Bài giảng Toán cao cấp nông nghiệp nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật. Mời các bạn cùng tham khảo, nội dung phần 1 giáo trình!
UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2012 (Lưu hành nội bộ) UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOAÙN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV) (SỐ TÍN CHỈ: (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2012 LỜI NÓI ĐẦU Đối tượng sử dụng Dùng cho sinh viên ngành Nuôi trồng thủy sản, Dịch vụ thú y, Bảo vệ thực vật sinh viên thuộc khối ngành khác sử dụng giảng tài liệu tham khảo Cấu trúc giảng: Gồm chương Đề cương học phần Vi Tích Phân chia làm chương: Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Mục tiêu mơn học Nhằm trang bị cho Sinh viên kiến thức Toán học để làm nên tảng cho việc học học phần sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả tư logic, phương pháp định lượng kinh tế kỹ thuật Cụ thể Cung cấp cho người học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Khái niệm đại lượng vô bé – vô lớn áp dụng vào khử dạng vơ định tính giới hạn tính chất hàm số liên tục Trang bị kiến thức đạo hàm, vi phân hàm biến Ứng dụng qui tắc L’Hospital khử dạng vô định tính giới hạn khảo sát hàm số, tìm cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ Từ đó, vận dụng để giải số tốn tối ưu Cung cấp kiến thức tích phân (bất định, xác định, suy rộng) phương pháp tính loại tích phân Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích – thể tích vật thể Nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức phép tính vi tích phân hàm nhiều biến làm sở cho việc nghiên cứu Toán học đại bậc Đại học mơn học khác có liên quan Tuy nhiên, giảng không khai thác sâu vấn đề lý thuyết mà mức độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật Nhiều định lý phát biểu không chứng minh mà hướng dẫn sử dụng thông qua hệ thống ví dụ tập Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mơ hình hóa vấn đề thực tế thành toán Toán học Phương pháp giảng dạy Giảng thảo luận, phân tích giải vấn đề đặt Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết Làm tập lớp : tiết Tự học : 60 tiết MỤC LỤC Trang Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.2 Các phép toán hàm số 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Tính đơn điệu 1.1.2.2 Tính chẵn lẻ 1.1.2.3 Tính tuần hồn 1.1.3 Hàm số hợp hàm số ngược 1.1.3.1 Hàm số hợp 1.1.3.2 Hàm số ngược 1.1.4 Các hàm số sơ cấp 1.1.4.1 Hàm lũy thừa y = x α , ∀α ∈ » 1.1.4.2 Hàm số mũ y = a x , < a ≠ 10 1.1.4.3 Hàm số logarit 10 1.1.4.4 Các hàm số lượng giác 11 1.1.4.5 Các hàm lượng giác ngược 12 1.2 Giới hạn tính liên tục hàm số 13 1.2.1 Giới hạn dãy số 13 1.2.1.1 Định nghĩa dãy số 13 1.2.1.2 Giới hạn dãy số 14 1.2.1.3 Các phép toán 15 1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt dãy 16 1.2.2 Giới hạn hàm 16 1.2.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2.2 Giới hạn phía 17 1.2.2.3 Các giới hạn vô tận vô tận 18 1.2.2.4 Các tính chất giới hạn hàm số 18 1.2.2.5 Các phép toán 19 ∞ 1.2.2.6 Các dạng vô định ; ; 0.∞; ∞ − ∞ 19 0 ∞ 1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng 22 1.2.2.8 Đại lượng vô bé – đại lượng vô lớn 23 1.2.3 Tính liên tục hàm số 25 1.2.3.1 Định nghĩa 25 1.2.3.2 Điểm gián đoạn 25 1.2.3.3 Hàm số liên tục đoạn – khoảng 26 1.2.3.4 Các phép toán hàm số liên tục 27 1.2.3.5 Tính chất hàm số liên tục 27 Bài tập chương 28 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 2.1 Đạo hàm hàm số 31 2.1.1 Đạo hàm 31 2.1.1.1 Định nghĩa 31 2.1.1.2 Đạo hàm phía 31 2.1.1.3 Mối liên tục liên tục khả vi 32 2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm 32 2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho phương trình tham số 33 2.1.2 Đạo hàm cấp cao 33 2.1.2.1 Định nghĩa 33 2.1.2.2 Các phép toán 33 2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng 33 2.1.2.4 Ý nghĩa vật lý đạo hàm cấp 33 2.2 Vi phân hàm số 36 2.2.1 Vi phân 36 2.2.1.1 Định nghĩa 36 2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân 36 2.2.1.3 Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) 36 2.2.2 Vi phân cấp cao 37 2.2.2.1 Định nghĩa 37 2.2.2.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 37 2.3 Các định lý phép tính vi phân 38 2.3.1 Đinh lý Rolle 38 2.3.2 Định lý Lagrange 38 2.3.3 Định lý Cauchy 38 2.3.4 Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định) 39 2.3.5 Ứng dụng phép tính vi phân 41 2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu 41 2.3.5.2 Cực trị địa phương hàm số 41 2.3.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 43 2.3.5.4 Bài toán tối ưu thực tế 43 2.3.5.5 Bài toán mối liên hệ tốc độ biến thiên 45 Bài tập chương 48 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 50 3.1 Tích phân bất định 51 3.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 51 3.1.1.1 Định nghĩa 51 3.1.1.2 Định lý 51 3.1.1.3 Tính chất nguyên hàm 51 3.1.2 Các phương pháp tính 52 3.1.2.1 Phương pháp phân tích 52 3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số 52 3.1.2.3 Phương pháp tích phân phần 54 3.1.3 Tích phân số hàm thường gặp 56 3.1.3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 56 3.1.3.2 Tích phân hàm vơ tỉ 59 3.1.3.3 Tích phân hàm số lượng giác 60 3.2 Tích phân xác định 62 3.2.1 Tích phân xác định 62 3.2.1.1 Định nghĩa 63 3.2.1.2 Tính chất 63 3.2.1.3 Các định lý phép tính tích phân 64 3.2.1.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 64 3.2.1.5 Ứng dụng tích phân xác định 67 3.3 Tích phân suy rộng 72 3.3.1 Tích phân suy rộng loại (tích phân cận vơ tận) 72 3.3.2 Tích phân suy rộng loại 74 3.3.3 Một vài tiêu chuẩn hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng 74 Bài tập chương 78 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 80 4.1 Khái niệm hàm nhiều biến 81 4.1.1 Khái niệm không gian »n 81 4.1.1.1 Định nghĩa 81 4.1.1.2 Các phép toán 81 4.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến 81 4.2 Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến 83 4.2.1 Định nghĩa giới hạn dãy 83 4.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm biến (giới hạn kép giới hạn bội) 83 4.2.3 Tính chất (Tương tự hàm biến) 84 4.2.4 Tính liên tục hàm số 85 4.2.4.1 Định nghĩa 85 4.2.4.2 Điểm gián đoạn 86 4.3 Đạo hàm hàm hai biến 86 4.3.1 Đạo hàm riêng 86 4.3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 86 4.3.1.2 Cách tính 87 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 87 4.3.2.1 Định nghĩa 87 4.3.2.2 Định lý (SCHWARTZ) 89 4.3.3 Đạo hàm hàm hợp 89 4.3.3.1 Định nghĩa 89 4.3.3.2 Định lý (Quy tắc xích) 89 4.3.4 Đạo hàm hàm ẩn 90 4.3.4.1 Định nghĩa 90 4.3.4.2 Định lý tồn hàm ẩn 90 4.3.4.3 Đạo hàm hàm ẩn 91 4.4 Vi phân hàm hai biến 93 4.4.1 Sự Khả vi 93 4.4.1.1.Định nghĩa 93 4.4.1.2 Mối liên hệ liên tục khả vi 93 4.4.2 Vi phân toàn phần 94 4.4.2.1 Định nghĩa 94 4.4.2.2 Các qui tắc tính vi phân 94 4.4.2.3 Áp dụng vi phân tính gần 94 4.4.3 Vi phân cấp cao 95 4.4.3.1 Định nghĩa 95 4.4.3.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 95 4.4.4 Công thức Taylor 96 4.5 Cực trị hàm hai biến 97 4.5.1 Cực trị địa phương 97 4.5.1.1 Định nghĩa 97 4.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 98 4.5.1.3 Điều kiện đủ cực trị 99 4.5.2 Cực trị có điều kiện 100 4.5.2.1 Định nghĩa 100 4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện 100 a) Phương pháp 101 b) Phương pháp nhân tử Lagrange 102 4.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 104 Bài tập chương 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Mục đích yêu cầu Chương cung cấp cho người học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Các phép tốn tính giới hạn Khái niệm đại lượng vô bé – vô lớn áp dụng vào tính giới hạn Các tính chất hàm số liên tục Sau học xong chương này, Sinh viên cần đạt được: - Hệ thống hóa kiến thức giới hạn dãy số, hàm số, phép tốn việc thực tính giới hạn Hiểu vận dụng phương pháp giải giới thiệu dạng toán, vấn đề, áp dụng công thức giới hạn đặc biệt giảng dạy - Hiểu vận dụng phép tính đại lượng vơ bé (VCB), vô lớn (VCL) Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vô định tính giới hạn - Hiểu khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, tính chất hàm số liên tục đoạn [a, b ] - Làm tập tương tự Kiến thức chuẩn bị Khái niệm hàm số, miền xác định, tính chất đặc biệt hàm số, đồ thị hàm số sơ cấp Ơn lại kiến thức tính giới hạn, tính liên tục hàm số (lớp 11) 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa Cho X ,Y ⊂ »; X ,Y ≠ ∅ , hàm số f qui luật cho ứng với giá trị biến x ∈ X có giá trị thực y ∈ Y , kí hiệu y = f (x ) * Hàm số viết dạng sơ đồ sau: f : X →Y y = f (x ) x (1.1.1) Biến x gọi biến độc lập y = f (x ) gọi biến phụ thuộc Tập D = {x ∈ » | f (x ) có nghĩa} gọi miền xác định hàm số { } Tập Y = f (X ) = f (x ) | x ∈ X gọi miền giá trị hàm số * Đồ thị hàm số y = f (x ) tập hợp điểm có tọa độ (x , f (x )) hệ tọa độ Descartes Kí hiệu: G = {M (x , f (x )) : x ∈ X } Ví dụ 1: Tìm miền xác định hàm số sau a) y = 2x + Miền xác định: D = » b) y = 2x x −1 Miền xác định: D = » \ {−1;1} x +3 c) y = Hàm số có nghĩa khi: 2x − Vậy miền xác định D = [ −3; +∞ ) \ {12} x ≥ −3 x + ≥ 2x − ≠ ⇔ x ≠ Chú ý: Hàm số y = f (x ) mô tả mối liên hệ hai đại lượng x y Ví dụ : * Xét chuyển động có vận tốc 60 km/h Mối liên hệ thời gian chuyển động t(h) quãng đường s(km) chuyển động hàm số s = s(t ) = 60t * Khi nuôi bị, quan sát q trình tăng trọng bị ta có mối liên hệ thời gian ni t(tuần) trọng lượng m(kg) bò hàm số m = m(t ) 1.1.1.2 Các phép toán hàm số Cho hàm số f (x ), g(x ) có miền xác định D Khi đó, ta xác định hàm số sau : i) (f ± g )(x ) = f (x ) ± g(x ) , (∀x ∈ D ) (1.1.2) ii) (f g )(x ) = f (x ).g (x ) , (∀x ∈ D ) (1.1.3) iii) f f (x ) g (x ) = g (x ) (g(x ) ≠ 0, ∀x ∈ D ) (1.1.4) gọi tổng, hiệu, tích, thương f g 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Hàm số đơn điệu Hàm số f (x ) gọi đơn điệu tăng (hay giảm) miền D với cặp số x1, x thuộc miền D từ x1 < x suy f (x1 ) ≤ f (x ) (hay f (x1 ) ≥ f (x ) ) Nếu từ x1 < x suy f (x1 ) < f (x ) (hay f (x1 ) > f (x ) ) ta nói hàm số f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) miền Ví dụ 3: Hàm y = f (x ) = x tăng nghiêm ngặt khoảng ( 0; +∞ ) Thật vậy, giả sử x1, x ∈ ( 0; +∞ ) x1 < x Xét f (x1 ) − f (x ) = x 12 − x 22 = (x1 − x )(x + x ) < x1 < x Suy f (x1 ) < f (x ) Vậy hàm số cho tăng nghiêm ngặt ( 0; +∞ ) Chú ý: Đồ thị hàm số đơn điệu tăng (giảm) lên (xuống) theo hướng từ trái qua phải y y O a b x O Đồ thị hàm số tăng a b Đồ thị hàm số giảm 1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ Cho hàm số f (x ) xác định tập đối xứng D (∀x ∈ D −x ∈ D ) Khi đó: f gọi chẵn với x ∈ D , ta có: f (−x ) = f (x ) f gọi lẻ với x ∈ D , ta có: f (−x ) = − f (x ) Ví dụ 4: x * Hàm số y = f (x ) = cos x + x − x hàm số chẵn * Hàm số y = g(x ) = x − x hàm số lẻ iii) Ý nghĩa chung: f '(x ) biểu thị tốc độ biến thiên hàm f x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp (ở u = u(x ) ) y 'x = y 'u u 'x f '(x ) (C )' = ' ( x α ) = α x α −1 ' (u α ) = α u α −1.u ' ' 1 = − x2 x (x ≠ 0) x ( x )' = ' 1 = −u' u2 u u' u ( u )' = (x > 0) (a x )' = a x ln a (a u )' = a u ln a.u ' (e x )' = e x (e u )' = e u u ' ( loga x ) ' (ln x )' = = x ln a ( loga u ) x ' (ln u )' = = u ' u ln a u' u (sin x ) ' = cos x (sin u )' = cos u u ' (cos x )' = − sin x (cos u )' = − sin u.u ' ( tan x )' = cos2 x ( cot x )' = − ( tan u )' = sin2 x (arcsin x )' = (arccos x )' = − u ' cos2 u ( cot u )' = − 1-x (arcsin u )' = 1-x u ' sin2 u (arccos u )' = − 35 1 - u2 u ' 1 - u2 u ' (arctan x )' = 1 + x2 (arc cot x )' = − (arctan u)' = 1 + x2 u ' + u2 (arc cot u )' = − u ' + u2 2.2 Vi phân hàm số 2.2.1 Vi phân 2.2.1.1 Định nghĩa ∆y ∆x →0 ∆x Cho y = f (x ) khả vi x ∈ (a, b ) Khi đó, f '(x ) = lim ∆y ∆y − f '(x )∆x ⇒ lim − f '(x ) = ⇒ lim = ∆x → ∆x ∆x → ∆x Hay ∆y − f '(x ).∆x = O(∆x ) ⇒ ∆y = f '(x ).∆x + O(∆x ) , đó: O(∆x ) VCB bậc cao ∆x ∆x → Ta gọi f '(x ).∆x vi phân hàm số f Kí hiệu : df , dy Chú ý: Đối với hàm số y = f (x ) = x , ta có dy = dx = ∆x nên biểu thức vi phân viết dy = f '(x ).dx (2.2.1) 2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân Cho hai hàm khả vi f , g, α ∈ R Ta có Ví dụ 7: i) d (α f ) = α df ii) d ( f ± g ) = df ± dg iii) d ( f g ) = g.df + f dg iv) f g.df − f dg (g(x ) ≠ 0) d = g g ( x ) a) d (x − 2x + 1) = (3x − 4x )dx = x (3x − 4)dx b) d (sin2 x ) = sin x cos xdx = sin 2xdx ? Tính a) d ( x + 3x − ) b) d (x sin 3x ) 2.2.1.3 Cơng thức tính xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) Giả sử hàm số y = f (x ) khả vi x Khi ∆x gần 0, ta có: ∆y ≈ f '(x ).∆x hay f (x + ∆x ) ≈ f (x ) + f '(x ).∆x 36 (2.2.2) Ví dụ 8: Tính gần A = 1, 02 Giải * Xét hàm số f (x ) = x * Chọn x = ⇒ ∆x = 0, 02 * Ta có: f (1) = f '(x ) = 33 x ⇒ f '(1) = Áp dụng cơng thức tính gần đúng, ta có f (x + ∆x ) ≈ f (x ) + f '(x ).∆x = + 0, 02 = 1, 0067 ? Tính gần B = sin 460 2.2.2 Vi phân cấp cao 2.2.2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số y = f (x ) khả vi khoảng (a, b) df = f '(x ).dx gọi vi phân cấp Nếu df khả vi vi phân gọi vi phân cấp f (x ) Kí hiệu d f = d (df ) Tương tự, vi phân d f gọi vi phân cấp f (x ) Kí hiệu d f = d (d f ) Tổng quát Nếu hàm số f (x ) khả vi đên cấp n điểm x ∈ (a, b) vi phân cấp n f (x ) vi phân vi phân cấp (n-1) f (x ) Kí hiệu: d n f = d (d n −1f ) (2.2.3) 2.2.2.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao Ta có: df = f '(x ).dx d f = d (df ) = d [ f '(x )dx ] = f ''(x )dx dx = f ''(x ) (dx )2 … d n f = d (d n −1 f ) = f (n ) (dx )n * Qui ước : (dx )n = dx n d n f = f (n )(x )dx n Vậy (trong f (n ) (2.2.4) đạo hàm cấp n f (x ) , dx n lũy thừa thật sự) 37 Ví dụ 9: Cho y = x + Tính d 5y = ? Giải: Ta có: d 5y = d (x + 1) = ! dx 2.3 Các định lý phép tính vi phân 2.3.1 Định lý Rolle Nếu f hàm số liên tục [a; b ] , khả vi (a; b ) f (a ) = f (b) ∃c ∈ (a;b ) : f '(c) = (2.3.1) 2.3.2 Định lý Lagrange Nếu f hàm số liên tục [a; b ] , khả vi (a; b ) thì: ∃c ∈ (a; b ) : f '(c) = f (b ) − f (a ) b −a (2.3.2) 2.3.3 Định lý Cauchy Nếu hai hàm f , g g '(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b ) liên tục ∃c ∈ (a; b ) : [a;b ] , khả vi (a; b ) f '(c ) f (b ) − f (a ) = g '(c) g (b ) − g(a ) (2.3.3) Nhận xét Định lý Lagrange trường hợp đặc biệt định lý Cauchy g (x ) = x Đinh lý Rolle trường hợp đặc biệt định lý Lagrange f (a ) = f (b) y f(b) f(a) O C B A a c b 38 x 2.3.4 Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định) * Qui tắc 1: (khử dạng vô định ) Nếu f , g thỏa điều kiện sau * Qui tắc 2: (khử dạng vô định ∞ ) ∞ Nếu f , g thỏa điều kiện sau i) f , g khả vi (a; b ) i) ii) f (x ) = g (x ) = ii) iii) g '(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ; b ) f , g khả vi (a; b ) lim f (x ) = lim g (x ) = +∞ x →x x →x iv) g '(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a ; b ) f '(x ) iv) lim = L ( L hữu hạn f '(x ) v) lim = L ( L hữu hạn x →x g '(x ) x →x g '(x ) vô hạn) vô hạn) f (x ) lim = L f (x ) lim = L x →x g(x ) x →x g(x ) Chú ý * Nếu ∃/ lim x →x f '(x ) f (x ) chưa thể kết luận lim x →x g (x ) g '(x ) * Có thể áp dụng qui tắc nhiều lần * Qui tắc 1, x → ∞ * Có thể dùng qui tắc để khử dạng vô định khác: ∞ − ∞; 0.∞; ∞0 ; 00 ;1∞ 0 →0 1 ∞ 0.∞ = ∞ → ∞ ∞ 1 1 − 1 v u ∞ ∞ −∞ = u −v = − = → ; 1 1 ∞ u v u v (hoặc nhân lượng liên hiệp hay qui đồng mẫu số) lim [v(x ) ln u(x )] Các dạng mũ: áp dụng công thức lim u(x )v (x ) = e x →x0 (2.3.4) x →x Đặc biệt: Dạng 1∞ áp dụng công thức: lim {[u(x )−1].v (x )} lim u(x )v (x ) = e x →x0 x →x 39 (2.3.5) Ví dụ 10: Tính: x3 0 a) A = lim x → x − sin x b) B = lim+ x α ln x x →0 (α > ) ( 0.∞ ) L x3 3x L 6x a) A = lim = lim = lim =6 x →0 x − sin x x →0 − cos x x →0 sin x Giải: b) B = lim+ x α ln x (α > ) x →0 ? ln x L xα x = lim+ = lim = lim = x →0+ −α x −α −1 x →0+ −α x →0 α x x b) lim+ x ln x (0.∞) a) lim − (∞ − ∞) x →0 x →1 x − ln x x −x e +e − 0 c) lim d) lim+ x x (00 ) x →0 x →0 0 x Tính: Chú ý: Cơng thức L’Hopital lúc sử dụng x + sin x ∞ Ví dụ 11: Tính I = lim x →+∞ 2x ∞ - Nếu dùng L’hopital L + cos x ( x + sin x )′ = lim (không tồn giới hạn) x →+∞ x →+∞ ( 2x )′ I = lim Thật vậy: + cos x , chọn {x n } {x 'n } dần +∞ n →∞ + cos x n x n = 2nπ → + ∞ lim = n →∞ 2 n →∞ + cos x n′ x n′ = ( 2n + 1) π → + ∞ lim = n →∞ + cos x Suy lim f (x n ) ≠ lim f (x 'n ) Vậy ∃/ lim n →∞ n →∞ x →+∞ - Nhưng khơng thể kết luận vì: sin x 1+ x = + lim sin x = + = I = lim x →+∞ 2 x →+∞ x 2 Đặt f (x ) = 40 2.3.5 Ứng dụng phép tính vi phân 2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu Định lý Cho hàm số y = f (x ) khả vi điểm thuộc [a; b ] Điều kiện cần đủ để f ( x) tăng (hay giảm) đoạn f '(x ) ≥ (hay f '(x ) ≤ 0) , ∀x ∈ (a; b ) Giả sử y = f (x ) khả vi ( a, b ) liên tục [a; b ] Nếu f '(x ) > (hay f '(x ) < 0) , ∀x ∈ (a; b ) f ( x) tăng (hay giảm) nghiêm ngặt [a; b ] 2.3.5.2 Cực trị địa phương hàm số a) Định nghĩa Giả sử hàm số y = f (x ) xác định (a, b), x0 ∈ (a, b) Hàm số f ( x) đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương x tồn lân cận ∆ x cho ∀x ∈ ∆ , ta có: f (x ) < f (x ) (f (x ) > f (x )) Khi f (x ) gọi cực đại (cực tiểu) f Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung cực trị (địa phương) hàm số b) Điều kiện cần cực trị Định lý Fermat Nếu hàm số f ( x) xác định khoảng (a, b) đạt cực đại (hay cực tiểu) địa phương x thuộc (a, b) tồn f '(x ) f '(x ) = Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x ) xác định khoảng (a, b) Điểm x ∈ (a, b) gọi điểm tới hạn f không tồn f '(x ) (điểm kỳ dị) f '(x ) = c) Điều kiện đủ cực trị Định lý 1: ( Xét dấu f ′(x ) ) Giả sử hàm số y = f (x ) liên tục lân cận điểm x , có đạo hàm lân cận (có thể trừ x ) Giả sử x điểm tới hạn hàm số Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x f (x ) đạt cực đại x Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x t f (x ) đạt cực tiểu x Nếu f '(x ) không đổi dấu x qua x thì f (x ) khơng đạt cực trị x Định lý 2: Giả sử y = f (x ) có đạo hàm liên tục đến cấp lân cận điểm x f '(x ) = , f ''(x ) ≠ Khi đó: Nếu f ''(x ) > f (x ) đạt cực tiểu x Nếu f ''(x ) < f (x ) đạt cực đại x 41 Ví dụ 12: Tìm cực trị hàm số sau a) y = f (x ) = x − x b) y = f (x ) = 3 x − x − 4x Giải a) * Tập xác định: D = [ −1;1] − 2x * y' = − x2 x = ⇒ y= − 2x 2 y' = ⇔ =0⇔ 2 1−x x = − ⇒ y = − y ′ không xác định x = ±1 * Bảng xét dấu x − -1 y’ y 0 (CT) − Vậy hàm số đạt cực đại x = 2 (CĐ) 2 & fCÑ = f = 2 đạt cực tiểu x = − b) 2 2 & fCT = f − =− 2 * Tập xác định: D = » * y ' = x − 3x − x = −1 ⇒ y = 13 y ' = ⇔ x − 3x − = ⇔ − 56 x = ⇒ y = * y '' = 2x − y ''(−1) = −5 < ⇒ Hàm số đạt cực đại x = −1 y ''(4) = > ⇒ Hàm số đạt cực tiểu x = 42 Định lý 3: (Tổng quát) Cho y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n (a, b) chứa x thỏa f ′(x ) = = f (n −1)(x ) = f (n )(x ) ≠ TH 1: n lẻ: Hàm số khơng có cực trị x TH 2: n chẵn - Nếu f (n )(x ) < hàm số đạt cực đại x - Nếu f (n )(x ) > hàm số đạt cực tiểui x Ví dụ 13: Tìm cực trị (nếu có) f (x ) = (x − 1)4 Giải Ta có y′ = 4( x − 1)3 = x = y′′ = 12( x − 1) = x = y′′′ = 24( x − 1) = x = y (4) = 24 ≠ 0, ∀x Theo định lý hàm số cho đạt cực tiểu x = yCT = 2.3.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ a) Định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) có tập xác định D X ⊂ D Số M gọi giá trị lớn f (x ) X nếu: ∃x ∈ X : f (x ) = M f (x ) ≤ M , ∀x ∈ X (2.3.6) Kí hiệu: M = max f (x ) x ∈X Số m gọi giá trị nhỏ f (x ) X nếu: ∃x ∈ X : f (x ) = m f (x ) ≥ m, ∀x ∈ X Kí hiệu: m = f (x ) x ∈X Chú ý: Hàm số không đạt max X ⊂ D b) Phương pháp tìm max, Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cách 2: Dùng bảng biến thiên Cách 3: Cách tìm GTLN GTNN hàm số y = f (x ) liên tục [a; b ] i) Tìm tất điểm tới hạn f khoảng (a; b ) ii) Tính giá trị hàm số điểm tới hạn f (a ) , f (b) 43 (2.3.7) iv) So sánh giá trị vừa tìm ⇒ fmax , fmin Chú ý: Nếu đề chưa cho đoạn [a; b ] ta phải tìm MXĐ hàm số trước Ví dụ 14: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = f (x ) = x − 6x + 9x [ −1; ] Giải * Hàm số liên tục [ −1; ] * y ' = 3x − 12x + x = y ' = ⇔ 3x − 12x + = ⇔ x = * f (1) = f (3) = f (−1) = −16 f (4) = Vậy ymax = x = x = y = −16 x = −1 ? Tìm GTLN GTNN hàm số a) y = 3π b) y = sin x + sin 2x 0; −x + 5x + 2.3.5.4 Bài toán tối ưu thực tế Trong thực tế, ta thường gặp toán có nội dung liên quan đến lựa chọn giải pháp tốt (hay gọi phương án tối ưu), điều kiện định Một mơ hình tốn học đơn giản tốn việc ‘Tìm GTNN hay GTLN hàm số ‘ B1 : Xác định đại lượng biến thiên đặt tên chúng B2 : Xác định mối liên hệ đại lượng theo giả thuyết B3 : Xác định đại lượng cần khảo sát cực trị viết dạng hàm theo đại lượng biến thiên xét B4 : Khảo sát hàm tìm B3 để tìm cực trị, giá trị lớn hay nhỏ Ví dụ 6: Một nhà máy dự định sản xuất lon chứa lít sữa hình trụ đứng Hãy xác định kích thước lon (tính cm) cho chi phí vật liệu thấp Giải * Gọi h, r chiều cao bán kính lon (h, r ≥ 0) * Theo giả thuyết, ta có : V = r 2π h = lít = 1.000 cm ⇒ h = 44 1.000 rπ 1.000 * Diện tích toàn phần lon là: Stp = 2π r + 2π hr = 2π r + rπ * Bài toán qui việc xác định kích thước h, r cho S nhỏ Ta có: ( ) 1.000 Stp = 2π 2r − = π r − 500 r π r ( ) π r − 500 = ⇔ r = r Bảng xét dấu ′ =0⇔ Stp r S’tp Stp 500 π 500 π +∞ +∞ +∞ ⇒ Stp đạt giá trị nhỏ r = 500 π (CT) 500 cm r = π Vậy kích thước lon để chi phí vật liệu thấp 500 h = 2.3 cm π ? Một chủ trang trại muốn rào miếng đất hình chủ nhật có cạnh tường dài, ba cạnh lại rào loại rào A Với 100m rào A sẵn có, hỏi người chủ trang trại phải rào để diện tích miếng đất rào lớn nhất? Tính diện tích lớn 2.3.5.5 Bài tốn mối liên hệ tốc độ biến thiên Mô hình chung « Xác định tốc độ biến thiên hàm nhờ vào tốc độ biến thiên hàm biết » B1 : Đặt tên đại lượng biến đổi có mặt tốn dạng hàm số theo biến thời gian B2 : Xác định mối liên hệ đại lượng B3 : Lấy đạo hàm theo biến thời gian, công thức tìm B2 Từ nhận mối liên hệ tộc độ biến thiên Chú ý: - Các đại lượng cho phải quy đổi đơn vị tính - Dựa theo ý nghĩa đại lượng cho để xác định dấu cho phù hợp 45 Ví dụ 7: Mực nhiên liệu hồ chứa hình trụ thay đổi ta bom nhiên liệu khỏi hồ với tốc độ 1500 lít/giờ Biết bán kính đáy hồ 5m Giải Gọi : - h(t) mực nhiên liệu hồ chứa thời điểm t - V(t) thể tích nhiên liệu có hồ thời điểm t Do thỏi sắt có dạng hình trụ nên : V (t ) = π (50)2 h(t ) Lấy đạo hàm vế theo biến t, ta : V ′(t ) = π (50)2 h ′(t ) ⇒ h ′(t ) = V ′(t ) π (50)2 Tại thời điểm t0 xét, ta có: V ′(t0 ) = −1500 ⇒ h ′(t0 ) = 1 −3 V ′(t0 ) = (−1500) = (dm/giờ) 2 5π π (50) π (50) −3 (dm/giờ) 5π Ví dụ 8: Người ta nhúng thỏi sắt hình trụ vào dung dịch axit để làm thí nghiệm Giả sử trình thỏi sắt tan dung dịch giữ dạng hình trụ a) Hãy tính tốc độ biến thiên thể tích thỏi sắt thời điểm mà chiều cao 50 cm giảm với tốc độ mm/ phút, cịn bán kính đáy 15 cm giảm với tốc độ mm/ phút b) Nếu tốc độ biến thiên thể tích khơng đổi thời gian cần làm thí nghiệm thêm thỏi sắt có đủ dùng cho thí nghiệm khơng ? Giải a) Gọi : - h(t) chiều cao thỏi sắt thời điểm t - R(t) bán kính đáy thỏi sắt thời điểm t - V(t) thể tích thỏi sắt thời điểm t Vậy mực nhiên liệu hồ giảm với tốc độ Do thỏi sắt có dạng hình trụ nên : V (t ) = π [R(t )] h(t ) Lấy đạo hàm vế theo biến t, ta được: V ′(t ) = π 2R(t )R′(t )h(t ) + [R(t )] h ′(t ) Tại thời điểm to xét, ta có : R(t0 ) = 15; R′(t0 ) = −0,1; h(t0 ) = 50; h ′(t0 ) = −0, ⇒ V ′(t0 ) = π 2.15.(−0,1).50 + (15)2 (−0, 2) = −195π cm3/ phút Vậy thể tích thỏi sắt giảm với tốc độ 195π cm3/ phút 46 b) Gọi T thời gian để chất điểm chuyển dịch kể từ thời điểm to : T = V (t ) − V (to ) V ′(to ) Tại thời điểm thỏi sắt tan hết : V (t ) = V (to ) π [R(t )] h(t ) π 152.50 ⇒T = = = = 57, 69 phút 195π V ′(to ) V ′(to ) Vậy thỏi sắt không đủ dùng cho thí nghiệm (xem tài liệu tham khảo 1, 3, 5, 7) 47 BÀI TẬP CHƯƠNG Tính đạo hàm hàm số sau x a) y = x + 1 d) y = 5−x 3x − g) y = ln(x + 2x ) 1 + 3x b) y = 2x 2 − x c) y = e) y = 3x + f) y = e x cos 3x h) y = (x − 2)2 x + (x − 5)3 i) y = (sin x )tan x Tính đạo hàm hàm số theo cấp a) y = e −x Tính y ′′ c) y = b) y = x sin 2x Tính y (n ) Tính y (n ) x (1 − x ) d) y = x 2eax Tính y (20) (0) Dùng vi phân tính gần số a) A = sin 290 c) C = b) B = arctan 1, 05 15, d) 2, 0372 − 2, 0372 + Dùng qui tắc L’Hospital tính giới hạn sau tan x − x `a) lim x → x − sin x x − + ln x x →1 ex − e d) lim x cot x − x →0 x2 x j) lim + sin x →±∞ x g) lim tan arc sin x b) lim x → arctan x c) lim x →0 f) lim 1+ x − 41−x x →0 + x − − x i) lim h) lim x →1 x k) lim arctan x x →+∞ π ln(1 − x ) e 3x − 3x − x →0 sin2 5x sin x − sin 2x x x →0 2e − − 2x − x e) lim ( π2 x ) 2x − − e x −1 x − ln x − l) limπ ( tan x )tan 2x x→ Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu chuyến xe có x hành x khách giá cho hành khách − (đồng) Hãy tính số hành khách 40 chuyến xe để chuyến xe thu nhiều tiền 48 x2 Một nhà máy sản xuất x sản phẩm ngày với chi phí + 35x + 25 x (đồng) giá bán sản phẩm 50 − (đồng) 2 a) Nhà máy nên sản xuất sản phẩm ngày để lợi nhuận cao nhất? b) Chứng minh chi phí cho sản phẩm theo phương án nhỏ nhất? Một công ty sản xuất đồ hộp muốn sản xuất loại hộp chứa hình trụ có khả chứa 100cm3 Mặt bên làm từ vật liệu có trị giá $0, 05 cm2, mặt đáy làm từ vật liệu có trị giá $0, 02 cm2 Tính kích thước hình trụ cho giá tiền làm hộp chứa nhỏ Qua quan sát người ta thấy số lượng vi khuẩn môi trường dinh dưỡng đồng thời điểm t N = 5000(25 + te −t / 20 ) Tìm số vi khuẩn lớn nhỏ mơi trường khoảng thời gian ≤ t ≤ 100 Nước bơm vào hồ chứa hình nón với tốc độ m3/ phút Hãy tính tốc độ biến thiên mực nước hồ thời điểm mà thể tích nước hồ 10 m3, bán kính đáy khối nước m tăng với tốc độ 0,2 m/ phút 10 Tìm tốc độ biến thiên thể tích hình lập phương cạnh giảm với tốc độ cm/ phút thể tích hình 216 cm3 11 Khi bảng phẳng kim loại hình trịn đun nóng, bán kính tăng với tốc độ 0,01 cm/ phút Tính tốc độ biến thiên diện tích bảng kim loại bán kính 50 cm 12 Một viên hóa chất hình cầu hịa tan dung dịch Hãy tính tốc độ biến thiên thể tích viên hóa chất thời điểm mà diện tích bề mặt 100 mm2 giảm với tốc độ π mm2/phút 49 ...UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV) (SỐ TÍN... HÀM SỐ 1. 1 Hàm số 1. 1 .1 Hàm số phép toán hàm số 1. 1 .1. 1 Định nghĩa 1. 1 .1. 2 Các phép toán hàm số 1. 1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1. 1.2 .1 Tính... 12 1. 2 Giới hạn tính liên tục hàm số 13 1. 2 .1 Giới hạn dãy số 13 1. 2 .1. 1 Định nghĩa dãy số 13 1. 2 .1. 2 Giới hạn dãy số 14 1. 2 .1. 3 Các phép toán