Chuyên đề CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Với x = x+ y = a b , y = ( a, b, m�Z, m> 0) ta có: m m a b a+ b a b a- b + = ; x- y = = m m m m m m a c Với x = ; y = ta có: b d a c ac a c a.d x.y = = ; x : y = : = (với y�0) b d bd b d bc Các phép tốn Q có tính chất giao hoán, kết hợp phân phối phép nhân phép cộng tập hợp Z Ngoài quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế tập hợp Z B Một số ví dụ Ví dụ Thực phép tính: a) 18 � 1 1� � - - - � � � �; � � 3� b) - 1 + + ; 23 Giải Tìm cách giải Khi thực phép tính có phép cộng trừ, ta thực ngoặc trước, thực từ trái qua phải Tuy nhiên có nhiều dấu (-) ta giảm bớt dấu (-) cách bỏ ngoặc Ngồi dùng tính chất giao hốn kết hợp nhằm giải toán nhanh Trình bày lời giải � 1 1� � 1 1 12 � - - - � = + + + = + + + = = ; � � � 3� � 18 18 18 18 18 18 a) 18 b) - 1 1 1 � 1 1� 1 + + = + + + =� + + � + = 1+ = � � � � 23 23 � 6� 23 23 23 Ví dụ Thực phép tính � 13� � : � a) � � � � � 14�7 � 1� � + � : ; � � � � 21 7�7 � b) � 5� � - + � : � � � � 13�7 � �1 � �2 � : � � � � 13�7 � Giải Tìm cách giải Vì phép chia phép nhân số bị chia với số nghịch đảo số chia nên ta vận dụng tính chất phân phối: a : m+ b : m= ( a + b) : m a : m- b : m= ( a- b) : m Trang Trình bày lời giải � 13 1� 10 - + - � : = = � a) � � �7 � � 14 21 7� 21 �3 �2 - + - + � : = =- ( ) � b) � � �7 � � 13 13� Ví dụ Tìm x � � 4� - � � x- � + : x� = 0; � � b) � � � � � � � � � 9� � a) - x+ x = ; 65 c) x + x + x+ x+ x+ + + + + =- 5; 2015 2014 2013 2012 2011 d) x + x + x + x + x + 360 + + + + = 338 337 336 335 Giải Tìm cách giải Khi tìm x ta vận dụng tính chất sau: ax + bx = ( a + b) x � k k k 1 1� k + + � = k nên + + = k.� � � � � � a b c a b c� a a A.B= A= B= Trình bày lời giải a) � - 11 - � 3� - - 11 x+ x = �� + � x = � x = � x= : � � � 65 � 5� 65 10 65 65 10 � x= - 143 � � 4� - � - � � x- � + : x = � x = + : x = suy � � b) � � � � � � � � � 9� � 9 - - 12 x= : x= � x = x= 9 7 � 12� 2; � Vậy x �� � � � 7� c) x+ x+ x+ x+8 x+ +1+ +1+ +1+ +1+ +1= 2015 2014 2013 2012 2011 � x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 + + + + =0 2015 2014 2013 2012 2011 �1 1 1 � � � ( x + 2020) � + + + + =0 � � � � � 2015 2014 2013 2012 2011� Trang Vì 1 1 + + + + > nên x+ 2020 = 2015 2014 2013 2012 2011 � x =- 2020 d) x+ x+ x+ x+ x+ 360 +1+ +1+ +1+ +1+ - 4= 338 337 336 335 � x + 340 x + 340 x+ 340 x + 340 x+ 340 + + + + =0 338 337 336 335 �1 1 1� � ( x + 340) � + + + + � =0 � � � � � 338 337 336 335 5� Mà 1 1 + + + + �0 Suy x=- 340 338 337 336 335 Ví dụ Tìm số ngun x, y biết: y + = x Giải Tìm cách giải Đối với dạng tốn này, ý ab = k( a,b ι Z,b 0) a�Ư(k), b�Ư(k) Do quy đồng mẫu số, chuyển x, y vế, vế lại số nguyên Trình bày lời giải y y 1- 2y + = � = - � = � ( 1- 2y) x = 40 x x x Vì x; y �Z � 1- 2y ước lẻ 40 mà ước lẻ 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị: 1- 2y -1 -5 y 40 -40 -8 Từ suy ( x; y) �{ ( 40;0) ,( 8;- 2) ,( - 40;1) ,( - 8;3) } Ví dụ Rút gọn biểu thức: 5 + 13 19 a) A = 11 11 11+ 19 5- b) B = 6 + 27 + 101 123 134 ; 11 11 11 11 + 27 101 123 134 1 + 39 51 1 + 52 68 Giải Tìm cách giải Những biểu thức phức tạp, thực theo thứ tự dài dẫn đến sai lầm Quan sát kĩ, ta thấy có phần giống số dấu ta nên vận dụng tính chất phân phối � k k k 1 1� + + = k.� + + � � � �để rút gọn � � a b c a b c� Trang Trình bày lời giải 5 + 13 19 A = a) Ta có: 11 11 11+ 19 5- 6 + 27 + 101 123 134 11 11 11 11 + 27 101 123 134 � 1 5� 1+ � � � 13 19 = � 1 11� 1- + � � � 19 � A= �1 1� 1 � � � 6� + � � � � � � 27� � 101 123 134� + �1 1� 1 � � � 11� + � � � � � � 27� � 101 123 134� + =1 11 11 b) Ta có: B = 1 + 39 51 = 1 + 52 68 1� � � � 3� 1� � � � 4� 1� + � � � 1 13 17� = : = 1� � + � � 13 17� Ví dụ Cho 2021 số nguyên dương a1;a2; a2021 thỏa mãn: 1 + + + = 1011 Chứng minh tồn số 2021 số nguyên dương cho a1 a2 a2021 Giải Tìm cách giải Dạng tốn khơng cụ thể tường minh hai giá trị nào, mà cần tồn hai số số cho mà thơi Đối với dạng tốn thơng thường dùng phương pháp phản chứng: Bước Phủ định kết luận Tức giả sử khơng có hai số nguyên dương Bước Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề cho điều hiển nhiên Bước Chứng tỏ giả sử sai Vậy kết luận đề Trình bày lời giải Giả sử 2021 số ngun dương a1;a2; a2021 thỏa mãn: khơng có hai số Khi 1 1 1 + + + � + + + a1 a2 a2021 2021 1 1 ; b) ( 2x- 4) ( 9- 3x) > Giải Tìm cách giải Đối với dạng toán ý kiến thức sau: A.B > � A B dấu A.B < � A B khác dấu Trình bày lời giải a) ( x- 1) ( x- 2) > � x- x- dấu mà x- < x- nên suy ra: x- 2> x- 1< � x > x< Vậy với x> x b) 2x- 9- 3x dấu, nên ta có trường hợp sau: � 2x- 4> � 2x > � x> �� �� Trường hợp 1: � ; � � � � 9- 3x > � 3x > � � � �x < Trang � �x < 2x- 4< � x< �� �� Trường hợp 2: � loại � � � � 9- 3x < � 3x > � � � �x > Vậy với < x < ( 2x- 4) ( 9- 3x) > Nhận xét Ngồi cách giải câu b, lập luận theo cách sau: ( 2x- 4) ( 9- 3x) > � - 6( x- 2) ( x- 3) > � ( x- 2) ( x- 3) < � x- x- khác dấu Mà x- 3< x- nên suy ra: x- 2> x- 3< � x > x< Vậy với < x < ( 2x- 4) ( 9- 3x) > Ví dụ Chứng tỏ rằng: 1- 1 1 1 1 + - + + = + + + + 199 200 101 102 199 200 Giải Xét vế trái, ta có: 1- 1 1 + - + + 199 200 � 1 1 1 1 � � = 1+ + + + + + - 2� + + + � � � � 199 200 � 200� 1 1 1 = 1+ + + + + + - 1- - 199 200 100 = 1 1 + + + + 101 102 199 200 Vế trái vế phải; Điều phải chứng minh Nhận xét Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có: = 1 1 1 1 + + + + > + + + = Từ bạn giải toán sau: 101 102 199 200 200 200 200 Chứng tỏ rằng: 1- 1 1 1 + - + + > 199 200 C Bài tập vận dụng 2.1 Viết số hữu tỉ - 14 thành: 45 a) tích hai số hữu tỉ theo sáu cách khác b) thương hai số hữu tỉ theo sáu cách khác 2.2 Thực phép tính (tính nhanh có thể) � 2� � � 1� 5� � � � � 5+ - � 2 + 8+ � � � a) � ; � � � �� � � 9� � 23 � � � � � 35 18� Trang b) � 3� 1 - - � - � + - + ; � � � � 5� � 64 36 15 c) - � 5� 13 � 5� � � + + +� - � +1 � � � � � � � � � 67� 30 � 6� 14 d) � � � - 1� - 1� :� - � + :� - � � ; � � � � �15 6� � �3 � 15� e) � 18 5� 2� - � - � � � 13� � 13 13 9 � � 2� � - � � ; � � � 5� � 2.3 Thực phép tính sau: � - 54 a) D = � � �64 � 8� - 1�- 81 � � � : : : � ; � �3� � � 27� �128 � �7 193 � � 11�� 11 � 1931 9� � � � � �� � + : + � � b) E = � � � � 34�� �25 + 2� � � � � � � � 17 193 386 1931 3862 � �� � � �� 1� - + � :� - + � � � 2.4 Rút gọn: A = � � � � � � � � 10�� 12� (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013) 2.5 Tìm x, biết: a) + x =; 13 � � - � 2,5+ x� = 0; c) ( 4x- 9) � � � � � � � 5� � � x- � = ; � � � 6� � b) d) x + x + x + x +8 + = + 2015 2014 2013 2012 2.6 Tính: P = 1+ 1 1 ( 1+ 2) + ( 1+ 2+ 3) + ( 1+ 2+ 3+ 4) + + ( 1+ 2+ 3+ +16) 16 2.7 Tìm giá trị nguyên dương x y , cho: 1 + = x y 2.8 Tìm số nguyên x, y biết: a) 1 y = + ; x b) x 1 - = ; y c) x - = y 2.9 Tính tổng M = x + y+ z , biết: 19 19 19 7x 7y 7z 133 + + = + + = x + y y+ z z+ x y+ z z+ x x+ y 10 1 2.10 Tìm số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn: x + y = ; y+ z = ;z+ x = 2.11 Cho biểu thức A= 1 1 + + + + Chứng minh rằng: 1.2 3.4 5.6 99.100 Trang a) A= 1 1 + + + + + ; 51 52 53 99 100 b) < A< 12 2.12 Cho 100 số hữu tỉ, tích số số âm Chứng minh rằng: a) Tích 100 số số dương b) Tất 100 số số âm 2.13 Cho 20 số ngun khác 0: a1,a2,a3, ,a20 có tính chất sau: + a1 số dương + Tổng ba số viết liền số dương + Tổng 20 số số âm Chứng minh rằng: a1.a14 + a14a12 < a1.a12 2.14 Đặt A = B= � 1 � � � 1+ + + + � � �và � 1011 � 2019� � � 1 1 � � + + + + � � � � 1010 � 2020� So sánh A B 2.15 Cho 100 số tự nhiên a1;a2; ;a100 thỏa mãn 1 101 + + + = a1 a2 a100 Chứng minh hai 100 số tự nhiên (Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013) 2.16 Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0�a �b+1�c + a+ b+ c = Tìm giá trị nhỏ c HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 2.1 a) - 17 - - - - - - = + = + = + 60 30 20 30 12 b) - 17 - = 60 c) - 17 - 1 - - = + = + = + 60 20 15 60 20 d) - 17 - - - 1 = = = 60 60 12 30 � 1� - 11 � � = � � � � 20� 30 � � 1� - � - � = � � � � 4� � � - 13� � � � � � � 60 � � 2.2 a) 5+ - - 2+ + - - 8- + 23 35 18 � � �1 5� � 1 2� = ( 5- 2+ 2- 8) +� + - � +� - - � + � � � � � � � 35 7� � 18 6� 23 Trang =- 3+ 0- 1+ b) 22 =- 23 23 3 1 - + + - + 64 36 15 � � 1� 1� 1 � =� + + � + + � + = 1- 1+ = � � � � � � � � � 15� � 36� 64 64 64 c) - 5 13 + + + - +1 + 67 30 14 � �3 5� 13 2� � � =� + - + � + 1 + + ( ) � � � � � � 67 � � � � 30 5� 14 7� � 1� � 5 = + 0+� - � + = � � � � 2� 67 67 d) - - - 30 - � - 30 - 5� : + : = + = � + � = (- 5) =- � � � � 30 5 7 �7 7� e) 5� 18� 5- - � � = = � � + � � 9� 13 13 13� 13 13 2.3 � 27 a) D = � � �32 � 27� - 1�- 81 � � � : : � � �3� � � 8� �128 � 27 3 �128 D= � - � � �32 - 1� �- 81 � - 27 9�128 D= � + � � �32 8� �- 81 � - 27+ 36 128 � 128 - � D= � = = � - 81� � 32 � 32 - 81 � �7 193 � � 11�� 11 � 1931 9� � � � � �� � + : + � � b) E = � � � � 34�� �25 + 2� � � � � - 17� 193 386� 1931 3862� � �� � � - 11�� 11 9� E = � + + �� : + + � � 17 34 34�� 25 50 2� � �� � � - �� 14 11 9� E = � + �� : + + � � 17 17�� 50 50 2� � �� � E= � 9� : �+ � = :5= 17 � 2� 17 � � 17 � �� 1� - + � :� - + � � � 2.4 A = � � � � � � � � 10�� 12� � �� � 12 11 12 72 15 � 18 � � A=� + � : + = : = = � � � � � � �� � 10 12 11 55 10 10 10� 12 12 12� Trang 2.5 a) x = b) - - 35 39 - 74 - � x= = 13 65 65 65 8 27 15 16 26 13 - x+ = � + - = x � x = + = = 9 18 18 18 18 c) 4x- = 2,5+ suy 4x= - =0 - x =- 2,5 - - 15 : = x = 14 x= �9 15� Vậy x �� ; � � � �4 14� d) x+ x+ x+ x+8 +1+ +1= +1+ +1 2015 2014 2013 2012 � x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 + = + 2015 2014 2013 2012 � x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 + =0 2015 2014 2013 2012 �1 � 1 � � ( x + 2020) � + =0 � � � � � 2015 2014 2013 2012� Mà 1 1 + < nên x+ 2020 = hay x=- 2020 2015 2014 2013 2012 2.6 Theo công thức: 1+ 2+ 3+ + n = n( n+1) 2.3 3.4 4.5 16.17 + + + Suy ra: P = 1+ + 2 16 17 P = 1+ + + + + 2 2 P= 1 ( 1+ 2+ 3+ +17) 2 17.18 P= - = 76 2 2.7 Vì x y có vai trị nhau, khơng giảm tính tổng quát, giả sử 1 x ���+�+++ y x y x Mặt khác y y y 10 1 1 + = � < � y> 5� 5< y�10� y�{ 6;7;8;9;10} x y y Trang 10 1 1 1 + Với y = � + = � = - = � x = 30 x x 30 + Với y = 7� 1 1 1 + = � = - = loại x x 35 + Với y = 8� 1 1 1 + = � = - = loại x x 40 + Với y = 9� 1 1 1 + = � = - = loại x x 45 + Với y = 10 � 1 1 1 + = � = � x = 10 x 10 x 10 Vậy cặp ( x; y) ( 30;6) ;( 6;30) ;( 10;10) 2.8 a) 1+ 2y = � x( 1+ 2y) = x x; y �Z � 1+ 2y ước lẻ mà ước lẻ là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị 1+ 2y -1 -3 x -6 -2 Từ suy ( x; y) �{ ( 6;0) ,( 2;1) ,( - 6;- 1) ,( - 2;- 2) } b) x 1 x 1 x- - = � - = � = � ( x- 3) y = 6 y y y � x- y ước 6, mà Ư(6) = { 1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- 6} Từ ta có bảng sau: x- y -1 -2 -3 -6 -6 -3 -2 -1 Từ suy ( x; y) �{( 4;6) ,( 5;3) ,( 6;2) ,( 9;1) ,( 2;- 6) ,( 1;- 3) ,( 0;- 2) ,( - 3;- 1) } c) x x- - = � = � ( x- 3) y = 4 y y � x- y ước 4, mà Ư(4) = { 1;2;4;- 1;- 2;- 4} nên ta có bảng giá trị: x- y -1 -2 -4 -4 -2 -1 Từ suy ( x; y) �{( 4;4) ,( 5;2) ,( 7;1) ,( 2;- 4) ,( 1;- 2) ,( - 1;- 1) } 2.9 Từ đề suy ra: Từ đề bài, ta có: � 1 133 17 + + = :19 = x + y y+ z z + x 10 10 x y z 133 + + = :7 y+ z z+ x x+ y 10 x y z 19 + + = y+ z z+ x x+ y 10 Trang 11 � x y z 19 +1+ +1+ +1= + y+ z z+ x x+ y 10 � x + y+ z x + y+ z x + y+ z 49 + + = y+ z z+ x x+ y 10 �1 1 � 49 � � ( x+ y+ z) � + + = � � � � �y+ z z+ x x + y� 10 ( x+ y+ z) 49 = � x + y+ z = hay M = 10 10 2.10 Ta có: 1 ( x+ y) +( y+ z) +( z+ x) = + + � 2( x+ y+ z) = 1� x+ y+ z = Suy ra: 1 1 1 + z = � z = mà: y+ z = � y = ; z + x = � x = 2 3 6 � 1 � ; ;0� � Vậy ( x; y; z) = � � � � � � 2.11 a) Xét biểu thức ta có: A= 1 1 1 1 1 + + + + = 1- + - + - + + 1.2 3.4 5.6 99.100 99 100 � 1 1 1 1 � � = 1+ + + + + + + - 2� + + + � � � � 100 � 100� 1 1 1 1 = 1+ + + + + + + - 1- - 100 50 = 1 1 + + + + 51 52 53 100 Vế trái vế phải Điều phải chứng minh b) Ta có: � �� � 1 1 �1 1 � �1 1� � � � � 51 52 53 100 �1 504 502 4 50 754 752 4 75� � �1 25 ph� n s� 25 ph� n s� � �� � Hay A < 25 25 1 5 + = + = � A< (1) 50 75 6 � � � � � � � � � � � 1 1 �1 1 �1 1 � � � � + + + + > � + + + � + + + + � � � � � � 51 52 53 100 � 75 75 75 100 100244444444 1003� � � � 444444 24 44444 44444444 � � � � � �� � 25 ph� n s� 25 ph� n s� Hay A > 25 25 1 7 + = + = � A> (2) 75 100 12 12 Trang 12 Từ (1) (2), suy ra: < A < Điều phải chứng minh 12 2.12 Đặt 100 số hữu tỉ a1;a2;a3; ;a100 a) Theo đề ta có: a1.a2.a3 < � ba số a1;a2;a3 tồn số âm Giả sử a1 < Xét a1;a2;a3; ;a100 = a1( a2.a3.a4) ( a5.a6.a7) ( a98.a99.a100) Ta có: a1 < theo đề bài: a2a3a4 < 0;a5a6a7 < 0; ;a98a99a100 < (có 33 nhóm) nên a1( a2.a3.a4) ( a5.a6.a7) ( a98.a99.a100) > b) Theo đề ta có a2a3a4 < 0� ba số a2;a3;a4 tồn số âm Giả sử a2 < Xét a1.a2.a3 < mà a1a2 > nên a3 < Xét a1.a2.ak < với k= 4,100 mà a1a2 > � ak < Vậy tất 100 số số âm 2.13 Ta có: a1 +( a2 + a3 + a4) + +( a11 + a12 + a13) + a14 +( a15 + a16 + a17) +( a18 + a19 + a20) < Mà a1 > 0;a2 + a3 + a4 > 0; ;a11 + a12 + a13 > 0;a15 + a16 + a17 > 0;a18 + a19 + a20 > 0� a14 < Cũng vậy: ( a1 + a2 + a3) + +( a10 + a11 + a12 ) +( a13 + a14 ) +( a15 + a16 + a17 ) +( a18 + a19 + a20 ) < 0� a13 + a14 < Mặt khác a12 + a13 + a14 > � a12 > Từ điều kiện a1 > 0;a12 > 0;a14 < � a1.a14 + a14.a12 < a1.a12 (điều phải chứng minh) 1 2.14 Đặt C = 1011.A = 1+ + + + ; 2019 1 1 D = 1010.B = + + + + 2020 1 1 1 1 = + + + + + Ta có C > 1+ + + + + 2020 2 2020 � C > + D (1) 1 1 1 1010 < + + + + = Mặt khác D = + + + 2020 2 2 D < (2) 1010 Từ (1) (2) � C > D 1011.D C D +D= � > hay A > B 1010 1010 1011 1010 2.15 Giả sử 100 số ngun dương a1;a2; ;a100 thỏa mãn: Khơng có hai số Trang 13 Khi 1 1 1 + + + � + + + a1 a2 a100 100 1 1 99 101 25 25 1 7 + = + = � A> (2 ) 75 100 12 12 Trang 12 Từ (1 ) (2 ) , suy ra: < A < Điều phải chứng minh 12 2. 12 Đặt 100 số hữu tỉ a1;a2;a3; ;a100 a) Theo đề ta