GV Ngô Thế Hoàng THCS Hợp Đức 1 CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ DẠNG 1 Tìm n để phân số tối giản Bài 1 Tìm n N để các phân số tối giản a, 7 2 n A n + = − b, 13 2 n B n + = − c, 2 3 4 1 n C n + = + d, 3 2 7 1 n A n[.]
CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ DẠNG 1: Tìm n để phân số tối giản: Bài 1: Tìm n N để phân số tối giản: 3n + 2n + n + 13 n+7 a, A = b, B = c, C = d, A = 7n + 4n + n−2 n−2 HD: n−2+9 = 1+ a, A = n−2 n−2 Để A tối giản tối giản hay n − 3k = n 3k + 2(k N ) n−2 n − + 15 15 = 1+ b, A = n−2 n−2 15 Để A tối giản tối giản hay n − 3k = n 3k + 2(k N ) n−2 n − 5h = n 5h + 2(h N ) c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) d=> d, Để C tối giản d # hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – (k N) d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11 d, Để A tối giản d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k N) Bài 2: Tìm n N để phân số tối giản: 8n + 193 18n + 2n + a, A = b, C = c, A = 21n + 5n + 4n + HD: d, A = 21n + 6n + a, Gọi d = UCLN ( 3n + 2;2n + ) = ( 2n + ) − (5n + ) d = 31 d Để A tối giản d 31 = 2n + 31 = 2n + + 31 31 = ( n + 19 ) 31 = n # 31k – 19 (k N) b, Gọi d = UCLN (8n + 193;4n + 3) = (8n + 193) − ( 4n + 3) d = 187 d Mà 187 = 11.17 , Nên để C tối giản thì: d 11, d 17 TH1: d 11 = 4n + 11 = 4n + − 11 11 = 4n − 11 = n − 11k = n 11k + ( k N ) ( TH2: d 17 = 4n + 17 = 4n + + 17 17 = ( n + 5) 17 = n 17h − h N * ) c, Gọi d = UCLN (18n + 3;21n + 7) = (18n + 3) − ( 21n + ) d = 21 d Mà 21 = 3.7 , Nên để A tối giản d 3,7 Thấy hiển nhiên d 3, ( 21n + 3) Với d = 18n + = 18n + = 3(6n + 1) = 6n + − = n 7k + d, Gọi d = UCLN ( 21n + 3;6n + 4) = ( 21n + 3) − ( 6n + ) d = 22 d Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: d 2, d 11 TH1: d = 21n + 2k = n số chẵn TH2: d 11 = 6n + 11 = 6n + − 22 11 = n − 11 = n 11k + n+3 Bài 3: Tìm n N để phân số tối giản: B = n − 12 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 4: Tìm n để A = 21n + rút gọn 6n + HD: Giả sử tử mẫu chia hết cho số nguyên tố d => 22 d=> d=2 d=11 TH1: d=1=> 6n+4 với n 21n +3 n lẻ TH2: d=11=> 21n +3 11=> n – 11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 11 n n 7n + Bài 5: CMR phân số : số tự nhiên với n N phân số phân số tối giản ? HD : 7n + Vì phân số số tự nhiên với n nên 7n2 + => n lẻ n không chia hết cho n n Vậy ; phân số tối giản a3 + 2a − Bài 6: Cho biểu thức A = a + 2a + 2a + a/ Rút gọn biểu thức b/ CMR a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tối giản n+3 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n để phân số tối giản n − 12 3n − Bài 8: Tìm giá trị nguyên n để phân số M = có giá trị số nguyên n −1 HD: 3n − M= Z = 3n − n − = ( n − 1) + n − = n − n −1 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 2: Chứng minh phân số sau tối giản: Bài 1: Chứng minh phân số sau tối giản: 2n + n +1 a, b, 3n + 2n + c, 5n + 3n + d, n + 2n n4 + 3n2 − HD: n + d a, Gọi d = UCLN ( n + 1;2n + 3) = = ( n + 1) − ( 2n + 3) d = −1 d = d = 1 2n + d 2n + d b, Gọi d = UCLN ( 2n + 3;3n + 5) = = ( 2n + 3) − ( 3n + 5) d = −1 d = d = 1 3n + d 5n + d = ( 3n + ) − (5n + 3) d = d = d = 1 c, Gọi d = UCLN ( 5n + 3;3n + ) = 3n + d n + d d, Gọi d = UCLN ( n + 2n; n + 3n − 1) = n ( n + 2n ) − ( n + 3n − 1) d = n + 2n d n d n d = ( n + 2n ) − n ( n + 1) d = = = d = d = 1 n + d n + d Bài 2: Chứng minh phân số sau tối giản: 16n + 14n + 2n + 2n + a, b, c, d, 21n + 4n + 6n + 2n(n + 1) HD: a, Gọi d = UCLN (16n + 5;6n + ) = ( 6n + ) − (16n + 5) d = d = d = 1 4 14n + d = (14n + 3) − ( 21n + ) d1 d = d = 1 b, Gọi d = UCLN (14n + 3;21n + ) = 21n + d n d n ( 2n + 1) d 2n + n d c, Gọi d = UCLN 2n + 1;2n + 2n = = = 2n + d 2n + 2n d 2n + 2n d = ( 2n + 1) − 2n d = d = d = 1 d, Gọi 2n + d d = UCLN ( 2n + 3;4n + 8) = = ( 4n + 8) − ( 2n + 3) d = d = d = 1, d = 2 4n + d Vì 2n + d mà 2n+3 số lẻ nên d lẻ, d = 2 loại Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản: 3n + n 12n + a, b, c, 5n + n +1 30n + HD: 5n + d = ( 3n + ) − (5n + 3) d = d = d = 1 a, Gọi d = UCLN ( 5n + 3;3n + ) = 3n + d ( ) n + d = ( n + 1) − n d = d = d = 1 b, Gọi d = UCLN ( n; n + 1) = n d c, Gọi 12n + d d = UCLN (12n + 1;30n + ) = = (12n + 1) − ( 30n + ) d = d = d = 1, 30n + d GV: Ngô Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 4: Tìm n Z để phân số sau số nguyên: n a, b, n−3 n−4 c, 2n + n+3 d, 12 3n − d, 6n − 3n + HD: Z = n − U ( ) = 1; 2; 3; 6 = n = n−3 n n−4+4 = = 1+ Z = n − U ( ) = 1; 2; 4 b, Để B = n−4 n−4 n−4 2n + 2n + + 1 = = 2+ Z = n + U (1) = 1 = n c, Để C = n+3 n+3 n+3 12 Z = 3n − U (12 ) = 1; 2; 4 , Vì 3n − d, Để D = 3n − Bài 5: Tìm n Z để phân số sau số nguyên: a, Để A = 3n + n −1 HD: a, b, 6n − 2n + c, 3n + n −1 3n + 3n − + 5 = = 3+ Z = n − U ( 5) = 1; 5 n −1 n −1 n −1 6n − 6n + − 13 13 = = 3− Z = 2n + U (13) = 1; 13 b, Để B = 2n + 2n + 2n + 3n + 3n − + 7 = = 3+ Z = n − U ( ) = 1; 7 c, Để C = n −1 n −1 n −1 6n − 6n + − 5 = = 2− Z = 3n + U ( 5) = 1; 5 d, Để D = 3n + 3n + 3n + 63 Bài 6: Cho phân số A = với n N, tìm n để A số tự nhiên 3n + Bài 7: Tìm n Z để phân số sau số nguyên: 2n + n + 10 n+3 n2 + a, b, c, d, 2n − 2n − n+2 HD : a, Ta có : 2n – =2(n-4) => n+10 n+10 n – hay n số chẵn n + 10 n − b, Ta có : 2n – =2(n – 1)=> n+3 n+3 n – hay n số lẻ n + n − c, Ta có : 2n+3 => 2n+10 7= >n+5 => n= 7k – (k N ) d, Ta có : n2 + 2n − 2n + n + = n(n + 2) − 2n − + n + = n(n + 2) − 2(n + 2) + n + =>7 n+2 8n + 193 Bài 8: Tìm n N để A = cho: 4n + a, Có giá trị số tự nhiên b, Là phân số tối giản c, Với n từ 150-170 A rút gọn HD : 187 a, A = + để A số tự nhiên 4n+3 U(187) = 1; 11; 17; 187 4n + 187 b, Để A tối giản tối giản hay 187 không chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k 4n+3 4n + # 17 a, Để A = GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 100 11k + 170 c, Để A rút gọn n = 11k + n = 17h – 5=> 100 17h − 170 3a + 5b + Bài 9: CMR (a – 1; b+1) A = phân số tối giản 5a + 8b + HD: Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) d=> b+1 d Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) d=> a – d => d UC( a – 1; b+1) Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - n+4 Bài 10: Tìm n Z cho A = B = số nguyên n +1 n −1 n+9 Bài 11: Cho phân số A = (n Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương n−6 75 Bài 12: Cho phân số A = (n N*) Tìm n để 5n − a, Phân số A số tự nhiên b, A rút gọn 2n + Bài 13: Tìm n N để số nguyên n +1 Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: 2001 2002 ; ; ; ; ; n+3 n+4 n+5 n + 2003 n + 2004 HD: a Các phân số cho có dạng: với a=1; 2; 3; ; 2001; 2002 n+2+a a Để tối giản UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 a nguyên tố n+2+a Với số 1,2,3, , 2002 n+2 nhỏ n+2=2003( Vì 2003 số nguyên tố) n 19 Bài 15: Tìm n để tích hai phân số có giá trị ngn n −1 3x − Bài 16: Tìm x để giá trị biểu thức: P = số nguyên 3x + 2017 − x Bài 17: Cho T = , tìm giá trị nguyên x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn 10 − x x+2 Bài 19: Cho M = , biết x số hữu tỉ âm, M số nguyên, Tìm x x −1 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức DẠNG 3: Tìm n để phân số có GTLN GTNN Bài 1: Tìm n Z để phân số sau có GTNN: 2x + 6n − 6n − x − 13 a, A = b, B = c, A = d, B = 3n + 2n + x+3 x +1 HD: 13 13 a, Do n Z nên 2n+3 Z , Để A = − nhỏ số dương lớn 2n + 2n + 2n+3 số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1 5 b, Do n Z nên 3n+2 Z , Để B = − nhỏ số dương lớn 3n + 3n + hay 3n+2 số nguyên dương bé => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0 16 16 c, Do x Z nên x+3 Z Để A = − nhỏ số dương lớn x+3 x+3 hay x+3 số nguyên dương nhỏ hay x+3 =1=> x = - 2 d, Do x Z nên x+1 Z để B = + nhỏ số âm nhỏ x +1 x +1 hay x+1 số nguyên âm lớn hay x+1 = - => x = - Bài 2: Tìm n Z để phân số sau có GTNN: 10 x + 25 20a + 13 3x + a, E = b, A = c, B = d, 2x + 4a + x −1 −3 D= 2x − HD: 5 a, Do x Z nên 2x+4 Z Để E = + nhỏ số âm nhỏ 2x + 2x + hay 2x+4 số nguyên âm lớn hay 2x+4 = - => x= - 5/2 (loại) 2x+4 = - => x= 10 10 b, Do x Z nên x-1 Z Để A = + nhỏ số âm nhỏ x −1 x −1 hay x -1 số nguyên âm lớn hay x - = - 1=> x=0 2 c, Do a Z nên 4a+3 Z Để B = − nhỏ số dương lớn 4a + 4a + hay 4a+3 số nguyên dương nhỏ hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại) hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0 −3 d, Do x Z nên 2x-5 Z , Đề D = nhỏ 2x – số nguyên dương bé 2x − hay 2x – =1=> x =3 Bài 3: Tìm n Z để phân số sau có GTNN: 8− x 2n − 4n + −3 a, A = b, B = c, C = d, E = x −3 2n + 2n − n+2 HD: 5 a, Do n Z nên 2n+3 Z , Để A = − nhỏ số dương lớn 2n + 2n + => 2n+3 số nguyên dương nhỏ => 2n+3=1=> n= - 7 b, Do n Z nên n+2 Z , Để B = − nhỏ số dương lớn n+2 n+2 => n+2 số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 5 nhỏ số âm nhỏ x −5 x−5 => x – số nguyên âm lớn => x – = - => x= −3 d, Do n Z nên 2n-5 Z , Để E = nhỏ số dương lớn 2n − 2n − => 2n-5 số nguyên dương nhỏ => 2n-5 =1=>n=3 x Bài 4: Tìm x Z để phân số sau có GTNN: A = 5x − HD : 5x Do x Z nên 5x-2 Z , Để A = = 1 + nhỏ x − số âm nhỏ 5x − 5x − => 5x - số nguyên âm lớn => 5x - 2= -1 = x = (loại) 5x - 2= - => x = Bài 5: Tìm n, x Z để phân số sau có GTLN n +1 14 − n 7−x a, C = b, D = c, E = d, C = n−2 4−n x −5 4+ x HD: 3 a, Do n Z nên n-2 Z , Để C = + lớn số dương lớn n−2 n−2 n – số nguyên dương nhỏ => n - = 1=> n = 10 10 b, Do n Z nên – n Z , Để D = + lớn số dương lớn 4−n 4−n hay – n số nguyên dương nhỏ => – n = => n = 2 c, Do x Z nên x-5 Z , Để E = −1 + lớn số dương lớn x −5 x−5 hay x – số nguyên dương nhỏ => x – = 1=> x = 1 d, Do x Z nên 4+x Z , Để C = lớn số dương lớn 4+ x 4+ x hay 4+x số nguyên dương nhỏ => + x = => x = Bài 6: Tìm n, x Z để phân số sau có GTLN x − 19 3n − −3 a, D = b, D = c, C = −2n + 2x − x −9 HD: 26 26 a, Do x Z nên x-9 Z , Để D = + lớn số dương lớn x −9 x−9 hay x – số nguyên dương nhỏ => x – =1=> x = 10 −3 b, Do x Z nên 2x-5 Z ,Để D = lớn số ấm nhỏ 2x − 2x − hay 2x -5 số nguyên âm lớn => x – 5= - 1=> x = 6n − c, Do n Z nên -2n + Z , Để C = = −3 + lớn −2n + −2n + số dương lớn nhất, hay -2n + số nguyên dương bé => -2n+3 =1 => n −2n + =1 c, Do x Z nên x-3 Z , Để C = −1 + GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức ... 7n + Bài 5: CMR phân số : số tự nhiên với n N phân số phân số tối giản ? HD : 7n + Vì phân số số tự nhiên với n nên 7n2 + => n lẻ n không chia hết cho n n Vậy ; phân số tối giản a3 + 2a − Bài. .. b/ CMR a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tối giản n+3 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên n để phân số tối giản n − 12 3n − Bài 8: Tìm giá trị nguyên n để phân số M = có giá trị số nguyên... giá trị số tự nhiên b, Là phân số tối giản c, Với n từ 150- 170 A rút gọn HD : 1 87 a, A = + để A số tự nhiên 4n+3 U(1 87) = 1; 11; 17; 1 87? ?? 4n + 1 87 b, Để A tối giản tối giản hay 1 87 không