UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA H ỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOAÙN CAO CAÁP NOÂNG NGHIEÄPTOAÙN CAO CAÁP NOÂNG NGHIEÄPTOAÙN CAO CAÁP NOÂNG NGHIEÄPTOAÙN CAO CAÁP NOÂN[.]
UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2012 (Lưu hành nội bộ) UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOAÙN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV) (SỐ TÍN CHỈ: (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) ThS Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2012 LỜI NÓI ĐẦU Đối tượng sử dụng Dùng cho sinh viên ngành Nuôi trồng thủy sản, Dịch vụ thú y, Bảo vệ thực vật sinh viên thuộc khối ngành khác sử dụng giảng tài liệu tham khảo Cấu trúc giảng: Gồm chương Đề cương học phần Vi Tích Phân chia làm chương: Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Mục tiêu mơn học Nhằm trang bị cho Sinh viên kiến thức Toán học để làm nên tảng cho việc học học phần sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả tư logic, phương pháp định lượng kinh tế kỹ thuật Cụ thể Cung cấp cho người học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Khái niệm đại lượng vô bé – vô lớn áp dụng vào khử dạng vơ định tính giới hạn tính chất hàm số liên tục Trang bị kiến thức đạo hàm, vi phân hàm biến Ứng dụng qui tắc L’Hospital khử dạng vô định tính giới hạn khảo sát hàm số, tìm cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ Từ đó, vận dụng để giải số toán tối ưu Cung cấp kiến thức tích phân (bất định, xác định, suy rộng) phương pháp tính loại tích phân Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích – thể tích vật thể Nhằm trang bị cho sinh viên kiến thức phép tính vi tích phân hàm nhiều biến làm sở cho việc nghiên cứu Toán học đại bậc Đại học môn học khác có liên quan Tuy nhiên, giảng khơng khai thác sâu vấn đề lý thuyết mà mức độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật Nhiều định lý phát biểu không chứng minh mà hướng dẫn sử dụng thơng qua hệ thống ví dụ tập Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mơ hình hóa vấn đề thực tế thành tốn Tốn học Phương pháp giảng dạy Giảng thảo luận, phân tích giải vấn đề đặt Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết Làm tập lớp : tiết Tự học : 60 tiết MỤC LỤC Trang Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.2 Các phép toán hàm số 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Tính đơn điệu 1.1.2.2 Tính chẵn lẻ 1.1.2.3 Tính tuần hoàn 1.1.3 Hàm số hợp hàm số ngược 1.1.3.1 Hàm số hợp 1.1.3.2 Hàm số ngược 1.1.4 Các hàm số sơ cấp 1.1.4.1 Hàm lũy thừa y = x α , ∀α ∈ 1.1.4.2 Hàm số mũ y = a x , < a ≠ 10 1.1.4.3 Hàm số logarit 10 1.1.4.4 Các hàm số lượng giác 11 1.1.4.5 Các hàm lượng giác ngược 12 1.2 Giới hạn tính liên tục hàm số 13 1.2.1 Giới hạn dãy số 13 1.2.1.1 Định nghĩa dãy số 13 1.2.1.2 Giới hạn dãy số 14 1.2.1.3 Các phép toán 15 1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt dãy 16 1.2.2 Giới hạn hàm 16 1.2.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2.2 Giới hạn phía 17 1.2.2.3 Các giới hạn vô tận vô tận 18 1.2.2.4 Các tính chất giới hạn hàm số 18 1.2.2.5 Các phép toán 19 ∞ 1.2.2.6 Các dạng vô định ; ; 0.∞; ∞ − ∞ 19 0 ∞ 1.2.2.7 Một số công thức giới hạn quan trọng 22 1.2.2.8 Đại lượng vô bé – đại lượng vô lớn 23 1.2.3 Tính liên tục hàm số 25 1.2.3.1 Định nghĩa 25 1.2.3.2 Điểm gián đoạn 25 1.2.3.3 Hàm số liên tục đoạn – khoảng 26 1.2.3.4 Các phép toán hàm số liên tục 27 1.2.3.5 Tính chất hàm số liên tục 27 Bài tập chương 28 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 30 2.1 Đạo hàm hàm số 31 2.1.1 Đạo hàm 31 2.1.1.1 Định nghĩa 31 2.1.1.2 Đạo hàm phía 31 2.1.1.3 Mối liên tục liên tục khả vi 32 2.1.1.4 Các qui tắc tính đạo hàm 32 2.1.1.5 Đạo hàm hàm số cho phương trình tham số 33 2.1.2 Đạo hàm cấp cao 33 2.1.2.1 Định nghĩa 33 2.1.2.2 Các phép toán 33 2.1.2.3 Một số đạo hàm cấp cao thông dụng 33 2.1.2.4 Ý nghĩa vật lý đạo hàm cấp 33 2.2 Vi phân hàm số 36 2.2.1 Vi phân 36 2.2.1.1 Định nghĩa 36 2.2.1.2 Các qui tắc tính vi phân 36 2.2.1.3 Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) 36 2.2.2 Vi phân cấp cao 37 2.2.2.1 Định nghĩa 37 2.2.2.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 37 2.3 Các định lý phép tính vi phân 38 2.3.1 Đinh lý Rolle 38 2.3.2 Định lý Lagrange 38 2.3.3 Định lý Cauchy 38 2.3.4 Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định) 39 2.3.5 Ứng dụng phép tính vi phân 41 2.3.5.1 Xác định khoảng đơn điệu 41 2.3.5.2 Cực trị địa phương hàm số 41 2.3.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 43 2.3.5.4 Bài toán tối ưu thực tế 43 2.3.5.5 Bài toán mối liên hệ tốc độ biến thiên 45 Bài tập chương 48 Chương PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 50 3.1 Tích phân bất định 51 3.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 51 3.1.1.1 Định nghĩa 51 3.1.1.2 Định lý 51 3.1.1.3 Tính chất nguyên hàm 51 3.1.2 Các phương pháp tính 52 3.1.2.1 Phương pháp phân tích 52 3.1.2.2 Phương pháp đổi biến số 52 3.1.2.3 Phương pháp tích phân phần 54 3.1.3 Tích phân số hàm thường gặp 56 3.1.3.1 Tích phân hàm hữu tỉ 56 3.1.3.2 Tích phân hàm vơ tỉ 59 3.1.3.3 Tích phân hàm số lượng giác 60 3.2 Tích phân xác định 62 3.2.1 Tích phân xác định 62 3.2.1.1 Định nghĩa 63 3.2.1.2 Tính chất 63 3.2.1.3 Các định lý phép tính tích phân 64 3.2.1.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 64 3.2.1.5 Ứng dụng tích phân xác định 67 3.3 Tích phân suy rộng 72 3.3.1 Tích phân suy rộng loại (tích phân cận vơ tận) 72 3.3.2 Tích phân suy rộng loại 74 3.3.3 Một vài tiêu chuẩn hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng 74 Bài tập chương 78 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 80 4.1 Khái niệm hàm nhiều biến 81 4.1.1 Khái niệm không gian n 81 4.1.1.1 Định nghĩa 81 4.1.1.2 Các phép toán 81 4.1.2 Định nghĩa hàm nhiều biến 81 4.2 Giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến 83 4.2.1 Định nghĩa giới hạn dãy 83 4.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm biến (giới hạn kép giới hạn bội) 83 4.2.3 Tính chất (Tương tự hàm biến) 84 4.2.4 Tính liên tục hàm số 85 4.2.4.1 Định nghĩa 85 4.2.4.2 Điểm gián đoạn 86 4.3 Đạo hàm hàm hai biến 86 4.3.1 Đạo hàm riêng 86 4.3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 86 4.3.1.2 Cách tính 87 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 87 4.3.2.1 Định nghĩa 87 4.3.2.2 Định lý (SCHWARTZ) 89 4.3.3 Đạo hàm hàm hợp 89 4.3.3.1 Định nghĩa 89 4.3.3.2 Định lý (Quy tắc xích) 89 4.3.4 Đạo hàm hàm ẩn 90 4.3.4.1 Định nghĩa 90 4.3.4.2 Định lý tồn hàm ẩn 90 4.3.4.3 Đạo hàm hàm ẩn 91 4.4 Vi phân hàm hai biến 93 4.4.1 Sự Khả vi 93 4.4.1.1.Định nghĩa 93 4.4.1.2 Mối liên hệ liên tục khả vi 93 4.4.2 Vi phân toàn phần 94 4.4.2.1 Định nghĩa 94 4.4.2.2 Các qui tắc tính vi phân 94 4.4.2.3 Áp dụng vi phân tính gần 94 4.4.3 Vi phân cấp cao 95 4.4.3.1 Định nghĩa 95 4.4.3.2 Liên hệ vi phân cấp cao đạo hàm cấp cao 95 4.4.4 Công thức Taylor 96 4.5 Cực trị hàm hai biến 97 4.5.1 Cực trị địa phương 97 4.5.1.1 Định nghĩa 97 4.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 98 4.5.1.3 Điều kiện đủ cực trị 99 4.5.2 Cực trị có điều kiện 100 4.5.2.1 Định nghĩa 100 4.5.2.2 Cách tìm cực trị có điều kiện 100 a) Phương pháp 101 b) Phương pháp nhân tử Lagrange 102 4.5.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ 104 Bài tập chương 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 Chương HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Mục đích yêu cầu Chương cung cấp cho người học kiến thức giới hạn tính liên tục hàm biến Các phép tốn tính giới hạn Khái niệm đại lượng vô bé – vô lớn áp dụng vào tính giới hạn Các tính chất hàm số liên tục Sau học xong chương này, Sinh viên cần đạt được: - Hệ thống hóa kiến thức giới hạn dãy số, hàm số, phép tốn việc thực tính giới hạn Hiểu vận dụng phương pháp giải giới thiệu dạng toán, vấn đề, áp dụng công thức giới hạn đặc biệt giảng dạy - Hiểu vận dụng phép tính đại lượng vô bé (VCB), vô lớn (VCL) Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vơ định tính giới hạn - Hiểu khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, tính chất hàm số liên tục đoạn [a, b ] - Làm tập tương tự Kiến thức chuẩn bị Khái niệm hàm số, miền xác định, tính chất đặc biệt hàm số, đồ thị hàm số sơ cấp Ơn lại kiến thức tính giới hạn, tính liên tục hàm số (lớp 11) 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số phép toán hàm số 1.1.1.1 Định nghĩa Cho X ,Y ⊂ ; X ,Y ≠ ∅ , hàm số f qui luật cho ứng với giá trị biến x ∈ X có giá trị thực y ∈ Y , kí hiệu y = f (x ) * Hàm số viết dạng sơ đồ sau: f : X →Y x y = f (x ) (1.1.1) Biến x gọi biến độc lập y = f (x ) gọi biến phụ thuộc Tập D = {x ∈ | f (x ) có nghĩa} gọi miền xác định hàm số { } Tập Y = f (X ) = f (x ) | x ∈ X gọi miền giá trị hàm số * Đồ thị hàm số y = f (x ) tập hợp điểm có tọa độ (x , f (x )) hệ tọa độ Descartes Kí hiệu: G = {M (x , f (x )) : x ∈ X } Ví dụ 1: Tìm miền xác định hàm số sau a) y = 2x + Miền xác định: D = b) y = 2x x −1 Miền xác định: D = \ {−1;1} x +3 c) y = Hàm số có nghĩa khi: 2x − Vậy miền xác định D = [ −3; +∞ ) \ {12} x ≥ −3 x + ≥ 2x − ≠ ⇔ x ≠ Chú ý: Hàm số y = f (x ) mô tả mối liên hệ hai đại lượng x y Ví dụ : * Xét chuyển động có vận tốc 60 km/h Mối liên hệ thời gian chuyển động t(h) quãng đường s(km) chuyển động hàm số s = s(t ) = 60t * Khi ni bị, quan sát q trình tăng trọng bị ta có mối liên hệ thời gian nuôi t(tuần) trọng lượng m(kg) bò hàm số m = m(t ) 1.1.1.2 Các phép toán hàm số Cho hàm số f (x ), g(x ) có miền xác định D Khi đó, ta xác định hàm số sau : i) (f ± g )(x ) = f (x ) ± g(x ) , (∀x ∈ D ) (1.1.2) ii) (f g )(x ) = f (x ).g (x ) , (∀x ∈ D ) (1.1.3) iii) f f (x ) g (x ) = g (x ) (g(x ) ≠ 0, ∀x ∈ D ) (1.1.4) gọi tổng, hiệu, tích, thương f g 1.1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.1.2.1 Hàm số đơn điệu Hàm số f (x ) gọi đơn điệu tăng (hay giảm) miền D với cặp số x1, x thuộc miền D từ x1 < x suy f (x1 ) ≤ f (x ) (hay f (x1 ) ≥ f (x ) ) Nếu từ x1 < x suy f (x1 ) < f (x ) (hay f (x1 ) > f (x ) ) ta nói hàm số f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) miền Ví dụ 3: Hàm y = f (x ) = x tăng nghiêm ngặt khoảng ( 0; +∞ ) Thật vậy, giả sử x1, x ∈ ( 0; +∞ ) x1 < x Xét f (x1 ) − f (x ) = x 12 − x 22 = (x1 − x )(x + x ) < x1 < x Suy f (x1 ) < f (x ) Vậy hàm số cho tăng nghiêm ngặt ( 0; +∞ ) Chú ý: Đồ thị hàm số đơn điệu tăng (giảm) lên (xuống) theo hướng từ trái qua phải y y O a b x O Đồ thị hàm số tăng a b Đồ thị hàm số giảm 1.1.2.2 Hàm số chẵn lẻ Cho hàm số f (x ) xác định tập đối xứng D (∀x ∈ D −x ∈ D ) Khi đó: f gọi chẵn với x ∈ D , ta có: f (−x ) = f (x ) f gọi lẻ với x ∈ D , ta có: f (−x ) = − f (x ) Ví dụ 4: x * Hàm số y = f (x ) = cos x + x − x hàm số chẵn * Hàm số y = g(x ) = x − x hàm số lẻ Chú ý: - Đồ thị hàm số chẵn đối xứng với qua trục Oy - Đồ thị hàm số lẻ đối xứng với qua gốc O y y y = f (x ) O O x Dạng đồ thị hàm số chẵn x Dạng đồ thị hàm số lẻ 1.1.2.3 Hàm số tuần hoàn Hàm số f (x ) gọi tuần hoàn miền D tồn số T ≠ cho với x ∈ D , ta có: f (x + T ) = f (x ) Số T0 > nhỏ định nghĩa (nếu có) gọi chu kì hàm số tuần hồn f Ví dụ * Hàm số y = f (x ) = sin x ; y = f (x ) = cos x tuần hồn với chu kì T0 = 2π * Hàm số y = f (x ) = tan x ; y = f (x ) = cot x tuần hồn với chu kì T0 = π * Hàm số y = sin(ax + b) ; y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T0 = 2π a 1.1.3 Hàm số hợp hàm số ngược 1.1.3.1 Hàm số hợp Cho hàm số f : X → Y , g : Y → Z , với f (X ) ⊂ Y Khi đó, hàm số đn h : X → Z với h(x ) = g [ f (x )] gọi hàm số hợp f g Kí hiệu là: h = g f y = f (x ) f x g đn h (x ) = g [ f (x )] gf Miền xác định hàm hợp g f tập số thực x thuộc miền xác định hàm f cho f (x ) thuộc miền xác định hàm g Chú ý: ( g f ) (x ) ≠ ( f g ) (x ) Ví dụ 6: Cho hàm số f (x ) = x , g(x ) = x − Hãy xác định hàm hợp g f , f g , g g , f f miền xác định chúng Giải Ta có: f (x ) = x Miền xác định Df = [ 0; +∞ ) g(x ) = x − Miền xác định Dg = Suy : ( g f ) (x ) = g [ f (x )] = g( x ) = x − Miền xác định D = [ 0; +∞ ) ( f g ) (x ) = f [g(x )] = x − Miền xác định D = [5; +∞ ) ( f f ) (x ) = f [ f (x )] = Miền xác định D = [ 0; +∞ ) x = 4x ( g g ) (x ) = g [g(x )] = x − 10 Miền xác định D = Cho hàm số f (x ) = 2x + , g(x ) = x + Hãy xác định hàm hợp g f , f g , g g , f f miền xác định chúng ? 1.1.3.2 Hàm số ngược Cho hàm số f : X → Y x y = f (x ) có miền xác định X miền giá trị Y thỏa với x1 ≠ x f (x1 ) ≠ f (x ) Khi đó, hàm số ngược f , kí hiệu f −1 xác định: f −1 : Y → X y x = f −1(y ) (thỏa điều kiện y = f (x ) ) có miền xác định Y miền giá trị tập X Ví dụ * Hàm số y = x có hàm số ngược x = y * Hàm số y = e x có miền xác định D = có miền giá trị T = ( 0; +∞ ) Hàm có hàm ngược x = ln y xác định D = ( 0; +∞ ) có miền giá trị T = y y = ex y =x y = ln x O x Chú ý + Đồ thị hai hàm số ngược đối xứng với qua đường thẳng y = x + Có số hàm xét chung miền xác định khơng tồn hàm ngược giới hạn lại miền xác định tồn hàm ngược, cụ thể : Hàm số y = x , D = khơng có hàm số ngược tồn trục số khơng phải song ánh Nhưng hàm y = x có D = [0;+∞) có hàm ngược y= x + Nếu hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt (a, b) có hàm ngược (a, b) 1.1.4 Các hàm số sơ cấp y = x2 y =x y α 1.1.4.1 Hàm lũy thừa y = x , ∀α ∈ Miền xác định: D = trừ trường hợp * Nếu α ngun dương hàm số có miền xác định * Nếu α nguyên âm α = hàm số có miền xác định * Đồ thị * Luôn qua điểm (1;1) y = x 1/ y = x −1 x O * α > hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) * α < hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) Một số tính chất lũy thừa a α = a n = a.a a ( n thừa số a ) a0 = a α = 1α = 1, ∀α a −n = a α a β = a α + β (a α )β = a α β (ab)α = a α bα a α a α = α b b na = b ⇔ bn = a n mna aα α −β β =a a m an = n am n ab = n a n b a na = n (b > 0) b b an p n a p = ( n a ) (a > 0) = mn a Với a > , a α > a β ⇔ α > β Với < a < , a α < a β ⇔ α > β 1.1.4.2 Hàm số mũ y = a x , < a ≠ y = ax Hàm số mũ hàm có dạng y = a x , a gọi số < a ≠ x biến (a < 1) 10 y y = ax (a > 1) Miền xác định: D = Miền giá trị là: T = (0; +∞) Đồ thị * a > : hàm tăng * < a < : hàm giảm * Ln qua điểm (0,1) , nằm phía trục Ox tiệm cận với Ox 1.1.4.3 Hàm số logarit Hàm số ngược hàm số mũ y = a x gọi hàm logarit, kí hiệu y = loga x , < a ≠ Miền xác định hàm logarit D = (0, +∞) miền giá trị T = Logarit thập phân : lg b = log b = log10 b n Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b (với e = lim + ≈ 2, 718281 ) n →∞ n ln x = Theo cơng thức biến đổi số, ta có: Đồ thị: lg x lg e * a > : hàm tăng * < a < : hàm giảm * Luôn qua điểm (1, 0) , nằm bên phải trục Oy tiệm cận với Oy y y = loga x (a > 1) O Một số tính chất logarit: < a, b, c ≠ loga = loga a = a loga b = b loga ab = b loga (bc) = loga b + loga c loga bα = α loga b (a < 1) b loga = loga b − loga c c logaα c = loga c (α ≠ 0) α logb c = loga b loga c loga b logb c = loga c loga b = logb a a logb c = c logb a 11 x y = loga x 1.1.4.4 Các hàm số lượng giác cos x sin x xem tọa độ điểm Px đường tròn đơn vị (C), vị trí cách điểm A(1,0) độ dài x , đo dọc theo đường tròn (C) theo ngược chiều kim đồng hồ x > chiều x < Khi đó, số đo góc sin x cos x AOP = x (radians) Ta định nghĩa tan x = ; cot x = cos x sin x y Trên hình ta có C B D OP = cos x Px Q OQ = sin x BD = cot x x AC = tan x O x P A(1,0) * Hàm y = sin x có miền xác định D = miền giá trị T = [ −1;1] , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 = 2π * Hàm y = cos x có miền xác định D = miền giá trị T = [ −1;1] , hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T0 = 2π * Hàm số y = tan x có miền xác định D = \ giá trị T = , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 = π {π2 + kπ } (k ∈ ) miền * Hàm số y = cot x có miền xác định D = \ {k π } (k ∈ ) miền giá trị T = tuần hoàn với chu kỳ T0 = π 1.1.4.5 Các hàm lượng giác ngược a Hàm số y = arcsin x π π Do y = sin x hàm tăng nghiêm ngặt − ; nên có hàm ngược 2 π π f −1 : [ −1;1] → − ; 2 (1.1.5) x y = arcsin x Ví dụ 8: arcsin = 0; arcsin(−1) = − π ; arcsin π = b Hàm số y = arccos x Do y = cos x hàm giảm nghiêm ngặt [ 0; π ] nên có hàm ngược 12 f −1 : [ −1;1] → [ 0; π ] x y = arccos x Ví dụ 9: arccos = π ; arccos(−1) = π ; arccos (1.1.6) π −1 2π = ; arccos = c Hàm số y = arctan x π π Do y = tan x hàm tăng nghiêm ngặt − ; nên có hàm ngược 2 π π f −1 : → − ; 2 x y = arctan x (1.1.7) −π π ; arctan = π π * Qui ước : arctan ( +∞ ) = ; arctan ( −∞ ) = − 2 d Hàm số y = arc cot x Ví dụ 10: arctan = 0; arctan(−1) = Do y = cot x hàm giảm nghiêm ngặt ( 0; π ) nên có hàm ngược f −1 : → ( 0; π ) (1.1.8) x y = arc cot x p 3p p ; arc cot(-1) = ; arc cot = * Qui ước : arc cot ( +∞ ) = 0; arc cot ( −∞ ) = π Ví dụ 11: arc cot = 1.2 Giới hạn tính liên tục hàm số 1.2.1 Giới hạn dãy số 1.2.1.1 Định nghĩa dãy số Cho hàm số f (n ) xác định tập số tự nhiên Ứng với giá trị n = 1, 2,3, ta có tập giá trị x1 = f (1), x2 = f (2), lập thành dãy số Kí hiệu: {x n } (1.2.1) x n : số hạng tổng quát {x n } n : số số hạng x n 13 Ví dụ 12: x n = n ⇒ {x n } : ; ; n +1 x n = (−1)n ⇒ {x n } : -1; 1; -1; Nhắc lại + Cấp số cộng {x n } với công sai d : x n = x n −1 + d = x1 + (n − 1)d tổng Sn = n ∑ xn i =1 = n [2x1 + (n − 1)d ] (1.2.2) + Cấp số nhân {x n } với công bội q : x n = x n −1.q = x1.q n −1 tổng Sn = n ∑ x n = x1 i =1 − qn , (q ≠ 1) 1−q (1.2.3) 1.2.1.2 Giới hạn dãy số Dãy số {x n } gọi hội tụ L (hữu hạn) n → ∞ (∀ε > 0) (∃N ∈ ) (∀n > N x n − L < ε ) (1.2.4) n →∞ Kí hiệu: lim x n = L hay x n →L n →∞ Chú ý: Nếu dãy {x n } có giới hạn ta nói dãy hội tụ, ngược lại {x n } khơng có giới hạn ta nói dãy phân kỳ Ví dụ 13: Chứng minh 1 a) lim = Tổng quát : lim k = n →∞ n n →∞ n 1 Thật vậy, ∀ε > 0, xét x n − L = − = < ε ⇔ n > n n ε Ta chọn N = ε 1 Khi đó: ∀ε > 0, ∃N = ∈ : ∀n > N0 −0 0, xét x n − L = q n − = q n < ε ⇔ n > log q ε Ta chọn N = log q ε Khi đó: ∀ε > 0, ∃N = log q ε ∈ : ∀n > N0 q n − < ε 14 Vậy lim q n = n →∞ Các dãy dần đến vô cực * lim x n = ∞ ⇔ ( ∀M > 0, ∃N0 : ∀n > N ⇒ x n > M ) n →∞ * lim x n = +∞ ⇔ ( ∀M > 0, ∃N0 : ∀n > N ⇒ x n > M ) n →∞ * lim x n = −∞ ⇔ ( ∀M > 0, ∃N0 : ∀n > N ⇒ x n < −M ) n →∞ Ví dụ 14: Chứng minh lim n = ∞ n →∞ Thật vậy: ∀M > 0, xét x n > M ⇔ n > M ⇔ n > M ⇔ n > M2 Ta chọn số tự nhiên N cho N > M Khi đó: ∀M > 0, ∃N : ∀n > N0 ⇒ n >M Vậy lim n = ∞ n →∞ 1.2.1.3 Các phép toán Định lý: Nếu lim x n = L lim yn = M n →∞ i) iii) n →∞ lim(x n ± yn ) = L ± M ii) x L (yn ≠ 0, ∀n, M ≠ 0) lim n = n →∞ yn M iv) n →∞ lim(x n yn ) = L.M n →∞ lim kx n = k L n →∞ ( k số) Ví dụ 15: Tính: 2n − 4n + 3n + a) lim n →∞ n − 5n + n2 − n + b) lim n →∞ n + 2n 5n − n − c) lim n →∞ n +1 2n + 4n d) lim n n n →∞ 2.3 + 4n + − n n →∞ n + 3n − e) lim ( ) f) lim 2n − 4n − 6n + n →∞ Định nghĩa i) Dãy {x n } gọi dãy tăng (hay tăng nghiêm ngặt) x n ≤ x n +1, ∀n (hay x n < x n +1, ∀n ) Dãy {x n } gọi dãy giảm (hay giảm nghiêm ngặt) x n ≥ x n +1, ∀n (hay x n > x n +1, ∀n ) 15 Dãy tăng giảm gọi dãy đơn điệu ii) Dãy {x n } gọi bị chặn (trên) tồn A cho A ≤ x n , ∀n ( x n ≤ A, ∀n ) Dãy {x n } gọi bị chặn bị chặn chặn 1.2.1.4 Một số tính chất đặc biệt dãy Giới hạn dãy {x n } (nếu có) i) ii) Mỗi dãy hội tụ bị chặn Ngồi ta cịn chứng minh tiêu chuẩn hội tụ quan trọng dãy sau Định lý (Tiêu chuẩn kẹp giữa) Cho {x n } , {yn } {z n } Nếu: lim x n = lim yn = L x n ≤ z n ≤ yn , ∀n n →∞ lim z n = L n →∞ n →∞ sin n n →∞ n sin n Giải: Ta có: ∀n ∈ N * , ta có − ≤ ≤ n n n sin n 1 Vì lim = lim − = nên lim = n →∞ n n →∞ n n →∞ n Ví dụ 16: Tìm giới hạn lim Định lý (điều kiện tồn giới hạn) Nếu {x n } tăng (giảm) bị chặn (dưới) dãy hội tụ (có giới hạn hữu hạn) Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần đủ để dãy {x n } hội tụ (∀ε > 0) (∃N ) ∈ ) (∀n, m > N ⇒ x n − x m < ε 1.2.2 Giới hạn hàm số 1.2.2.1 Định nghĩa (ngôn ngữ ε , δ ) Số L (hữu hạn) gọi giới hạn f (x ) x → x , x ≠ x (∀ε > 0)( ∃δ (ε ) > 0) ( ∀x : < x − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε ) Ki hiệu: lim f (x ) = L x →x hay (1.2.5) f (x ) → L x → x x2 − Ví dụ 17: Dùng định nghĩa chứng minh lim = x →2 x − Thật vậy, ∀ε > , xét: f (x ) − L < ε ⇔ Ta chọn δ = ε Khi đó: 16 x2 − −4 < ε ⇔ x −2 < ε x −2 ∀ε > 0, ∃δ = ε > : ∀x thỏa < x − < δ , ta có: x2 − −4 0)( ∃δ (ε ) > 0) ( ∀x : < x − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε ) (1.2.7) Kí hiệu: lim− f (x ) = L hay f (x 0− ) x →x * Số L gọi giới hạn phải f (x ) x → x (∀ε > 0)( ∃δ (ε ) > 0) ( ∀x : < x − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε ) Kí hiệu: lim+ f (x ) = L hay f (x 0+ ) x →x Ví dụ 19: Xét hàm số: f (x ) = x x = , ta có f (1+ ) = lim+ f (x ) = lim+ x = x →1 x →1 17 (1.2.8) ...UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP NÔNG NGHIỆP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV)... HÀM SỐ 1. 1 Hàm số 1. 1 .1 Hàm số phép toán hàm số 1. 1 .1. 1 Định nghĩa 1. 1 .1. 2 Các phép toán hàm số 1. 1.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1. 1.2 .1 Tính... 12 1. 2 Giới hạn tính liên tục hàm số 13 1. 2 .1 Giới hạn dãy số 13 1. 2 .1. 1 Định nghĩa dãy số 13 1. 2 .1. 2 Giới hạn dãy số 14 1. 2 .1. 3 Các phép toán