50 Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN C ỦA HÀM M ỘT BIẾN ���� Mục đích yêu cầu Học xong chương này, Sinh viên phải thành thạo Nắm vững công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản Các tính chất của tích[.]
Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Mục đích yêu cầu Học xong chương này, Sinh viên phải thành thạo: - Nắm vững cơng thức tính nguyên hàm hàm số - Các tính chất tích phân bất định, tích phân xác định - Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến số, phần - Tích phân hàm số hữu tỷ, vơ tỷ, lượng giác đơn giản qua vấn đề - Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz - Phân biệt khác phép biến đổi tích phân bất định tích phân xác định - Vận dụng phương pháp tính tích phân - Ứng dụng tính diện tích – thể tích - Tính tích phân suy rộng loại loại Kiến thức chuẩn bị Để học chương cần trang bị kiến thức: - Các công thức tính đạo hàm hàm số sơ cấp - Các cách tính đạo hàm vi phân hàm biến - Các cách tính giới hạn học chương chương 50 3.1 Tích phân khơng xác định 3.1.1 Ngun hàm tích phân khơng xác định 3.1.1.1 Định nghĩa Hàm số F (x ) gọi nguyên hàm hàm số f (x ) (a; b ) F '(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b ) (3.1.1) Ví dụ 1: ( sin x ) ' = cos x ⇒ sin x nguyên hàm cosx 3.1.1.2 Định lý * Mọi hàm số liên tục đoạn có nguyên hàm đoạn * Nếu F (x ) nguyên hàm f (x ) F (x ) + C nguyên hàm f (x ) (Việc tìm nguyên hàm hàm số cịn gọi phép lấy tích phân hàm số đó) Định nghĩa Tập tất nguyên hàm hàm số f (x ) gọi tích phân khơng xác định f (x ) , kí hiệu là: ∫ f (x )dx ∫ f (x )dx = F (x ) + C 3.1.1.3 Tính chất tích phân khơng xác định Cho f , g hàm số có nguyên hàm Khi ∫ λ f (x )dx = λ ∫ f (x )dx (λ số) ii) ∫ [ f (x ) ± g(x )] dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx i) iii) ( ∫ f (x )dx ) = f (x ) iv) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C ' 51 (3.1.2) Bảng tích phân số hàm số sơ cấp Nguyên hàm HSCB y = f (x ) Hàm y = ax + b ( a ≠ ) ∫ dx = x + C x α +1 + C (α ≠ −1) α +1 1 ∫ x 2dx = − x + C (x ≠ 0) ∫ x dx = x + C α ∫ x dx = ax ∫ a dx = ln a + C x x +C ∫ xdx = ln x + C ∫ sin xdx = - cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos2 xdx = tan x + C ∫ sin2 xdx = − cot x + C ∫ - x dx = arcsin x + C = − arccos x + C ∫ x + 1dx = arctan x + C = −arc cot x + C 1 x ∫ x + a 2dx = a arctan a + C 1 1+x dx = ln +C ∫ − x2 1−x 1 x −a ∫ x − a 2dx = 2a ln x + a ∫ x ±a 1 dx = ax + b + C ax + b a a a ′x +b a ′x +b ∫ a dx = a ′ ln a + C ax +b ax +b ∫ e dx = a e + C 1 ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C ∫ sin(ax + b)dx = - a cos(ax + b) + C cos( ax + b ) dx = sin(ax + b) + C ∫ a 1 dx = ∫ cos2(ax + b) a tan(ax + b) + C ∫ x ∫ e dx = e ∫ (ax + b)2dx = − a ax + b + C +C dx = ln x + x ± a + C 52 1 ∫ sin2(ax + b)dx = − a cot(ax + b) + C 3.1.2 Các phương pháp tính 3.1.2.1 Phương pháp phân tích Biến đổi hàm dấu tích phân dạng tổng hàm đơn giản dạng hàm bảng nguyên hàm Ví dụ 2: x5 x4 x2 −3 + + x +C a) ∫ (x − 3x + x + 1)dx = 4 b) ∫ x + x dx = ∫ xdx + ∫ dx = x x + x +C x dx c) ∫ sin x = − cos x - tan x + C dx = ∫ sin xdx − ∫ cos x cos2 x 3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số Qui tắc Đặt t = ψ (x ) , ψ (x ) hàm khả vi theo biến t Ta có ∫ f [ψ (x )] ψ ′(x )dx = ∫ f (t )dt (3.1.3) Qui tắc Đặt x = ϕ(t ) , ϕ(t ) hàm khả vi đơn điệu nghiêm ngặt theo biến t Ta có (3.1.4) ∫ f (x )dx = ∫ f [ϕ(t )] ϕ ′(t )dt Chú ý: Qui tắc thường áp dụng có tích phân có chứa a2 − x ; a2 + x ; x − a2 a sin t * ∫ R(x , a − x )dx , đặt x = a cos t (3.1.5) a tan t * ∫ R(x , a + x )dx , đặt x = a cot t a t * ∫ R(x , x − a )dx , đặt x = sin a cos t (3.1.6) (3.1.7) Ví dụ 3: Tính tích phân hàm số sau: a) I = ∫ (x − 3x + 1)5 (2x − 3)dx b) J = 53 ∫ sin x x2 dx (a > 0) Giải a) Đặt t = x − 3x + ⇔ dt = (2x − 3)dx t6 (x − 3x + 1)6 Khi I = ∫ t dt = +C = +C 6 b) Đặt t = x ⇔ t = x ⇔ 3t 2dt = dx sin t Khi I = ∫ 3t 2dt = ∫ sin tdt = −3 cos t + C = −3 cos x + C t ? Tính tích phân sau: x +1 dx a) ∫ tan xdx b) ∫ c) ∫ dx x ln x + 3x + Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I = ∫ a − x 2dx (a > 0) Giải π π Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt , với t ∈ − ; 2 Khi I = ∫ a2 a (1 − sin t ).a cos tdt = ∫ a cos tdt = (1 + cos 2t )dt ∫ 2 2 a2 sin 2t a2 x x 2 = t + +C = arcsin + a − x + C a 2a x x Mà sin t = ⇒ t = arcsin a a x sin 2t = sin t cos t = 2 a − x a ⇒I = a2 arcsin x + x a − x + C a a2 3.1.2.3 Phương pháp tích phân phần Giả sử u, v hàm khả vi Khi đó, ta có: ∫ udv = uv − ∫ vdu 54 (3.1.8) Nhận xét: Nếu P (x ) đa thức Đặt Dạng u du ∫ P(x ) sin(ax + b)dx P (x ) sin(ax + b)dx ∫ P(x ) cos(ax + b)dx P (x ) cos(ax + b)dx dx P (x ) eax +bdx ∫ P(x )arcsin(ax + b)dx P (x ) arcsin(ax + b) P (x )dx ∫ P(x )arccos(ax + b)dx arccos(ax + b) P (x )dx ln(ax + b) P (x )dx ∫ P(x )e ax +b ∫ P(x ) ln(ax + b)dx ∫e ax +b sin(ax + b)dx eax +b sin(ax + b)dx ∫e ax +b sin(ax + b)dx sin(ax + b) eax +bdx Ví dụ 5: Tính: a) I = ∫ xcosxdx b) J = ∫ x arctan xdx Giải: u = x du = dx a) Đặt ⇒ dv = cos xdx v = sin x Khi I = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C b) Đặt du = dx u = arc tan x x2 + ⇒ dv = xdx v=x x2 x2 x2 1 Khi I = arctan x − ∫ dx = arctan x − ∫ − dx 2 x +1 2 x + 1 = x2 1 arctan x − x + arctan x + C 2 Chú ý - Đối với nhiều tích phân khó ta phải đổi biến trước lấy tích phân phần - Phép lấy tích phân phần liên tiếp nhiều đưa tích phân ban đầu 55 ? a) I = ∫ cos xe sin xdx Tính: b) I = ∫ e x cos xdx 3.1.3 Tích phân số hàm thường gặp 3.1.3.1 Tích phân hàm hữu tỉ Adx dx a) ∫ =A∫ = A ln x − a + C x −a x −a Adx A −k = A ( x − a ) dx = (x − a )1−k + C b) ∫ k ∫ 1−k (x − a ) c) dx ∫ ax + bx + c Nếu ax + bx + c = , có hai nghiệm phân biệt Áp dụng công thức 1 x −a ∫ x − a 2dx = 2a ln x + a + C hay 1 x −a ∫ (x − a )(x − b)dx = a − b ∫ x − a − x − b dx = a − b ln x + a +C Nếu ax + bx + c = , có nghiệm kép 1 Áp dụng công thức: ∫ +C dx = − (ax + b) a ax + b hay 1 x −a ∫ (x − a )(x − b)dx = a − b ∫ x − a − x − b dx = a − b ln x + a +C Nếu ax + bx + c = vô nghiệm 1 x Áp dụng công thức: ∫ arctan + C dx = x +a a a Ví dụ 6: Tính: a) I = 3dx ∫ x − 4x − a) I = ∫ x − 4x − = 3∫ (x − 5)(x + 1) b) J = dx ∫ 4x − 4x + Giải 3dx dx 1 x −5 = ∫ − +C dx = ln x − x + 1 x +1 b) J = dx dx ∫ 4x − 4x + = ∫ (2x − 1)2 =− 56 +C 2(2x − 1) c) K = dx ∫ x + 2x + c) K = ? dx Tính a) I = d) dx ∫ x + 2x + = ∫ (x + 1)2 + = arctan(x + 1) + C dx ∫ 4x − x − Ax + B ∫ ax + bx + c dx b) J = dx ∫ x − 4x − c) K = dx ∫ x − 3x (A ≠ 0, a ≠ 0) Nếu ax + bx + c = , có hai nghiệm phân biệt Ta dùng phương pháp cân hệ số đồng bậc, đưa cách tính mục a) Nếu ax + bx + c = vơ nghiệm hay có nghiệm kép Ta phân tích Ax + B A 2ax + b Ab dx dx = dx + ( B − ) 2 ∫ ax + bx + c 2a ∫ ax + bx + c 2a ∫ ax + bx + c * 2ax + b ∫ ax + bx + cdx = ln ax + bx + c + C * ∫ ax + bx + c Ví dụ 7: Tính: a) I = dx tính mục c) 2x − ∫ x − 5x + 6dx b) J = x +1 ∫ x + x + 1dx Giải a) Ta phân tích 2x − A B (A + B )x − 3A − 2B = + = x − 5x + x − x − (x − 2)(x − 3) A + B = A = −3 * Cân hệ số đồng bậc, ta : ⇒ B = −3A − 2B = −1 I = b) J = = 2x − −3 ∫ x − 5x + 6dx = ∫ x − + x − dx = −3 ln x − + ln x − + C x −1 (2x + 1) − ( 2x + 1) dx dx dx = ∫ − ∫ 2 x +x +1 x +x +1 x +x +1 ∫ x + x + 1dx = ∫ dx 2x + ln(x + x + 1) − ∫ = ln(x + x + 1) − arctan +C 2 2 2 1 x + + 2 57 e) Tổng quát I = P (x ) ∫ Q(x ) dx Bước 1: Nếu bậc đa thức P (x ) lớn bậc đa thức Q(x ) ta chia P (x ) cho P (x ) p(x ) Q(x ) , ta có: = m(x ) + (trong đó: m(x ) đa thức bậc p(x ) < bậc Q(x ) Q(x ) Q(x ) ) Bước 2: Phân tích mẫu số phân thức thừa số tuyến tính bậc 2: Q(x ) = an (x − a )m (x − b)p (x + cx + d )l (x + ex + f )k (trong a, b, ∈ , c − 4d < 0, e − f < m + p + + 2(l + k ) = n ) Bước 3: Phân tích phân thức p(x ) thành tổng phân thức hữu tỉ đơn giản Q(x ) sau: p(x ) A1 A2 M1x + N M 2x + N = + + + + Q(x ) x − a (x − a ) x + px + q x + px + q ( ) + + Ml x + N l (x + px + q ) l Bước 4: Xác định hệ số A1, A2, , M 1, M , , N 1, N 2, phương pháp hệ số bất định Tích phân hàm hữu tỉ đơn giản A *I =∫ dx = A ln x − a + C x −a A (x − a )−K +1 *J =∫ dx = A +C ( x − a )K −K + *K = = Mx + N ∫ x + px + qdx M M = 2x + p ∫ x + px + qdx + (N − Mp dx )∫ 2 x + px + q d (x + px + q ) Mp ∫ x + px + q + (N − )∫ Đặt t = x + dx ( ) x+ p 2 +q − p p2 ; α2 = q − M Mp dt ln x + px + q + (N − )∫ 2 t + α2 M Mp t = ln x + px + q + (N − ) arctan 2 α α ⇒K = 58 p2 = *L= ∫ Đặt t = ( x+ M Mp ln x + px + q + (N − ) arctan 2 α α Mx + N Mx + N p p2 ; α =q − K dx = ∫ K dx với β = ( x + β )2 + α x + px + q x+β với I n = p α ) Gt + H G d (t + 1) ta : L = ∫ dt = ∫ + H I n , (t + 1)n t +1 dt ∫ (t + 1)n tính theo cơng thức truy hồi Ví dụ 8: Tính I = x2 − x + ∫ (x + 1)(x + x + 1)dx Giải * Ta phân tích x2 − x + A Bx + C (A + B )x + (A + B + C )x + A + C = + = (x + 1)(x + x + 1) x + x + x + (x + 1)(x + x + 1) A + B = A = * Cân hệ số đồng bậc, ta : A + B + C = −1 ⇔ B = C = − A + C = −2x − Suy I = ∫ dx + ∫ dx x +1 x +x +1 2x + dx = ln x + − ∫ dx + ∫ x + x + x +x +1 = ln x + − ∫ d (x + x + 1) dx −∫ 2 x +x +1 x + + 2 ( ) = ln x + − ln x + x + − ? a) I = Tính x + 2x − ∫ x − x + x − 1dx ax + b 3.1.3.2 Tích phân hàm vơ tỉ: ∫ R x , n cx + d Đặt t = n 2x + arctan +C 3 b) J = dx ax + b , đưa tích phân cho dạng hàm số hữu tỉ cx + d 59 ∫ x (x − 1)2 dx Ví dụ 9: Tính I = dx ∫1+ x +1 Giải: Đặt t = x + ⇔ t = x + ⇒ 3t 2dt = dx Khi I = t2 3t 2dt = ( t − + ) dt = − t + ln t + + C ∫ 1+t ∫ t +1 2 ( x + 1)2 = 3 − x + + ln x + + + C Chú ý : Nếu tích phân có dạng đổi biến cách đặt t = Ví dụ 10: Tính I = ∫ n ∫ R x, n ax + b n2 ax + b ax + b , , , nk cx + d cx + d cx + d dx ta ax + b với n = BCNN (n1, n2, , nk ) cx + d dx Đặt t = x x ( x + 1) 3.1.3.3 Tích phân hàm số lượng giác Tính I = ∫ R(sin x , cos x )dx , R(u, v ) hàm hữu tỉ theo u, v Phương pháp chung x 2dt Đặt t = tan ⇔ x = arctan t ⇒ dx = + t2 Áp dụng CT: 2t − t2 sin x = ; cos x = + t2 + t2 (3.1.9) 2t − t 2dt Khi I = ∫ R 2, 2 Đây tích phân hàm hữu tỷ theo biến t + t + t + t Một số trường hợp đặc biệt x Bằng phép t = tan đưa nguyên hàm hàm hữu tỷ theo t nhiều phép đưa đến việc tính tốn phức tạp Với số dạng đặc biệt ta có tính tốn đơn giản Dạng 1: R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x ) ta đặt t = tan x (hàm chẵn theo sin x , cosx ) dt * Đặt t = tan x ⇔ x = arctan t ⇒ dx = + t2 Áp dụng CT: t2 sin x = ; cos x = 1+t + t2 60 (3.1.10) Dạng 2: R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ) ta đặt t = cos x (hàm lẻ theo sin x ) Dạng 3: R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) ta đặt t = sin x (hàm lẻ theo cos x ) Ví dụ 11: Tính: dx dx a) I = ∫ b) J = ∫ sin x + cos x + sin2 x − 3cos2x sin xdx d) L = ∫ cos x c) K = ∫ cos xdx Giải x 2dt ⇒ dx = + t2 2dt 2dt + t2 Khi I = ∫ =∫ 2 2t 1−t 2t + 8t + +3 +5 1+t 1+t dt −1 −1 =∫ +C = +C = x (t + 2) t +2 tan + 2 dt b) Đặt t = tan x ⇔ x = arctan t ⇒ dx = + t2 a) Đặt t = tan Khi J = dx ∫ t2 − ( 3) = ln t− tan x − +C = ln +C tan x + t+ c) Đặt t = sin x ⇔ dt = cos xdx K = ∫ cos2 x cos xdx = ∫ (1 − sin2 x ) cos xdx t3 sin x = ∫ (1 − t )dt = t − + C = sin x + +C 3 d) Đặt t = cosx ⇔ dt = − sin xdx sin2 x sin xdx (1 − cos2 x ) sin xdx = ∫ cos x ∫ cos x t −1 t2 cos2 x =∫ dt = ∫ t − dt = − ln t + C = − ln cos x + C t t 2 L= ? Tính : dx a) I = ∫ + cos x sin2 x + b) J = ∫ dx cos4x sin x c) K = ∫ dx cos2x + d) L = 61 dx ∫ sin2 x cos x Ngoài số trường hợp việc áp dụng công thức lượng giác học giúp ta nhận kết dễ dàng Ví dụ 12: Tính I = ∫ sin 5x sin 3xdx 3.2 Tích phân xác định Bài tốn tính diện tích hình cong Cho hàm số (C ) : y = f (x ) xác định dương [a;b ] , có đồ thị biểu diễn hình vẽ y = f (x ) y B A O a x i −1 c i x i b x Hình phẳng giới hạn đường y = f (x ); x = a, x = b trục Ox gọi hình thang cong Ta tính diên tích hình thang cong AabB Ta chia đoạn [a;b ] thành n đoạn nhỏ điểm chia: x = a < x1 < x < < x n = b Tương ứng hình thang cong chia thành n cột cong nhỏ Ta gọi ∆x i đồng thời đoạn thẳng độ dài đoạn [x i -1, x i ], i = 1, , n d độ dài lớn ∆x i : dn = max {∆x i } 1≤ i ≤ n Trên đoạn ∆x i lấy điểm tuỳ ý ci Nếu ∆x i bé xem diện tích cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích hình chủ nhật có hai kích thước ∆x i ; f (ci ) : Si = f (ci )∆x i ( Si cột cong thứ i ) Do diện tích S AabB xấp xỉ với Sn = n ∑ f (ci )∆xi i =1 * Định nghĩa: Diện tích hình thang cong AabB S = lim dn → n ∑ f (ci )∆xi i =1 62 (nếu tồn tại) (3.1.11) 3.2.1 Định nghĩa Giả sử y = f (x ) hàm số xác định bị chặn [a;b ] Chia [a;b ] thành n đoạn nhỏ không giẫm lên điểm chia x = a < x1 < x < < x n = b ∆x i = x i − x i −1, (i = 1; n ) Gọi dn = max {∆x i } đặt 1≤ i ≤ n Trên đoạn ∆x i lấy điểm tuỳ ý ci lập tổng tích phân Sn = n ∑ f (ci )∆xi i =1 Khi n → ∞ dn → tồn giới hạn S = lim Sn tồn không phụ n →∞ thuộc vào cách chia đoạn [a;b ] cách lấy điểm ci ∈ ∆x i giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f (x ) [a;b ] , kí hiệu: b ∫ f (x )dx Khi đó, ta a nói f (x ) khả tích [a;b ] b n I = ∫ f (x )dx = lim ∑ f (ci )∆x i dn →0 a (3.2.1) i =1 * Ý nghĩa hình học tích phân xác định b Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) là: S = ∫ f (x )dx a 3.2.2 Tính chất Cho hàm số f , g khả tích [a;b ] Khi b i) b ∫ [ f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx a b ii) a (3.2.2) a b ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx a iii) b (3.2.3) a Nếu f (x ) ≤ g (x ) ∀x ∈ [a; b ] ta có b b ∫ f (x )dx ≤∫ g(x )dx a a iv) Nếu f (x ) hàm chẵn a a ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx −a (3.2.4) (3.2.5) a v) Nếu f (x ) hàm lẻ ∫ f (x )dx = −a 63 (3.2.6) Với c ∈ [a; b ] , ta có vi) b c b ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx a a (3.2.7) c 3.2.3 Các định lý phép tính tích phân Định lý (Đạo hàm theo cận trên) x Nếu f (x ) liên tục [a;b ] với x ∈ [a;b ] , hàm số F (x ) = ∫ f (t )dt khả vi x ta có F '(x ) = d dx a x ∫ f (t )dt = f (x ) (3.2.8) a ϕ (x ) ′ Hệ : ∫ f (t )dt = f [ϕ(x )] ϕ ′(x ) a (3.2.9) ψ (x ) ′ f (t )dt = f [ψ (x )]ψ ′(x ) − f [ϕ(x )]ψ ′(x ) ϕ (∫x ) (3.2.10) x2 ∫ sin tdt Ví dụ 13: Tính giới hạn: L = lim x →0 x 0 0 Giải x2 ′ ∫ sin tdt sin x 2x 2x L = lim = lim = lim = lim x = x →0 x →0 x → 3x x →0 x ′ x ( ) Định lý (Công thức Newton – Leibniz) Nếu f (x ) liên tục [a;b ] F (x ) nguyên hàm f (x ) b b ∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a ) a 3.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định Có phương pháp §1 a) Phương pháp đổi biến số (Nhớ đổi cận) b Tính I = ∫ f (x )dx với f hàm liên tục [a;b ] a 64 (3.2.10) - Đặt t = ψ (x ) sau tính dx theo t dt Qui tắc 1: x = a ⇒ t = α - Đổi cận: x = b ⇒ t = β - Tính f (x )dx = g(t )dt (theo t ) β b I = ∫ f (x )dx = ∫ g(t )dt - Suy : α a e2 Ví dụ 14: Tính a) I = ∫ e (3.2.11) dx x ln x b) J = π x sin xdx ∫ + cos2x Giải a) * Đặt t = ln x ⇔ dt = dx x x = e ⇒ t = * Đổi cận x = e ⇒ t = Khi I = b) dt ∫ t = ln t = ln * Đặt x = π − t ⇔ dx = −dt x = π ⇒ t = * Đổi cận x = ⇒ t = π (π − t ) sin(π − t )dt (π − t ) sin tdt J =∫ =∫ + cos (π − t ) + cos2t 0 = 1 π sin tdt t sin tdt π sin tdt ∫ + cos2t − ∫ + cos2t = ∫ + cos2t − J 0 π π π sin tdt π d (−cost ) π π2 Suy J = ∫ = = arctan(cost) = + cos2t ∫0 + cos2t π ? e Tính: a) I = ∫x Qui tắc 2: ln xdx − ln2 x b) K = 52 ∫ - Đặt x = ϕ(t ) ⇒ dx = ϕ ′(t )dt x = a ⇒ t = α - Đổi cận: x = b ⇒ t = β 65 π x dx d) L = (1 + x )3 ∫π − cos3 xdx sin x β b I = ∫ f (x )dx = ∫ f (ϕ(x ))ϕ ′(t )dt - Suy : α a Ví dụ 15: I = ∫ (3.2.12) − x 2dx Giải π π * Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt , với t ∈ − ; 2 x = ⇒ t = π * Đổi cận: x = ⇒ t = π π π + cos2t 1 π dt = t + sin 2t = Khi I = ∫ cos tdt = ∫ 2 0 0 ? Tính I = ∫ 2 − x 2dx b) Phương pháp tích phân phần Cho u, v hàm có đạo hàm liên tục [a;b ] Khi đó, ta có: b ∫ udv = uv b b a − ∫ vdu a (3.2.13) a Ví dụ 16: I = ∫ (x + 1)e 2xdx Giải u = x + Đặt dv = e 2x dx du = dx ⇒ 2x v= e 1 1 Khi I = (x + 1) e 2x − ∫ e 2xdx = e − e 2x 2 0 ? π /3 xdx Tính: a) I = ∫ sin2 x π /4 e b) J = ∫ x ln xdx 66 = 2x e + 4 3.2.5 Ứng dụng tích phân xác định a) Diện tích hình phẳng * Diện tích hình phẳng S giới hạn đường thẳng x = a , x = b , y = cung đồ thị hàm số liên tục y = f (x ) [a;b ] tính theo cơng thức b S = ∫ f (x )dx (3.2.14) a b y = f (x ) y Nếu f (x ) ≥ S = ∫ f (x )dx S a O b a b x Nếu f (x ) ≤ S = − ∫ f (x )dx a Lưu ý: Cho f ( x ) = (1) để tìm nghiệm (i) Nếu (1) khơng có nghiệm [ a; b ] b S = ∫ b f (x )dx = a ∫ f (x )dx (3.2.15) a (ii) Nếu (1) có nghiệm c ∈ [ a; b ] S = b c b a a c ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx (3.2.16) (iii) Nếu (1) có nghiệm c1 , c2 ∈ [ a; b ] c1 < c2 b S = ∫ a f (x )dx = c1 c2 ∫ f (x )dx + a b ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx c1 c2 (3.2.17) Chú ý: Nếu phương trình đường cong cho dạng x = g(y ) , g(y ) liên tục [c; d ] diện tích S tính theo cơng thức d S = ∫ g(y ) dy (3.2.18) c * Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = a , x = b cung hai đồ thị hàm số liên tục y = f1(x ); y = f2 (x ) [a;b ] tính theo cơng thức y = f1 (x ) y S O a y = f (x ) b x b S = ∫ f (x ) − f (x )dx a 67 (3.2.19) Lưu ý: Để tính tích phân ta cho f1(x ) − f2 (x ) = để tìm nghiệm thuộc [a;b ] , chia tích phân cần tính thành nhiều tích phân đoạn đoạn [a;b ] * Diện tích hình phẳng giới hạn cung có phương trình x = x (t ) , y = y(t ), a = x (t1 ) , b = y(t2 ), y = diện tích S = t2 ∫ y(t ).x '(t ) dt (3.2.20) t1 Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) : y = 2px (C ) : x = 2py p > y x = 2py Giải * Tìm giao điểm (C ) (C ) : Từ (1) (2): ⇒ O x4 = 2px ⇒ x − p x = ⇒ 4p 2p * Diện tích cần tìm : S = ∫ x y2 + = a b2 Phương trình tham số (E) x = a cos t (0 ≤ t ≤ 2π ) y = b sin t Do tính đối xứng hình, ta có π /2 ? x x = x = 2p y b Giải ∫ 2p x2 2 px − dx = p 2p Ví dụ 18: Tính diện tích (E ) : S =4 y = 2px p y = 2px (1) y = 2px ⇔ x2 (2) x = 2py y = 2p -a π /2 b sin t.(−a sin t ) dt = 4ab ∫ O -b sin2 tdt = π ab a a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = 2x + x − y − = b) Tính diện tích hình trịn (C ) : x + y = R2 68 x b) Độ dài cung đường cong phẳng * Cung (L) có phương trình y = f (x ), (a ≤ x ≤ b ) b l = Độ dài cung (L) ∫ + [y ′(t )] dt (3.2.21) a x = x (t ) * Cung (L) có phương trình tham số y = y(t ) l = Độ dài cung (L) ( t1 ≤ t ≤ t2 ) t2 2 ∫ [x ′(t )] + [y ′(t )] dt (3.2.22) t1 x = a(t − sin t ) Ví dụ 18: Tính độ dài cung cycloid: y = a(1 − cos t ) Giải Ta có: x ′ = a(1 − cost ); y ′ = a sin t ( ≤ t ≤ 2π ) Độ dài cung cần tìm L= 2π ∫ a (1 − cos t ) + a sin t dt = 2 2 2π ∫ t 4a s in dt = 2 2π t ∫ 2a sin dt 2π t = 2a ∫ sin dt = 8a ? x2 a) Tính độ dài dây cung parabol y = từ gốc O(0, 0) đến điểm M ( 2;2 ) b) Dùng tích phân xác định kiểm chứng chu vi đường trịn bán kính R 2π R c) Thể tích vật thể Giả sử ta có vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = a x = b Mặt phẳng vng góc với trục Ox x ∈ (a, b ) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S (x ) S (x ) hàm liên tục x Khi đó, thể tích vật thể tính cơng thức b (3.2.23) V = ∫ S (x )dx a d) Thể tích vật thể trịn xoay Vật thể trịn xoay vật thể tạo nên quay miền phẳng quanh trục nằm mặt phẳng chứa miền Để tính thể tích vật thể trịn xoay, ta xem xét hai phương pháp: cắt lớp vỏ hình trụ Việc chọn phương pháp thích hợp với vật thể cho dựa phương trình đường giới hạn miền quay trục quay 69 ... x + sin2 x − 3cos2x sin xdx d) L = ∫ cos x c) K = ∫ cos xdx Giải x 2dt ⇒ dx = + t2 2dt 2dt + t2 Khi I = ∫ =∫ 2 2t 1−t 2t + 8t + +3 +5 1+t 1+t dt −1 −1 =∫ +C = +C = x (t + 2) t +2 tan + 2 dt b)... ∫ 2p x2 2 px − dx = p 2p Ví dụ 18: Tính diện tích (E ) : S =4 y = 2px p y = 2px (1) y = 2px ⇔ x2 (2) x = 2py y = 2p -a π /2 b sin t.(−a sin t ) dt = 4ab ∫ O -b sin2 tdt... cost ); y ′ = a sin t ( ≤ t ≤ 2? ? ) Độ dài cung cần tìm L= 2? ? ∫ a (1 − cos t ) + a sin t dt = 2 2 2? ? ∫ t 4a s in dt = 2 2π t ∫ 2a sin dt 2? ? t = 2a ∫ sin dt = 8a ? x2 a) Tính độ dài dây cung parabol