương trình từ phương trình thứ tư trở xuống (nếu có)… Thủ tục khử ẩn theo cách nêu thủ tục lặp Sau số hữu hạn bước biến đổi trình khử ẩn kết thúc ba trường hợp sau đây: Hệ nhận có chứa phương trình dạng (1.7) với b ≠ Hệ nhận có dạng tam giác Hệ nhận có dạng hình thang Trong trường hợp thứ hệ phương trình vơ nghiệm, cịn hai trường hợp sau ta biết cách giải để tìm nghiệm Như vậy, xét theo số nghiệm hệ phương trình tuyến tính phân thành loại, hệ vơ nghiệm; hệ có nghiệm nhất, hệ có vơ số nghiệm Như nói trên, hệ phương trình tuyến tính hồn tồn xác định biết ma trận mở rộng nó, phép biến đổi hệ phương trình tuyến tính tương ứng với phép biến đổi ma trận mở rộng TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Các phép biến đổi sơ cấp hệ phương trình tuyến tính thực tương ứng ma trận mở rộng sau: Biến đổi hệ phương trình Biến đổi ma trận mở rộng Đổi chỗ hai phương trình hệ Đổi chỗ hai dòng tương ứng ma trận Nhân hai vế phương trình với số α ≠ Nhân dòng tương ứng ma trận mở rộng với số α Cộng vào vế phương trình thứ i tích vế tương ứng phương trình thứ k với số α (để biến đổi phương trình thứ i) Cộng vào dịng thứ i ma trận mở rộng tích dịng thứ k với số α (để biến đổi dòng thứ i) Các phép biển đổi ma trận cột thứ hai bảng có nghĩa sau: Nhân dịng ma trận với số α có nghĩa nhân số nằm dịng với số α Cộng dịng vào dịng i có nghĩa cộng số dòng vào số tương ứng dịng i Trong q trình biến đổi, ma trận mở rộng có dịng tất số ta bỏ dịng (tương ứng với việc loại khỏi hệ phương trình có tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 0) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x + 2y 3z = 2x + 3y + 5z = 13 3x 4y + z = 15 Giải: Ma trận mở rộng hệ phương trình 1 A= 4 3 5 13 15 Cộng vào dòng thứ hai tích dịng thứ với (−2) cộng vào dịng thứ ba tích dịng thứ với (−3) ta ma trận: 3 5 1 1 11 23 0 10 10 30 Tiếp theo, cộng vào dòng thứ ba tích dịng thứ hai với (−10) ta ma trận: 1 0 0 3 5 1 11 23 100 200 Ma trận cuối ma trận mở rộng hệ phương trình dạng tam giác: x + 2y 3z = y + 11z = 23 100z = 200 Giải hệ ta tìm nghiệm (3, −1, 2) TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x1 + 2x 5x + x 2x 3x + 7x + 3x 3x1 + 8x 11x 3x x1 + 5x + 4x +2x =1 =4 = 2 = 10 Giải: Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 5 1 2 3 (1) A 11 3 2 10 1 1 ( 2) 0 0 5 5 1 3 6 5 1 11 5 1 3 ( 3)0 10 16 17 20 32 31 1 3 10 16 17 0 1 Các phép biến đổi thực là: (1) Cộng vào dòng thứ hai, dòng thứ ba dòng thứ tư, theo thứ tự, tích dịng thứ với số 2, số −3 số 1; (2) Cộng vào dòng thứ ba dịng thứ tư, theo thứ tự, tích dòng thứ hai với số −2 số −7; (3) Cộng vào dịng thứ tư tích dịng thứ ba với −2 Sau phép biến đổi ta nhận hệ có chứa phương trình với tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 3, hệ phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 3x1 2x +2x 5x + x = 2x + 3x x + 4x 4x = x x +2x + 3x + 4x = 2 4x1 7x +5x 14x + 6x = Giải: Ma trận mở rộng hệ phương trình 5 0 2 1 A= 1 7 14 4 1 2 1 Để tiện biến đổi, trước hết ta đổi chỗ dòng dòng thứ để chuyển số đầu dòng thứ lên góc bên trái: 1 1 2 5 7 14 TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 2 4 1 0 1 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Cộng vào dòng thứ hai, dòng thứ ba dòng thứ tư, theo thứ tự, tích dịng thứ với số −2, số −3 số −4 ta được: 2 1 0 5 2 12 5 0 4 14 11 0 3 3 26 10 Đổi chỗ dòng thứ hai dịng thứ ba, sau cộng vào dòng thứ ba dòng thứ tư, theo thứ tự, tích dịng thứ hai với số −5 số ta được: 2 1 0 4 14 11 6 0 15 68 43 25 0 15 68 43 25 Cuối cùng, lấy dòng thứ ba cộng vào dòng thứ tư ta được: 1 4 0 15 0 0 2 14 11 6 68 43 25 0 Xóa dịng cuối ta hệ phương trình kết thúc dạng hình thang: x1 x + 2x + 3x + 4x = x 4x 14x 11x = 15x + 68x + 43x = 25 Theo cách giải hệ hình thang ta nghiệm tổng quát: 62 68 43 29 19 α+ β+ , α β , α β , α, β 15 15 15 15 15 15 Trong α β số Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 2x y 5z 1 5x 2y 3z 3x 4y 2z Giải: Ma trận mở rộng hệ phương trình là: 2 A= 3 1 0 Quá trình khử ẩn thực sau: A 10 10 1 1 1 0 1 19 5 1 19 5 14 11 17 0 106 42 TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Chú ý rằng, để tránh tính phân số trình biến đổi, bước ta nhân dòng thứ hai dòng thứ ba với Quá trình biến đổi kết thúc dạng tam giác Bạn tự viết hệ phương trình giải theo cách hướng dẫn Nghiệm hệ phương trình là: 41 134 21 ,z= x = , y = 53 53 53 1.1.4 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính có tất số hạng tự 0: a11x1 a12 a1n x n a x a a x 21 22 2n n a m1x1 a m2 a mn x n (1.8) Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp ta ý đặc điểm sau đây: (1) Hệ phương trình tuyến tính (1.8) có nghiệm (x1 = 0, x2 = 0, … , xn = 0), gọi nghiệm không, hay nghiệm tầm thường Do đó, hệ phương trình tuyến tính có hai khả xảy ra: Hệ có nghiệm nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác); Hệ có vơ số nghiệm (q trỉnh khử ẩn kết thúc dạng hình thang) (2) Mọi hệ phương trình tuyến tính với số phương trình nhỏ số ẩn có vơ số nghiệm (q trình khử ẩn chắn kết thúc dạng hình thang) (3) Một hệ phương trình tuyến tính xác định biết ma trận hệ số phép biến đổi sơ cấp biến hệ thành hệ tương đương Do đó, giải hệ phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần biến đổi ma trận hệ số Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x1 3x + 4x + 5x = 4x1 4x + 2x 3x = 2x 5x + 9x + 16x = Giải: Đây hệ phương trình tuyến tính với số phương trình nhỏ số ẩn, hệ có vơ số nghiệm Thuật tốn khử ẩn liên tiếp thực ma trận hệ số sau 3 3 3 (1) (2) A 4 3 6 13 6 13 5 16 2 11 0 1 2 Các phép biến đổi thực là: TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 11 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều (1) Cộng vào dòng thứ hai dịng thứ ba, theo thứ tự, tích dịng thứ với số −2 số −1; (2) Lấy dòng thứ hai cộng vào dòng thứ ba Sau phép biến đổi nói ta hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang: 2x1 3x + 4x + 5x = 2x 6x3 13x = x 2x = Giải hệ theo phương pháp biết ta nghiệm tổng quát: (x1 = 7α α , x = , x = 2α, x = α), Trong α số gán cho ẩn tự x4 1.2 Không gian vectơ n chiều 1.2.1 Khái niệm vectơ n chiều Theo định nghĩa hình học, vectơ đoạn thẳng có hướng Trong hình học người ta xét vectơ tự Khơng phân biệt vị trí đặt vectơ đó: hai vectơ a b đặt đường thẳng hai đường thẳng song song, có độ dài hướng xem ( a = b ): b a Trong mơn hình học trường phổ thông, bạn làm quen với phương pháp tọa độ Theo phương pháp này, phạm vi mặt phẳng (không gian chiều) vectơ đặt tương ứng với hai số thực có thứ tự (x, y), gọi tọa độ vectơ ta đồng vectơ với tọa độ Tương tự, khơng gian chiều ta đồng vectơ với tọa độ ba số thực có thứ tự (x, y, z) Tổng quát hóa điều này, ta mở rộng khái niệm vectơ n chiều sau: Định nghĩa: Mỗi n số thực có thứ tự (x1, x2, … , xn) gọi véctơ n chiều Để phân biệt véctơ, ta đặt tên chúng chữ in hoa Để gán tên cho véctơ (x1, x2, … , xn), ta viết: X = (x1, x2, … , xn) Số thực xi (i = 1, 2, … , n) đứng vị trí thứ i n số thực vế phải gọi thành phần thứ i vectơ X Bộ n số thực xác định vectơ X xếp thành dịng cách viết trên, xếp thành cột sau: x1 x X 2 xn 12 TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Một vectơ n chiều n số thực có thứ tự, khơng phân biệt cách viết dạng dòng dạng cột Chẳng hạn, xét ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính có m phương trình n ẩn số, ta xem dịng vectơ n chiều cột vectơ m chiều Cần ý vectơ n chiều không đơn n số thực, mà n số thực có thứ tự Hai vectơ n chiều: X = (x1, x2, … , xn), Y = (y1, y2, … , yn) gọi thành phần vị trí tương ứng chúng đôi nhau: x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn Để nói hai vectơ X Y nhau, ta viết: X = Y Khái niệm vectơ áp dụng cho vectơ có số chiều n Mỗi đẳng thức vectơ n chiều tương đương với hệ n đẳng thức số Vectơ khơng vectơ có tất thành phần Trong tập hợp vectơ n chiều( với n cố định) có vectơ khơng ký hiệu On, đơn giản O: On = O = (0, 0, … , 0) Với véctơ X = (x1, x2, …, xn) , ta đặt: −X = (−x1, −x2, … , −xn) −X gọi véctơ đối véctơ X 1.2.2 Các phép toán véctơ Trên tập hợp vectơ n chiều (với n cố định) ta xác định phép tốn tương tự hình học Trước hết, ta đề cập đến hai phép tốn đặc trưng khơng gian vectơ phép cộng phép nhân vectơ với số 1.2.2.1 Định nghĩa phép cộng phép nhân vectơ với số Tổng hai vectơ n chiều X = (x1, x2, … , xn) Y = (y1, y2, … , yn) vectơ n chiều, ký hiệu X + Y xác định sau: X + Y = ( x1 + y1, x2 + y2, … , xn + yn) Tích vectơ n chiều X = (x1, x2, … , xn) với số thực α vectơ n chiều, ký hiệu αX xác định sau: αX = (αx1, αx2, … , αxn) Theo định nghĩa trên, phép cộng phép nhân vectơ với số tập hợp vectơ n chiều thực hoàn toàn tương tự hình học, ta cộng vectơ nhân vectơ với số theo tọa độ Ví dụ: Cho vectơ chiều: X = (3, −1, 5, 3), Y = ( 2, 8, 1, 0) Ta có: X + Y = (3 + 2, −1 +8, +1, + 0) = (5, 7, 6, 3); 2X = (6, −2, 10, 6); 3Y = (6, 24, 3, 0); 2X + 3Y = (12, 22, 13, 6) TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 13 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều 1.2.2.2 Các tính chất đặc trưng phép cộng phép nhân vectơ với số Trong tính chất nêu X, Y, Z vectơ n chiều (n cố định), α β số (1) Phép cộng vectơ có tính chất giao hốn: X+Y=Y+X (2) Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp: (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (3) Trong tập hợp tất vectơ n chiều, vectơ không giữ vai trò phần tử trung hòa phép cộng: X + O = X ( với vectơ X) (4) Vectơ đối vectơ X thỏa mãn điều kiện: X + (−X) = (5) Với vectơ X ta ln có: 1X = X (6) Phép nhân vectơ với số có tính chất phân phối phép cộng vectơ: α(X + Y) = αX + αY (7) Phép nhân véctơ với số có tính chất phân phối phép cộng số: (α + β)X = αX + βY (8) Với α, β hai số X vectơ ta ln có: (αβ)X = α(βX) 1.2.2.3 Phép trừ vectơ Phép trừ vectơ xác định thông qua phép cộng sau: Định nghĩa: Hiệu hai vectơ n chiều X Y vectơ n chiều, ký hiệu X – Y xác định sau: X – Y = X + (−Y) Phép trừ theo định nghĩa phép toán ngược phép cộng Thật vậy, X – Y vectơ mà tổng vectơ Y vectơ X: (X – Y) + Y = [X + (−Y)] + Y = X + [(−Y) + Y] = X + O = X Với X = (x1, x2, … , xn) Y = (y1, y2, …, yn) ta thực phép trừ theo công thức: X – Y = (x1 – y1, x2 – y2, …, xn – yn) Ví dụ: (3, −1, 5, 6) – ( 2, −5, 9, 3) = (1, 4, −4, 3) Từ tính chất phép cộng phép nhân vectơ với số ta dễ dàng suy hệ thức sau: α(X – Y) = αX – αY; (α – β)X = αX – βX 14 TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều 1.2.3 Không gian vectơ n chiều Định nghĩa: Không gian vectơ n chiều tập hợp tất vectơ n chiều, trang bị phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số thỏa mãn tính chất đặc trưng trình bày Khơng gian vectơ số học n chiều ký hiệu Rn Chú ý không gian Rn không đơn tập hợp tất vectơ n chiều, mà bao hàm cấu trúc phép toán (phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số) theo định nghĩa TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 15 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Tóm lược cuối Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác ln có nghiệm Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang ln có vơ số nghiệm Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ba trường hợp nghiệm: vô nghiệm, vô số nghiệm, nghiệm Hệ phương trình tuyến tính kết thúc hai trường hợp: Nghiệm nghiệm tầm thường vơ số nghiệm (có nghiệm khơng tầm thường) Véctơ n chiều phép toán cộng hai véctơ n chiều, nhân véctơ với số trường hợp mở rộng véctơ chiều, chiều học phổ thơng, có tính chất tương hình học véctơ biết Khơng gian vectơ n chiều Rn tập hợp tất vectơ n chiều, trang bị phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số thỏa mãn tính chất đặc trưng 16 TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuyến tính khơng gian vectơ n chiều Câu hỏi ôn tập Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số gì? Nêu khái niệm ma trận mở rộng, ma trận hệ số nghiệm hệ phương trình tuyến tính Thế nghiệm tầm thường nghiệm không tầm thường hệ nhất? Nêu tính chất nghiệm hệ tam giác hệ hình thang Nêu phương pháp khử ẩn liên tiếp để giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt Hệ phương trình tuyến tính tổng qt có trường hợp nghiệm? Hệ phương trình tuyến tính có trường hợp nghiệm? Định nghĩa phép cộng hai véctơ chiều phép nhân số với véctơ Nêu tính chất phép tốn véctơ 10 Nêu định nghĩa khơng gian véctơ n chiều TXTOCB02_Bai1_v1.0014104226 17 ... vectơ n chiều 1. 1 Hệ phương trình tuy? ?n tính 1. 1 .1 Các khái niệm 1. 1 .1. 1 Hệ phương trình tuy? ?n tính tổng qt Hệ phương trình tuy? ?n tính n ? ?n số x1, x2,…, xn có dạng tổng quát sau: a11x1 a12 x... Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuy? ?n tính khơng gian vectơ n chiều 1. 1.2 .1 Hệ phương trình tuy? ?n tính dạng tam giác Hệ phương trình dạng tam giác hệ có dạng sau: a11x1 a12 x a ln x n. .. TXTOCB02_Bai1_v1.0 014 104226 15 Bài 1: Đại cương hệ phương trình tuy? ?n tính khơng gian vectơ n chiều Tóm lược cuối Hệ phương trình tuy? ?n tính dạng tam giác ln có nghiệm Hệ phương trình tuy? ?n tính dạng hình thang ln