1 GV Ngô Thế Hoàng THCS Hợp Đức CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH Bài 1 Tìm 1 số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với ba số 1,2,3 HD Gọi 3 chữ số của số cần t[.]
CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH Bài 1: Tìm số có ba chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với ba số 1,2,3 HD: Gọi chữ số số cần tìm : a,b,c, a b c a+b+c Theo ta có : = = = đó: a+b+c chia hết cho 6, mặt khác số chia hết cho 18 nên số chia hết cho => a + b + c mà a + b + c 27 a+b+c=18 => a=3, b=6, c=9 Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị 6: 396 936 Bài 2: Một vật chuyển động bốn cạnh hình vng, hai cạnh đầu, vật chuyển động với vận tốc 6m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s cạnh thứ với vận tốc 2m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng số thời gian vật chuyển động cạnh 130 giây? HD: Gọi x,y,z,t thời gian để vật chuyển động cạnh hình vng, => x + y + z + t = 130 x = y = z = 2t (= độ dài cạnh hình vng) Bài 3: Một vật chuyển động cạnh hình vng, Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s cạnh thứ với vận tốc 3m/s, Hỏi độ dài cạnh hình vng, biết tổng thời gian vật chuyển động cạnh 59s HD: Cùng đoạn đường, vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x,y,z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s; 4m/s; 3m/s x y 3z x y z x + x + y + z 59 = = = = = = = =1 Ta có: 5.x=4.y=3.z x+x+y+z=59 hay 60 60 60 12 15 20 59 59 => x=12, y=15, z=20 Vậy cạnh hình vng : 5.12=60m Bài 4: Có ba máy bơm bơm nước vào ba bể tích ( Lúc đầu bể khơng có nước) Mỗi máy thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ bơm 6m3 , 10m3 , 9m3 Thời gian bơm đầy bể máy thứ hai máy thứ 2h, Tính thời gian máy để bơm đầy bể HD: Gọi thời gian bơm đầy bể máy bơm thứ nhất, thứ hai, thứ ba a, b, c Theo ta có: b − a = Vì ba bể tích nên thời gian bơm tỉ lệ nghịch với thể tích bơm máy bơm : 6a = 10b = 9c Bài 5: Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng 172 xung quanh vườn trường, Tính số lớp biết số lớp 7A 7B tỉ lệ với 4, lớp 7B 7C tỉ lệ với 7C 7D tỉ lệ với Bài 6: Ba vải dài tổng 210m, Sau bán 1/7 thứ nhất, 2/11 thứ hai 1/3 thứ ba, chiều dài cịn lại ba nhau, Hỏi lúc đầu dài m? Bài 7: Lớp 7A, 7B, 7C trồng 387 cây, số lớp 7A trồng 11/5 số lớp 7B trồng được, số lớp 7B trồng 35/17 số lớp 7C trồng được, Hỏi lớp trồng cây? Bài 8: Ba máy bơm bơm nước vào bể có dung tích 355 m3 , Biết thời gian để bơm m3 nước ba máy tương ứng là: phút,5 phút,7 phút, Hỏi máy bơm bơm m3 đầy bể? HD: Gọi số m3 bơm máy a, b, c (a, b, c 0) a+b+c=355 3a 5b 7c a b c = = = = = Theo ta có: 3a = 5b = 7c = 105 105 105 35 21 15 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a b c a+b+c 355 = = = = =5 35 21 15 35 + 21 + 15 71 Bài 9: Cả ba vòi nước chảy vào bể nước, Nếu vịi vịi chảy 6h bể, Nếu vòi vòi chảy 5h chảy bể, vịi vịi chảy 9h chảy bể, Hỏi 12 ba vịi chảy sau đầy bể? HD : 3 = Trong 1h vòi vòi chảy : = , bể 30 10 7 :5= Trong 1h vòi vòi chảy : bể 12 60 3 = Trong 1h vòi vòi chảy : : = bể 36 12 + + = Trong 2h ba vòi chảy : 10 60 12 10 Do 1h ba vòi chảy : bể 20 20 = h Vậy để đẩy bể ba vịi phải chảy : 20 Bài 10: Một bể có ba vịi nước, vịi chảy vào vịi chảy ra, biết vịi chảy 6h đầy bể, vịi chảy 4h đầy bể vịi tháo h bể cạn, Bể cạn, mở ba vịi lúc sau đầy bể ? HD: Trong 1h vòi chảy : bể Trong 1h vòi chảy : bể Trong 1h vòi tháo : bể 1 Trong 1h ba vòi chảy được: + − = bể 24 24 = Thời gian để ba bể chảy đầy bể là: : h 24 Bài 11: Ba vòi nước chảy vào bể, vòi vịi chảy sau h đầy bể vòi vòi chảy sau 10 h đầy bể, cịn vịi vịi chảy sau 8h đầy bể Hỏi vịi chảy đầy bể? HD: Trong 1h vòi vòi chảy được: 1: = bể 36 Trong 1h vòi vòi chảy được: :10 = bể 72 Trong 1h vòi vòi chảy được: : = bể Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức + + bể 36 72 13 Vậy 1h ba vòi chảy được: + + : = bể 72 36 72 Vậy 2h ba vòi chảy được: 13 72 = =5 h 72 13 13 Bài 12: Ba vòi nước chảy vào bể khơng có nước, vịi vịi chảy đầy bể 6h, vịi vịi chảy đầy bể 8h, vịi vịi chảy 12h đầy bể, Hỏi vịi chảy đầy bể bao lâu? HD: 1h vòi vòi chảy được: bể 1h vòi vòi chảy được: bể 1h vòi vòi chảy được: bể 12 1 1 Trong 1h ba vòi chảy được: + + : = 16 12 Vậy ba vòi chảy đầy bể : 1 − = bể 16 48 Để vòi ba chảy 48h đầy bể Vậy h vòi chảy được: Bài 13: Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng 1020 cây, biết lớp 7A trồng lớp 7A, Lớp 7C trồng số trồng 17 số lớp 7B, Tính số trồng lớp 10 HD: 7 :6 = :5 = bể ; Trong 1h vòi chảy bể 10 12 60 Trong 1h vòi chảy : = bể, Nên h ba vòi chảy 12 + + = bể, 10 60 12 10 3 20 :2 = = h Do 1h ba vịi chảy bể, Vậy ba vịi chảy 1: 10 20 20 đầy bể Bài 14: Trên công trường xây dựng, cải tiến lỹ thuật nên suất lao động công nhân tăng 25%, Hỏi số cơng nhân khơng thay đổi thời gian làm xong việc giảm % HD : Gọi t1 thời gian hồn thành cơng việc với suất lao động 100%, Trong 1h vòi chảy t2 thời gian hoàn thành với suất 125% Vì cơng nhân khơng đổi nên thời gian hồn thành tỉ lệ nghịch với suất lao động nên : t t1.100 = t2 125 = = 80% t1 Bài 15: Hai máy bay bay từ A đến B, Máy bay I bay hết 2h 30’, Máy bay II bay hết 2h 20’, Tính vận tốc trung bình mõi máy bay biết phút máy bay bay nhanh máy bay 1km GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 16: Ba ô tô từ A đến B, vận tốc ô tô thứ vận tốc ô tô thứ hai 3km/h, Thời gian ô tô thứ I, II, III hết AB : 40’, 5/8h 5/9h Tính vận tốc ô tô Bài 17: Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm nhau, công nhân I, II, III hồn thành cơng việc với thời gian 9, 6, 7,5h, Hỏi 1h công nhân sản suất sản phẩm, Biết h công nhân thứ II sản xuất nhiều công nhân thứ sản phẩm Bài 18: Ba ruộng HCN có diện tích nhau, Chiều rộng ruộng 22,5m, 20m, 18m , biết chiều dài ruộng I chiều dài ruộng II 5m, Tính chu vi ruộng Bài 19: Lúc 8h người xe đạp từ A B với vận tốc 12km/h, lúc 8h 30’ người thứ hai từ A đến B với vận tốc 20km/h, Xác định thời điểm giặp hai người khoảng cách từ A đến chỗ giặp Bài 20: Một ca nô xi dịng từ A đến B 2h, ngược dòng từ B đến A 2,5h, Biết vận tốc dịng nước 2km/h, Tính vận tốc ca nơ xi dịng chiều dai khúc sơng AB Bài 21: Hai bà mua gạo hết số tiền, bà thứ mua 4k/kg, bà thứ hai mua 4,8k/kg Biết bà thứ mua nhiều bà thứ hai 2kg, Hỏi bà mua kg gạo Bài 22: Trong buổi lao động trồng cây, thầy giáo dự định chia số phải trồng cho tổ I, II, III theo tỉ lệ :5 :4, Nhưng học sinh tổ thay đổi lại theo tỉ lệ :4 :3, lần chia thứ hai tổ trồng nhiều ban đầu cây, Tính số lớp tổ lần chia thứ hai Bài 23: Tìm số tự nhiên biết BCNN chúng 1680 ba số tỉ lệ nghịch với 15;10;6 HD: Gọi ba số cần tìm : a,b,c a b c Ta có : BCNN (a :b :c)=1680 a.15 = b.10 = c.6 => = = = k => a=2k, b=3k, c=5k => BCNN(a ; b ; c)=30k=1680=>k=56 Bài 24: Một hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài 186m, Giá tiền m vải ba cuộn nhau, sau bán ngày hàng lại cuộn vải loại 1, cuộn vải thứ 2, cuộn vải thứ 3, 3 số tiền bán ba cửa hàng tỉ lệ với 2:3:2, Tính xem ngày hàng bán m vải cuộn vải? HD: Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứu hai, thứ ba a,b,c Sau ngày cửa hàng bán số vải cuộn là: 2 Cuộn 1: a − a = a (m) , Cuộn b − b = b(m) , Cuộn c − c = c(m) 3 3 Do giá tiền m vải cuộn nên số m vải bán cuộn tỉ lệ với số tiền bán được, mà số tiền bán cuộn lại tỉ lệ với 2:3:2, Vậy số m vải bán cuộn tỉ lệ với 2:3:2 2 a b c a 2b 2c a b c a +b +c 186 Ta có: = = = = = = = = = = = 12 => a,b,c 10 4,5 + 4,5 + 15,5 1 Bài 25: Gạo ba kho theo tỉ lệ 1,3 : :1 , Gạo kho thứ hai chứa nhiều 2 kho thứ 43,2 tấn, Sau tháng người ta tiêu thụ kho thứ 40%, kho thứ hai 30%, kho thứ ba 25% số gạo có kho, Hỏi tháng tiêu thụ gạo? HD: Gọi số gạo chứa kkho thứ nhất, thứ hai, thứ ba x,y,z (tấn) x y z = = Theo ta có : y- x =43,2 => x = 46,8 ,y=90, z=43,2=> số gạo tiêu thụ 1,3 1 2 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 26: Trong kì thi HSG trường, ba bạn Tài, Trí, Đức giáo thưởng 100 000đ, Số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với số điểm mà bạn đạt được, biết số điểm Tài so với số điểm Trí, số điểm Đức 25% tổng số điểm hai người kia, Tính số điểm bạn thưởng? HD: Gọi số tiền thưởng Tài, Trí, Đức x,y,z đồng x y Theo ta có: = z = 25%( x + y ) nên x+y=4z Áp dụng tính chất dãy tỉ số : x y x + y 4z z x y z x + y + z 100000 = = = = = = = = = = 10000 8 5+3+ 10 Bài 27: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu chúng tử tỉ lệ với 5, mẫu tỉ lệ với 196 HD: Gọi hai phân số tối giản x, y theo ta có : x − y = , mặt khác tử tỉ lệ với :5 mấu tỉ lệ với :7 196 x y = => x :y= : => x :y=21 :20=> 21 20 83 Bài 28: Tìm ba phân số tối giản biết tổng chúng 15 , Tử số chúng tỉ lệ thuận với 5:7:11 120 1 mẫu số chúng tỉ lệ nghịch với ; ; HD: a c e a c e Gọi phân số cần tìm là: ; ; , Vì tử số tỉ lệ với 5;7;11 nên ta có: = = 11 b d f 1 b d f a c e b d f Mẫu số tỉ lệ nghịch với ; ; nên ta có: = = , Đặt = = = k ; = = = p 6 11 => a=5k, c=7k, e=11k, b=4p, d=7p, f=6p, nên a c e 5k 7k 11k 75k + 84k + 110k 269k + + = + + = = b d f 4p 5p 6p 60 p 60 p a c e a 35 c 49 e 77 83 k Mà + + = 15 = = Vậy = ; = ; = b d f b d 10 f 12 120 p 213 Bài 29: Tìm ba phân số tối giản có tổng tử chúng tỉ lệ với 3:4:5 mẫu chúng tỉ lệ 70 với 5:1:2, Tìm ba phân số Bài 30: Cho số hữu tỉ sếp đường trịn cho tích hai số cạnh ln , Tìm 25 số đó? HD: Gọi số cho là: a1; a2 ; ; a7 Hiển nhiên số khác = a1 = Ta có: a1.a2 = a2 a3 = = a7 a1 => a1 = a2 = = a7 nên a1.a1 = 25 Bài 31: Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2:3:4, ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào: HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Gọi độ dài ba cạnh tam giác a,b,c , chiều cao tương ứng với cạnh là: x,y,z, S diện tích tam giác 2S 2S 2S 2S 2S 2S a b c x y z y Ta có: a = , Do đó: = = = x = ;b = ;c = = z = = = x y z 4 Bài 32: Ba tổ cơng nhân có mức suất tỉ lệ với :4 :3, Tổ tăng suất 10%, tổ hai tăng 20%, tổ tăng 10%, thời gian tổ làm nhiều tổ hia 14 sp,Tính số sp ba tổ làm thời gian ? HD: Gọi số sản phẩm mà tổ 1,2,3 làm x, y, z, Ta có : x :y :z= (5.1,1) : (4.1,2) : (3.1,1) Và x-y=14 Bài 33: Độ đài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2:3:5, Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào? HD: Gọi độ dài ba cạnh tam giác a, b, c chiều cao tương ứng x,y,z diện tích S 2S 2S 2S a b c 2S 2S 2S Ta có: a = , Theo ta có: = = = ;b = ;c = = = = x = y = 5z x y z x y 5z Bài 34: Tìm hai số khác biết tổng, hiệu, tích chúng tỉ lệ với :1 :45 HD: Gọi hai số cần tìm : x, y x + y x − y xy x + y + x − y x + y − x + y xy x y xy = = = = = = = => Ta có : => 45 +1 +1 45 45 18 x = 30 y = xy => x = 30, y = 18 Bài 35: Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5: 6: 7, sau chia theo tỉ lệ 4: 5: nên có lớp nhận nhiều dự định gói tăm, tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua HD : Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c nên ta có : 5x a = 18 6x a b c a+b+c x = = = = (1) = b = 18 18 18 7x c = 18 Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có : 4x a ' = 15 5x a ' b ' c ' a '+ b '+ c ' x = = = = (2) = b ' = 15 15 15 6x c ' = 15 So sánh (1) (2) ta có : a a '; b = b '; c c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu ta có : x 7x x c ' = c = = − = = = = x = 360 , Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 15 18 90 Bài 36: Nhà trường dự định chia cho lớp 7A, 7B 7C tỉ lệ theo số học sinh 7:6:5, Nhưng sau có học sinh thuyên chuyển ba lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ 6:5:4, Như có lớp nhận dự định 12 quyển, Tính số lớp nhận thực tế GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 36: Khối có ba lớp 7A, 7B, 7C, Biết tổng số hocjsinh lớp 7A 7B 79 em, Nếu chuyển học sinh từ lớp 7C sang 7A số học sinh ba lớp tỉ lệ với 9; ;7 , Tính số học sinh lớp Bài 37: Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định, Sau nửa qng đường tơ tăng vận tốc thêm 20%, Do đến B sớm dự định 10’ Tính thời gian tơ từ A đến B? HD: Gọi vận tốc, thời gian ô tô nửa đoạn đường đầu là: v1; t1 , nửa đoạn đường sau là: v2 ; t2 , Trên độ dài quãng đường vận tốc thời gian v t hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: = , mặt khác theo đầu ta có: t1 − t2 = 10 v2 t1 v t 1 t1 − t2 = 10 v2 = (100% + 20%) v1 = 1, 2v1 hay = = = v2 1, t1 1, Bài 38: Một lớp Học sinh có 33 bạn tổng số tuổi bạn 340, CMR ln tìm 20 bạn lớp có tổng số tuổi lớn 260 Bài 39: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 65km/h, lúc có xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h, biết khoảng cách AB 540km điểm m trung điểm AB, Hỏi sau khởi hành tơ cách M khoẳng 1/2 khoảng cách từ xe máy tới M ? Bài 40: Tìm số có ba chữ số cho tỉ số số với tổng chữ số có giá trị bé Bài 41: Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với :3 :4, ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ? Bài 42: Khối 6,7,8 trường tham gia trồng cây, Biết học sinh khối trồng đc cây, học sinh khối trồng cây, sinh khối trồng cây, Kết thúc đợt trồng cây, số khối trồng nhau, Biết tổng số học sinh khối nhiều số học sinh khối 140 học sinh, Tính số học sinh khối? Bài 43: Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng cây, lớp 7A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số ba lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B 120 HD: Gọi số ba lớp trồng a,b,c Theo ta có: b: c=1,5 :1,2 b-a=120 a=32,5%(a+b+c) Vậy ba lớp trồng số 2400 Bài 44: Có ba khu đất hình chữ nhật A, B, C, Các diện tích khu A B tỉ lệ với 6, Các diện tích khu B C tỉ lệ với 11 9, biết khu đất A B có chiều dài, tổng chiều rộng chúng 33m, Khu B C có chiều rộng chiều dài khu đất C 36m a, Tính chiều rộng khu A khu B b, Hãy tìm diện tích khu đất Bài 45: Trong thời gian ba cơng nhân đóng tất 305 thùng hàng, để đóng thùng hàng người thứ cần 30 phút, người thứ cần 40 phút, người thứ cần 70 phút a, Tính số thùng hàng người đóng b, Tính số công nhân làm Bài 46: Hai ô tô phải từ A đến B, biết vận tốc xe thứ 60% vận tốc xe thứ thời gian xe thứ AB nhiều thời gian xe thứ hai 3h, Tính thời gian xe từ A đến B Bài 47: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 65km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h, Biết quãng đường AB dài 540km C điểm AB, Hỏi sau khởi hành tô cách C khoảng nửa khoảng cách từ xe máy đến C khoảng cách hai xe bao nhiêu? Bài 48: Để tham gia chương trình “ Tết no ấm cho hs vùng cao”, Học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tổ chức gói bánh chưng, Số bánh chưng lớp 7A 7B gói tỉ lệ nghịch với 2, số bánh chưng lớp 7B 7C tỉ lệ nghịch với và số bánh chưng lớp 7C nhiều lớp 7A 22 chiếc, Hỏi lớp gói tất bánh chưng tham gia chương trình GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức ... 48h đầy bể Vậy h vòi chảy được: Bài 13: Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng 1020 cây, biết lớp 7A trồng lớp 7A, Lớp 7C trồng số trồng 17 số lớp 7B, Tính số trồng lớp 10 HD: 7 :6 = :5 = bể ; Trong 1h vòi chảy... nhiêu? Bài 48: Để tham gia chương trình “ Tết no ấm cho hs vùng cao”, Học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tổ chức gói bánh chưng, Số bánh chưng lớp 7A 7B gói tỉ lệ nghịch với 2, số bánh chưng lớp 7B 7C tỉ lệ. .. khối? Bài 43: Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng cây, lớp 7A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số ba lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B